2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之銳角三角函數(shù)（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025?沁陽市二模）2025年1月7日凌晨，長征三號乙運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點火起飛，將實

踐二十五號衛(wèi)星成功送入預(yù)定軌道，為2025年中國航天宇航發(fā)射取得“開門紅”.當(dāng)火箭上升到點A

時，位于海平面R處的雷達(dá)測得點R到點A的距離為。千米，仰角為仇則此時火箭距海平面的高度

AL為（）

□0

LR

_CLCL_

A.asin0千米B.i?cos0千米C.------千米D.------千米

sin9cosd

2.（2025?合肥一模）如圖，在△ABC中，ZB=45°,AZ）_L8C于點。，若BC=10,tanAD=則

AB的長為（）

A.6V2B.3V2

3.（2025?興賓區(qū)一模）如圖所示是某車庫出入口的欄桿，欄桿A8繞點C旋轉(zhuǎn)到A'B',記旋轉(zhuǎn)角乙夕

CB=a.若BC=3〃z,a=30°,則欄桿4端到A3的距離2'。為（）

八B'

A

A/

3

A.-mB.V3mC.-y[lmD.-y/3m

22

4.（2025?成都模擬）如圖，在團(tuán)ABC。中，按以下步驟作圖：①以點A為圓心、A8的長為半徑作弧，交

1

于點凡連接8月；②分別以點8,方為圓心、大于習(xí)8尸的長為半徑作弧，兩弧在N8A0的內(nèi)部相交

于點G；③連接AG并延長，交于點E.若BF=8,AB=6,則tanNZME的值為（

BEc

2V52A/5V5

A.-B.—C.-----D.—

3352

11

5.（2025?碑林區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，AB=5,tanNA=tanZB=可則BC的長為（）

A.2V5B.3C.2D.V10

,若譏則的長為（）

6.（2025?蒲城縣一模）如圖，在△ABC中，AB=3同NC=60°s8=|,AC

A.2B.4C.2V3D.4V3

7.（2025?惠山區(qū)一模）如圖，RtZVIBC中，ZACB=901',CE是斜邊A2上的中線，過點E作斯_LA3

交AC于點?若△AEP的面積為25,sin/CE尸=|,則BC的長為（）

BE

A.6B.4V5C.2V5D.10

8.（2025?深圳一模）如圖，已知A,8兩點的坐標(biāo)分別為（5,0）,（0,5）,點C,E分別是直線x=-7

和x軸上的動點，CF=\4「，點。是線段CP的中點，連接AO交y軸于點E,當(dāng)△A8E面積取得最小值

時，sin/EA。的值是（）

?

1」7。1A；r

4734

9.（2025?深圳校級模擬）我國紙傘的制作工藝十分巧妙.如圖，兩條傘骨所成的角N8AC=130°,點。

在傘柄AP上，AE=AF=DE=DF=m,則AD的長度可表示為（）

A.msin65B./ncos65°C.2/nsin65D.2/%cos65

10.（2025?榆社縣一模）一個物塊靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力

F1的方向與斜面垂直,摩擦力Fl的方向與斜面平行.若摩擦力尸2與重力G方向的夾角a的度數(shù)為132°,

則斜面的坡角P的度數(shù)為（）

A.52°B.48°C.42°D.38°

二.填空題（共5小題）

11.（2025?沁陽市二模）如圖，在坡度為1：百的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹當(dāng)太陽光

線與水平線成45°角沿斜坡照下時，在斜坡上的樹影BC長為20米，則大樹AB的高為

12.（2025春?普陀區(qū)月考）某校學(xué)生開展綜合實踐活動，測量建筑物高度，如圖，小華在甲樓AB的樓頂

A,測得乙樓CO的樓頂C處俯角為45°,測得乙樓底。處俯角為60°,甲、乙兩樓垂直于地面3D

兩樓之間水平距離為150米，那么乙樓CD高為米.（保留根號）

13.（2025春?海淀區(qū)校級月考）如圖，在矩形ABC。中，AB=6,AD=4,E是BC中點，點廠在線段DE

上，且tanN48F=2.則2尸的長為.

