2025年中考數(shù)學復習難題速遞之一元二次方程（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025春?合肥月考）已知某運動會中乒乓球比賽的賽制為單循環(huán)賽（每兩隊之間都賽一場），一共進行

了21場比賽，若設有x支球隊參加比賽，則下列方程正確的是（）

11

A.-x（x+1）=21B.-%（x—1）=21

C.x（x-1）=21D.xCx+1）=21

2.（2025春?合肥月考）《周髀算經(jīng)》原名《周髀》，算經(jīng)的十書之一，是中國最古老的天文學和數(shù)學著作.其

書中有一種幾何方法可以解形如x（x+6）=27的方程的正數(shù)解，方法如下：如圖，將四張長為（x+6）、

寬為x的長方形紙片（面積均為27）拼成一個大正方形，于是大正方形的面積為27X4+62=144,因此

大正方形的邊長為12,故得x（x+6）=27的正數(shù)解為％=竽=3.小輝按此方法解關于x的方程f+px

-q=0時，構(gòu)造出類似的圖形.已知大正方形的面積為169,小正方形的面積為25,則p+q的值是（）

3.（2025春?合肥月考）若一元二次方程7+x-3=0的一個根為加，則2025-優(yōu)2-機的值是（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

4.（2025?永年區(qū)模擬）已知關于了的一元二次方程晨-1）/+2；1+1=0的兩個實數(shù)根的和為2,則左=（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2024秋?銅仁市期末）數(shù)學課上，數(shù)學老師在黑板上寫出了一個一元二次方程，讓第一學習小組的四

位同學以接力的方式用配方法解方程，每人負責完成一個步驟（如圖），他完成一步解答后接著第二位

同學上黑板計算，…，依次進行，最后完成計算.規(guī)則是每人只能看到前一名同學的計算結(jié)果.接力計

算中，出現(xiàn)錯誤的同學是（）

李陳

A.張B.王C.李D.陳

6.（2025春?江津區(qū)校級月考）已知整式M:4Z5X5+?4X4+4Z3X3+6Z2X2+<21X+6Z0,其中40,41,〃2,〃3,Q4,Q5

均為自然數(shù).則下列說法，正確的個數(shù)為（）

①若M—（X-1）5,則〃0+。2+〃4=16;

②〃0,41,02,。3,〃4,。5中必有兩個數(shù)的差是5的倍數(shù)；

1

③當M=0時，該方程存在5個實數(shù)解記為XI,尤2,X3,X4,尤5,若存在整數(shù)"，使XLX"3X4X5=-而，且

410=1,OA--7?2+25,則44+。5存在最大值為25.

A.3個B.2個C.1個D.0個

7.（2025春?長壽區(qū)校級月考）新能源汽車節(jié)能環(huán)保，越來越受消費者喜愛.2022年某款新能源汽車銷售

量為24萬輛，銷售量逐年增加且年平均增長率相同，2024年預估銷售量為29萬輛，求這款新能源汽

車的年平均增長率.設這款新能源汽車的年平均增長率為x,根據(jù)題意，下列方程正確的為（）

A.24（1+x2）=29B.29（1-?）=24

C.29（1-%）2=24D.24（1+x）2=29

8.（2025春?巴彥縣月考）某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，銷售單價由原來的25元降到16元，則平均每次降

價的百分率為（）

A.10%B.15%C.20%D.30%

9.（2025?衡陽模擬）已知一元二次方程/-4x+左=0的一個根是3,則上的值為（）

A.-3B.0C.2D.3

10.（2025?福田區(qū)模擬）實數(shù)a,b定義新運算“*”如下：a*b=b2+ab,例如1*2=2?+1X2=4+2=6,則

方程2*尤=-2的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根

B.只有一個實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根

D.沒有實數(shù)根

—.填空題（共5小題）

2±/4-4x3x（-l）.

11.（2025春?合肥月考）若％=-----7-5---------是一元二次方程ax1+bx+c=Q的根，則a+b-c的值

為.

12.（2025?烏魯木齊一模）設機，〃是方程/+x-2025=0的兩個實數(shù)根,則m2+2m+n+mn的值為.

