專題3圓中的重要模型之圓幕定理模型

圓哥定理是一個總結(jié)性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家施泰納CSteiner）或者法國數(shù)學(xué)家普朗克雷

（Poncelet）提出的。圓幕定理的用法：可以利用圓幕定理求解與圓有關(guān)的線段比例、角度、面積等問題。

模型1.相交弦模型

條件：在圓。中，弦AB與弦C。交于點E,點E在圓。內(nèi)。

結(jié)論：ACAE-ABDEP—=_PEC?EDEB?EA。

EBED

例1.（2023?江蘇無錫?校聯(lián)考三模）如圖，點A,C,D,8在。。上，AC=BC,ZACB=90°.若CD=4,

tanZCBD=1,則的長是.

【答案】872

【分析】如圖，連接A3,設(shè)ABIC交于點E,根據(jù)題意可得A3是。。的直徑，ZADB=90°,設(shè)AC=7〃,

證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，分別表示出4瓦網(wǎng)）,根據(jù)Rt^ABC,勾股

定理求得加=4正，根據(jù)AD=AE+ED即可求解.

【詳解】解：如圖，連接設(shè)ADIC交于點E,

I3ZACB=9O。..AB是0。的直徑，:.ZADB^9Q°,；tan/C3D=g,.,.器=；,

在RtADEB中，BE=y/DE2^DB2=^10DE

..CD=CD'/CBD=ZACD,「tanZCAD=；CE1

AC-3

12.?0=巫吟獨L,

設(shè)AC=m則CE=—m,>/AC=BC,EB=—m,

331030

AE=y]AC2+CE2=

RtAACE中，

AD=AE+ED=^^-m+—m=

|-V10m,?:DB=DB，,\ZECD=ZEAB^

303

1

m

CDCE31「

又/CED=NAEB,,?.△CED^AAEB益=瓦=邁=莉，.??8=4,；.AB=4師,

3

,/AC=BC=m,AB=-Jim，y[2m=4A/10,解得m=4百，

AD=|VWm=|A/10X4A/5=872,故答案為：872.

【點睛】本題考查了90。圓周角所對的弦是直徑，同弧所對的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)

與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?山東濟(jì)寧一模）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于回。，點。為AC上的動點（點A、C

除外），8。的延長線交回。于點E,連接CE.（1）求證△CEDsAa4o；⑵當(dāng)PC=2AP時，求CE的長.

【答案】⑴見解析⑵

【分析】（1）根據(jù)同弧所對圓周角相等可得NA=NE,再由對頂角相等得/瓦加=/。?！?故可證明緒論;

（2）根據(jù)8=24>可得">=2,。=4,由^（7即6454￡）可得出8￡）呼；=8,連接4￡,可證明

△AB44EBA，得出4笈=8。郃E=BQ2+B0郃E,代入相關(guān)數(shù)據(jù)可求出2。=2近，從而可求出緒論.

【詳解】(1)EIBC所對的圓周角是NAZE,0ZA=Z￡，,又NBDA=NCDE,3/\CED^ABAD■,

(2)EBA8C是等邊三角形，QAC=AB=BC=6

^\DC=2AD,[?]AC=3AD,BAD=2,DC=4,

AADBDAB2BD八八八廠

團(tuán)ACED?ABAD,團(tuán)——=——=——，回——二——，團(tuán)5。￡）￡=8o;

DECDCEDE4

連接4E,如圖，0AB=BC,0AB=BC^S\BAC=ABEA,

y^\ABD=ZEBA,團(tuán)團(tuán)AB。?AEA4,回一=一,

BEAB

SAB2=BDBE=BD-（BD+DE）=BD2+BDDE,

062=BZ）2+8,?BD=2幣（負(fù)值舍去）0—=,解得，CE=—y/y

CE47

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形和判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

例3.（2023?江西宜春?統(tǒng)考模擬預(yù)測）閱讀與思考：九年級學(xué)生小剛喜歡看書，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突

然看到某本數(shù)學(xué)書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等）,

⑵小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2,AB是的弦，P是AB上一點，AB=10cm,m=4cm,OP=5cm,

求。。的半徑.

O

B

圖2

CP

【答案】（1）有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；—；（2）7cm

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）延長。尸交圓。于點延長P。交圓。于點E

設(shè)圓。的半徑為rem,則尸尸=（5+r）cm,PL>=（r-5）cm,根據(jù)（1）中結(jié)論代入求解即可.

