2025年中考數(shù)學(xué)第二次模擬考試（揚州卷）

全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.-2025的絕對值是（）

A.2025B.-2025C.」一

20252025

【答案】A

【分析】本題考查絕對值，理解絕對值的定義是正確解答的關(guān)鍵.根據(jù)絕對值的定義進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：-2025的絕對值是卜2025|=2025,

故選：A.

2.下列運算結(jié)果正確的是（）

A.m2+m2=2m~B.m6-i-m2=m3

22463

C.m-m=2mD.（-加=mn

【答案】A

【分析】本題主要考查了同底數(shù)哥的乘除法，合并同類項以及幕的乘方，熟記募的運算法則是解答本題的

關(guān)鍵.分別根據(jù)幕的乘方運算法則，同底數(shù)幕的除法法則，合并同類項法則以及同底數(shù)幕的乘法法則逐一

判斷即可.

【詳解】解：A,m2+m2^2m2,故該選項正確，符合題意；

B.+加2=加4,故該選項不正確，不符合題意；

C.m2-m2=m4,故該選項不正確，不符合題意；

D.（-加2〃）3=一加6九3,故該選項不正確，不符合題意;

故選：A.

3.在我國古代建筑中經(jīng)常使用棒卯構(gòu)件，如圖是某種柳卯構(gòu)件的示意圖，其中梯的俯視圖是（）

樺卯

A.B.

111

111

111

【答案】D

【分析】本題考查簡單幾何體的三視圖，掌握俯視圖是從上往下看到的圖形是解題的關(guān)鍵.注意：可見部

分的輪廓線用實線表示，被其他部分遮擋而看不見的部分用虛線表示.根據(jù)俯視圖的定義（從上面觀察物

體所得到的視圖是俯視圖），即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)主視圖可以發(fā)現(xiàn)，梯的頂端是一個上寬下窄的梯形，

從上往下看立體圖，可以得到俯視圖的形狀應(yīng)該是四根實線夾著兩根虛線的長方形，

即禪的俯視圖如下：

11

11

11

故選：D.

4.演講比賽中15名評委給比賽選手成績打分，若“去掉一個最高分，去掉一個最低分”后，一定不會發(fā)生變

化的統(tǒng)計量是（）

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.極差

【答案】C

【分析】本題考查的是平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，極差的含義，掌握以上基本概念是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)，極差，中位數(shù)的概念可得：比賽中“去掉一個最高分，去掉一個最低分”后，不會影響中

間數(shù)排序的位置，從而可得中位數(shù)不會發(fā)生改變，而眾數(shù)，平均數(shù)與極差都有可能變化，從而可得答案.

【詳解】解：比賽中“去掉一個最高分，去掉一個最低分”后，

可得總分發(fā)生變化，數(shù)據(jù)的個數(shù)也發(fā)生變化，所以平均數(shù)也可能發(fā)生變化，

眾數(shù)也可能發(fā)生變化，極差也可能發(fā)生變化，

而最高分與最低分去掉后，不會影響中間數(shù)排序的位置，所以不會發(fā)生變化的是中位數(shù)，

故選：C.

5.《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題：今三人共車，兩車空；二人共車，九人步.問：人與車各幾何？其大意

是：現(xiàn)有若干人和車，若3人坐一輛車，則空余兩輛車；若2人坐一輛車，則有9人步行，問：人與車各

多少？設(shè)車有x輛，人有y人，則可列方程組為（）

3x+2=y3（x-2）=y3（尤+2）=y3x-2=y

A.c.D.

2x+9-y2x+9=y2x-9=y2x-9-y

【答案】B

【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題

的關(guān)鍵.根據(jù)“若每3人坐一輛車，則有2輛空車；若每2人坐一輛車，則有9人需要步行”，即可得出關(guān)于

x,y的二元一次方程組，此題得解.

3（x-2）=y

【詳解】解：根據(jù)題意，得

2x+9=y

故選：B.

