2025年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)專題06：一元二次方程

一、單選題

1.已知關(guān)于X的方程好一2》+左=0沒有實(shí)數(shù)根，那么在下列各數(shù)中，上的取值只能是()

A.2B.1C.0D.-1

2.一元二次方程V-4x-5=0配方可變形為()

A.(X-2)2=9B.(x-2)z=5C.(x+2)2=9D.(^+2)2=5

3.若關(guān)于x的方程d-2(m+l)x+病+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為1,則，77=()

A.2B.0C.-2D.±2

4.一元二次方程f+2x+2=0的根的情況是()

A.無實(shí)數(shù)根B.有一個(gè)實(shí)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

5.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感，那么每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為

()

A.8AB.9AC.10AD.11A

6.某蔬菜種植基地2022年的蔬菜產(chǎn)量為96832024年的蔬菜產(chǎn)量為800t.設(shè)每年蔬菜產(chǎn)量的年平

均下降率都為x,則年平均下降率尤應(yīng)滿足的方程為()

A.800(1-%)2=968B.800(1+%)2=968

C.968(1-%)2=800D.968(1+x)2=800

7.已知點(diǎn)人(石,外)在直線y=-x+3上，點(diǎn)5(%2，%)，。(芍%)在拋物線y=-f+3x上，若%=%=%

且玉＜々＜%3，則須+々+%3的取值范圍是()

A.0<xi+x2+x3<3B.為+-

C.4<玉+々+/<6D.%+%+%3>6

8.揚(yáng)帆中學(xué)有一塊長(zhǎng)30m,寬20m的矩形空地，計(jì)劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，小禹

同學(xué)設(shè)計(jì)方案如圖所示，求花帶的寬度，設(shè)花帶的寬度為則可列方程為（）

3

B.（30-x）（20-.x）=-x20x30

（）（）3

C.30-2^20-x=1x20x30D.（30-2x）（20-x）=-x20x30

二、填空題

9.若關(guān)于無的方程履,+（2左-l）x+左=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍為.

10.已知—2力帆+〃2+5〃?一5〃+6=0,則7"—〃=.

11.關(guān)于x的方程V一3尤+1=0的兩根為毛、々，則無：+為22+2018的值為

12.毛和馬是關(guān)于x的一元二次方程Y+4x+c=0（c>0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，數(shù)軸上百和馬所表示的點(diǎn)分

別為若點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離恰好是點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離的2倍，則。=—.

4

13.VABC中，ZCa4=90°,尸是AB上一點(diǎn)，以斯為斜邊做ADSF,ZFDB=90°,sinZFBD=—,

延長(zhǎng)。產(chǎn)交AC于E,AE=AF,連接CD交A3于H,45。NFBD=NDCB,EC=34,則BC的長(zhǎng)

是.

14.一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，老師給出了兩個(gè)二次多項(xiàng)式2尤②+?x+c,-x1+qx+c（其中p,q,c均是

不為零的常數(shù)）及這兩個(gè)代數(shù)式的一些信息，如下表所示：

二次多項(xiàng)式對(duì)二次多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解對(duì)二次多項(xiàng)式使用配方法

22

2x+px+c（2x+a）（x+b）2（x-m）+kx

2

-x+qx+c(x+1)(—%+6)一(%—+k?

（說明：〃，b,m,n,h,左2均為常數(shù)）

Q

有學(xué)生探究得到以下四個(gè)結(jié)論：①若。+4=12,則2相+6=〃；②若。=4=2,貝壯=-,③若有且

只有一個(gè)龍的值，使代數(shù)式2x2+px+c的值為0,則p-4q=0；④若m-n=2,則c的值不可能是-5.其

中所,正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題

15.解方程:

(1)X2+X-3=0;

23

⑵一=~~

Xx-1

16.已知：關(guān)于x的一元二次方程-2）尤2_儂：+2=0（相片2）

（1）求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（2）若x=2是方程的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根；

17.定義：方程“2+法+°=0是一元二次方程依2+bx+c=0的倒方程，其中。，b,c為常數(shù)（且

a，cK。）.根據(jù)此定義解決下列問題：

⑴一元二次方程4/-3尤-1=0的倒方程是;

（2）若x=-l是一元二次方程X2-2X+C=0的倒方程的解，求出c的值；

(3)若加，”是一元二次方程/一5尤-1=0的倒方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式

2rr—mn-10m的值.