14.（2025?天河區(qū)校級一模）某校數(shù)學(xué)興趣小組開展“利用影子測量物體的高度”的活動：如圖，直立于

地面上的電線桿AB,在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是8C,CD,測得BC=5米，C￡?=4

米，/BCD=150：在D處測得電線桿頂端A的仰角為45°,則電線桿AB的高度約為

15.（2025?福田區(qū)模擬）太陽能是清潔、安全和可靠的能源.如圖是一個太陽能面板及其側(cè)面示意圖，點

C是A2的中點，AB^SQcm.當(dāng)太陽光與地面的夾角為53°,已知太陽光與面板垂直時，太陽面板吸

收光能的效率最高，則此時支架C端離地面的高度為cm.（結(jié)果精確到1c/；參考數(shù)據(jù)：

sin53°心0.80,cos53°心0.60,tan53°心1.33）

三.解答題（共5小題）

16.（2025?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，在東西方向的海岸線/上有一長為1千米的碼頭MN,在距碼頭西端

M的正西方向59.5千米處有一觀測站。，現(xiàn)測得位于觀測站。的北偏西37°方向，且與觀測站。相距

60千米的小島A處有一艘輪船開始航行駛向港口MN.經(jīng)過一段時間后又測得該輪船位于觀測站。的

正北方向，且與觀測站。相距30千米的B處.

（1）求兩地的距離；（結(jié)果保留根號）

（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否行至碼頭MN靠岸?請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：sin37°

-0.60,cos37°80.80,tan37po.75.)

北

17.（2025?花溪區(qū)模擬）永輝超市為方便顧客使用購物車,將滾動電梯的原斜坡AC改造為斜坡AD,如圖.己

知從地面到超市入口A處的高度A8為5如原斜坡AC的傾斜角/ACB為30°,新斜坡的傾斜角

NADB為23°.

（1）求斜坡底部增加的長度C。（結(jié)果精確到O.Lw）；

（2）電梯頂部水平線AE=7w,電梯上方點￡處懸掛著一個廣告牌ER且EFLAE,EF=lm.若高度

1.9機(jī)的家電乘電梯上行，行進(jìn)過程中是否會碰到廣告牌的下端尸？請通過計算說明理由.

-0.92,tan23°-0.42,怖=1.73)

18.（2025?長安區(qū)一模）我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測量建筑物CC的高度，如圖，建筑物C。前有一段

坡度為5：12的斜坡功，小明同學(xué)站在斜坡上的8點處，用測角儀測得建筑物屋頂C的仰角為37。，

接著小明又向下走了6.5米，剛好到達(dá)坡底E處，這時測到建筑物屋頂C的仰角為45°,A、B、C、。、

E、廠在同一平面內(nèi).若測角儀的高度A2=EF=1.4米，求建筑物CD的高度（精確到0.1米，參考數(shù)

據(jù)：sin37°-0.60,cos37°-0.80,tan37°心0.75).

19.（2025春?新鄭市月考）如圖，四邊形ABCD是某小區(qū)的一塊空地，已知NB=90°,ZACB=30°,

AB^6m,AD^20m,CD=16切,現(xiàn)計劃在該空地上種植草皮，若每平方米草皮需100元，求在該空地

20.（2025春?歷城區(qū)月考）根據(jù)收集的素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計搖椅椅背有坐墊長度?

素材一某公司設(shè)計制作一款搖椅，

圖1為效果圖，圖2為其側(cè)

面設(shè)計圖.其中PC為椅背，

EC為坐墊,C,。為焊接點，

且C。與AB平行，支架AC,

BD所在直線交于圓弧形底

座所在圓的圓心O.設(shè)計方

案中，要求A,B兩點離地面

|高度均為5厘米，A,B兩點

之間距離為70厘米.