6.如圖，一條光線經(jīng)平面鏡的反射光線2C經(jīng)凹透鏡折射后，其折射光線的反向延長線過凹透鏡的

一個焦點片.已知光線N2的入射角為45。，反射光線8c與折射光線。的夾角488=155。，則光線CD與

光線48所夾的銳角為（）

C.35°D.25°

【答案】A

【分析】本題主要考查了物理知識、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)等知識點，掌

握三角形的相關(guān)性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

如圖：延長45,DC相交于點E,由題意可得：AHBC=AABH=ACBG=AEBG=45°,由鄰補(bǔ)角的定義可

得NBCE=25°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得ZBGE=70°,再最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得NBEG即可.

【詳解】解：如圖：延長48DC相交于點E,

由題意可得：NHBC=NABH=NCBG=NEBG=450,

,/ZBCD=155°,

：.NBCE=180°-ZBCD=25°,

，ZJ3GE=ZBCE+ZCBG=70°,

,/NBGE+ZEBG+ZEBG=180°,

NBEG=180°-NBGE-NEBG=65°.

故選A.

7.物理學(xué)知識表明，在液體深度一定時，液體壓強(qiáng)與液體密度有關(guān)，液體密度越大，液體壓強(qiáng)越大.小文

用如圖1的裝置探究兩種液體壓強(qiáng)與液體深度關(guān)系時，畫出了如圖2所示的圖象.根據(jù)圖象，兩種液體的

密度與。2的大小關(guān)系為（）

D.px>p2

【答案】A

【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象和物理知識，正確從函數(shù)圖象上獲取所需信息成為解題的關(guān)鍵.

由圖1可知液體1的壓強(qiáng)大，然后根據(jù)在液體深度一定時，液體壓強(qiáng)與液體密度有關(guān)，液體密度越大，液

體壓強(qiáng)越大解答即可.

【詳解】解：由圖1結(jié)合物理知識可得：液體1的壓強(qiáng)大，

:在液體深度一定時，液體壓強(qiáng)與液體密度有關(guān)，液體密度越大，液體壓強(qiáng)越大，

Px>P1.

故選A.

8.已知拋物線>="2+6—2（awo）且Q,b都是常數(shù)，經(jīng)點（2,-2）,且對于符合-1<%<0,3<馬<4的任

意實數(shù)為戶2,其對應(yīng)的函數(shù)值月,刈始終滿足.以%<0,則拋物線頂點的縱坐標(biāo)為（）

2

AD.——

-4-I3

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，能夠理解題意，明確拋物線經(jīng)過點

(-1,0)和(3,0)是解題的關(guān)鍵.拋物線經(jīng)過點(2,-2)和(0,-2),則該拋物線的對稱軸為直線x=l.根據(jù)題意

可知弘<0,%>0.拋物線經(jīng)過點(-1,0)和(3,0),不妨設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

2

y="(x+l)(x-3),代入(0,-2)求得進(jìn)一步即可求得頂點的縱坐標(biāo).

【詳解】解：在二次函數(shù)了="2+隊-2(。/0)中，令x=0,得y=-2,

該拋物線經(jīng)過點(2,-2)和(0,-2),

該拋物線的對稱軸為直線x=1.

點(7,0)關(guān)于該對稱軸對稱的點的坐標(biāo)是(3,0).

當(dāng)。<0時，如圖，

則乂<0,%<0，

，必”>0,不符合題意，舍去；

當(dāng)a>0時，

對于符合T〈項<0,3<%<4的任意實數(shù)X],x2,其對應(yīng)的函數(shù)值必，為始終滿足必為<0，

如圖,

???拋物線交了軸的負(fù)半軸,

.,.必<0,y2>0.

該拋物線經(jīng)過點(-1,0)和(3,0).

不妨設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x+l)(x-3).

代入(0,-2),得-2=ox(0+l)x(0-3),

2

解得。=§，

2

>=3(x+l)(x-3),

9o

.?.當(dāng)X=1時，^=-x(l+l)x(l-3)=--,

故選：A.

第n卷

二、填空題(本大題共10個小題，每小題3分，共30分)

9.在函數(shù))中，自變量X的取值范圍是__.

