專題10中考?jí)狠S題

|題型概覽

題型01幾何壓軸——平移

題型02幾何壓軸一對(duì)稱

題型03幾何壓軸一旋轉(zhuǎn)

題型04二次函數(shù)綜合—線段問(wèn)題

題型05二次函數(shù)綜合—面積問(wèn)題

題型06二次函數(shù)綜合—角度問(wèn)題

題型07二次函數(shù)綜合—三角形問(wèn)題

題型08二次函數(shù)綜合—四邊形問(wèn)題

題型09二次函數(shù)綜合—其他問(wèn)題

幾何壓軸一一平移

1.(2025?天津西青?一模)將一個(gè)直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)網(wǎng)6,0),

圖①圖②

(1)填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為一，點(diǎn)A的坐標(biāo)為」

⑵連接AC,將直角三角形紙片QAB沿AC剪開(kāi)，把AOLC水平向右平移得到ADEF,點(diǎn)。，A,C的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)分別是E,F,設(shè)0。=/.

①如圖②，當(dāng)ADE戶與VA5c重疊部分為五邊形時(shí)，即分別與AB,AC相交于點(diǎn)G,H,所與A5相

交于點(diǎn)試用含有/的式子表示GM的長(zhǎng)，并直接寫出/的取值范圍；

②當(dāng)時(shí)，求AD即與VABC重疊部分的面積S的取值范圍.(直接寫出結(jié)果即可)

【答案】(1)30),

(2)@GM=—t(0<r<3)；.

282

【分析】(1)由點(diǎn)3(6,0),得到03=6,根據(jù)點(diǎn)C是邊OB的中點(diǎn)，得到OC=BC=goB=3,從而得出點(diǎn)

C坐標(biāo)，連接OC,過(guò)點(diǎn)A作ANLOC于點(diǎn)N,證明A01C為等邊三角形，求出ON,AN,即可得出點(diǎn)A坐

標(biāo)；

(2)①由平移可知，“DEFJOAC,DE〃。8CF=OD=t,有DF=EF=3,NE=NEFC=60。,得到

FB=FM=3T,再得到90。，根據(jù)解直角三角形可得答案；

②分兩種情況：當(dāng)1白<3時(shí)，重疊部分為五邊形，當(dāng)34區(qū)5時(shí)，重疊部分為直角三角形DG8,分別求解

即可得出答案.

【詳解】(1)解：???點(diǎn)3(6,0)，

OB=6,

?.?點(diǎn)C是邊OB的中點(diǎn)，

/.OC=BC=-OB=3,

2

.??點(diǎn)C（3,0）,

如圖，連接AC,過(guò)點(diǎn)A作4V_L0C于點(diǎn)N,

圖①

VZOAB=90°,OC=BC,

AC=OC

,：ZAOB=60°,

AOAC為等邊三角形，

...OA=OC=3,

;AN±OC,

13

:.ON=-OC=-

22

AN=y/o^-ON2=

.?點(diǎn)A

故答案為：（3,0）,

（2）解：①由（1）可知，△Q4C為等邊三角形,

由平移可知，?EF"QAC,DE//OA,CF=OD=t,有DF=EF=3,/E=NEFC=60：

：.FB=CB-CF=3-tf

?.?ZOAB=90°,ZAOB=60°,

???ZABO=30°,

???ZFMB=ZEFC-ZABO=30°,

???NFMB=ZABO,

：.FB=FM=3—t,

：.EM=EF-FM=t,

■:DE//OA,

：.NDGM=ZOAB=90°,

：.ZEGM=90°,

在RSEGM中，ZE=60°,

???GM=EMsinE=爭(zhēng)(0</<3)；

②當(dāng)1W，<3時(shí)，重疊部分為五邊形,

??S=SAEDF~S&DHC-S&EGM，

由平移可得，DH\\OAf

：?AHDCS^AOC,

???△HDC為等邊三角形,

S.DHC=之=乎口一/丁,

同理，s△四=￥*32=:百，

在Rt/iEGM中,

V1<Z<3,

??"=1時(shí)，，"=弓后/=2時(shí)，5_=173,

oZ

.?.-A/3<S<-^,

82

當(dāng)3WY5時(shí)，重疊部分為直角三角形DGS,

在RtADGB中，

,//ABO=30。，

Gr)=r>B-sin30°=1r>B=1(OB-OD)=|(6-/),

：S=S-0GB=；DGGB=；.DG.6DG=§DG2=與1(6-r)=》6—r)2,

'：3<t<5,

f=5時(shí)，Smin=J=3時(shí)，Smax=-6，

o3

二旦s4?岔

88

綜上所述，s取值范圍為：旦4s4空.

82

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，平移的性質(zhì)，

勾股定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.(2025?山東日照?一模)綜合與實(shí)踐

［問(wèn)題背景］:

如圖1,在四邊形ABC。中，AB=5,BC=4,AD±CD,連接AC,AC±BC,過(guò)點(diǎn)C作CE1AB于點(diǎn)

E,且CE=CD.

(1)求證：AD=AE.