13.（2025春?東陽市月考）若關于x的方程（4-m2）f+23-1=0的所有根都是小于1的正實數(shù)，則實

數(shù)機的取值范圍是,

14.（2025?江北區(qū)模擬）暑假期間，小青同學和小彬同學相約進行社會實踐活動，他們購進了某種卡片進

行銷售，第一天銷售256張.第二、三天該卡片十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，第三天的銷售量達到400

張.則第二、三天平均的增長率為

15.（2025?碧江區(qū)一模）如圖，正方形ABC。的邊長為4c機，E為A8的中點，點P以2cm/s的速度從點

2出發(fā)，沿2C-a）向點。運動，同時點。以Icwi/s的速度從點E出發(fā)，沿班-8C向點C運動，當

點P運動到點。時，P、Q兩點同時停止運動，若在運動過程中，當SAAPQ=2SABPQ時，BP的長度

為____________________.

三.解答題（共5小題）

16.（2025春?合肥月考）2閱讀與思考：

下面是八（1）班學習小組研究性學習報告的部分內(nèi)容，請認真閱讀并完成相應任務.

研究一元二次方程的新解法

討論一種關于一元二次方程的新解法一一消去未知數(shù)的一次項，將原方程轉(zhuǎn)化為可以開

平方的形式，將其開平方，從而進一步求得方程的解.

【例如】解一元二次方程x2-4.r-6=0,

設x^y+m（m為常數(shù)），

將原方程化為（y+加）2-4（y+M-6=0,①

方程①整理，得/+（2m-4）y+rrr-4m-6—0,②

令2m-4=0,解得m=2.

當m=2時，m2-4m-6=22-4X2-6=-10,

方程②化為f-10=0,解得%=V10,y2=-V10,

??xi=y\+m=_____________________▲,X2=yi+m=______________________

任務：

（1）直接寫出材料中“▲”部分方程的解XI=,X2=

（2）按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程3/+12無+1=0.

17.(2025春?合肥月考)配方法應用廣泛，除了用來解一元二次方程，還可以求代數(shù)式的最大值或最小值.

例如：已知x可取任何實數(shù)，試求二次三項式-/-2x+4的最大值.

解：-/-2x+4=-(/+2x+l-1)+4=-(x+1)-+1+4=-(x+1)~+5.

-(x+1)2^0

，-(x+1)2+5W5,

當尤=-1時，-尤2-2x+4取最大值，最大值是5.

試利用配方法解決下列問題：

(1)求出x2+6x-9的最小值.

(2)已知尸=4/-x+2,Q=3/+3尤-5,試判斷尸，。的大小，并說明理由.

(3)如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=12cm,M,N分別是線段AC和8c上的動點，

點〃從點A出發(fā)以lcm/s的速度向終點C運動，同時點N從點C出發(fā)以2cm/s的速度向終點B運動，

當其中一點到達終點時，兩點同時停止運動.設運動的時間為ts,則當t的值為多少時，四邊形

的面積最??？最小面積為多少？

18.(2025春?上海月考)解下列關于x的方程:

(1)or2-2=7+1(cz#l)；

4%1

(2)j

%2+3%-4

o5

(3)2X4-2^=-3X；

(4)x—y/x—2=4.

19.(2025春?合肥月考)對于任意實數(shù)a,b(aWO)規(guī)定一種新運算a*6=5+"-2.例如：3*2=32+3

X2-2=13.請根據(jù)上述定義解決以下問題:

(1)計算：(-2)*3.

(2)若(-尤)*2的值為1,求x的值.

20.(2025?碧江區(qū)一模)隨著貴州旅游業(yè)的高速發(fā)展，讓越來越多的人看見了貴州的大好山河.暑期來

臨，兩隊戶外徒步露營愛好者計劃同一天從貴陽市出發(fā)，沿兩條不同的路線徒步游完烏蒙山周邊自然景

觀，最后在九龍鎮(zhèn)匯合.甲隊走A路線，全程120千米；乙隊走2路線，全程160千米.由于A路線

1

的路況沒有2路線好，甲隊每天行駛的路程是乙隊每天行駛路程的一，最終甲隊比乙隊晚2天到達九龍

2

鎮(zhèn).

(1)求甲、乙兩隊分別計劃多少天到達目的地；

(2)在他們的活動計劃中，乙隊每人每天的平均花費都為135元.甲隊最開始計劃有8個人同行，計

劃每人每天花費300元，后來又有機個人加入隊伍，經(jīng)過計算，甲隊每增加1人時，每人每天的平均

花費將減少30元.若最終甲、乙兩隊一起旅行的人數(shù)相同，且旅行天數(shù)與各自原計劃天數(shù)一致.兩隊

共需花費17640元，求機的值.