【詳解】（1）連接AC,BD.EIZC=Z5,ZA=ZD.

團(tuán),（有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）

APCP

0—=—,^APBP=CPDP,團(tuán)兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等.

CP

故答案為：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；—;

Dr

（2）延長。尸交圓。于點。，延長尸。交圓。于點兄

設(shè)圓。的半徑為rem,則尸尸=（5+廠）加，PZ）=（r-5）cm,

根據(jù)（1）中結(jié)論得APaP=_DPFP,即為4x（10—4）=（r+5）（r-5）,

解得：r=7或廠=-7（不符合題意，舍去），。。的半徑為7cm.

【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的相交弦定理等，理解題意，熟練掌握運用圓的相交

弦定理是解題關(guān)鍵.

模型2.雙割線模型

c

條件：如圖，割線CH與弦C尸交圓。于點E和點G。

結(jié)論：ACEG-ACHFP—=—PEC?FCGC2HC

CHCF

例1.（2023?遼寧葫蘆島?一模）已知：如圖，PAB,尸CO是回。的割線，PA=4cm,AB=6cm,CD=3cm.

則PD=cm.

例2.（2023?四川成都?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AW為0。的割線，且上4=AB=3,P。交。。于點C,

若PC=2,則。O的半徑的長為.

【答案】|7

【分析】延長尸。交圓于點連接AC、BD,由圓內(nèi)接四邊形內(nèi)對角互補(bǔ)性質(zhì)可得4+NACD=180。,

PApc

結(jié)合鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得NACP=NB，繼而證明APACSAPDB,由相似三角形對應(yīng)邊成比例解得而=再，

由此計算產(chǎn)。=9,最后根據(jù)線段的和差解題即可.

【詳解】如圖，延長尸。交圓于點。，連接AC、BD,

四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形，EZB+ZACZ）=180°.

0ZACD+ZACP=180°,BZACP=ZB,0ZP=ZP,^^PAC^APDB,

PAPC

回---=---，0PDx2=3x6>PD=9,

PDPB

77

^\CD+PC=PD,08=9—2=7,El半徑為彳，故答案為：

【點睛】本題考查圓的內(nèi)接四邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)

知識是解題關(guān)鍵.

例3.（2022?河南洛陽?統(tǒng)考一模）我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.當(dāng)直線與圓有

兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線.割線也有一些相關(guān)的定理.比如，割線定

理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等.下面給出了不完整的定理"證

明一"，請補(bǔ)充完整.

已知：如圖①，過。。外一點尸作O。的兩條割線，一條交。。于A、8點，另一條交O。于C、D點、.

求證：PAPB=PCPD.

證明一：連接AD、BC,

團(tuán)—A和NC為8。所對的圓周角，0.

X0ZP=ZP,0,0.

即PAPB=PCPD.

研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接AC、BD,即可得到學(xué)習(xí)過的圓內(nèi)接四邊形ABDC.那么或許割線定理也

可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來證明.請根據(jù)提示，獨立完成證明二.

證明二：連接AC、BD,

Apr）p

【答案】證明一：ZA=ZC,AADPBIACBP,——=—；證明二見解析

CPBP

【分析】（1）證明△ADP回ACBP即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得=進(jìn)一步證明

【詳解】解:證明一：連接AD、BC,

團(tuán),A和/C為3。所對的圓周角，0ZA=ZC.

APDP

又回NP=/P,HAADPHACBP,0—=—.EPPAPB=PC-PD.

-CPBP

APDP

故答案為：ZA=ZC,AAD尸回ACBP,

~CP~1BP

證明二：連接AC、BD,

回四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形，HZABD+ZACD=180°,

又IBZABD+ZPBD=180°,0NPBD=ZACD,

APCP

又?NP=ZP,EAACP0AZ）BP,0—=——，HPPAPB=PCPD.

DPBP

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

模型3.切割線模型

條件：如圖，C8是圓。的切線，CA是圓。的割線。

結(jié)論：ACBD?ACAB①—=—I>CB2=CD2CA

CACB

例:1.（2023?江蘇南通?中考模擬）如圖，已知上4是0。的切線，A為切點，PC與相交于c兩點,

PB=2cm,5C=8cm,則上4的長等于（）

A.4cmB.16cmC.20cmD.2如cm

【答案】D

【分析】根據(jù)已知得到PC的長，再根據(jù)切割線定理即可求得出的長

【詳解】解：回P3=2cm,5C=8cm,0PC=lOcm,

0PA2=PB?PC=2O,E1PA=2如，故選。.