A/X-2025

【答案】x>2025

【分析】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，利用被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分母不等于零是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分母不等于零，即可求解.

【詳解】解：由題意得：x-2025>0,

解得：x>2025,

故答案為：x>2025.

10.若a-b=2,貝!J/-/-46=.

【答案】4

【分析】本題考查了分解因式，熟練掌握平方差公式進(jìn)行分解因式是解題的關(guān)鍵.

利用平方差公式和已知條件代入計算即可.

【詳解】解：；叱6=2,

/./-〃-46=（a+b）（°-6）-4b

=2（a+b）—4b

=2a+2b-4b

=2a-26

=2（a-6）

=2x2=4,

故答案為：4.

11.2025年中央廣播電視總臺《2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會》的收視情況非常出色，多項數(shù)據(jù)創(chuàng)下新高.截至1

月29日2時，總臺春晚全媒體累計觸達(dá)16800000000人次，將16800000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：.

【答案】1.68xl（y。

【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO”的形式，其中

1W忖＜1°，〃為整數(shù)即可求解，解題的關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

【詳解】解：16800000000=1.68x101°,

故答案為：1.68x101°.

12.已知扇形的圓心角為120。，面積為37tcm2,則該扇形的半徑為cm.

【答案】3

【分析】本題考查了扇形的面積.根據(jù)扇形的面積公式直接進(jìn)行計算.

【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為Rem,

則毀三3萬，

360

解得：R=3（負(fù)值舍去），

故答案為：3.

13.若關(guān)于尤的一元二次方程/+2x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)。的值為.

【答案】1

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式求參數(shù)，理解一元二次方程兩個相等的實數(shù)根的含義，掌握

根的判別式的計算是關(guān)鍵.

根據(jù)A=b2-4ac=0,方程有兩個相等的實數(shù)根即可求解.

【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程/+2x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，

，A=4-4c=0,

解得，c-\,

故答案為：1.

14.如圖，在a/BC中，AB=AC,ZA=120°,分別以點A、C為圓心，大于工/C的長為半徑作弧，兩

2

弧相交于點P和點0,作直線尸。，分別交2C、/C于點。和點E.若CD=3,則2。的長為.

【分析】連接4D，如圖，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算出N2=NC=30。，再由作法

得DE垂直平分/C,所以“1=。。=3,所以/￡MC=/C=30。，從而得到乙相。=90。，然后根據(jù)含30度

角的直角三角形三邊的關(guān)系求8。的長.

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和

等腰三角形的性質(zhì).

/B=NC=30°,

由作法得OE垂直平分NC,

DA=DC=3,

：.ZDAC=ZC=30°,

Z8AD=120°-30°=90°,

在中,

???25=30°,

BD=2AD=6.

故答案為：6.

15.如圖，圖1是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)“害U補(bǔ)術(shù)”運用數(shù)形關(guān)系證明勾股定理時的青朱出入圖，圖中的兩

個青入的三角形分別與兩個青出的三角形全等.朱入與朱出的三角形全等，標(biāo)上字母繪成圖2所示，若記

朱方對應(yīng)正方形GZV的邊長為°,青方對應(yīng)正方形N3C。的邊長為6,已知6-°=3,a2+b2=29,則圖2

中的陰影部分面積為

【答案】10

【分析】解答本題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理解決問題.根據(jù)題意可得A0C也ASM可以求出

9

S&UC~S4KAM，即可得到圖2中的陰影部分面積為邑GDC+，4BCM用a,6表示后計算即可.

【詳解】解：：朱方對應(yīng)正方形GZU”的邊長為a,青方對應(yīng)正方形N5CZ）的邊長為6,

/.GD=GH=a,CD=BC=b,

???朱入與朱出的三角形全等，

：.AFNK烏AGHI,

：.FN=GH=a,

???兩個青入的三角形分別與兩個青出的三角形全等，

：.FN=GH=a,

??S.uc=S：，BM=FN=a,

陰影部分面積為S四邊形+S△KAM+SABCM

二S四邊形GZVZ+SJJC+S^BCM

二S四邊形GWZ+SNJC+S^BCM

=-DGCD+-BMBC

22

11

——ci7bH—ci7b

22

=ab,

\*b-a=3,a2+b2=29,

(-A

22

???陰影部分的面積為10.