素材二經(jīng)研究，NOC尸=53°時，

舒適感最佳.現(xiàn)用來制作椅

背尸C和坐墊EC的材料總長

度為160厘米，設(shè)計時有以

下要求：

(1)椅背長度小于坐墊長

度；

(2)為安全起見，搖椅后搖

至底座與地面相切于點A時

(如圖3),尸點比E點在豎

直方向上至少高出12厘

米.(sin53°七0.8,cos53°

^0.6,tan53°^1.3)

任務(wù)1探究搖擺規(guī)律計算圖3中點B距離地面的高度.

任務(wù)2設(shè)計椅背、坐墊長度求椅背尸C的長度范圍.

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之銳角三角函數(shù)（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案AAACDBBBDC

選擇題（共10小題）

1.（2025?沁陽市二模）2025年1月7日凌晨，長征三號乙運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點火起飛，將實

踐二十五號衛(wèi)星成功送入預(yù)定軌道，為2025年中國航天宇航發(fā)射取得“開門紅”.當(dāng)火箭上升到點A

時，位于海平面R處的雷達(dá)測得點R到點A的距離為。千米，仰角為&則此時火箭距海平面的高度

AL為（）

28人

LR

CLd

A.asin0千米B.acos0千米C.Z■千米D,7千米

sindcosti

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得：ZALR=900,然后在RtZXALR中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解

答.

【解答】解：由題意得：ZALR=90°,

在RtzXALR中，AR=a千米，ZARL^Q,

AL=AT?,sin0=asin0（米），

故選：A.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（2025?合肥一模）如圖，在△ABC中，48=45°,AD_LBC于點Q,若BC=10,tanZCAD=則

A2的長為（）

A

【考點】解直角三角形；等腰直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)tem/ca。=呈設(shè)A￡>=3尤,8=2無，根據(jù)NB=45°,A￡）_L8C,得到4。=BD,AB=版AD,

進(jìn)行求解即可.

【解答】解：由條件可知△A3。為等腰直角三角形，tanZCAD=^=j>

：.AD=BD,AB=0AD,

設(shè)AZ）=3x,CD=2x,貝U：BD=3x,

BC=BD+CD=3x+2x=5x=10,

：.AD=6,

.'.AB—V2,AD=6V2；

故選：A.

【點評】本題考查解直角三角形，熟練掌握該知識點是關(guān)鍵.

3.（2025?興賓區(qū)一模）如圖所示是某車庫出入口的欄桿，欄桿AB繞點C旋轉(zhuǎn)到A'B',記旋轉(zhuǎn)角/玄

CB=a.若BC=3〃z,a=30°,則欄桿4端到AB的距離8’。為（）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】A

【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CB'=CB=3m,然后在Rt^CB。中解直角三角形即可求解.

【解答】解：如圖，依題意C8'=CB=3m,ZCDB'=90°,

而a=30°,

欄桿2'端到AB的距離為2'D=^CB'=|".

故選：A.

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，同時也利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練利用已知

條件解直角三角形.

4.（2025?成都模擬）如圖，在回A8CD中，按以下步驟作圖：①以點A為圓心、AB的長為半徑作弧，交

1

于點F,連接BF；②分別以點8,P為圓心、大于5BF的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交

于點G；③連接AG并延長，交于點E.若8尸=8,AB=6,貝Utan/D4E的值為（）

【考點】解直角三角形；平行四邊形的性質(zhì)；作圖一基本作圖.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；尺規(guī)作圖；幾何直觀；運算能力.

【答案】C

【分析】設(shè)AE交B尸于點O,由作圖過程可得，AB=AF,AE為的平分線，根據(jù)等腰三角形的

三線合一可得。8=。尸=聶尸=4,OA_LB凡根據(jù)勾股定理得AO=2有，再根據(jù)正切的定義計算即可.

【解答】解：設(shè)AE交3產(chǎn)于點O,

由作圖過程可得，AB=AF=6,AE為N2AF的平分線,

1

AOB=OF=^BF=4,OA±BF,

???在Rt^AOF中，由勾股定理得,

AO=y/AF2—OF2=V62—42=2A/5,

故選：c.