【點睛】本題是對圓知識的綜合考查，熟練掌握圓及相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

例2.（2023,河南鄭州?一模）復(fù)習(xí)鞏固，切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把

這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.

割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線.

切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.

閱讀材料：《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面

幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓幕定

理（切割線定理）內(nèi)容如下：

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

為了說明材料中定理的正確性，需要對其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的"已知"和"求證"，請補(bǔ)充完整,

并寫出證明過程.

己知：如圖，A是回。外一點，.

求證：.

【答案】是回。的切線，直線AC。為回。的割線，AB2=AC?AD,見解析

【分析】按照題設(shè)要求，寫出"已知"和"求證"，然后證明EABOfflADB,即可求解.

【詳解】解：（已知：如圖，A是國。外一點，）是回。的切線，直線為回。的割線.

求證：AB2=AC?AD.

故答案為：A2是回。的切線，直線ACD為回。的割線，AB2^AC?AD,

證明：連接8D,連接80并延長交回。于點E,連接CE,

A

0AB是回。的切線，0EL4BC+fflCBE=9Oo,EIBE是圓的直徑，0EIBCE=90°=SE+SCBE,

EBABC=EIE,而EIE=EICDB,0EL4BC=0B￡>C,

A5AC

^EBAC^DAB,EEL4BC13EADB,0一=一，SiAB2=AC?AD.

ADAB

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

例3.（2022?河南駐馬店,?？级＃┰跀?shù)學(xué)課上，當(dāng)老師講到直線與圓的位置關(guān)系時，張明同學(xué)突發(fā)奇想,

特殊線與圓在不同的位置情況下會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》,

這本書是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，

被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓幕定理（切割線定理）

內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長比例

中項.（比例中項的定義：如果。、b、c三個量成連比例即a:方=8:c,則〃叫做。和c的比例中項）

⑴為了說明材料中定理的正確性，需要對其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的"已知"和"求證"，請補(bǔ)充完整，

并寫出證明過程.已知：如圖，A是圓。外一點，A8是圓。的切線，直線ACD為圓。的割線.

求證:

證明：

（2）已知AC=2,CD=4,則A3的長度是.

【答案】（l）Ag2=AC.AO,證明見解析⑵

【分析】（］）根據(jù)比例中項的定義寫出“求證"，連接3。并延長交。。于點E,連接BC,B￡>,CE,先根據(jù)

圓的切線的性質(zhì)可得BELAB,再根據(jù)圓周角定理可得NBCE=90°,ZE=ZADB,從而可得？ABC?ADB,

然后根據(jù)相似三角形的判定證出^ABC~AADB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證;

（2）先根據(jù)線段和差求出AD=6,再根據(jù)（1）的結(jié)論即可得.

【詳解】（1）求證：AB2=ACAD.

證明：如圖，連接3。并延長交。。于點E,連接BC,BD,CE,

■.?AB是O。的切線，:.BE±AB,:.ZABC+ZEBC=90°,

由圓周角定理得：ZBCE=90°,ZE=ZADB,

:.ZADB+NEBC=NE+ZEBC=90°,:.ZABC=ZADB,

ZABC=ZADB

在AABC和AADB中,

ABAC=NDAB

A5AC

/.△ABC~^ADB,——=——,AB2=AC-AD.

ADAB

(2)解：vAC=2,CD=4,二.AD=AC+CD—6,

由(1)已證：AB2=ACAD,/.AB2=2x6=12,

解得=26或=百＜0（不符題意，舍去），故答案為：2G.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓的切線的性質(zhì)

和圓周角定理是解題關(guān)鍵.

模型4.弦切角模型

A

D

條件：如圖，CB是圓。的切線，48是圓。的直徑。

結(jié)論：1）KBDfCABb—=—PCB?=CD?CA；

CACB

21

2）ACBDfBADt*—=—PBD=AD2CD；3）ABAD~AC4BP—=—PBA=AD?AC

ADBDCABA°

例L（2023?河南三門峽?統(tǒng)考二模）小銳同學(xué)是一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好者，他在一本數(shù)學(xué)課外讀物上看到一個課

本上沒有的與圓相關(guān)的角一弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫

做弦切角），并嘗試用所學(xué)的知識研究弦切角的有關(guān)性質(zhì).