［操作探究］:

如圖2,將AACD沿直線AB方向向右平移一定距離，點(diǎn)A,C,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)H,C,Di,且點(diǎn)A

與點(diǎn)E重合.

(2)①連接DD,試判斷四邊形血＞7)的形狀，并說(shuō)明理由；

②求出AACD平移的距離.

［拓展創(chuàng)新］:

如圖3,在(2)的條件下，將△AC77繞點(diǎn)￡按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，記直線C力’分

別與邊AB,BC交于點(diǎn)、N,M.

(3)當(dāng)C'E〃切W時(shí)，請(qǐng)求出RV的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)①四邊形血)7)為菱形，理由見(jiàn)解析；②￡；(3)花

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判

定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用"HL"證明R3ACZ汪R3ACE,即可得到結(jié)論；

(2)①根據(jù)平移的性質(zhì)和菱形的判定即可求解；

AT

②先證明AACES44BC,由相似三角形的性質(zhì)得到=再由勾股定理求出AC長(zhǎng)度，即可求解；

ACAB

12

(3)先證明￡N=C'N,再通過(guò)三角形的面積求出CE的長(zhǎng)，設(shè)CN=EN=x,則。'N=《-x,再利用勾股

定理求解即可.

【詳解】(1)證明：?.?ADLCUCELAB,

ZADC=ZAEC=90°.

又：CD=CE,AC=AC,

：.RtAACD^RtAACE.

/.AD^AE-,

(2)①四邊形AED'D是菱形.

理由：由平移的性質(zhì)，得A'O〃AE),AD=AD-

.四邊形AEDZ)是平行四邊形.

由(1),得AD=A￡.

???四邊形WD是菱形;

(2)ZAEC=ZACB=90°,ZCAE=ABAC,

AACE^AABC.

.AEAC

**AC-

在Rt^ABC中，AC7AB2-BC。=3.

.?.A羊F=：3,解得AE=,9.

Q

/.AACD平移的距離為:；

(3)解：,：CE//BM,

：.ZB=ZNEC,ZBMN=ZEC'N.

,：AACES^ABC,

：.ZACE=NB,,

由旋轉(zhuǎn)得ZACE=Z.ECN,

Z.B=ZEC'N,

：.ZEC'N=ZNEC.

：.EN=C'N.

SZ/,A./IKDLr=2-ACBC=2-ABCE,

：.CE=—.

5

12

???C'D'=CD=CE=—.

5

9

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得。E=AO=A￡=g,NCDE=ND=90。.

12

設(shè)CN=EN=x,貝iJDN=《-x.

在RtZkEZXV中，根據(jù)勾股定理,

53

BN=AB-AE-EN=—

40

3.（2025?河南周口?一模）綜合與實(shí)踐

學(xué)完圖形的平移后，小慧為了加深理解，對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步探究.

【模型感知】

（1）她把邊長(zhǎng)為3的正方形紙片ABC。沿著對(duì)角線AC剪開(kāi)，如圖1.然后固定紙片VA3C,把紙片AlDC

沿剪痕AC的方向平移得到△A'D'C',如圖2.連接A2,D'B,D'C,在平移過(guò)程中：

①四邊形A8CD的形狀始終是（點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)除外）；

②求A3+D3的最小值.

【拓展探究】

（2）如圖3,她把正方形改為邊長(zhǎng)為1的菱形ABC。，DAB=60°,將△ADC沿射線AC的方向平移得

到△ADC',連接A3,D'B,D'C,請(qǐng)直接寫出+的最小值.

【答案】（1）①平行四邊形；②3石；（2）不

【分析】（1）①根據(jù)平移的性質(zhì)以及平行四邊形的判定定理，即可得到結(jié)論；

②作點(diǎn)C關(guān)于切'的對(duì)稱點(diǎn)C”，連接3C",DC",當(dāng)反。,C"共線時(shí)，AB+D'B=D'C+D'BD'C"+D'B

有最小值，再證明AOCC"是等腰直角三角形，且ARC"共線，在直角AABC〃中，利用勾股定理即可求解.

（2）同理可得ADCC"是等邊三角形，且ARC"共線，進(jìn)而利用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）①1?紙片△ADC沿剪痕AC的方向平移得到△ADC',

...ND=BC,AD//BC,

二.四邊形ABCD'是平行四邊形，

故答案是：平行四邊形；

②?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AB=D'C,

：.AB+D'B=D'C+D'B,

作點(diǎn)C關(guān)于DD的對(duì)稱點(diǎn)C",連接BC",DC",

當(dāng)B,D',C"共線時(shí)，AB+DB=DfC+D'B=DC+D'B有最小值,

此時(shí)AB+D'B的最小值=BC",

VDA//DC,DC=D'C,

四邊形OCDC'是平行四邊形,

...ZD'DC=ZC=45°,

；c關(guān)于。。的對(duì)稱點(diǎn)C",

...NDDC"=ZD'DC=45°,DC"=DC,

...△DCC"是等腰直角三角形，且A,2C"共線,

二在直角AABC"中，BC"=AB1+AC"2=732+(3+3)2=375,

，A3+D5的最小值=36.