【點評】本題考查作圖一基本作圖，解直角三角形平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信

息，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

11

5.（2025?碑林區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，AB^5,tanZA=tanZB=j,則8C的長為（）

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】D

【分析】如圖，過點C作于點H.設(shè)CH=".根據(jù)正切函數(shù)的定義求出AH=2〃3BH=3m,

構(gòu)建方程求出m,再利用勾股定理求解.

【解答】解：如圖，過點C作CHLAB于點"設(shè)CH=nt.

.,.AH=2m,BH—3m,

.".AB=5m=5,

?.加=1,

：.CH=1,BH=3,

：.BC=VCW2+BH2="2+32=

故選：D.

【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

6.（2025?蒲城縣一模）如圖，在△ABC中，AB=3?NC=60°,若sinB=卷則AC的長為（）

A.2B.4C.2V3D.4V3

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】B

【分析】過點A作垂足為。，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，然

后在RtZVlCZ）中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，即可解答.

【解答】解：過點A作AOL3C,垂足為D

2

在中，sinB=AB=3V3,

2

：.AD=AB'smB=343x|=2后

在中，ZC=60°,

AD2V3

??AC=^^=k=4,

~2

故選：B.

【點評】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

7.（2025?惠山區(qū)一模）如圖，RtaABC中，ZACB=90°,CE是斜邊4B上的中線，過點E作

2

交AC于點尸.若△AEF的面積為25,sinZC￡F=|,則8C的長為（）

C.2V5D.10

【考點】解直角三角形；三角形的面積；直角三角形斜邊上的中線.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半可得CE=AE=BE=AB,進(jìn)而得到=

NBFC,從而有/CEr=/CBF,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義表示出CF,又設(shè)，根據(jù)三角

形的面積公式表示BC,最后由由勾股定理，求出x后即可判斷得解.

【解答】解：如圖，連接

TCE是斜邊AB上的中線，EFLAB,

???E方是A3的垂直平分線,

S^AFE=S^BFE=25,ZFBA=ZA,

S^AFB=5Q=^AF*BC,

??,CE=AE=BE=

ZA=ZFBA=ZACEf

又??,N3CA=90°=NBEF,

：.ZCBF=90°-/BFC=90°-2ZA,

ZCEF=90°-NBEC=90°-2ZA,

:?/CEF=/FBC,

3cp

：.sinZCEF=sinZFBC=|=|^

設(shè)BF=AF=x,

3

???CF=|x.

1

又,.?-3C?A尸=50,

2

.3迎.

X

又?：Bd+CF2=B凡

1003

(-------)29+(r)20=/9.

x5

??x~~5、/^.

.?.BC=—X=4V5.

故選：B.

【點評】本題考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面積，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的

性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

8.（2025?深圳一模）如圖，已知A,8兩點的坐標(biāo)分別為（5,0）,（0,5）,點C,E分別是直線x=-7

和x軸上的動點，b=14,點￡＞是線段CF的中點，連接AD交y軸于點E,當(dāng)△ABE面積取得最小值

【考點】解直角三角形；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；三角形的面積.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】B

【分析】如圖，設(shè)直線x=-7交x軸于K.由題意KD=*Cr=7,推出點。的運動軌跡是以K為圓心,

為半徑的圓，推出當(dāng)直線與OK相切時，AABE的面積最小，即可解決問題.

【解答】解：如圖，設(shè)直線x=-7交x軸于K.由題意KZ）=±CP=7,

...點。的運動軌跡是以K為圓心，7為半徑的圓，

當(dāng)直線AD與OK相切時，△ABE的面積最小，

是切線，點。是切點，

：.AD±KD,

'：AK=n,DK=1,

sinEAO=.

故選：B.