18.現(xiàn)有可建造60m圍墻的材料，準(zhǔn)備依靠原有舊墻圍成如圖所示的倉庫，墻長(zhǎng)為am.

-<-------am-------->4

N

(1)若。=50,能否圍成總面積為225m2的倉庫？若能，AD和A3的長(zhǎng)分別為多少米?

⑵能否圍成總面積為400m?的倉庫？說說你的理由.

19.在我國(guó)，端午節(jié)作為傳統(tǒng)佳節(jié)，歷來有吃粽子的習(xí)俗.某食品加工廠擁有A,B兩條不同的粽子

生產(chǎn)線，A生產(chǎn)線每小時(shí)加工粽子400個(gè)，3生產(chǎn)線每小時(shí)加工粽子500個(gè).

(1)若生產(chǎn)線A,8一共加工11小時(shí)，且生產(chǎn)粽子總數(shù)量不少于5000個(gè)，則8生產(chǎn)線至少加工多少小

時(shí)？

(2)原計(jì)劃A,B生產(chǎn)線每天均工作8小時(shí).由于改進(jìn)了生產(chǎn)工藝，在實(shí)際生產(chǎn)過程中，A生產(chǎn)線每小

時(shí)比原計(jì)劃多生產(chǎn)100a個(gè)5生產(chǎn)線每小時(shí)比原計(jì)劃多生產(chǎn)100個(gè).若A生產(chǎn)線每天比原計(jì)

劃少工作2a小時(shí)，8生產(chǎn)線每天比原計(jì)劃少工作。小時(shí)，這樣一天恰好生產(chǎn)粽子6000個(gè)，求。的值.

20.如圖，VABC中，ZC=90°,AC=8cm,SC=6cm,動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)以4cm/s速度向點(diǎn)C移

動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從C出發(fā)以3cm/s的速度向點(diǎn)8移動(dòng)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為fs.

(1)根據(jù)題意知：CE=，CD=；(用含/的代數(shù)式表示)

(2”為何值時(shí)，ACDE的面積等于四邊形ABED的面積的;？

《2025年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)專題06：一元二次方程》參考答案

題號(hào)12345678

答案AAAAACBD

1.A

【分析】本題考查了一元二次方程的判別式的應(yīng)用，根據(jù)關(guān)于x的方程一一2彳+k=()沒有實(shí)數(shù)根，得

出A=4-4左<0,得左>1,即可作答.

【詳解】解：：關(guān)于x的方程f-2x+k=O沒有實(shí)數(shù)根，

A=(-2)2-4xlxA:=4-4Z:<0,

：.k>l,

觀察4個(gè)選項(xiàng)，唯有2符合條件，

故選：A.

2.A

【分析】本題主要考查配方法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)配方法進(jìn)行求解.

【詳解】解：％2_4冗_(dá)5=0

2

x一4%+4=5+4

(%-2)2=9；

故選A.

3.A

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式.熟練掌握根與系

數(shù)的關(guān)系是本題的關(guān)鍵.根據(jù)根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)方程V—2(根+l)x+〃？+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分另IJ為。、b,

A=22(m+l)2-4(m2+2)=8m-4>0,

解得：上!，

2

a+b=2(m+l),ab=m2+2,

,11b+a2(m+l)

?---1--------=--------1,

ababm+2

解得：叫=0,m2=2,

m>—,

2

「?m=2,

故選：A.

4.A

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，即一元二次方程af+版+。=05W0)的根與

△=/-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

先算根的判別式，然后利用A<0可判斷方程根的情況.

【詳解】解：VA=22-4xlx2=-4<0,

二方程沒有實(shí)數(shù)根.

故選：A.

5.A

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用.設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為無人，根

據(jù)“有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感”列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x人，

l+x+x(l+x)=81,

整理得：Y+2X-80=0,

解得：占=8,尤2=-10(舍)，

???每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為8人，

故選：A.