(2)如圖所示，，

?四邊形A3CD'是菱形,

AB=D'C,

：.AB+D'B=D'C+D'B,

作點(diǎn)C關(guān)于。D的對(duì)稱點(diǎn)C",連接3C",DC：

當(dāng)B,D',C"共線時(shí)，AB+D'B=DC+D'B=DC"+UB有最小值,

此時(shí)AB+D'B的最小值=BC",

VDA//D'C,DC=D'C,

二四邊形nene是平行四邊形,

：.ZD'DC=ZC=30°,

,.^c關(guān)于￡>zy的對(duì)稱點(diǎn)c",

...ZC/DC"=ZD'DC=30°,DC"=DC,

；.ADCC”是等邊三角形,且ARC"共線，

二在直角^ABC"中,BC"=^AC--AB1=722+12=，

/.A'3+ZZB的最小值=百.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平移和軸對(duì)稱

的性質(zhì)，作出點(diǎn)C關(guān)于。。的對(duì)稱點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵.

幾何壓軸對(duì)稱

1.(2025?遼寧撫順?一模)如圖，在VABC中，AB=AC,N54C=9O。，點(diǎn)D是邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，CELBD,

垂足為點(diǎn)E,將VBEC沿3c翻折得到△3FC,連接AF.

②求證：CF+BF=^AF;

(2)如圖2,^AB=AC=2sf5,當(dāng)點(diǎn)。是AC中點(diǎn)時(shí)，求的面積.

【答案】⑴①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析

(2)A4B尸的面積為12

【分析】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、

折疊性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為結(jié)題的關(guān)鍵.

(1)①由垂線的定義以及翻折的定義可得NBFC=NB￡C=90。，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可解答;

②如圖，延長(zhǎng)陽(yáng)至點(diǎn)打，使BH=CF,結(jié)合①的結(jié)論可得ZABH=ZACF,再證明△/斷絲△ACF可得

AH=AF,ZHAB=/FAC,進(jìn)而證明廠是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解

答；

（2）如圖：過(guò)點(diǎn)A作47,3尸于點(diǎn)G,先說(shuō)明NABO=NECD,再根據(jù)正切的定義可得

tan/A8D=￥=^=］，進(jìn)而得到我,，設(shè)￡D=x,則CE=2x,根據(jù)勾股定理列方程可得x=l,

AB2,52CE2

進(jìn)而得到AF=4夜，再解直角三角形可得AG=4,最后根據(jù)三角形的面積公式即可解答.

【詳解】（1）證明：①；BELCE,

:.ZBEC=90°,

:ABCF由ABCE翻折得到的，

:.NBFC=ZBEC=90。,

vZS4C=90°,四邊形MFC的內(nèi)角和是360。，

ZABF+ZACF=360°-90°-90°=180°.

②如圖，延長(zhǎng)陽(yáng)至點(diǎn)使BH=CF,

由^ABF+^ABH=180°,

ZABH=ZACF,

■：AB=AC,

:△ABH^\ACF(SAS),

:.AH=AF,ZHAB=ZFAC,

ZHAB+NBAF=ZFAC+ZBAF=NBAC=90°,即NH4尸=90°,

.?.△/MF是等腰直角三角形，

HF=42AF，HF=HB+BF=CF+BF,

:.CF+BF=y[2AF.

(2)解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AGXBF于點(diǎn)G,

A

E

ABAC=2j^,點(diǎn)。是AC中點(diǎn),

AD1

:.AD=CD=45

~AB~2^/5~2

ZADB=ZEDC,ZBAC=ZDEC=90°,

:.ZABD=AECD,

在RtAABD中，="=

AB2舊2

由勾股定理得BD=yjAB2+AD2=，（勾『+（2君J=5,

DF1

/.tan^DCE=——=-,

CE2

QCD=5

設(shè)石D=x,貝IJC石=2%,

在Rt/XCDE中，由勾股定理得一+（2x）2=（有『，

:.x=l,

:.CE=CF=2,

BE=BD+DE=5+1=6,BPBF=BE=6,

由C尸+BF=>/￡4尸，

.?.2+6=A/2AF,

A/=4&，

由（2）得，△〃4尸是等腰直角三角形，

.,.在Rtz^AFG中，/AFG=45°,

AG=4應(yīng)xsin45o=4,

S=—BF-AG=—x6x4=12.

AKF22

答：AAB尸的面積為12.

2.（2025?江蘇泰州?一模）在“紙片中的數(shù)學(xué)”主題綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組利用紙片裁剪或者折疊操作

后，發(fā)現(xiàn)了很多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

【觀察證明】

問(wèn)題1:一張長(zhǎng)方形紙片最多可以剪出多少個(gè)大小一樣的等腰直角三角形？

如圖1,長(zhǎng)方形紙片A38中，AB=4,BC=5.5,小組成員小明在長(zhǎng)方形紙片ABC。中，已經(jīng)剪出8個(gè)腰

長(zhǎng)為2的等腰直角三角形（如圖1所示）.小組成員小剛探究發(fā)現(xiàn)，在剪剩下的長(zhǎng)方形CDEE中還能再剪出

1個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形.請(qǐng)你在圖1長(zhǎng)方形CD砂中畫出該三角形的示意圖，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明小剛

的說(shuō)法是正確的.