2025年中考數(shù)學復習難題速遞之一元二次方程（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案BCAABBDCDD

選擇題（共10小題）

1.（2025春?合肥月考）已知某運動會中乒乓球比賽的賽制為單循環(huán)賽（每兩隊之間都賽一場），一共進行

了21場比賽，若設有尤支球隊參加比賽，則下列方程正確的是（）

11

A.-x（x+1）=21B.-%（%—1）=21

C.x（x-1）=21D.尤（x+1）=21

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），共進行了21場比賽，找出等量關系，列出方

程即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：

1

-x（x—1）—21

故選：B.

【點評】本題考查一元二次方程的運用，解題的關鍵理解單循環(huán)形式的比賽規(guī)則.

2.（2025春?合肥月考）《周髀算經(jīng)》原名《周髀》，算經(jīng)的十書之一，是中國最古老的天文學和數(shù)學著作.其

書中有一種幾何方法可以解形如無（尤+6）=27的方程的正數(shù)解，方法如下：如圖，將四張長為G+6）、

寬為x的長方形紙片（面積均為27）拼成一個大正方形，于是大正方形的面積為27X4+62=144,因此

大正方形的邊長為12,故得xG+6）=27的正數(shù)解為x=專心=3.小輝按此方法解關于x的方程f+px

-q=0時，構(gòu)造出類似的圖形.已知大正方形的面積為169,小正方形的面積為25,則p+q的值是（

【考點】一元二次方程的應用；數(shù)學常識；解一元二次方程-配方法.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意將尤的方程1+.-4=0化為x（x+p）=q,即長方形的長為x+p,寬為X,再依據(jù)大

正方形的面積為169,小正方形的面積為25,用代數(shù)式表示出邊長即可.

【解答】解：：大正方形的面積為169,小正方形的面積為25,

關于龍的方程S+px-q=0化為無（x+p）—q,

...圖中長方形的長為x+p,寬為x,

圖中小正方形的邊長是x+p—x=p=V25=5,

大正方形的邊長是x+x+p=2x+p=V169—13,

.13-58.<

..%=-—=2=%P=5，

,\q—jT+px=x（無+p）=4X（4+5）=4X9=36,

故p=5,q—36,

；.p+q=5+36=41,

所以p+q的值是41,

故選：C.

【點評】本題主要考查了解一元二次方程，數(shù)學常識，一元二次方程的應用，根據(jù)題目給出的條件、找

出合適的等量關系、列出方程是解答本題的關鍵.

3.（2025春?合肥月考）若一元二次方程d+x-3=0的一個根為加，貝U2025-加？的值是（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

【考點】一元二次方程的解；代數(shù)式求值.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)根是方程/+x-3=0的一個根，可得〃，+,〃=3,再代入代數(shù)式計算即可求.

【解答】解：由條件可知m2+m-3=0,

??1n+in3,

.?.2025-tn2-/77=2025-Gf+m）=2025-3=2022.

故選：A.

【點評】本題考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，掌握整體代入法是解題的關鍵.

4.（2025?永年區(qū)模擬）已知關于工的一元二次方程（左-1）/+2；1+1=0的兩個實數(shù)根的和為2,則改=（）

A.0B.1C.2D.3

【考點】根與系數(shù)的關系；一元二次方程的定義；根的判別式.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】A

【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義以及有實數(shù)根得到左W2且左W1,再由根與系數(shù)的關系即可求解.

【解答】解：由條件可知22-4（k-1）20,

解得kW2且左。1.

*,?%1+%2=~~T=2,解得k=3此時方程有實數(shù)解，

K.—J.

故選：A.

【點評】此題考查了一元二次方程的定義以及根與系數(shù)的關系、根的判別式，掌握一元二次方程根與系

數(shù)的關系是解題的關鍵，易錯點容易忽略二次項系數(shù)不為0.

5.（2024秋?銅仁市期末）數(shù)學課上，數(shù)學老師在黑板上寫出了一個一元二次方程，讓第一學習小組的四

位同學以接力的方式用配方法解方程，每人負責完成一個步驟（如圖），他完成一步解答后接著第二位

同學上黑板計算，…，依次進行，最后完成計算.規(guī)則是每人只能看到前一名同學的計算結(jié)果.接力計

算中，出現(xiàn)錯誤的同學是（）

原方程

2x2+4x—1=0

【考點】解一元二次方程-配方法.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)配方法解老師出示的一元二次方程即可判斷出錯的同學.

【解答】解：原方程移項得：2X2+4X=1,故小張正確;

方程左右兩邊同時除以2可得：%2+2%=故小王錯誤；

故選：B.

【點評】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用配方法解一元二次方程成為解題的關鍵.