（1）如圖，直線A2與回。相切于C點，D,E為回。上不同于C的兩點，連接CE,DE,CO.請你寫出

圖中的兩個弦切角;（不添加新的字母和線段）

（2）小銳目測NOCB和/DEC可能相等，并通過測量的方法驗證了他的結(jié)論，你能幫小銳用幾何推理的方

法證明結(jié)論的正確性嗎？

己知：如圖，直線A3與回。相切于C點，D,E為圓上不同于C的兩點，連接CE,DE,CD.

求證：ZDCB=ZDEC.（3）如果我們把上述結(jié)論稱為弦切角定理，請你用一句話概括弦切角定理.

【答案】（1）NDCB,NECB,NDCA,ZECA（任意寫出兩個即可）；（2）見解析；（3）弦切角等于它所

夾的弧所對的圓周角

【分析】（1）根據(jù)弦切角的定義加以識別即可；（2）過點C作直徑CE連接?？捉柚谕∷鶎Φ膱A周

角相等，將SDEC轉(zhuǎn)化為團(tuán)尸，所以只需證SDCB=aF即可.（3）由題意可歸納：弦切角等于它所夾的弧所對

的圓周角.

【詳解】解：（1）弦C。、CE分別與切線CB構(gòu)成的弦切角為：SDC8,0ECB；

弦C。、CE分別與切線C4構(gòu)成的弦切角為：EDC4,SECA.

故答案為：NDCB,/ECB,NDCA,ZECA（任意寫2個即可）

（2）證明：過C作直徑CP,連接。尸.

EICP是。。直徑，EZFZ)C=90°.0ZF+ZFCD=90°.

又E1AB與。。相切于點C,SFC±AB.EZFCD+ZDCS=90°.SZDCB=ZF.

,：CD=CD,旦/F=/CED.RNDCB=NCED.

（3）弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理及推論、直角三角形的兩銳角互余等知識點，熟知上述

圖形的相關(guān)性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，對新定義的理解及問題的概括能力是關(guān)鍵.

例2.（2023?河南洛陽?統(tǒng)考三模）人類會作圓并且真正了解圓的性質(zhì)是在2000多年前，由我國的墨子給出

圓的概念："圓，一中同長也."意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等，這個定義比古希臘數(shù)學(xué)

家歐幾里得給圓下的定義要早100多年.與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一.我們把頂點

在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對

的圓周角度數(shù).

（1）如圖1,A3是。。的切線.點C,。在。。上.求證：/ADC=/C鉆；（2）如圖2,CE是。。的切線.連

接AE交。。于點。，A3為。。的直徑.若BC=2,。。的半徑為5,求。E的長.

【答案】⑴詳見解析（2）?！?；

【分析】（1）連接AO,并延長交。。于點連接CM,先證明NCM4=NC4B,再根據(jù)同弧或等弧所對

的圓周角相等得出NAT>C=NCM4,即可證明NADC=/C4B；（2）連接AC,CD,證明/54C=NC4E,

得出3C=CD=2,證明△DCEs△朋。，得出%=C2,即匹=2,求出結(jié)果即可.

BCAB210

【詳解】（1）證明：如圖，連接AO,并延長交于點連接CM,如圖所示：

團(tuán)AM是OO的直徑，0ZACM=90°,0ZCM4+ZA^4C=9O°,

團(tuán)A3是。。的切線，回NM4S=90。，團(tuán)NM4C+NC4B=90。，^\ZCMA=ZCABf

團(tuán)AC=AC，DC=NCMA,^\ZADC=ZCAB.

（2）解：連接AC,CD,如圖所示：

回A3是。。的直徑，回NAC3=90。，回N3+NB4C=90。，團(tuán)CE是的切線，回NOCE=90。，

團(tuán)CELAD,⑦ZAEC=ZACB=9。。,團(tuán)ZACE+NC4E=90。，

與（1）同理可得，ZACE=NB,ZDCE=ZCAE,^ABAC=Z.CAE,0BC=CD=2,

DECD

⑦/DCE=/BAC,ZACB=ZCED=90°EADCE^A^AC,0—=一,

fBCAB

DE22

0AB=1O,BC=CD=2,E-=——，SDE=~.

2105

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)定理，直徑所對的圓周角為

直角，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理.