圖1

【操作實(shí)踐】

問(wèn)題2：一張正方形紙片是否可以折出正六邊形?

如圖2,小組成員小東按圖2步驟折疊正方形.最后從線段一處剪開(kāi)，并展開(kāi)紙片，得到了正六邊形.若原

正方形邊長(zhǎng)為6,則折出的正六邊形的邊長(zhǎng)為

---------------------------?

從下向上對(duì)折一次左右對(duì)折兩次展開(kāi)

【分析】題目主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理解三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，綜合運(yùn)用

這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

觀察證明：根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)題意得出CM=7^萬(wàn)=2應(yīng)，過(guò)點(diǎn)N作垂足為H,

NH=；CM3,結(jié)合線段長(zhǎng)度記錄得出結(jié)果；

操作實(shí)踐：根據(jù)題意得出8C〃AG,￡F=m,再由直角三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)確定

ZGHA=ZFHA=ZFHA=60°,根據(jù)折疊問(wèn)題確定=60。,AE=ME,結(jié)合圖形即可求解.

【詳解】解：觀察證明：如圖，AMNC為符合條件的示意圖，其中M0=NC=2,ZMNC=90°,

CM=A/22+22=2A/2，

過(guò)點(diǎn)N作NHLCM,垂足為H,NH=；CM=形,

VED=1.5,CD=4,

：.NH<ED,CM<CD,

能再剪1個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形；

操作實(shí)踐：根據(jù)折疊過(guò)程，如圖所示標(biāo)注字母：

二點(diǎn)F為線段EH的中點(diǎn)，ZFAH=ZAHG

，AF=EF=HF,

:?/FAH=/FHA!,

：.ZGHA=ZFHA1,

?.?折疊，

/.ZGHA=NFHA'=Z.FHA,

/.ZGHA=ZFHA=ZFHA=60°,

ZA'EA=2ZHEA=2x(90°-60°)=60°,

根據(jù)題中折疊，得出NAEW=60o,A￡=ME,

.??△"Af為等邊三角形，

最后從線段AM處剪開(kāi)，并展開(kāi)紙片，得到了正六邊形;

?.■正方形邊長(zhǎng)為6,

AE=—x6=3,

2

.??折出的正六邊形的邊長(zhǎng)為3,

故答案為：AM,3.

3.(2025?遼寧葫蘆島?一模)如圖，VA2C中，ZACB=45°.將VABC沿AC翻折，點(diǎn)B落到點(diǎn)。處，過(guò)點(diǎn)

D昨DH//BC,交54的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,CFLAD,垂足為點(diǎn)下，點(diǎn)M在線段CP上，CM=FD=10,連

⑴如圖1,求證：=90°；

(2)如圖2,連接AAf,若ZMAF=NHAF.

①求證：AB=AM^

②求A8的長(zhǎng)度.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)①見(jiàn)解析；②25

【分析】(1)結(jié)合翻折的性質(zhì)證明VBCM可如，利用全等三角形性質(zhì)求解，即可解題；

(2)①根據(jù)題意證明AD〃mf,進(jìn)而得到/曲F=尸=有/，再進(jìn)行等量代換，并結(jié)合等

腰三角形性質(zhì)，即可證明=

②過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)N,結(jié)合疊的性質(zhì)推出==利用等腰三角形性質(zhì)得到

BN=MN=-BM,再證明四邊形㈤尸為矩形，得到AF=M0,AN=腦"T§：AB=AM=AD=m,得到

2

NM=AF=m-W,結(jié)合勾股定理得到-7=51⑼一，據(jù)此建立方程求解，即可解題.

2

【詳解】(1)證明：??,/ACB=45。，VABC沿AC翻折，點(diǎn)8落到點(diǎn)。處，

BC=CD,ZDCA=ZACB=45°,

:.ZBCD=90。,

ZBCM+ZDCF=90°,

vCF±AZ),即NCRD=90。，

/.ZDCF+ZCDF=90°,

.\ZBCM=ZCDF,

???CM=FD=10,

/.△BCM^ACDF(SAS),

.\ZBMC=ZCFD=90°；

(2)①證明：???CFLAD,

.?.ZAFC=90。，

\-ZBMC=90°,

/.ZAFC=/BMC=90°,

:.AD//BM,

...ZHAF=ZABM,ZMAF=ZAMB,

ZMAF=ZHAF,

:.ZABM=ZAMB,

?.AB=AM；

②過(guò)點(diǎn)A作AN,5M于點(diǎn)N,

由折疊的性質(zhì)可知，AD=AB,

???AB=AM,

AB=AM=AD,BN=MN=-BM,

2

???/BMC=90。,

/.ZBMF=90°=ZAFC=ZANM,

???四邊形4vMp為矩形，

AF=NM,AN=MF,

^AB=AM=AD=m,

■：CM=FD=10,

:.NM=AF=AD-FD=m-lO,

AN=MF=y/AM2-AF2=^2-(m-10)2,

■：VBCM^VCDF,

BM=CF=CM+MF=10+,蘇-(吁101

Jm2(丑10)-

:.NM=-BM=5+

22

,5+押一(,—Of“TO,

2

整理得病-35%+250=0,

解得機(jī)=25或m=10（不合題意，舍去）,

AB=25.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，矩形性

質(zhì)和判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識(shí)，并靈活運(yùn)用.

