第25關(guān)尺規(guī)作圖

基礎(chǔ)練

1.R024河北］觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段BD一定是△ABC的)

B.高線

C.中位線D.中線

2.［2024山東煙臺］某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線0P為

ZAOB的平分線的有(

0B

A.1個B.2個

3.［2024北京］下面是“作一個角使其等于ZAOB”的尺規(guī)作圖方法.

⑴如圖,以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA,OB于點C,D;

(2)作射線OA,以點O為圓心QC長為半徑畫弧，交OA于點C；以點C為圓心，CD長為半徑畫弧，兩弧交于

點D'；

(3)過點D作射線OB.則/AOB=/AOB.

上述方法通過判定△C'O'D'^ACOD得到AA'0'B'=乙40B,其中判定小C'O'D'^ACOD的依據(jù)是

)

A.三邊分別相等的兩個三角形全等

B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

4.[2024湖南]如圖,在銳角三角形ABC中,AD是邊BC上的高在BA,BC上分別截取線段BE,BF,使BE=BF;

分別以點E,F為圓心，大于押的長為半徑畫弧，在/ABC內(nèi)，兩弧交于點P,作射線BP,交AD于點M,過點M

作MNXAB于點N.若MN=2,AD=4MD,則AM=

5.[2024陜西]如圖，已知直線1和1外一點A.請用尺規(guī)作圖法，求作一個等腰直角△ABC,使得頂點B和頂點

C都在直線1上.（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作法）

A

6.[2024四川成都]如圖，在口ABCD中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交BA.B

C于點M,N;②分別以M,N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在/ABC內(nèi)交于點O;③作射線BO,交A

D于點E,交CD延長線于點F.若CD=3,DE=2,下列結(jié)論錯誤的是（）

A.ZABE=ZCBEB.BC=5

C.DE=DFD.-=-

EF3

7.[2024湖北]如圖,AB是半圓O的直徑,C為半圓O上一點，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交BA于點

M,交BC于點N,分別以點M,N為圓心，大于|MN的長為半徑畫弧，兩弧在NABC的內(nèi)部相交于點D,畫射線BD,

連接AC.若NCAB=50。,則NCBD的度數(shù)是（）

A.30°B.25°C.20°D.15°

8.[2024重慶A卷]在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，智慧小組進行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，過矩形的一

條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利

用證明三角形全等得到此結(jié)論根據(jù)他們的想法與思路，完成以下作圉和填至：

（1）如圖.在矩形ABCD中點O是對角線AC的中點.用尺規(guī)過點0作AC的垂線，分別交AB,CD于點E,F,

連接AF,CE（不寫作法，保留作圖痕跡）.

D,--------71C

----------'B

⑵已知矩形ABCD,點E,F分別在AB,CD上,EF經(jīng)過對角線AC的中點O,且EF_LAC.

求證：四邊形AECF是菱形.

證明：：四邊形ABCD是矩形，

；.AB〃CD.

①,ZFCO=ZEAO.

:點O是AC的中點，

ACFO^AAEO(AAS).

XVOA=OC,

四邊形AECF是平行四邊形.

VEF±AC,

四邊形AECF是菱形.

進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢?請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：

④_______________________________________________________________________

9.[2024河南]如圖，在RtAABC中,CD是斜邊AB上的中線,BE〃DC交AC的延長線于點E.

⑴請用無刻度的直尺和圓規(guī)作/ECM，使NECM=NA,且射線CM交BE于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）；

⑵證明⑴中得到的四邊形CDBF是菱形.

ADB

10.［2024江蘇揚州］如圖，已知/PAQ及AP邊上一點C.

(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點0,使得NC0Q=2NCAQ;(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在(1)的條件下以點O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交射線AQ于點B,用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP上求

作點M,使點M到點C的距離與點M到射線AQ的距離相等；(保留作圖痕跡，不寫作法)

⑶在⑴⑵的條件下，若sinX=|,CM=12,求BM的長.

11.［2024江西］如圖.AC為菱形ABCD的對角線，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕跡).

⑴如圖1,過點B作AC的垂線；

(2)如圖2,點E為線段AB的中點，過點B作AC的平行線.

12.(2024湖北武漢］如圖是由小正方形組成的3x4網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點.△ABC三個頂點都是格

點.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個畫圖任務(wù)，每個任務(wù)的畫線不得超過三條.

⑴在圖⑴中.畫射線AD交BC于點D使AD平分△ABC的面積；

⑵在(1)的基礎(chǔ)上,在射線AD上畫點E.使/ECB=/ACB;

(3)在圖⑵中,先畫點F,使點A繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90。到點C,再畫射線AF交BC于點G;

(4)在⑶的基礎(chǔ)上，將線段AB繞點G旋轉(zhuǎn)180。,畫對應(yīng)線段MN(點A與點M對應(yīng)，點B與點N對應(yīng)).

⑴(2)

第25關(guān)尺規(guī)作圖

1.B2.D3.A4.6

5.如圖，AABC即為所求（作法不唯一）

6.D解析：由尺規(guī)作圖可得BE平分/ABC/.NABE=NCBE,故選項A中結(jié)論正確;在口ABCD中,ABIICD,

..NABE=NF,;.NCBE=NF,「.BC=CF,在口ABCD中,ADllCB,」.NDEF=NCBE/.NDEF=NF/.DE=DF=2,

CF=CD+DF=5=BC,故選項B、C中結(jié)論正確;.ABIICD〃"ABESADFE、—=些，又在口ABCD中,AB=C

DFEF

D=3,???霄=*故選項D中結(jié)論錯誤.

EF2

7.C解析:「AB為半圓O的直徑.