6.(2025春?江津區(qū)校級月考)已知整式M:fl5X5+4Z4X4+4Z3X3+tZ2X2+<71X+6Z0,其中〃0,ai,02,〃3,44,〃5

均為自然數(shù).則下列說法，正確的個數(shù)為()

①若M=(X-1)5,則〃0+。2+〃4=16;

②“0,41,O1,〃3,44,45中必有兩個數(shù)的差是5的倍數(shù)；

1

③當M=0時，該方程存在5個實數(shù)解記為XI,XI,X3,X4,尤5,若存在整數(shù)小使X1X2X3X4X5=-1且

40=1,。4=-7+25,則04+。5存在最大值為25.

A.3個B.2個C.1個D.0個

【考點】根與系數(shù)的關系；代數(shù)式求值；根的判別式.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】B

【分析】表示出當x=l時，當x=-1時M的值，再進行加法運算即可判斷①；令x=l,則M=

a=

。0+。1+。2+。3+。4+。5,令了=-1，則M=-。5+。4-。3+。2-。1+。0,表示出詢+a2+4_1)

的+%+附=叭"=1)曰=_1),結(jié)合題意即可判斷②；由題意結(jié)合一元二次方程的解以及一元二次

111101

方程根與系數(shù)的關系得出一=——,即〃5=-n,從而得出。4+。5=—幾2+25—幾=—(71+5)2+-］一,

asn/4

計算即可判斷③，從而得解.

【解答】解：①當X=1時，〃5+。4+。3+"2+。1+。0=0①，

當X=-1時，-〃5+〃4-〃3+。2-〃1+〃0=-32(2),

工由①+②可得：2(〃o+〃2+〃4)=-32,

ao+a2+a4=-16,故①錯誤；

②令％=0,則M=〃o,

令X=1,則"=〃0+。1+。2+〃3+。4+。5,

令X=-1,貝IM=-。5+〃4-43+。2-〃1+。0,

.〃.+0_M(%=l)+M.=_l)_M(x=l)-M(x=-1)

??CLQIUn-2I口4—2，TLegT(Z5—?,

由條件可知Q0+Q2+3,。1+〃3+。5均為整數(shù),

，Q0+〃2+〃4與41+Q3+Q5必有一個為5的倍數(shù),

???〃0,4/1=2,〃2,43,〃4,45中必有兩個數(shù)的差是5的倍數(shù)，所以②正確；

③由題意，得XI,%2,%3,X4,X5為方程即％6+*/+的/+的/+%.%+。0=0的五個解，

..1一

?％I%2%314%5=一或〃0一1，

11

——=——,BP475——九,

a5n

2

Va4=—n+25,

?、。

??。4+.CI5=_—712'+Io25r—72_=—（r荏+I^1）2d?1^―1,

/.當"=0或”=-1時，44+05有最大值25,

...當”=-1時，04+45的最大值為25,

所以③正確，

綜上所述，正確的有②③，共2個，

故選：B.

【點評】本題主要考查了整數(shù)的混合運算，代數(shù)式求值，一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的

關系，正確計算是解此題的關鍵.

7.（2025春?長壽區(qū)校級月考）新能源汽車節(jié)能環(huán)保，越來越受消費者喜愛.2022年某款新能源汽車銷售

量為24萬輛，銷售量逐年增加且年平均增長率相同，2024年預估銷售量為29萬輛，求這款新能源汽

車的年平均增長率.設這款新能源汽車的年平均增長率為x,根據(jù)題意，下列方程正確的為（）

A.24（1+/）=29B.29（1-%2）=24

C.29（1-尤）2=24D.24（1+x）2=29

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)平均變化率的等量關系。（l±x）2=b,增長為加，降低為減，列出方程即可.

【解答】解：由題意知，24（1+x）2=29,

故選：D.

【點評】本題考查一元二次方程的實際應用，理解題意是關鍵.

8.（2025春?巴彥縣月考）某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，銷售單價由原來的25元降到16元，則平均每次降

價的百分率為（）

A.10%B.15%C.20%D.30%

【考點】一元二次方程的應用.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力；應用意識.

【答案】C

【分析】設平均每次降價的百分率為X,根據(jù)商品原來銷售單價義（1-每次降價的百分率）2=現(xiàn)在銷

售單價，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可.

【解答】解：設平均每次降價的百分率為X,

根據(jù)題意得：25（1-%）2=16,

解得：xi=0.2=20%,尤2=1.8（不合題意，舍去），

即平均每次降價的百分率為20%,

故選：C.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

9.（2025?衡陽模擬）已知一元二次方程尤2-以+左=0的一個根是3,則人的值為（）

A.-3B.0C.2D.3

【考點】一元二次方程的解.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】D

【分析】將x=3代入方程/-4x+k=0再解關于k的一元一次方程即可.