例3.（2023?四川綿陽?九年級統(tǒng)考期中）定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切

⑴古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，全書共13卷，以第1卷的23個定義、5

個公設(shè)和5個公理作為基本出發(fā)點，給出了119個定義和465個命題及證明.第三卷中命題32一弦切角定

理的內(nèi)容是:"弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半,等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù).”

如下給出了弦切角定理不完整的"已知"和"求證"，請補(bǔ)充完整，并寫出"證明”過程.

已知：如圖2,AC為。O的切線，點A為切點，為0。內(nèi)一條弦，點。在。。上，連接OB,BD,

AD.求證：ABAC=ABDA.證明：

（2）如圖3,A3為。。的切線，A為切點，點C是。。上一動點，過點C作CDLAB于點8交。。于E,

連接OE,OC,AE.若AD=10,AE=2岳,求弦CE的長.

【答案】（1）見解析（2）21

【分析】（1）如圖2,延長AD交。。于E,連接BE,根據(jù)圓周角定理得到ZABE=90P,求得NE+NBAE=90。，

根據(jù)切線的性質(zhì)得到/C4E=90。，求得NC4B+Z&4E=90。，于是得到結(jié)論；（2）如圖3,連接AC,根據(jù)勾

股定理得到DE={AE。一ALP=4,據(jù)切線的性質(zhì)得至UZZME=ZDG4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：求證：ZCAB=-ZAOB=ZADB,

2

證明：如圖2,延長AD交于E,連接BE,

?.?AE是。。的直徑，：.ZABE=90°,:.ZE+ZBAE=90°,

?.,AC為。。的切線，:.ZCAE=9Q°,:.ZCAB+ZBAE=90°,

：.ZCAB=ZE,:.ZD=ZE=^ZAOB,ZCAB=|ZAOB=ZADB；即/&1C=N3Q4；

(2)如圖3,連接AC,-.-CD±AB,:.ZADE=90°,-.DE=ylAE2-AD2=4-

???AB為。。的切線，：.ZDAE=ZDCA,?ZADE=ZCDA,:./^DE^Z\CDA,

,ADDE.104〃一

??=,??-------=—,CE=21.

CDDA4+CE10

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

模型5.托勒密定理模型

條件：如圖，AB.CD是圓。的兩條弦；結(jié)論：AB?CDAD2BCAC2BD

例1.（2023?山西晉中?九年級統(tǒng)考期末）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：托勒密（尸加囪利）（公元90年?

公元168年），希臘著名的天文學(xué)家，他的著作《天文學(xué)大成》被后人稱為"偉大的數(shù)學(xué)書”，托勒密有時把

它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理.

托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和.

已知：如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于求證：ABCD+BCAD=ACBD

圖1圖2

下面是該結(jié)論的證明過程：

證明：如圖2,作=交BD于點E.

0A￡>-AD^^BE=ZACD（依據(jù)1）

A5BE

HAABE^AACD（依據(jù)2）0——=——^\ABCD=ACBE

ACCD

團(tuán)AB=AB0ZACB-ZADE

0ZBAE=ZCAD0ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC

即ABAC=ZEAD0Z\ABC^Z\AED

SADBC=AC-EDSABCD+AD-BC=AC（BE+ED）

SABCD+ADBC=ACBD

任務(wù)：（1）上述證明過程中的"依據(jù)1""依據(jù)2"分別是指什么？

依據(jù)1：,依據(jù)2：.

3

（2）如圖3,四邊形ABCD內(nèi)接于OO,AC為G>O的直徑，AD=5,tan/AC5=凌，點。為AC的中點,

圖3

【答案】（1）同弧所對的圓周角相等，兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（2）BD=1

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，相似三角形的判定即可解決問題.

（2）首先證明AC=5收，由托勒密定理，構(gòu)建方程求出3D即可.

【詳解】解：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1"是同弧所對的圓周角相等.

"依據(jù)2"是兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

故答案為：同弧所對的圓周角相等；兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

（2）團(tuán)AC為的直徑，SZABC=ZADC=90°,

國點。為AC的中點，AD=CD>0CD=AD=5,0在中，AC=^AD2+CD2=572

3

Eltan/AC3=—0在Rt^ABC中，AB=30,BC=4應(yīng)

4

AB-CD+AD-BC=AC-BD^3y/2x5+5x4^f2=5^/2-BD回3D=7

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù),

托勒密定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題.

例2.（2023?江蘇鹽城?九年級統(tǒng)考期中）【舊知再現(xiàn)】圓內(nèi)接四邊形的對角一.