【點評】本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積等知識，解

題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

9.（2025?深圳校級模擬）我國紙傘的制作工藝十分巧妙.如圖，兩條傘骨所成的角NBAC=130°,點。

在傘柄AP上，AE=AF=DE=DF=m,則A。的長度可表示為（）

A.?Msin65°B.mcos65°C.2/??sin65°D.2mcos65°

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】D

【分析】連接EF交AD于點0,根據(jù)已知易得：四邊形AEDF是菱形，從而利用菱形的性質(zhì)可得0A

=OD=^AD,ZAOF=90°,ZFAD=65°,然后在RtZ\A。尸中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出A。

的長，從而求出的長，即可解答.

,:AE=AF=DE=DF=m,

...四邊形AEDE是菱形，

：.OA=OD=^AD,ZAOF=90°,ZMD=|zEAF=65°,

在RtzXAO尸中，AO—AFtcos65°=〃zcos65°,

：.AD=2AO=2mcos65°,

.'.AD的長度可表示為2mcos65°,

故選：D.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的

關(guān)鍵.

10.（2025?榆社縣一模）一個物塊靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力

F1的方向與斜面垂直,摩擦力F1的方向與斜面平行.若摩擦力尸2與重力G方向的夾角a的度數(shù)為132°,

則斜面的坡角p的度數(shù)為（）

A.52°B.48°C.42°D.38°

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】C

【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到Nl=Na=132。，然后利用三角形外角性質(zhì)計算N0的度數(shù).

【解答】解：如圖，：摩擦力尸2的方向與斜面平行，

Zl=Za=132°,

???重力G的方向豎直向下，

：.Z2=90°,

VZ1=Z2+ZP，

.'.ZP=132°-90°=42°.

故選：C.

TG

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，正確理解坡角的定義和合理構(gòu)建直角三角形

是解決問題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2025?沁陽市二模）如圖，在坡度為1：b的斜坡。5上有一棵垂直于水平地面的大樹A3,當(dāng)太陽光

線與水平線成45°角沿斜坡照下時，在斜坡上的樹影BC長為20米，則大樹AB的高為（10百一10）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題；平行投影.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】（10次一10）.

【分析】過點C作交A3的延長線于點D根據(jù)題意可得：NACD=45°,再根據(jù)已知易得

在RtZXCB。中，tan/BCZ）=^=圣從而可得/BCD=30°,再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)

求出2。和。的長，最后在Rtz\AC￡＞中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用線段的和

差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答.

【解答】解：過點C作C￡），A8,交A8的延長線于點。，

由題意得：ZACD=45°,

:斜坡CB的坡度為1：V3,

,BD1V3

CDV33

在RtZkCBD中，tan/8C￡)=^=苧,

AZBCZ)=30°,

：BC=20米,

1

：.BD=^BC=IO（米），CD=V3B￡）=10V3（米），

在RtZ\AC￡）中，ZACD=45°,

，AO=CZ>tan45°=10百（米），

：.AB=AD-BD=（10V3-10）米，

故答案為：（10百-10）米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，平行投影，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形

添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

12.（2025春?普陀區(qū)月考）某校學(xué)生開展綜合實踐活動，測量建筑物高度，如圖，小華在甲樓AB的樓頂

A,測得乙樓C。的樓頂C處俯角為45°,測得乙樓底。處俯角為60°,甲、乙兩樓垂直于地面

兩樓之間水平距離為150米，那么乙樓CD高為（150g-150）米.（保留根號）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】（150百一150）.

【分析】過點C作CE_LA3,在RtzXACE中，CE=150米，NACE=45°,可得4E=CE=150米，在

RtZXAB。中，ZADB=60°,可得AB=BD?tcm60°=150V3（米），再求解即可.

【解答】解：由題意得四邊形BOCE是矩形，如圖，過點C作CELA2,

，80=150米，ZAC￡=45°,ZAZ)B=60°,

.?.CE=B￡)=150米，CD=BE,

在Rt/XACE中，CE=150米，ZAC￡=45°,

.*.AE=CE=150米，

在RtaAB。中，ZADB=60°，

：.AB=BD-tan600=150百(米)，

；.CD=BE=AB-AE=(150V3-150)米，

乙樓CD高為(1508-150)米.