【解答】解：由條件可知32-4X3+4=0,

:.k=3.

故選：D.

【點評】本題考查一元二次方程的解的定義.方程的解就是能使左、右兩邊相等的未知數(shù)的值.

10.（2025?福田區(qū)模擬）實數(shù)a,b定義新運算"*"如下：a*b—b2+ab,例如1*2=22+1X2=4+2=6,則

方程2*尤=-2的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根

B.只有一個實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根

D.沒有實數(shù)根

【考點】根的判別式；實數(shù)的運算.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)運算“*”的定義將方程2*x=-2轉(zhuǎn)化為一般式，由根的判別式△<（）,即可得出該方程

無實數(shù)根.

【解答】解：由題可得：方程2*尤=-2化為f+2x=-2,

即X2+2X+2=0,

"：A=22-4X1X2=-4<0,

；?方程沒有實數(shù)根，

故選：D.

【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當A<0時，方程無實數(shù)根”是解題的關鍵.

填空題（共5小題）

2±U-4x3x（-l）"

11.（2025春?合肥月考）若x=」~E--------是一元二次方程aS+bx+c=0的根,則a+b-c的值為2

【考點】解一元二次方程-公式法.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】2.

【分析】利用求根公式判斷求解即可.

【解答】解：由條件可知。=3,b=-2,c=-1,

/.a+b-c=3-2+1=2,

故答案為：2.

【點評】本題主要考查解一元二次方程-公式法，熟練掌握該知識點是關鍵.

12.（2025?烏魯木齊一模）設m,n是方程/+尤-2025=0的兩個實數(shù)根，則層+2優(yōu)的值為-1.

【考點】根與系數(shù)的關系.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】-L

【分析】根據(jù)題意得到m2+m=2025,m+n=-1,mn=-2025,將所求代數(shù)式變形得m2+m+Gn+n）

+"〃?，代入計算即可求解.

【解答】解：設相，〃是方程的兩個實數(shù)根，

.,.nr+m=2Q25,m+n=-1,mn=-2025,

m2+2m+n+mn—nr+m+(〃?+w)+mn--1,

故答案為：-1.

【點評】本題考查了一元二次方程的根，一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的

關系的計算是關鍵.

13.(2025春?東陽市月考)若關于x的方程(4-相2)/+2如-1=0的所有根都是小于1的正實數(shù)，則實

數(shù)m的取值范圍是m22.

【考點】根與系數(shù)的關系；根的判別式.

【專題】分類討論；運算能力；推理能力.

【答案】相、2.

【分析】分方程為一元一次方程和一元二次方程兩種情況，分別求得根都是小于1的正實數(shù)時m的值

和取值范圍即可.

【解答】解：①4-〃，=o,機=±2時，方程為一元一次方程，

1

I>m=2時，方程為4%-1=0,解得冗二五，符合題意；

4

II、根=-2時，方程為-4工-1=0,解得x=-[,不符合題意;

②4-蘇不。，方程為一元二次方程，

△=(2m)2-4(4-m2)X(-1)=16>0,

.??方程有兩個不相等的實數(shù)根，

._—2m+4_2(2—m)_1

?,"I—2(4-m2)—2(2+m)(2—m)—2+m,

_—2m—4_-2(m+2)_1

X2~2(4-m2)—2(2+m)(2—m)—m—29

:關于尤的方程(4-m2)/+2必-1=0的所有根都是小于1的正實數(shù),

解得：加>2,

綜上：

故答案為：根22.

【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系的相關知識.分類探討關于尤的方程根的情況是解決本

題的易錯點.

14.(2025?江北區(qū)模擬)暑假期間，小青同學和小彬同學相約進行社會實踐活動，他們購進了某種卡片進

行銷售，第一天銷售256張.第二、三天該卡片十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，第三天的銷售量達到400

張.則第二、三天平均的增長率為25%.

【考點】一元二次方程的應用.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力；應用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】設第二、三天平均的增長率為x,利用第三天的銷售量=第一天的銷售量X（1+第二、三天平

均的增長率）2,列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可.

【解答】解：設第二、三天平均的增長率為尤，

根據(jù)題意得：256（1+x）2=400,

解得：xi=0.25=25%,xi--2.25（不符合題意，舍去），

即第二、三天平均的增長率為25%,

故答案為：25%.