如圖①，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，若AB=3￡>,ZABZ）=40。，則N3CD=_。.

【問題創(chuàng)新】圓內(nèi)接四邊形的邊會有特殊性質(zhì)嗎？

如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行深入研究發(fā)現(xiàn)：AB-CD+BC-DA=AOBD

證明：如圖③，作44E=/C4D,交BD于點E.

0ZBAE=ZCAD,ZABD=ZACD,^\ABE^\ACD,

回若=然即=（請按他們的思路繼續(xù)完成證明）

AC

【應(yīng)用遷移】如圖④，已知等邊AABC外接圓O。，點P為8C上一點，且=PC=1,求R4的長.

【答案】【舊知再現(xiàn)】互補(bǔ)，110；【問題創(chuàng)新】見解析；【應(yīng)用遷移】24=百+1

【分析】【重溫舊知】根據(jù)圓周角定理，得出44BC=；NAOC,乙M）C=；優(yōu)角/AOC,化簡得出

ZABC+ZADC=180°,利用等腰三角形的兩個底角相等和圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，即可得/BCD=110。；

【提出問題】所得等式兩邊加上AD?BC,右邊變形后即可得證；

【應(yīng)用遷移】由上題的結(jié)論，根據(jù)AABC為等邊三角形，可得AB=AC=BC,代入化簡即可求出PA的長.

【詳解】（1）如圖示：

連接OA,0C,根據(jù)圓周角定理，則有：ZABC^-ZAOC,44"：=—優(yōu)角乙40。

22

El/ABC+/ADC=—/AOC+—優(yōu)角/AOC=—x360。=180。團(tuán)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ);

222

^\AB=BD,ZABD=40°,回在等腰三角形ABD中，NBAD=>。=、即=加-40。=7()?

22

團(tuán)ZBCD=1800-ABAD=180°-70°=110°

(2)證明：如圖，SZBAE=ZCADSZBAE+ZCAE=ZCAD+ZCAE,即NBAC=NZME,

Af1

X07ACB?ADB,ElAABCsAA團(tuán)團(tuán)—=一,即AZ>BC=AODE

DEAD

SAB'CD+AD'BC=AC>BE+AC-DE,^\AB-CD+BC'DA=AC-BD,

（3）由（2）可知尸=mAABC是等邊三角形，SAB=AC=BC,

0（PB+PC）fiC=PABC,0PB+PC=PA即PA=V^+1.

【點睛】此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的

判定與性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

課后專項訓(xùn)練

1.（2023山東九年級課時練習(xí)）如圖與圓。相切于A,。是圓。內(nèi)一點，OB與圓相交于C.已知8c

=OC=3,OD=2,A8=6,則圓的半徑為.

【答案】V22

2

［分析］連接BC并延長，交圓于尸，過。作。瓦即，連接AC,OA,AF,證明AABC^AFBA,則可得AB

=BC?BF,進(jìn)而求得OD=2,勾股定理求解即可.

2

【詳解】解：連接BC并延長，交圓于尸，過。作?！?8尸，連接AC,Q4,A尸

SBA是圓。的切線，切點為A,

:.ZOAB=90。ZOAC+ZCAB=90°AC=AC'-ZAOC=|ZAFC

在AAOC中，OA=OCZAOC+2ZOAC=180°

則2NAFC+2/OAC=180°/.ZAFC+ZOAC=90°/.ZAFC=ZCAB

AnBC

又/R-/R:AABCS八FBA=AB2=BC?BF,

FBAB

3

團(tuán)3c=OC=3,AB=6,團(tuán)5尸=12,CF=9,BDE=-,OD=2,

2

EIOE=JOLP—DE?=/-￡="，C￡=|>

EIOC=NOE^+CE?=+1=后.故答案為：伍.

【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，證明是解題關(guān)鍵.

2.（2022秋,浙江寧波,九年級?？计谥校┤鐖D，兩個同心圓，過大圓上一點A作小圓的割線，交小圓于B、

C兩點，且圖中圓環(huán)的面積為44，貝l]Afi.AC=

【答案】4

【分析】設(shè)圓心為。，作A。與小圓相切，切點為M,與大圓交于點D,連接OM,根據(jù)勾股定理及題意得

出41〃=%過點。作ON，AC,連接。3,繼續(xù)利用勾股定理進(jìn)行等量代換得出。A?一AC.A8,

即可求解.