故答案為：10.

16.如圖，將繞斜邊的中點。旋轉(zhuǎn)一定角度得到RSE4E,已知4C=6,BC=3,則

cosZCAE=.

4

【答案】I

【分析】連接EC,作再說明點N,E,C,B,尸共圓，進(jìn)而得出NE4C=,

ZAFE=ZACE,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得/E/C=/COM,接下來根據(jù)勾股定理求出N3,即可得

OC,再根據(jù)面積相等求出CH,結(jié)合題意說明四邊形是矩形求出。M,最后根據(jù)

cosNE4c=cosZCOM=卷得出答案.

【詳解】解：如圖所示，連接EC,作分別交于CE,O8點M,H,

OA=OB=OC=OE=OF,

???點4,E,C,B,尸共圓,

：.ZEAC=-ZEOCNAFE=NACE.

2f

?；OE=OC,OM【EC,

：./MOE=ZMOC,

：.ZEAC=ZEOM.

,:BC=3,AC=6,AACB=90°,

?**AB=,3、+6、=3V5，

.1_3V5

??L/C——JAD.D----?

22

CHLAB,

.…ACBC3x6675

..CH=---------=—==------

AB3755

由題意，/BAC=/F,

：.NBAC=NACE,

；?CE〃AB.

?：ZOMC=ZOHC=90°9

：.ZOMC=/CHO=/HOM=90°,

???四邊形OMC"是矩形，

：?OM=CH=^~,

5

6V5

OM^74

cosAEAC=cosZCOM=-----=1=—.

OC巫5

F

4

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，勾股定理，平行線的性質(zhì)和判定，矩

形的判定和性質(zhì)，根據(jù)各點共圓得出圓周角相等是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，E、尸在雙曲線＞="上，尸E交V軸于A點，AE=EF,軸于若凡“=2,則

X

k

【答案】-8

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，連接尸。，根據(jù)邑=2,AE=EF,可知s“尸M=4,

根據(jù)RWLx軸于可得S/FM=S，OMF=4,根據(jù)三角形的面積公式可得NXM0=8,又因為反比例函

數(shù)的圖象在第二象限，所以上=-8.

【詳解】解：如下圖所示，連接廠。，

??.S.ME=2,AE=EF,

-v—4r

,?一乙Q4ME，

?.,FA/_Lx軸于河,

.?■口軸，

…?QV&AFM-=QQ&OMF=—4r，

即'FA/xMO=4,FMxMO=8，

2

又???點尸在雙曲線夕=幺上，

x

:.k=—8.

故答案為：-8.

18.如圖，在邊長為6的等邊△45。中，點P是△45。內(nèi)一點，過點P作依，力3,PELBC,

PF1AC,垂足分別為。，E,F,連接/P,若PE'PDPF，則心的最小值為.

A

F

1

BE°

【答案】2百

【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識，先判斷出當(dāng)/P18C

時，4P取得最小值，求出AE7AB—BE?=3日利用角平分線的性質(zhì)得到尸尸=9，推出尸E=

談PE=PD=x,貝|/尸=/月一尸￡=3百一苫，證明A4DPSA/￡2,貝g絲=空，得到土=拽二，求解即

BEAB36

可.

【詳解】解：連接/￡,則：AP>AE-PE,

二當(dāng)4尸,￡三點共線時4P=4E■-尸E,最小,

???垂線段最短，

二當(dāng)NE_LBC時，的取得最小值，如圖，

,/△48C為等邊三角形，

AB=AC=BC=6,

AE上BC,

：.BE=CE=-BC=3,/BAE=ZCAE,

2

***AE=NAB?-BE?=3A/3，

PD1AB,PFVAC,

：.PD=PF,

PE2=PDPF,

???PE2=PD2^

：.PE=PD,

設(shè)PE=PD=x,則=—P￡=3G—x,

ZADP=AAEB=90°,/DAP=/EAB,

/.AADPSAAEB,

.PD_AP

??茄—I?'