【點評】本題主要考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

15.（2025?碧江區(qū)一模）如圖，正方形48。的邊長為4cmE為A8的中點，點P以2c機/s的速度從點

8出發(fā)，沿BC-C。向點。運動，同時點。以1c機/s的速度從點￡出發(fā)，沿EB-BC向點C運動，當

點尸運動到點。時，尸、。兩點同時停止運動，若在運動過程中，當SAAPQ=2S^BPQ時，8尸的長度為

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】1或4.

【分析】分兩種情況討論，0ctW2,2</W4,根據(jù)&APQ=2SABPQ分別列出方程，解方程，即可求解.

【解答】解：如圖所示，當0<rW2時，點0在線段班上，尸在BC上，

依題意，EQ=t,QB=2-t,則AQ=2+/；BP=2t,

?S/\APQ=2S/\BPQf

11

xPB=2x-BQxPB,

：.AQ=2BQ,

：.2+t=2(2-r),

解得：t=

CQ=CB-BQ=4-(L2)=6-t,

*/S正方形-(S/\ADP^-S/\ABQ+SAPCQ)=1S/\BPQ，

1I11

**?4x4一5X4X(8—2t)+2x(2t—4)(6—t)+)X4x(t-2)]=2X彳X(力—2)x(2t—4),

解得：￡=4或/=-2（舍去）,

綜上所述，t二|或4,

故答案為：孑或4.

【點評】本考查了一元一次方程，一元二次方程的應用，熟練掌握該知識點是關鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025春?合肥月考）2閱讀與思考:

下面是八(1)班學習小組研究性學習報告的部分內(nèi)容，請認真閱讀并完成相應任務.

研究一元二次方程的新解法

討論一種關于一元二次方程的新解法一一消去未知數(shù)的一次項，將原方程轉(zhuǎn)化為可以開

平方的形式，將其開平方，從而進一步求得方程的解.

【例如】解一元二次方程:-4尤-6=0,

設尤=y+機(機為常數(shù))，

將原方程化為(y+〃z)2-4(y+m)-6=0,①

方程①整理，得/+(2m-4)y+m2-4m-6=0,②

令2根-4=0,解得777—2.

當77?=2時，iv1-4m-6=22-4X2-6—-10,

.,.方程②化為廿-10=0,解得力=V10,y2=-V10,

.".xi=yi+m=_V10+2_▲,無2=丫2+m=-VTU+2；

任務：

(1)直接寫出材料中部分方程的解xi=_VIU+2—,%2=-V10+2.

(2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程3/+12%+1=0.

【考點】解一元二次方程-直接開平方法.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】(1)V10+2,-V10+2；

“、_733?_733

(2)I[=-2,%2=Q2?

【分析】(1)根據(jù)材料中的方法求出解即可；

(2)設x=y+m(m為常數(shù)),將原方程化為(y+m)2+4(y+m)+^=0,方程整理,得9+(2m+4)y+

iillii

m2+4m+耳=0,令2m+4=0解得-2,當m=-2時，根2+47n+可=—可，方程化為y?——^-=0,

解得%=孚，%=孚，%=—孚，即可求出答案?

【解答】解：(1)設尸尹機(機為常數(shù))，

將原方程化為(y+m)2-4(y+M-6=0,①

方程①整理，得y2+(2m-4)y+m2-4m-6=0,②

令2m-4=0,解得m=2.

當m=2時，m2-4m-6=22-4X2-6=-10,

?,?方程②化為y2-10=0,解得力=0",y2=—V10,

m=

xr=yr+m=V10+2,xr=yr-\-m=VTo+2,x2=y2+~V10+2.

故答案為：V10+2,-V10+2；

(2)設％=y+m(機為常數(shù))，

將原方程化為(y+m)2+4(y+m)+可=0①

方程①整理得：

1

y2+(2m+4)y+m2+4m+可=。②

令2m+4=0解得m=-2,

.111

當m=-2時，m2+4m+可=一萬"，

方程②化為必—孕=0

A774B_133_,33

解得，丫2=—?

._._J33_J33Q

??％】=y1+??1=-92,%2=y2+血=2?

【點評】本題考查一元二次方程的解法，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，

17.(2025春?合肥月考)配方法應用廣泛，除了用來解一元二次方程，還可以求代數(shù)式的最大值或最小值.

例如：已知x可取任何實數(shù)，試求二次三項式-%2-2x+4的最大值.

解：-/-2x+4=-C+2x+l-1)+4=-(x+1)“+1+4=-(尤+1)?+5.

：-(尤+1)2^0

-(x+1)2+5W5,

...當尤=-1時，-/-2x+4取最大值，最大值是5.