【詳解】解：設(shè)圓心為。，作AD與小圓相切，切點為M,與大圓交于點。，連接OM,如圖所示：

0OMIAD,SAM2=0^-OM2,

團(tuán)萬。42-萬。河2=4不，13AM2=4，過點。作ON_LAC,連接。B,

SON2=O^-AN2,ON2=OB2-BN2,

0o^-AN2=OB2-BN2,即CM?—OB2=AN2-BN2=（AN+BN）（AN-BN）=AC-AB,

ra（9A2-OB2=O^-OM2=AM2=4,BAB-AC=4,故答案為：4.

【點睛】題目主要考查勾股定理解三角形，切線的性質(zhì)，垂徑定理等，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵.

4.（2023?重慶九年級期末）如圖，從圓外一點P引圓的切線R4,點A為切點，割線PD3交。。于點。、B.已

,QQAP

【分析】根據(jù)切割線定理，可求PB=18,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方

可求SMBP：SADAP=PB2：PA2=9：4.

【詳解】由切割線定理可得PA2=PDXPB,

0PA=12,PD=80PB=18.由弦切角和公共角易知AABP回ADAP.

0SAABP：SADAP=PB2：PA2=9：4.故答案為9：4

【點睛】本題應(yīng)用了切割線定理和相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方.

4.（2023,浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，過點尸引圓的兩條割線上和PCD,分別交圓于點和C,。，連

PAprPAPCPAPD

結(jié)AC,皿，則在下列各比例式中，①M=:；②霽=霽；③筌=黑，成立的有（把

rD1DrLJrD/iC-DU

你認(rèn)為成立的比例式的序號都填上）.

【答案］②③

【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法得到，EPAD00PCB,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等從而可得

到答案.

【詳解】解：回四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,

00PAD=EIPCB,0PDA=0PBC,00PAD00PCB,

PAPDADPAPC“口PAPC丁T.

團(tuán)--------------團(tuán)-①二7二二77錯快；②二二77正確;

PCPBBCPBPDPDPB

③連接AC,BD,團(tuán)團(tuán)P二團(tuán)P,回PBD二團(tuán)PCA,團(tuán)團(tuán)PAC團(tuán)團(tuán)PDB,

團(tuán)PA=AC團(tuán)PAP訴D，丁正山確；故答-案d為：g②g③.

rLJDLJACJDJLX

【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意到題目中的相似三角形是

解決本題的關(guān)鍵.

5.（2023?浙江紹興?模擬預(yù)測）四邊形ABDC內(nèi)接于圓，對角線交點為E,AB=AC=4,AE=2,若BE、CE

都是整數(shù)，則BE的值為.

【答案】3或4

【分析】證明ElABDEnAEB,求出AD,從而得到DE,再證明ElAECEHBED,得到BE-CE=12,根據(jù)BE,CE都是

整數(shù)可得所有可能的取值，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得BE,CE都是整數(shù)，從而得到DE的取值.

【詳解】解：0AB=AC=4,AE=2,0EIADB=0ADC,

團(tuán)團(tuán)ABC二團(tuán)ADC,團(tuán)團(tuán)ADB二團(tuán)ABC,又回BAD二團(tuán)BAE,團(tuán)團(tuán)ABD回回AEB,

ABAry4An

0一二一,gp-=一,mAD=8,回DE=6,

AEAB24

團(tuán)團(tuán)CAE二團(tuán)DBE,團(tuán)ACE二團(tuán)BDE,團(tuán)團(tuán)AECRH1BED,

噎Ar噬rp，即?而人CF配Eg2,回BE,CE都是整數(shù),

則BE和CE可取的值為3,4或2,6或1,12；

0AB=AC=4,0BC<AB+AC=8,0BC=3+4=7,

國BE的值為3或4,故答案為：3或4.

【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出適

當(dāng)?shù)南嗨迫切蔚玫骄€段關(guān)系.

6.（2023廣東珠海?統(tǒng)考一模）如圖，O。為正AABC的外接圓，P為劣弧8C上任一點，CP的延長線和A3

的延長線交于點。.（1）求一3尸C;⑵求證：AC2=CPCD.

【答案】（1）120。（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)和為正三角形即可求出；（2）證明NPCB~A/BCD即可求出.

【詳解】(1)解：；44BC為正三角形，，/A=60。.