.x_3A/3-x

??一=-----,

36

解得X-y/3>

:.AP=3亞-C=2拒,

故答案為：2百.

三、解答題(本大題共10個小題，共96分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

19.(8分)(1)計算(7i-l)°+4sin45。一瓜+卜3|.

..e/—4(21)

(2)化間：———十|-------

cr-a\aa-lJ

【答案】(1)4(2)a+2

【分析】本題考查特殊角三角函數(shù)值的混合運算，分式的混合運算:

(1)先化簡各數(shù)，再進(jìn)行加減運算即可；

(2)先通分計算括號內(nèi)，除法變乘法，約分化簡即可.

【詳解】解：(1)原式=1+4*也一2后+3=1+20—2亞+3=4；

2

(Q+2)(Q-2)2a—2—a

(2)原式=

Q(a-1)

(Q+2)(Q-2)-1)

a-2

=a+2.

3（x+2）>2x+5

20.（8分）解不等式組并把解集在數(shù)軸上表示：、3x+l、

2x----------<2

I2

【答案】-l<x<5,數(shù)軸表示見解析

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，正確求出每個不等式的解

集進(jìn)而求出不等式組的解集是解題的關(guān)鍵.先分別求出每個不等式的解集，再根據(jù)夾逼原則求出不等式組

的解集，最后在數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可.

3（x+2）>2x+5@

解不等式①得：x>-l,

解不等式②得：x<5,

不等式組的解集為：-l4x<5

在數(shù)軸上表示不等式組的解集為:

IIIIIl.lIIIIII?

-7-6-5-4-3-2-101234567

21.（8分）為了解學(xué)生的安全知識掌握情況，某校七、八年級舉辦了安全知識競賽.所有學(xué)生的成績分為

優(yōu)秀、良好、及格、不及格四個等級，將優(yōu)秀、良好、及格、不及格分別記為20分，16分，12分和8分.現(xiàn)

分別從七、八年級各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的競賽成績進(jìn)行統(tǒng)計，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖：

七年級學(xué)生得分情況八年級學(xué)生得分情況

兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及優(yōu)秀率如表所示:

年級平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）優(yōu)秀率

七年級14.416b20%

八年級a121230%

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)上述圖表中。,b=；

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生的安全知識競賽成績更好？并說明理由；

(3)若該校七年級共有學(xué)生420人，請估計該校七年級成績不低于16分的學(xué)生人數(shù).

【答案】(1)14.4,16

(2)答案不唯一，見解析

(3)231人

【分析】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、優(yōu)秀率以及樣本估計總體，掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算

方法和意義是正確解答的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)的計算方法進(jìn)行計算即可；

(2)比較平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率得出答案；

(3)求出七年級不低于16分的人數(shù)所占的百分比即可解答.

【詳解】(1)解：由扇形統(tǒng)計圖可得。=8X10%+12X50%+16X10%+20X30%=14.4(分)，

由條形統(tǒng)計圖知七年級16分出現(xiàn)的次數(shù)最多，

.,.6=16.

故答案為：14.4,16；

(2)解：七年級學(xué)生的安全知識競賽成績更好，理由如下：

因為兩班平均數(shù)相同，而七年級的中位數(shù)和眾數(shù)均高于八年級，

所以七年級學(xué)生的安全知識競賽成績更好；

或八年級學(xué)生的安全知識競賽成績更好，理由如下：

因為兩班平均數(shù)相同，而八年級的優(yōu)秀率高于七年級，

所以八年級學(xué)生的安全知識競賽成績更好；

7+4

(3)解：420x^-^231(人)，

答：估計該校七年級成績不低于16分的學(xué)生人數(shù)為231人.

22.(8分)2025春晚宛如一座絢麗的文化寶庫，向世人展示了眾多精美絕倫、承載著深厚歷史底蘊的非物

質(zhì)文化遺產(chǎn)手工藝品.以下是幾種手工藝品的圖片：A.濰坊風(fēng)箏；B.東明糧畫；C.青神竹編；D.延安

剪紙.