故答案為：(150V3-150).

【點評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直

角三角形解決問題.

13.(2025春?海淀區(qū)校級月考)如圖，在矩形42C。中，AB=6,A￡)=4,E是BC中點，點P在線段OE

上，且tan/AB廣=2.則BF的長為工一.

【考點】解直角三角形；矩形的性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】第

【分析】過尸作FGLBC于點G,則易證/48尸=/8尸6,所以tanZABF=tanZBFG=黑=2,再根

EGCE21,、…_

據(jù)△FGES/XOCE得==—=-=從而設(shè)參建乂方程求解即可.

FGCD63

【解答】解：如圖，過尸作尸于點G,即N5Gb=90°,

???四邊形ABC。是矩形，

：.ZB=90°=/BGF,BC=AD=4,

J.AB//FG//CD,

：./ABF=/BFG,

or

：.tmZABF=tanZBFG=苛=2,

???E是5c中點,

1

：.BE=CE=^BC=2,

■:FG〃CD,

:ZGEsXDCE,

9EGCE21

??FG-CO_6-3'

設(shè)EG=x,則尸G=3x,

*,?8G=6x.

:?BE=5x=2,

解得尤=|,

.,.于G=|,BG=6x=

在RtABFG中,BF=VfiG2+FG2=誓,

6V5

故答案為：—

【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)

知識是解題的關(guān)鍵.

14.（2025?天河區(qū)校級一模）某校數(shù)學(xué)興趣小組開展“利用影子測量物體的高度”的活動：如圖，直立于

地面上的電線桿在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是BC,CD,測得BC=5米，CD=4

米，ZBCD=150°,在。處測得電線桿頂端A的仰角為45°,則電線桿的高度約為（7+2W）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】（7+2收.

【分析】延長交8C的延長線于E,作。尸，8E于尸，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出。尸、

CF的長，根據(jù)等腰三角形所=。/，得到BE的長，由得到結(jié)果.

【解答】解：延長交BC的延長線于E,作。FJ_BE于凡

VZBC￡)=150",

：.ZDCF=30°,

：CZ)=4米，

尸=2米，

:*CF=y/CD2-DF2=2百(米)，

由題意得NE=45°,

:.EF=DF=2米,

:.BE=BC+CF+EF=5+26+2=(7+2百)米,

；.AB=BE=(7+2V3)(米)，

故答案為：(7+2V3).

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)

的定義是解題的關(guān)鍵.

15.（2025?福田區(qū)模擬）太陽能是清潔、安全和可靠的能源.如圖是一個太陽能面板及其側(cè)面示意圖，點

C是A8的中點，AB=80cm.當(dāng)太陽光與地面的夾角為53°,已知太陽光與面板垂直時，太陽面板吸

收光能的效率最高，則此時支架C端離地面的高度為24c%.（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sin53°

-0.80,cos53°-0.60,tan53°心1.33）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】24.

【分析】過點C作CEL2Z）,垂足為E,根據(jù)垂直定義可得NCEB=90°,再根據(jù)題意易得：ZABD^

37°,從而可得/BCE=53°,然后根據(jù)線段中點的定義可得：BC=4Qcm,從而在RtZ\3CE中，利用

銳角三角函數(shù)的定義求出CE的長，即可解答.

【解答】解：過點C作垂足為E,

由題意得：ZABZ)=180°-53°-90°=37°,

：.ZBCE=90°-NCBE=53°,

,：點C是48的中點，AB=S0cm,

1

：.BC=^AB=40(cm),

在RtzXBCE中，CE=BC?cos37°240X0.6=24(cm),

.,.此時支架C端離地面的高度約為24cm,

故答案為：24.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的

關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

16.(2025?鼓樓區(qū)校級模擬)如圖，在東西方向的海岸線/上有一長為1千米的碼頭MV,在距碼頭西端

M的正西方向59.5千米處有一觀測站O,現(xiàn)測得位于觀測站0的北偏西37°方向，且與觀測站0相距

60千米的小島A處有一艘輪船開始航行駛向港口MN.經(jīng)過一段時間后又測得該輪船位于觀測站。的

正北方向，且與觀測站。相距30千米的B處.