.-.zACB=90o,

?.NCAB=50°,二.NABC=40°,

由作圖知，BD是/ABC的平分線,

1

NCBD=~ZABC=20°.

2

8.(1)如圖

⑵①NCFO=NAEO;

②OC=OA;

③OF=OE;

④過平行四邊形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個

端點構(gòu)成的四邊形是菱形

9.(1)如圖.

E

⑵證明:由（。得NECF=NA.

.'.CFIIAB.

/BEIIDC,

二四邊形CDBF是平行四邊形.

?：CD是RfABC斜邊AB上的中線，

..CD=BD.

:尸CDBF是菱形.

10.（1）見解析⑵見解析⑶6遍解析：（1）如圖，點。即為所求.

⑵如圖，點M即為所求.

(3)由(1)作圖可知OA=OC=OB,

.?易得NACB=90。，

..BC3

???smA=—=

AB5'

設(shè)BC=3k,則AB=5k,..AC=4k,過M作MH±AQ于點H油⑵作圖可知BM平分NCBQ,又MC±CB,

NMBC=NMBH/MCB=NBHM=90°,CM=MH、

.?.△MBC2MBH,

.-.BC=BH=3k.

..AH=AB+BH=8k.

???sinA=—AM=-5,nAF=AF+HF,

.-.MH=6k,

，CM=12=MH=6k,

.■.k=2,

.-.BH=6,

BM=y/BH2+MH2=V62+122=6V5.

11.⑴如圖所示

(2)如圖所示(作圖不唯一)

12.(1)如圖所示(答案不唯一)

(2)如圖所示，點E即為所求(答案不唯一)

⑶如圖所示

(4)如圖所示(答案不唯一)

微專題11最短路徑問題

1.C解析:如圖，作點N關(guān)于BD的對稱點W,連接MW,NW,PW,MN,

cN

??四邊形ABCD為菱形,

:點N'在CD上，由對稱可得BD垂直平分NN',;.RN=PN1,

.?.PM+PN=PM+PN',

:當(dāng)M、P,W三點共線時,PM+PN的值最小、為MW的長，

AM==1,四邊形ABCD為菱形，

.-.AB=BC=3,

AC±BD.

在RNBCO中,BO=BCsinNOCB=3xf=學(xué),0。=BC?cos/OCB=3x]=|,

BD=2B0=3y[3,AC=20C=3,

???AM=AN-AB=1,

3

AM_AN_1DN_2

**AB~AD~3'AD~

?.zMAN=zBAD,

.'.△AMN-AABD,

.,.NAMN=NABD,AMB=M/D=押翳=1,

.-.MNllBD,MN=V3

-.AC±BD,NN'±BD,

/.NN'IIAQ/.ADNN'-ADAQ

DNNN_2目NN2/

“'NN=2,

AD=1八3

?.MNllBD,NN'±BD,

，MN，NN%kMNN'=90°,

二在RtAMNN'中，MN'=JMN2+NN^=J(V3)2+22=V7,

.'.PM+PN的最小值為V7,BP(a=V7.

1A解析如圖作點D關(guān)于OB的對稱點D)連接AD，,CD，QD，,

則CD=CD',OD=OD',zDOB=zBOD',-.?AC+CD=AC+CD'>slantAD?.當(dāng)A,C,D'三點共線時AC+CD

的值最小，即陰影部分的周長最小，最小值為AD，的長+AD的長.

-.0D平分NAOB/AOB=60°,

ANAOD=NDOB=-^405=30°,

2

..NBOD'=30°,，NAOD'=90。,在RbOAD'中,OD'=OD=OA=L：AD'=VX又AD的長=^1=一陰影部

180O

分周長的最小值為夜+￡

O

3.80°

解析：作點P關(guān)于OA的對稱點E,連接OP,EP,EO,EM,如圖,

EM=MP/MPO=zOEM,zEOM=zMOP,

作P點關(guān)于OB的對稱點F,連接NF,PF,OF,EF,

PN=FN,zOPN=zOFN,zPON=zNOF,

PM+PN+MN=EM+NF+MN>EF,

..當(dāng)E,M,N,F共線時,APMN周長最小,此時zOEM=zOEF,zOFN=zOFE,

X/zEOF=zEOM+zMOP+zPON+zNOF,zAOB=zMOP+zPON=50o,

..NEOF=2NAOB=100°,

，在AEOF中,NOEM+NOFN+NEOF=180°,

zOEM+zOFN=180°-100°=80°,

?.zMPO=zOEM,zOPN=zOFN,

.?.zMPO+zOPN=80°,

.?.zMPN=zMPO+zOPN=80°.

4.6

解析：連接CH,

?.A(-2,0),B(0,2),.-.OB=2,OA=2,

?.C是OB的中點,，BC=OC=L

?.zPHO=zCOH=zDCO=90°,

二四邊形PHOC是矩形，

，PH=OC=BC=L

-.-PH±OA,BO±OA,.-.PHllBC,

.?四邊形PBCH是平行四邊形，

.?.BP=CH,「.BP+PH+HQ=CH+HQ+L要使CH+HQ的值最小，只需C,H,Q三點共線即可，

■:點Q是點B關(guān)于點A的對稱點,

.■.Q(-4,-2),

又?.點C(0,l),

根據(jù)勾股定理可得CQ=J(0++(1+2產(chǎn)=5,此時,BP+PH+HQ=CH+HQ+PH=CQ+1=5+

1=6,

即BP+PH+HQ的最小值為6.

5.(1)4或6(2)12.5(3)27221

解析：(1)由題易得NCBM=NCMH=NHEM=90。,

zCMB+ZBCM=zCMB+NHME=90°,

..NBCM=NHME,