A.濰坊風(fēng)箏B.東明糧畫C.青神竹編D.延安剪紙

（1）小樂從這四幅圖中隨機(jī)選擇一幅，恰好選中“C背神竹編”的概率是.

（2）小樂和小歡分別從這四幅圖中任選一幅，用于宣傳脊晚中的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，請用畫樹狀圖或列表的方

法分析，兩人恰好選中同一幅圖片的概率.

【答案】⑴:

【分析】本題考查了概率公式，用列表非或畫樹狀圖法求概率，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中恰好選中“C背神竹編”的結(jié)果有1種，根據(jù)概率公式計算即

可；

（2）列表得出所有等可能的結(jié)果以及兩人恰好選中同一幅圖的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計算即可.

【詳解】（1）解：由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中恰好選中“C.背神竹編”的結(jié)果有1種，

???小樂從這四幅圖中隨機(jī)選擇一幅，恰好選中“c.背神竹編”的概率是:；

（2）解：列表如下，

ABcD

A(4/)()⑻(40（4。）

B(瓦⑷（B,B）（8，C）(BQ)

C(")S)(c?(CQ)

D(")(D,B)(%)(D,D)

共有16種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好選中同一幅圖的結(jié)果有4種,

41

兩人恰好選中同一幅圖的概率為—

164

23.（10分）如圖，在平行四邊形48。中，邊AB的垂直平分線交4D于點。，交C8的延長線于點E,

連接/E.

(1)求證：EB=BC.

(2)試判斷四邊形AEBD的形狀，并說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)四邊形/E8D是菱形，見解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定等知識，理解并掌握

平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得=進(jìn)而可得/D4尸=4砥尸，再結(jié)合垂直平分線的

性質(zhì)證明AF=FB,ZAFD=NBFE,可證明AADF咨ABEF(ASA),結(jié)合全等三角形的性質(zhì)即可獲得答案；

(2)首先證明四邊形/EAD是平行四邊形，再結(jié)合“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)證明：：四邊形N5CD是平行四邊形，

AD//BC,AD=BC,

ZDAF=ZEBF,

：DE是的垂直平分線，

/.AF=FB,ZAFD=ZBFE,

:.AADF知BEF(ASA),

：.AD=BE,

：.EB=BC；

(2)四邊形/助。是菱形；理由如下：

?/AD//BC,AD=EB,

二四邊形NEBO是平行四邊形，

。石是的垂直平分線，

DA=DB,

二四邊形是菱形.

24.(10分)隨著科技與經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，機(jī)器人自動化線的市場越來越大，并且逐漸成為自動化生產(chǎn)線的主要

方式；某化工廠要在規(guī)定時間內(nèi)搬運4800千克化工原料，現(xiàn)有4,3兩種機(jī)器人可供選擇，已知N型機(jī)器

人每小時完成的工作量是8型機(jī)器人的1.5倍,/型機(jī)器人單獨完成所需的時間比8型機(jī)器人少10小時.求

兩種機(jī)器人每小時分別搬運多少千克化工原料？

【答案】A型機(jī)器人每小時搬運240千克化工原料，B型機(jī)器人每小時搬運160千克化工原料

【分析】題目主要考查分式方程的應(yīng)用，理解題意列出方程是解題關(guān)鍵.

設(shè)3型機(jī)器人每小時搬運x千克化工原料，則/型機(jī)器人每小時搬運L5x千克化工原料.根據(jù)Z型機(jī)器人

單獨完成所需的時間比8型機(jī)器人少10小時建立方程求解.

【詳解】解：設(shè)8型機(jī)器人每小時搬運x千克化工原料，則/型機(jī)器人每小時搬運1.5x千克化工原料.

根據(jù)題意，得：^=--io

解之得：x=160

檢驗：當(dāng)x=160時，L5xw0,且符合試題題意；

所以，原分式方程的解為x=160,

所以，160x1.5=240(千克)，

答：A型機(jī)器人每小時搬運240千克化工原料，B型機(jī)器人每小時搬運160千克化工原料.