試利用配方法解決下列問題：

(1)求出x?+6x-9的最小值.

(2)已知P=4/-x+2,。=3/+3尤-5,試判斷尸，。的大小，并說明理由.

(3)如圖，在△ABC中，/C=90°,AC^6cm,BC=12cm,M,N分別是線段AC和BC上的動點，

點〃從點A出發(fā)以lcm/s的速度向終點C運動，同時點N從點C出發(fā)以2cm/s的速度向終點8運動，

當其中一點到達終點時，兩點同時停止運動.設運動的時間為ts,則當f的值為多少時，四邊形

的面積最小？最小面積為多少？

CNB

【考點】配方法的應用；三角形的面積；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方；完全平方公式.

【專題】配方法；運算能力.

【答案】(1)-18；

(2)P>Q.理由見解析；

(3)f=3時，四邊形AMN8面積的最小值，最小面積為27c”，.

【分析】(1)直接利用完全平方公式和材料求解即可；

(2)先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可；

(3)根據(jù)題意表示出SAMCN=-(t-3)2+9,再利用完全平方的非負性求出當t的值為3時，△MCN

的面積有最大，最大值為9cm2.由四邊形AMNB的面積得到當f=3時，四邊形AMNB

面積的最小值，最小面積為36-9=27(cm2).

【解答】解：(1)，/X2+6X-9=(x+3)2-18,

(x+3)220,

(x+3)2-182-18,

當尤=-3時，X2+6X-9的最小值為-18.

(2)P>Q,理由如下：

P-Q—(4尤2-尤+2)-(3X2+3X-5)=7-4x+7=(%-2)2+3,

,?(x-2)2\0,

(%-2)2+3>3>0,

■,-P>Q.

(3)由題意得：CM=6-t,CN=2t,

1

:*SAMCN=2x2tx(6—t)=-t2+6t=—(t—3)2+9,

.,*-(L3)2?0,

，(L3)2+9<9,

???當力=3時，-(L3)2+9有最大值，最大值為9,即：當/的值為3時，△〃0代的面積最大，最大

值為9cm2.

,:S四邊形AMN3=S44BC-S4MCN

當AMCN的面積最大時，四邊形AMNB的面積有最小值，

即當f=3時，四邊形AWVB面積的最小值，最小面積為36-9=27(cM

【點評】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)、完全平方公式的應用、代數(shù)式的最值等知識點，靈活運用完全

平方公式是解本題的關鍵.

18.(2025春?上海月考)解下列關于x的方程：

(1)ax2-2=X2+1(aWl)；

(4)x—Vx-2=4.

【考點】無理方程；解分式方程；解一元二次方程-直接開平方法.

【專題】方程與不等式；運算能力.

【答案】(1)/=言;

(2)xi=3,X2=-1；

51

(3)%]——f汽2=1，-2，%4~一1；

(4)x=6.

【分析】(1)按照解方程的步驟，即可求解；

(2)方程兩邊同時乘以W+3X-4,消去分母，解出方程后再結(jié)合原方程分母不為。驗證根是否存在即

可；

(3)利用換元法，令y=2W+3x,解出y的值，再代入求解即可；

(4)將無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后再驗證即可.

【解答】解:(1)OJ?-2=X2+1,

aj?-X2=1+2,

(〃-1)/=3,

解得：%i=

(2)原方程變形可得:

4%1

+=1,

(x-l)(x+4)--x+4

4x+x-1=f+3x-4,

.*.x2-2x-3=0,

**.(x-3)(x+1)=0,

解得：Xl=3,X2=-1,

經(jīng)檢驗，X1=3,X2=-1是原方程的解,

工原方程的解是Xl=3,X2=-1;

(3)將原方程移項可得:

2/+31=品?

2

令y=2x+3xf

???y—4=3,

)y

.*.y2-4y-5=0,

???(y-5)(y+1)=0,

解得：yi=5,y2=-b

當y=5時，2/+3x=5,

2X2+3^-5=0,

⑵+5)(x-1)=0,

解得：=-29%2=L

當y=-1時，2?+3x=-1,

.*.2X2+3X+1=0,

(2x+l)(x+1)=0,

解得：x3=-x4=-1,

q1

經(jīng)檢驗，第1=一,，冷=1，％3=-2，%4=-1是原方程的解，

工方程的解是久1=一%2=1，久3=—%4=-1；

(4)X—V%—2=4,

.*.%—4=V%—2,

.'.x2-8x+16=x-2,

.'.x2-9x+18=0,

(x-3)(尤-6)=0,

解得：xi=3,X2=6,

經(jīng)檢驗，尤1=3是增根，X2=6是原方程的解，

方程的解為x=6.