4.（2025?廣東東莞?一模）綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以"折紙”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).

【動(dòng)手操作】

如圖1.將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD對(duì)折，使點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，得到折痕AC.打開(kāi)后，再將正方形ABCZ）

折疊，使得點(diǎn)。落在邊上的點(diǎn)尸處，得到折痕G〃，折痕G”與折痕AC交于點(diǎn)Q,打開(kāi)鋪平，連接P。、

QD、PD.

圖1

【探究提煉】

(1)如圖1,點(diǎn)尸是上任意一點(diǎn)；線段。。和線段PQ存在什么關(guān)系？并說(shuō)明理由;

(2)如圖2,連接尸當(dāng)恰好垂直于AC時(shí)，求線段C。的長(zhǎng)度;

【類比遷移】

（3）如圖3,某廣場(chǎng)上有一塊邊長(zhǎng)為40m的菱形草坪ABC。，其中N3CE>=60。.現(xiàn)打算在草坪中修建步

HAC^MN-ND-DM,使得點(diǎn)Af在2c上，點(diǎn)N在AC上，且MN=ND.

圖3

①求NAMD的度數(shù)；

②請(qǐng)問(wèn)步道MV-ND-ZW所圍成的（步道寬度忽略不計(jì)）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)度

毯寫出最小值：若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）QD=PQ,理由見(jiàn)解析；（2）8cm；（3）①120。；②存在、lOOgn?

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知G8垂直平分PO,再結(jié)合垂直平分線性質(zhì)求解，即可解題；

（2）結(jié)合折疊的性質(zhì)煙汨絲NQ/TO,理由等腰三角形性質(zhì)，以及全等三角形性質(zhì)得到

ZQHD=ZQHP=ZQDH=ZQPH,結(jié)合正方形性質(zhì)得到=67.5。，再利用三角形內(nèi)角和定理推出

ZDQC^ZQDH,最后根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求解，即可解題.

（3）①過(guò)點(diǎn)N作3c于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)N作NSLDC于點(diǎn)S,利用四邊形內(nèi)角和得到NRVS,結(jié)合菱形

性質(zhì)證明昭ANRM"&ANSD,結(jié)合全等的性質(zhì)進(jìn)行等量代換，即可解題；

②過(guò)點(diǎn)"作八夕_￡加0于點(diǎn)T,結(jié)合直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，以及勾股定理得到NT=@M￡>,

6

進(jìn)而得到SVMND=正加22,當(dāng)最小時(shí)，AMND面積最小，即A/D_LBC時(shí)，zJWM）面積最小，利用直角

12

三角形性質(zhì)和勾股定理求出版，即可解題.

【詳解】解：（1）QD=PQ,理由如下：

由折疊的性質(zhì)可知GH垂直平分尸。，

QD=PQ；

（2）由（1）知，Q8垂直平分尸O,

:.DH=PH,

-：QD=QP,

由折疊的性質(zhì)同理可得QP=QH,

：.QD=QH,ZQHP=ZQPH,

QQH=QH,

..△QHP0NQHD(SSS),ZQHD=ZQDH,

z.ZQHD=ZQHP=ZQDH=ZQPH,

PH恰好垂直于AC,

,?,四邊形ABCD為正方形，

二.AC平分ZPCH,ZPCH=90°,

:,PC=CH,

ZPHC=Z.HPC=45°,

/./PHD=180?！?5°=135°,

135°

ZQDH=ZQPH=ZQHD=ZQHP==67.5°,

/.ZDQC=180?！猌ACD-ZQDH=67.5°,

:.ZDQC=ZQDHf

??,正方形ABCD邊長(zhǎng)為8cm,

QC=DC=8cm；

(3)①解：過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)N作NSLOC于點(diǎn)S,

V/BCD=60°,

ZRNS=360°-2x90°-60°=120°,

???草坪ABC。為菱形，AC為菱形ABC。的對(duì)角線,

；.NR=NS,

???MN=ND,

Rt^NRM^Rt^NSD[HL),

ZRNM=ZSND,

:.ZMND=ZSND+ZSNM=/RNM+/SNM=ZRNS=120°；

②解：存在，

過(guò)點(diǎn)N作NTLMD于點(diǎn)T,

AD

2

???/NMD=120。,

ZNDM=ZNMD=30°,

:,NT=-MN,

2

??,NT2+MT2=MN\

NT2+-MD2=4NT?,

4

整理得NT=—MD,

6

S=-MDNT=-MD-—MD=—MD2,

VMNmD22612

，當(dāng)MD最小時(shí)，AMAZD面積最小，

即MD_LBC時(shí)，AMND面積最小，

菱形草坪ABCD的邊長(zhǎng)為40m,

:.MC=-DC=20m,

2

DM=y)DC2-MC2=20V3m，

22

???SVMND=—MZ)=—x1200=100^(m).