6.C

【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題

的關(guān)鍵.根據(jù)該種植基地2022年及2024年的蔬菜產(chǎn)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解.

【詳解】解：設(shè)每年蔬菜產(chǎn)量的年平均下降率都為尤，

則968(1-4=800,

故選：C.

7.B

【分析】求得直線與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)代入直線解析式，求得對(duì)應(yīng)的看

值，即可求得4取值范圍，根據(jù)拋物線與方程的關(guān)系，從而求得吃的取值范圍，解答即可.

[y=-X2+3x

【詳解】解:[y=-%+3

X=1

解得

y=2

,?,點(diǎn)，。（七,為）在拋物線丁=一爐+3%上，且%=%,

?*?X2?x3是方程-%2+3%=0的兩個(gè)根,

x2+x3=3,

*.*Xx<X2<X3,

:.演<1;

Vy=-x2+3x=-^x--^+“

99

???當(dāng)y=一時(shí)，一%+3=—,

44

._3

??x=一,

4

*.*xi<x2<x3,

**?—<Xj<1；

?3

??"+3<Xj+x2+-^3<1+3；

.154

??%%3<4,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解析式與不等式

的關(guān)系，根與系數(shù)關(guān)系定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】本題考查一元二次方程與圖形問題.找到各圖形面積之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

種花區(qū)域=；1矩形空地面積，剩下區(qū)域=:3矩形空地面積，據(jù)此即可求解.

44

【詳解】解：觀察圖形可知，剩下區(qū)域?yàn)橐?guī)則的矩形，其長(zhǎng)為（30-2元），寬為（20-x）,

:種花區(qū)域=；矩形空地面積

4

.?.剩下區(qū)域=:3矩形空地面積，

4

3

.\（30-2x）（20-x）=-x20x30.

故選：D.

9.k<-S.k^0

【分析】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，利用二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式A20,

找出關(guān)于左的不等式組是解題的關(guān)鍵.由二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式A20,即可得出關(guān)于上的不等

式組，解之即可得出后的取值范圍.

【詳解】解：.??關(guān)于尤的方程京2+(2"l)x+左=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

△=Z？-4ac=(2左一一4左220且4w0

角牟得：左V;且人力0

故答案為：左V：且發(fā)看0.

4

10.2或3/3或2

【分析】本題考查完全平方公式，因式分解法解一元二次方程.利用完全平方公式配方以及因式分解

法解一元二次方程即可得解.

【詳解】解：m2-2mn+ti1+5m-5/z+6=0,

(77J—M)2—5("2—")+6=0,

m—n=2或3.

故答案為：2或3.

11.2025

【分析】本題考查根與系數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握整體代入的思想解決問題.由方程丁-3》+1=0

的兩根為毛、％，可得%X2=1,占+無2=3,確定無；+/2==7,即可求解.

【詳解】解：的方程尤2—3尤+1=0的兩根為毛、％，

玉%2=1,玉+%=3,

??.Xy+x；=(玉+9)2_2石入2=9_2=7,

%：+勾+2018=2025

故答案為：2025

325

12.——/3—

99

【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，熟練掌握一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出為+Z=-4,=c(c＞0),則不＜0,三＜0,-馬=玉+4.再根

Q

據(jù)點(diǎn)〃到原點(diǎn)的距離恰好是點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離的2倍，得出f=2(4+%)，求解即可得玉

4

從而求得％=-§，然后由。=玉%2求解即可.

【詳解】解：???4和/是關(guān)于1的一元二次方程d+4x+c=0（c>0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

玉+%=-4,5光2-c（0>0）

/.x1<0,x2<0,-x2=西+4.

由題意知玉<無2，貝1J一七=2（4+%）,

Q

解得％=_§.

..32

故答案為：—.

13.6A/F7

（分析］過點(diǎn)C作CKLDE,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,過點(diǎn)。作DM，CB,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

BM4

證明得=/必￡）,在RMBDM中,sinZBDM=——=一，設(shè)=4〃,3。=13〃，

BD13

證明NZXZ=NDCK=NCD3得3。=3。=13〃，則5M=17a,證明△DCM和AOCK全等得

CM=CK=l1a,再證明ZKCE=NFBD,解RMCEK得KE=—,然后再由勾股定理可求出a=小叵,

1313

據(jù)此可得2C的長(zhǎng).