25.(10分)如圖，為。。的直徑，NC為。。的弦，4D平分交0。于點。，DE1AC,交

/C的延長線于點E.

(1)求證：直線DE是。。的切線；

(2)若4E=8,。。的半徑為5,求。E的長.

【答案】(1)見解析

(2)。￡=4

【分析】本題考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)

性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)先連接8,結(jié)合角平分線的定義以及等邊對等角，得出￡山|。。，再根據(jù)OE//C,即可作答.

(2)先作。尸_L4B,垂足為尸，運用AAS證明△胡。也△E4。，再運用勾股定理算出，即可作答.

【詳解】(1)解：連接8,如圖1所示:

AD平分2氏4。

?「OA=OD,

NODA=ZOAD,

/./ODA=ZEAD,

:.EA\\OD,

?「DELEA,

DELOD,

???點。在。。上，

???直線。石是。。的切線；

(2)解：作垂足為尸，如圖2所示:

在AEAD和LFAD中,

ZDFA=ZDEA

<ZEAD=/FAD,

AD=AD

:AEAD%FAD（AAS）,

AF=AE=8,DF=DE,

OA=OD=5,

:.0F=3,

在尸中，DF=yj0D2-0F2=752-32=4，

DE=DF=4.

26.(10分)圖①、圖②、圖③均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，△NBC的頂點均在

格點上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡.

(2)在圖②中，在NC邊上找到一點E,連接3E,使工被：S段廢=2：3.

(3)在圖③中，在邊上找到一點尸，連接CF,使tanNNCP=；.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)取3c的中點。，連接即可.

(2)取格點N,使4M=2,CN=3,AM//CN,連接MV交/C于點￡,則點E即為所求.

(3)取格點G,使4C=/G,ACLAG,取/G與網(wǎng)格線的交點4,連接CW交于點尸，則點尸即為

所求.

【詳解】(1)解：如圖①，NO即為所求.

圖①

(2)解：如圖②，取格點M,N,使/"=2,CN=3,AM//CN,連接MN交NC于點￡,連接BE,

圖②

則AAEMSKEN,

.4EAM_2

一~CE~~CN~3"

，"SA*BE?'ABCE=2,3,

則點E即為所求.

(3)解：如圖③，取格點G,使/C=/G,ACLAG,取ZG與網(wǎng)格線的交點A,

AHAH1

即nn——=——=-

AGAC4

連接C"交45于點尸，

:.tanZACF=-,

4

則點尸即為所求.

【點睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖、三角形的中線、相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知

識，熟練掌握相關(guān)知識點是解答本題的關(guān)鍵.

27.（12分）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個點的橫、縱坐標(biāo)之和為2,則稱該點為“基準(zhǔn)偶和

點例如：（1,1）、（-2,4）、（6,-4）都是“基準(zhǔn)偶和點”.

（1）下列函數(shù)圖象上只有一個“基準(zhǔn)偶和點”的是；（填序號）

21

①y=2x+l?y=一③＞=一%+1@y=x2+3x+6

X

（2）在反比例函數(shù)y=土上的圖象上有且只有一個“基準(zhǔn)偶和點”，求反比例函數(shù)〉=-的解析式；

XX

（3）已知拋物線y=公+爾+〃（優(yōu)、"均為常數(shù)）與直線y=x+4只有一個交點，且該點是“基準(zhǔn)偶和點,,，

求拋物線的解析式；

（4）拋物線y=af+6x+3（a、6均為常數(shù)，。＞0）的圖象上有且只有一個“基準(zhǔn)偶和點”，令

w=b2-6b+4a,是否存在一個常數(shù)"使得當(dāng)tVbV+1時，卬有最小值恰好等于T,若存在，求出/的值,

若不存在，請說明理由.