【點評】本題考查了解一元二次方程，解分式方程，解無理方程等知識，掌握相關知識是解題的關鍵.

19.(2025春?合肥月考)對于任意實數(shù)b(a#0)規(guī)定一種新運算“*6=a"+a6-2.例如：3*2=3〉+3

X2-2=13.請根據(jù)上述定義解決以下問題：

(1)計算：(-2)*3.

(2)若(-尤)*2的值為1,求x的值.

【考點】解一元二次方程-因式分解法；有理數(shù)的混合運算.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】⑴-16；

(2)xi=-LX2=3.

【分析】(1)根據(jù)新定義計算即可；

(2)根據(jù)新定義得到f-2x-2=l,利用因式分解法解一元二次方程即可.

【解答】解：(1)(-2)*3=(-2)3+(-2)X3-2=-16；

(2)a*b=ab+ab-2,

(-x)*2=(-x)2-2x-2=/-2x-2,

x1-2x-3=0,

(x+1)(尤-3)=0,

解得尤1=-1.X2=3.

【點評】此題考查了實數(shù)的新定義運算，解一元二次方程，理解新定義的運算是解題的關鍵.

20.(2025?碧江區(qū)一模)隨著貴州旅游業(yè)的高速發(fā)展，讓越來越多的人看見了貴州的大好山河.暑期來

臨，兩隊戶外徒步露營愛好者計劃同一天從貴陽市出發(fā)，沿兩條不同的路線徒步游完烏蒙山周邊自然景

觀，最后在九龍鎮(zhèn)匯合.甲隊走A路線，全程120千米；乙隊走2路線，全程160千米.由于A路線

的路況沒有8路線好，甲隊每天行駛的路程是乙隊每天行駛路程的去最終甲隊比乙隊晚2天到達九龍

鎮(zhèn).

(1)求甲、乙兩隊分別計劃多少天到達目的地;

(2)在他們的活動計劃中，乙隊每人每天的平均花費都為135元.甲隊最開始計劃有8個人同行，計

劃每人每天花費300元，后來又有機個人加入隊伍，經(jīng)過計算，甲隊每增加1人時，每人每天的平均

花費將減少30元.若最終甲、乙兩隊一起旅行的人數(shù)相同，且旅行天數(shù)與各自原計劃天數(shù)一致.兩隊

共需花費17640元，求m的值.

【考點】一元二次方程的應用；分式方程的應用.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】(1)甲隊計劃6天到達目的地，則乙隊計劃4天到達目的地；

(2)fn=6.

【分析】(1)設甲隊計劃1天到達目的地，則乙隊計劃(元-2)天到達目的地，根據(jù)甲隊每天行駛的路

程是乙隊每天行駛路程的科建立方程求解即可；

(2)分別用含尤的代數(shù)式計算出兩隊的費用，再根據(jù)總費用為17640元建立方程求解即可.

【解答】解：(1)設甲隊計劃尤天到達目的地，由題意得：

1201160

=-,,

x2x-2

解得冗=6,

經(jīng)檢驗，I=6是原方程的解，且符合題意，

Ax-2=4,

答：甲隊計劃6天到達目的地，則乙隊計劃4天到達目的地；

(2)由題意得，135X4(m+8)+6(300-30加(m+8)=17640,

解得m—6或m--1(舍去).

【點評】本題主要考查了分式方程的實際應用，一元二次方程的實際應用，根據(jù)題意找到等量關系建立

對應的方程是解題的關鍵.

考點卡片

1.非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方

偶次方具有非負性.

任意一個數(shù)的偶次方都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的偶次方相加和為。時，則其中的每一項都必須等于①

2.有理數(shù)的混合運算

(1)有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計

算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.

(2)進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化.

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運算的四種運算技巧

1.轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化

為分數(shù)進行約分計算.

2.湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的兩個數(shù)，乘積

為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分數(shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和的形式，然后進行計算.

4.巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便.

3.數(shù)學常識

數(shù)學常識

此類問題要結(jié)合實際問題來解決，生活中的一些數(shù)學常識要了解.比如給出一個物體的高度要會選擇它合

適的單位長度等等.

平時要注意多觀察，留意身邊的小知識.

4.實數(shù)的運算

(1)實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，

又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

(2)在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算

加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、幕的運算、指數(shù)(特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù))運算、根式運算、特殊三

角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的