"MNDl212

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，垂直平分線性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)和判定，正

方形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，菱形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，解題的關(guān)鍵作輔助

線構(gòu)造全等三角形.

5.(2025?福建泉州?一模)綜合與實(shí)踐：

在復(fù)習(xí)探究《幾何圖形變化》的時(shí)候，老師讓同學(xué)們準(zhǔn)備了兩張全等的直角三角

形紙片，并且把它們的一條直角邊重合在一起（如圖1）,已知

準(zhǔn)ZSAC=ZACD=90°,AC=4cm,AB=CD=3cm.

備

AE

圖1

如圖2,小明同學(xué)把VABC沿直線區(qū)4平移，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)C與

點(diǎn)。重合，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)AL

C

平

移

A'

圖2

結(jié)論1：四邊形A4'DC是矩形；

實(shí)

踐如圖3,小紅同學(xué)把VABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落

探在邊AD上時(shí)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)8',B'C'與邊AC交于點(diǎn)E.

究B'C

弋?

旋

轉(zhuǎn)

A

圖3

結(jié)論2：可求出圖中任意一條線段的長(zhǎng)，如CE；

對(duì)如圖4,若點(diǎn)分別是BC,AO的中點(diǎn)，小軍同學(xué)將△曲沿著直線AM

折對(duì)折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4.

式%__小_

AN

圖4

結(jié)論3：①點(diǎn)C,4,N在同一條直線上；

②可求出線段的長(zhǎng).

驗(yàn)

證根據(jù)以上同學(xué)對(duì)三種圖形變化的探究，請(qǐng)你完成三個(gè)結(jié)論的證明或計(jì)算.結(jié)論3

計(jì)中①②可任選一個(gè)，②比①多得2分.

算

【答案】結(jié)論1：見(jiàn)解析；結(jié)論2：C￡=|cm;結(jié)論3：①見(jiàn)解析；②NB］弋cm

【分析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)得到AC=AD,AC//AD,再利用矩形的判定即可證明；

(2)先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到=NB'AC'=NR4C=90。，

B'C'=BC,利用直角三角形的性質(zhì)和等角對(duì)等邊推出AE=B'E=C'E,得出AE的長(zhǎng)度，再利用

CE=AC—AE即可求解；

(3)①連接耳C、NC,先證明四邊形40CN是平行四邊形，得出NC〃40,再由翻折的性質(zhì)得到

B}M=BM,ZBtMA=ZBMA,進(jìn)而得出,推出用C〃AM,即可得證；②作AF13C于

點(diǎn)F,作與C于點(diǎn)G,利用等面積法求出AF的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出M尸的長(zhǎng)，再證明

△MCG名AAMF,得到CG=MF\再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BQ的長(zhǎng)，即可求出線段入蜴的長(zhǎng).

【詳解】解：結(jié)論L

由平移的性質(zhì)得，AC=AD,AC//AD,

二四邊形A4'OC是平行四邊形，

XvZACr>=90°,

???平行四邊形A4'DC是矩形.

結(jié)論2：

ZBAC=ZACD=90°,

.■.AB//CD,BC=VAB2+AC2=^32+42=5cm>

又<AB=CD,

四邊形A5C。是平行四邊形，

/.BC//AD,

:.ABCA=^CAD,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，ZB'C'A=ZBCA,ZB'AC'=ZBAC=90°,B'C'=BC=5cm,

:.ZB'C'A=ZCAD,

:.AE=C'E,

■：ZAB'C+ZB'C'A=AB'AE+ACAD=90°,

:.ZAB'C'=ZB'AE,

:.AE=B'E,

AE=B'E=C'E=~B'C'=-cm,

22

53

:.CE=AC-AE=4--=-cm.

22

結(jié)論3：

①如圖，連接AC、NC,

圖4

由結(jié)論2可得，四邊形ABC。是平行四邊形,

/.AD=BC=5cm,BC//AD,

,??點(diǎn)M,N分別是BC,AD的中點(diǎn)，ZBAC=ZACD=90°,

:.AM=BM=CM=-BC=-cmNC=AN=-AD=-cm

22f22f

:.CM=AN,

又〈CM〃⑷V,

.??四邊形AMCN是平行四邊形,

.'.NC//AM,

由翻折的性質(zhì)得，B,M=BM,ZB{MA=ZBMAf

/.BXM=CM,ZB.MC=180°-ZB.MA-ZBMA=1800-2ZBMA,

"‘CM=18°。"C=18。。-(-MA)=.A,

122

:.BtC//AM,

直線NC和直線B|C重合，

點(diǎn)C,Bi，N在同一條直線上；

②如圖，作APIBC于點(diǎn)F,作MG,2c于點(diǎn)G,

C

SVAB=-ABAC=-BCAF,

22

由①中的結(jié)論得，^BXCM=ZBMA,即NGCM=NFM4,

又???NMGC=NA?=90。，CM=AM,

「.△MCG也△AMF（AAS）,

7

,\CG=MF=—cm,

10

vB}M=CM,MGLB.C,

7

二.B.G=CG——cm,

110

7

B,C=B1G+CG——cm,

115

5711

:.NB\=NC—B、C=-------=—cm.