【詳解】解：過點(diǎn)C作CKLDE,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,過點(diǎn)。作交CB的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)M,如圖所示：

NM=NK=90。，

vZCBA=90°,ZM=90°,

:.ZCBA=ZM=90°,

AB\\DM,

:.ZBDM=NFBD,

4

sinZBDM=sinZFBD=—

13

BM4

在Rt小BDM中，sin/BDM=-----=—,

BD13

設(shè)BM=4Q,BD=13a,

???NFE出=90。，

:.BD±DEf

QCK1DE,

:.BD//CK,

/CBD+/BCK=180°,ZDCK=ZCDB,

QZCBD=ZCBA+ZFBD=90°+ZFBD,ZBCK=ZDCB+ZDCK,

ZDCB+ZDCK+90°+ZFBD=180。，

ZDCB+ZDCK=90°-ZFBD,

Q45°-1ZFBD=NDCB,

2ZDCK=90°-ZFBD,

Z.DCB+ZDCK=2ZDCK,

:./DCB=ZDCK,

:"DCB=/CDB,

BC=BD=13Q,

:.BH=BC+BH=lla9

在△OCM和△OCK中，

NDCB=ZDCK

<ZM=ZK=90°,

CD=CD

.\ADCM^DCK（AAS）,

,\CM=CK=17a,

設(shè)/FBD=a,

在吊△DBF中,ZBFD=90°-ZFBD=90°-a,

ZAFE=ZBFD=90?！猘,

*.*AE=AF,

,\ZAEF=ZAFE=90°-a,

ZCEK=ZAEF=90°-a,

在及△CEK中,/KCE+NCEK=90。，

...NKCE+90。一a=90。，

.\ZKCE=a=ZFBDf

4

sinZKCE=sinZFBD=—,

13

KF

在及ACEK中,CE=34,sinZKCE=——,

CE

KE=CE-sinNKCE=34x—,

1313

由勾股定理得：CK2+KE2=CE2,

...(17a)2+|畏=34?,

解得：°=處,°=-處(不合題意，舍去)，

1313

BC=13?=6717,

故答案為：6A/T7.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解一元二次方程，平行線的性質(zhì)和判

定，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵,

正確地添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的難點(diǎn).

14.①④/④①

【分析】本題主要考查配方法的應(yīng)用、根的判別式及二元一次方程組的解法，熟練掌握配方法的應(yīng)用、

根的判別式及二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵；由題意易得

p=a+2b,c=ab,q=b-a,m=-gk\=c--,n=^,k2=c+^~,然后根據(jù)配方法的應(yīng)用、根的判別式

及二元一次方程組的解法可依次排除答案.

【詳解】解：+px+c=z]/+c++c-^~,

(2x+a)(x+b)=2f+(a+2〃)x+",

―f+qx+c——―9%)+c—_[x_+C+,

(x+〃)(-%+匕)=一f+(>-Q)X+",

?ci77PiPQiq

??p=Q+2么c—ab,q=b—a,m=,k,—c---,〃=—，公—cH,

418224

①:m=-—n=—,

492

2m+6=2x||+6=--+6,

I4j2

*.*p+4=12,

q=12-p,

:.j上,

22

/.2m+6=n；故正確;

②,**P=q=2,

[a+2b=2

[b-a=2

2

a=—

3

解得：

b=-

[3

：.c=ab=-2^4=~8.故錯(cuò)誤;

③由題意可知：當(dāng)2/+px+c=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

A=i2-4ac=p1—8c=(a+26)~—8aZ>=(a—2Z?)~=0,

??ci—2b,

p=4b,q=-b,

：.p-4^=4Z?-4x(-Z?)=8/?^0；故錯(cuò)誤；

④當(dāng)加一〃=2,BP————=2,

42

p+2q——8,

?，?a+2b+2(Z?—a)=4b—a——8,

a=4Z?+8,

；.C="=6(46+8)=4/+86=4優(yōu)+1)2-4,

V4(^+l)2>0,

.?.C=43+1)2-4N-4,所以c的值不可能是-5,說法正確;

綜上所述：正確的結(jié)論有①④；

故答案為①④.