(1)求兩地的距離；(結(jié)果保留根號)

(2)如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否行至碼頭靠岸？請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：sin37°

^0.60,cos37°仁0.80,tan37^0.75.)

北

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】（1）18V5（千米）；（2）能行至碼頭靠岸.

【分析】（1）過點A作AC，。/?于點C.可知AABC為直角三角形.根據(jù)勾股定理解答.

（2）延長48交/于。，比較OO與OM+MN的大小即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）過點A作于點C.由題意，得

。4=60千米，。3=30千米，NAOC=37°.

.\AC=OAsin37°*60X0.60=36（千米）.

在Rtz^AOC中，0C=OA?cos60X0.8=48（千米）.

：.BC^OC-OB=48-30=18（千米）.

在RtaABC中，AB=slAC2+BC2=V362+182=18A/5（千米）；

（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，不能行至碼頭MN靠岸.

理由：延長交/于點。.

VZABC=ZOBD,ZACB=ZBOD=90°.

：.AABCsADBO,

.BCOB

??—,

ACOD

.1830

??—,

36OD

.'.OD=60（千米）.

V6O<59.5+1,

該輪船不改變航向繼續(xù)航行，能行至碼頭靠岸.

北

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，此題結(jié)合方向角，考查了閱讀理解能力、解直

角三角形的能力.計算出相關(guān)特殊角和作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

17.（2025?花溪區(qū)模擬）永輝超市為方便顧客使用購物車,將滾動電梯的原斜坡AC改造為斜坡AD,如圖.已

知從地面到超市入口A處的高度AB為5優(yōu)，原斜坡AC的傾斜角/AC8為30°,新斜坡A。的傾斜角

NAOB為23°.

(1)求斜坡底部增加的長度CQ(結(jié)果精確到O.Lw)；

(2)電梯頂部水平線電梯上方點E處懸掛著一個廣告牌ER且所，AE,EF=lm.若高度

1.9機(jī)的家電乘電梯上行，行進(jìn)過程中是否會碰到廣告牌的下端尸？請通過計算說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：sin23°-0.39,cos23°-0.92,tan23°-0.42,遮=1.73)

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】(1)斜坡底部增加的長度約為3.4〃z；

(2)不會，理由見解析.

【分析】(1)先解直角三角形A8D,求出A8,8。的長，再解直角三角形ABC,求出8C的長，進(jìn)一

步求出CD的長即可；

(2)延長所交AD于點G,過點尸作于點X,求出EG的長，進(jìn)而求出G尸的長，再求出

FH的長，進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：(1)'：AB=5m,/ADB為23°,ZB=90°,

??刈=麗西=譴"119(加，

在Rt^ABC中，ZACB=30°,AB=5m,

：.BC=V3AB=5A/3(m),

：.CD=BD-BC=U.9-5V3?3.4(m),

答：斜坡底部增加的長度CD約為34"；

(2)不會，理由如下：

延長斯交A。于點G,過點p作于點"由題意，得：AE//BD,EFLBD,

：.ZZ)=ZEAG,ZAEG=90°,

.?.EG=AE.tan/EAG=AE.tanO=7X042=2.94Cm),

：.FG=EG-EF=1.94(m),

??ZAGE+ZEAG=ZAGE+ZHFG=90°,

:.NGFH=NEAG=/D,

FH=FG?cosO=1.94X0.92心1.78<1.9,

，不會碰到.

【點評】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用-坡度坡角問題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

18.（2025?長安區(qū)一模）我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測量建筑物。的高度，如圖，建筑物8前有一段

坡度為5：12的斜坡EB,小明同學(xué)站在斜坡上的B點處，用測角儀測得建筑物屋頂C的仰角為37°,

接著小明又向下走了6.5米，剛好到達(dá)坡底E處，這時測到建筑物屋頂C的仰角為45°,A、B、C、。、

E、F在同一平面內(nèi).若測角儀的高度AB=EF=1.4米，求建筑物CD的高度（精確至0.1米，參考數(shù)

據(jù)：sin37°-0.60,cos37°弋0.80,tan37°?0.75）.