【答案】（1）①④

（2）y=：

（3）歹=+3]+5

（4）-1或1

【分析】（1）利用“基準(zhǔn)偶和點”的概念作答即可；

k

（2）依題意得方程組/x只有一組解，繼而推出必―2x+左=0有兩個相等的實數(shù)根，利用根的判別

y=2-x

式即可得出答案；

（3）由題意得/+（加-1）%+"-4=0,得=4（〃一4）,由拋物線了=產(chǎn)+拓%+〃（加、〃均為常數(shù)）

與直線了=尤+4只有一個交點，且該點是“基準(zhǔn)偶和點”，列立方程組求解即可；

（4）拋物線y=a/+6x+3（a、b均為常數(shù)，。＞0）的圖象上有且只有一個“基準(zhǔn)偶和點”，可得

2

A=（/,+l）-4fl=0,進(jìn)而可得w="一66+40,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】（1）解：依據(jù)“基準(zhǔn)偶和點”定義知：y=2-x,

y=2x+l

①聯(lián)立得:

y=2-x

x=—

解得：

，直線y=2x+l只有一個，基準(zhǔn)偶和點”;

_21

②聯(lián)立得：卜”=工，

??x2—2x+21=0,

VA=(-2)2-4x1x21=-80<0,

方程/一2尤+21=0無實數(shù)I艮,

...此方程組無解；

[y=-x+1

③聯(lián)立得：.c，

[y=2-x

此方程組無解；

y=f+3x+6

④聯(lián)立得:

y=2r

解得:

函數(shù)圖象上只有一個“基準(zhǔn)偶和點”的是①④,

故答案為：①④；

(2)依據(jù)“基準(zhǔn)偶和點”定義知：y=2-x,

_k

聯(lián)立得：r，

k

-=2-x,即％2-2x+左=0,

.在反比例函數(shù)＞=&上的圖象上有且只有一個“基準(zhǔn)偶和點”,

A=(-2)2-4xlx)t=0,

...反比例函數(shù)的解析式為y=L

X

(3)依據(jù)“基準(zhǔn)偶和點”定義知：y=2-x,

y=x+4

聯(lián)立得:

y=2-x

x=-l

解得:

)二3

???拋物線歹=工2+3:+〃（加、〃均為常數(shù)）與直線V=x+4只有一個交點，且該點是“基準(zhǔn)偶和點”,

3=(-l)2—m+n,即1一冽+〃=3,

:?〃二加+2,

y=x2+mx+(m+2),

y=x+4

聯(lián)立得:

y=x2+mx+(<m+2y

x2+fflx+(m+2)=x+4,

gpx2+(m-l)x+(m-2)=0,

A=m—l)2—4(m—2)=0

解得：m1=m2=3,

I.〃=3+2=5,

???拋物線的解析式為歹=V++5；

（4）依據(jù)“基準(zhǔn)偶和點”定義知：y=2-xf

y=ax2+for+3

聯(lián)立得:

y=2-x

***ax2+bx+3=2—Xf即〃x?+(b+l)x+l=°,

...拋物線了="2+區(qū)+3（a、6均為常數(shù)，。＞0）的圖象上有且只有一個“基準(zhǔn)偶和點”,

.?.△=(6+1)2—4a=0,即(6+l)2=4a,

??.w=〃-6b+4Q=〃—6b+(b+l『=2/-4b+l=2(b-,

①當(dāng)E+1V1時，即區(qū)0時，w在b=，+l時取得最小值,

Z.2(?+l-l)2-l=-Z

解得：/=-1或y;（舍去）；

②當(dāng)"1W/+1,W在6=1時取得最小值，

—1=—tf即％=1;

③當(dāng)此1時，W在6時取得最小值，

.-.2（f-l）2-1=-?,

解得:f=l或/==（舍去），

2

綜上所述，，的值為-1或1.

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，點的坐標(biāo)和二次函數(shù)的最

值，新定義“基準(zhǔn)偶和點”的理解和運用，能夠根據(jù)題干當(dāng)中的定義靈活運用二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)

鍵.

28.（12分）如圖，四邊形4BCD,AB=AD=BC=DC,ZA=ZABC=NADC=NC,￡、/分別為48、BC

上的動點.

⑵如圖2,已知：AD=b,AE=BF；求：當(dāng)