]<小—1+A/TS—1--J13

13.(l)x=-------=----------;

22

(2)x=-2.

【分析】本題綜合考查了一元二次方程與分式方程的解法.解題的關(guān)鍵點(diǎn)在于：一元二次方程通過通

過判別式判斷根的情況并運(yùn)用公式求解；分式方程需通過去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，同時(shí)必須檢驗(yàn)解是

否使原分式有意義.

(1)直接通過判別式判斷根的情況并運(yùn)用公式求解即可；

(2)通過去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，再解方程并檢驗(yàn)解的合理性即是否為增根.

【詳解】⑴解：X2+X-3=0，

二次項(xiàng)系數(shù)。=1,一次項(xiàng)系數(shù)6=1,常數(shù)項(xiàng)。=-3,

判另U式A=/一4。。=12一4xlx(-3)=l+12=13,

VA>0,方程有兩個(gè)不等實(shí)根，由求根公式得:

—b+\/A-1±-1+屈-1-屈

x=即占=

2a222

(2)解：42=\3

xx—\

兩邊同乘x(x—1)得：2(x—1)=3元,

展開并整理得2x-2=3x,

移項(xiàng)后得x=-2,

將x=-2代入原方程分母x和x-l,均不為零,

故尤=-2是方程的解.

16.(1)見解析

(2)%=1

【分析】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根的判別式，因式分解法解一元二次方程,

熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

(1)計(jì)算根的判別式即可證明；

(2)先將x=2代入(m-2)f-力a+2=0(mw2),求出加，再解一元二次方程即可.

【詳解】(1)證明：A=-4x(m-2)x2=m2-8m+16=(m-4)->0,

方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)解：???x=2是方程的一個(gè)根，

/.(7M—2)x4—2m+2=0,

解得：m=3,

???方程為：%2-3x+2=0

解得：%=1,x2=2,

方程的另一個(gè)根為x=l.

17.(1)-X2-3X+4=0

⑵c=—3

(3)53

【分析】此題考查了新定義——倒方程、一元二次方程的根的概念以及根與系數(shù)的關(guān)系.理解新定義，

一元二次方程根的概念以及根與系數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)新定義的含義可得答案；

2

(2)根據(jù)題意得到方程尤2_2尤+c=0的倒方程為CX-2X+1=0,把x=-1代入即可得到c的值；

(3)根據(jù)題意得到方程元2-5x-l=。的侄U方程為-/一5》+1=0,再結(jié)合方程根的性質(zhì)以及根與

系數(shù)關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)新定義，方程4/-3x-l=0的倒方程是：-X2-3X+4=0；

故答案為：一x?-3尤+4=0；

(2)解：由題知，方程f-2元+c=0的但I(xiàn)方程為S2-2X+1=0,

將x=-1代入此方程得，c+2+l=0,解得c=-3；

(3)解:由題知，一元二次方程元2-5x-1=0的倒方程是-Y-5X+1=0,

???加，”是此方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，

m+n=-5,mn=—1,—n2—5n+l=0,

n2=—5n+1,

2/—mn—lOm

=2(-5n+l)-mn-10m

=—10n+2—mn—10m

=—10(m+n)—mn+2

=-10x(-5)-(-l)+2

=53.

18.(1)能，A5的長(zhǎng)為15m,AD的長(zhǎng)為15m；或AB的長(zhǎng)為45m,AD的長(zhǎng)為5m；

⑵不能圍成面積為400m2的倉庫，理由見解析

【分析】本題主要考查了一元二次方程與幾何圖形的應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系建立方程是解

題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)A5=xm,則A￡>=更『m,根據(jù)矩形面積公式列出方程求解即可；

(2)設(shè)A5=xm,則=根據(jù)矩形面積公式列出方程，看方程是否有解即可得到答案.

【詳解】(1)解：設(shè)AB=xm,則4。=