□

□

□

□

□

□

□

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】建筑物CD的高度約為29.4米.

【分析】過點A作AG,CD垂足為G,過點/作FKJ_C。，垂足為K,延長AB交。E于〃，則NAHE

=90°,根據(jù)題意可得：AH=DG,EF=DK=\A^z,再根據(jù)題意可設(shè)5a米，則EH=12。米，然

后在RtABHE中,利用勾股定理進(jìn)行計算可求出8H和EH的長，再設(shè)CD=x,則CK=（尤-1.4）米，

CG==（x-3.9）米，最后分別在Rt^AGC和Rt/XbK中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG和FK

的長，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：過點A作AGLC。，垂足為G,過點/作/KLCZ）,垂足為K,延長AB交QE于H,則

NAHE=9Q°,

:斜坡的坡度為5：12,

.,.設(shè)BH=5a米,則EH=12a米,

在RtZYBHE中，BE=VBW2+HE2=13。(米),

,:BE=65米，

13a=6.5,

解得：a=0.5,

.?.88=2.5米，HE=6米，

設(shè)C￡)=尤，貝l|CK=Cr>-OK=(x-1.4)米，CG=CG=x-2.5-1.4=(%-3.9)米,

rr

在RtZ\AGC中，tan37°=浣,

?CG?久一3.9/迎、

在RtZXCTK中，ZCFK=45°，

-FK=t^=(X-L4)米,

又,：AG=FK+HE,

解得：x=29.4,

答：建筑物CD的高度約為29.4米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合

圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

19.（2025春?新鄭市月考）如圖，四邊形ABC。是某小區(qū)的一塊空地，已知NB=90°,ZACB=30°,

AB^6m,AD20m,CD=16m,現(xiàn)計劃在該空地上種植草皮，若每平方米草皮需100元，求在該空地

上種植草皮共需多少元？（百~1.7,結(jié)果保留整數(shù)）

D

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力.

【答案】在該空地上種植草皮共需要12660元.

【分析】先運用30度所對的直角邊是斜邊的一半，得出AC=12,結(jié)合勾股定理得BC=V4C2-=

6百，再運用勾股逆定理證明/ACD=90°,運用面積公式進(jìn)行列式計算，即可作答.

【解答】解：VZB=90°,ZACB=30°,AB=6,

：.AC=2AB=n,

在RtAABC中，BC=V122-62=6百，

VAC2+CZ)2=122+162=400,AD2=202=400,

:.AC1+CD2=AD2,

：.ZACD=90°,

11

,四邊形ABCD=SAABC+SAACD=訝x6x6A/3+訝x12x16=(18V3+96)m2,

所需金額為：100(1873+96)=1800V3+9600?12660(元).

苔：在該空地上種植草皮共需要12660元.

【點評】本題考查了勾股定理以及勾股逆定理的運用，30度所對的直角邊是斜邊的一半，正確掌握相

關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

20.(2025春?歷城區(qū)月考)根據(jù)收集的素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計搖椅椅背有坐墊長度?

素材一某公司設(shè)計制作一款搖椅，

圖1為效果圖，圖2為其側(cè)

面設(shè)計圖.其中尸C為椅背，

EC為坐墊,C,。為焊接點，

且CZ)與AB平行，支架AC.

BD所在直線交于圓弧形底

圖1圖2

座所在圓的圓心O.設(shè)計方

案中，要求A,B兩點離地面

高度均為5厘米，A,8兩點

之間距離為70厘米.

素材二經(jīng)研究，ZOCF=53°時，

舒適感最佳.現(xiàn)用來制作椅

背FC和坐墊EC的材料總長

度為160厘米，設(shè)計時有以

下要求：