???四邊形ABPC為圓內(nèi)接四邊形，IBZBPC=180°-ZA=120°；

(2)證明：由(1)知，ZBPC=120°,0ZDBC=180°-ZABC=120°,

CpCB

又0NPCB=/BCD,國APCB”/BCD.0—=—貝UC3?=CPCD

CBCD

又I3CB=AC,0AC2=CPCD.

【點睛】本題考查圓與三角形的綜合問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運

用這些知識是關(guān)鍵.

7.（2023?廣東汕頭??？家荒＃┤鐖D，A3是。。的直徑，點C,。在。。上，AD平分，C45,過點。作AC

的垂線交AC的延長線于點E,交A3的延長線于點F連接3D.

(1)求證：EF是0。的切線；(2)求證：AB\AB-AE)=AC-BF(3)^AB=10,AC=6,求的長.

【答案】⑴見解析⑵見解析(3)46

【分析】(1)連接0D,由題可知，D已經(jīng)是圓上一點，欲證即為切線，只需證明/。。尸=90。即可；

(2)連接CO.由(1)知Nf!汨+NO/汨=90。，為0。的直徑，由AFBD?AZXN得整=黑，又

AEAD

△4￡0~4">3,所以工=-7^,所以A02=4.A,因為452=42+32,所以42=4E.4+402尸,

ADAB￡60￡)88

即可證明A￡)=ACM；

(3)連接BC,根據(jù)勾股定理求出8C,進(jìn)而根據(jù)三角形的中位線定理可得OH的長，從而得的長.

【詳解】(1)如圖，連接OD.

EIAD平分/C4B,0ZO4D=Z￡AD,0OD=OA,^ZODA^ZOAD,

SZODA=ZEAD,QOD//AE,SZODF=ZE,

ElA￡f_LEF,l3ZF=90°,[a?OD/:'90?,團(tuán)半徑。DJLEF,回EF是。。的切線;

(2)如圖，連接。.E?ODF90?,0ZFDB+AODB=90°,

ElAB為。。的直徑，EZADB=90°,0ZZMB+ZDBA=9O°,

^OD=OB,QZOBD=ZODB,13ZFDB=ADAB,0ABAD=ACADElZFDB=ZCAD,

BDBF

回4B、C、。四點共圓，SiZFBD^ZDCA,SAFBD-ADCA,0—=—,

ACCD

^ZCAD=ZDAB,SBD=CD,^BD2=ACBF,

AEAD

⑦/FAD=/DAR,ZE=ZADB=90°,0AAED^ADB,[?]——=—,^AD2=AEAB^

ADAB

在RMAD5中，AB2=AD2+BD\^\AB2=AEAB+ACBF,^AB\AB-AE)=ACBF.

（3）如圖，連接BC,交。。于點H.自A3是。。的直徑，BZACB=90°,

I3AB=1O,AC=6,0BC=>]AB2-AC2=V102-62=8-

0CD=BD,0ODJ_BC,0CH=BH=—BC=—x8=4,0OA=OB,0OH=—AC=3,

222

0AB=1O,0O￡>=OB=5,0DH=OD-OH=5-3=2,

BlBD2=DH2+BH2=22+42=20,51AD2=AB2-BD2=102-20=80,回A￡）=廂=4指.

【點睛】本題考查了切線的判定，掌握三角形的中位線定理，勾股定理，角平分線的定義，切線的判定等

知識點是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?云南昆明?統(tǒng)考一模）如圖，尸是以。為圓心的兩個同心圓外一點，過P點的兩條直線分別與大圓

。交于A、B、C、。四個點，其中一條直線交小圓。于尸點，尸為線段8的中點，ZP=ZADP,CE±PA,

垂足為E.（1）求證：尸。為小圓。的切線；（2）若差=[,鉆=10,求大圓。的半徑.

CE3

【分析】（1）連接OC,OF,由OC=OE>,尸是。中點，依據(jù)等腰三角形三線合一可得（用，尸D,結(jié)合OF

是小圓。的半徑，即可證得PD是小圓。的切線；（2）連接AC,BD,由若=:設(shè)他=2x,CE=3x,結(jié)

CE3

PC1

合題NB=NACD=90。，即AC_LPD,再由三線合一可得尸C=OC即——=—,易證△尸EC?△PBD得

PD2

PECEPC1

——=——=——=-,即可求得尸￡=3￡=2x+10、BD=2CE=6x,及B4、DA,在中由

"2+即2=短2即可求得工的值，從而求得即大圓。的半徑?

【詳解】（]）連接OC,OF,EOC=OD,