112510

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）的性質(zhì)、矩形的判定、直角三角形的性質(zhì)、等腰

三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，熟練掌握?qǐng)D形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.本題屬

于幾何綜合題，需要較強(qiáng)的幾何推理和輔助線構(gòu)造能力，適合有能力解決幾何難題的學(xué)生.

幾何壓軸旋轉(zhuǎn)

1.(2025?四川成都?一模)如圖，四邊形ABCD和EFGB均為正方形，將EFGB繞點(diǎn)3旋轉(zhuǎn);

(1)如圖①，連接CE、AG,判斷直線AG、CE的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；

(2)如圖②，連接BF,若/DFC=135。，探索并證明線段BRCF、。尸的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖③，若正方形ABC。、邊長(zhǎng)分別為4、2,EFGB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周,直線AG與CE相交于點(diǎn)H,

直接寫線段D"的最小值及點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度.

【答案】(1)AG，CE,理由見(jiàn)解析

(2)2CF2+DF2=BF2,證明見(jiàn)解析

⑶的最小值為2#,點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為舊互

3

【分析】(1)延長(zhǎng)交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)延長(zhǎng)AG交CE于點(diǎn)N,證明AABG/ACBE(SAS),進(jìn)而可

證明/AW=90°,即可得結(jié)論；

(2)將OF繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至連接A￡，W，證明AC"/"IT岑(SAS),得CF=A￡,

FF；=2DF,,Z4=Z5,將8尸繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至愿，連接A0萬(wàn)鳥(niǎo)，同理可得C尸=A8,Z6=Z7,

BF=BF2,FF；=2BF?,進(jìn)而可得GA瑪三點(diǎn)共線，F(xiàn)XF2=2CF,用勾股定理即可得結(jié)論；

(3)作應(yīng)于L,得sin/2=半，在正方形EFGB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BG>BL,當(dāng)3G=3乙時(shí)，BL

最大，此時(shí)/2最大，得N2=30。，AG741-展=2也，由(1)可知，AH±CE,得點(diǎn)”在以AC為直

徑的上，解直角三角形，利用勾股定理定理即可求出相關(guān)結(jié)論.

【詳解】(1)解：AG±CE,理由如下，延長(zhǎng)48交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)延長(zhǎng)AG交CE于點(diǎn)N,

ZABC^ZGBE=90°,

/.ZABG+NGBC=/CBE+/GBC,

,\ZABG=ZCBE,

???AB=BC,BG=BE,

/.△ABG^ACBE(SAS),

?:/BAG=/BCE,

?/ZCBM=90°,

/BCE+/BMC=90°,

/.ZBAG+ZAMN=90°,

:.ZANM=90°,

:.ANICE,即AG_LCE；

(2)解：BF2=2CF2+DF2,理由如下，

???四邊形ABC。是正方形，

，AB=BC=CD=AD,ABAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,

如圖，將。尸繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至。片，連接人耳,以；,

DF=DR,

圖②

Z1+ZADF=ZADF+Z3=90°,

：.Z\=Z3,

:.ACDF咨AADF{(SAS),

2

CF=AFl,FF^=2DF,Z4=Z5,ZDFXA=ZDFC=135°,

如圖，將跳■繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至B6,連接A8,缶，

同理可證^CBF^^ABF2(SAS),

2

CF=AF2,/6=N7,BF=BF2,FF;=2BF,

-.?Z5+Z6=9O°,

Z4+Z7+ABAD=180°,

.??K，A,月三點(diǎn)共線,

FlF2=2CF,

?;DF=DR,AFDFX=90°,

N￡>￡B=45°,

ZF^F=90°,

在RtAWK中，尸4=片琢+尸耳，

BP2BF2=(2CF)2+2￡>F2,

BF2=2CF2+OF2；

(3)解：?.?正方形EFG3繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)一周，BG=BE,

:.B、E在以8為圓心，2為半徑圓上，如圖所示：

圖③

BL

作或_LAH于L,RtAABL中，sinZ2=—,

AB

在正方形EFGB繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BG>BL,

當(dāng)BG=班時(shí)，BL最大,

此時(shí)/2最大，sinZ2=-,

2

.-.Z2=30o,

47=，不-22=26,

由（1）可知，AHYCE,

.-.ZAHC=90°,

連接AC,取AC中點(diǎn)連接

在以AC為直徑的。M上，

QABAC=；ABAD=45°,Z8=45°-3O°=15°,

■:AM=MH，

.?.Z8=Z9=15°,

.-.Z1O=Z8+Z9=3O°,

此時(shí)尸、H重合，。歸最小，如圖所示:

：.ZN=90°,NH//BC,

ZCHN=ZBCE,

由（1）知，△ABG四△CBE,

ZBCE=Z2=30°,CE=AG=273,

ZCHN=30°,CH=CE-EH=243-2,

:.CN=-CH=y/3-l,HN=———=gCN=3-G

2tanZCHN

DF=^DN'+HN2=J（4+A/3-1）2+（3-A/3）2=276,

當(dāng)點(diǎn)G在AB左側(cè)時(shí)，如圖所示：

一一圖③

同理可得N2=30°,40=30°,

點(diǎn)G從A8左側(cè)運(yùn)動(dòng)到右側(cè)，點(diǎn)H在。M上轉(zhuǎn)過(guò)的角度為180。-30。-30。=120。，

點(diǎn)G從右側(cè)運(yùn)動(dòng)到左側(cè)，點(diǎn)H在。M上轉(zhuǎn)過(guò)的角度為180。-30。-30。=120。，

1.?正方形的邊長(zhǎng)為4,

FM=CM=272，

7r

???點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為120x2.*2=殳&.

1803

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及判定，求動(dòng)點(diǎn)

的運(yùn)動(dòng)軌跡等動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，難度較大，能正確作出輔助線并結(jié)合圖形分類討論是正確解答此

題的關(guān)鍵.

2.（2025?陜西咸陽(yáng)?一模）【問(wèn)題探究】

（1）如圖①，在VABC中，AB=AC,ZB=40°,點(diǎn)。是8C上的一動(dòng)點(diǎn)，連接A￡）,將少繞點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到“慮，當(dāng)AE的值最小時(shí)，求/。山的度數(shù)；

【問(wèn)題解決】

（2）如圖②，四邊形A2CZ）是一個(gè)工廠的平面示意圖，A￡>=1000m,AD//BC,CD1BC,連接80,

=1600m,8。平分/ABC,點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是BC上一動(dòng)點(diǎn)，在P處修建一個(gè)員工休息處，連

接跖，將所繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EG,按規(guī)劃在G處修建一個(gè)廢品處理站，MN是一條產(chǎn)品加

工線，其中點(diǎn)M在A3上，點(diǎn)N是四邊形"CD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，MB=MN=\AB,為方便回收廢品，現(xiàn)要沿NG

安裝一條自動(dòng)運(yùn)輸帶.為節(jié)約成本，要使自動(dòng)運(yùn)輸帶NG的長(zhǎng)盡可能的小，自動(dòng)運(yùn)輸帶NG的長(zhǎng)是否存在最

小值，若存在，請(qǐng)求出NG的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）50°；（2）自動(dòng)運(yùn)輸帶NG的長(zhǎng)存在最小值，NG的最小值為800m

【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理可得NACB=NB=40。，ZBAC=100°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

AE=AD,ZCAE=ZBAD,當(dāng)AE最小時(shí)，此時(shí)4。也最小，即當(dāng)13C時(shí)，最?。ㄈ鐖D），由等腰

三角形三線合一得4MZ）=；N8AC=50。，可得結(jié)論；

（2）連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)。，連接DQ,證明AADE之AQBE（ASA）,可得四邊形ABQ。是平行四邊

形，進(jìn)一步證明四邊形AB。。是菱形，得AQL8。，AB=BQ=AD=1000,QE=AE=^AB1-BE1=600.

以M為圓心MB為半徑作弧，該弧交AB于點(diǎn)R,連接助，推出點(diǎn)N在以河為圓心MB為半徑的四邊形

A3CD內(nèi)的弧上運(yùn)動(dòng)，繼而推出鹿是AAB。的中位線，得RE=；BQ=500,RE//BQ,過(guò)點(diǎn)石作石？，3。

于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)G作/，3c于點(diǎn)S,過(guò)點(diǎn)E作瓦7，/于點(diǎn)H,可得/尸硝=90。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得跖=EG,

NFEG=90°,證明AFEP絲AGEH（AAS）,得到￡?=即，推出隨著點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G在直線/上運(yùn)動(dòng)，過(guò)

點(diǎn)M作MO，/于點(diǎn)0,交BD于點(diǎn)J,交EP于點(diǎn)、K,證明四邊形EKOH是矩形，得KO=EH=EP,則NG

的最小值為MO-MN,再推出MO〃3c〃鹿，根據(jù)平行線分線段成比例定理得隹=空=絲-l,即點(diǎn)

KEJEMR

J是超的中點(diǎn)，點(diǎn)K是尸￡的中點(diǎn)，可得M/=2H石=250,JK=\BP,貝lj

22

1BE-OE

MO=MJ+JK+KO=250+-BP+EP,在RtA^E。中，由EP=——*=480,在Rt△班尸中，

2BQ

BP=NBE2-EP。=640,可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）'：AB=AC,4=40。，

ZACB=ZB=40°,

：.ABAC=180。-ZACB-ZB=180°-40°-40°=100°,

?.?將△版）繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AACE,

/.AE=AD,NCAE=NBAD,

當(dāng)AE最小時(shí)，此時(shí)AD也最小，

即當(dāng)AD人3C時(shí)，AZ）最小（如圖），此時(shí)N3A￡）=』/BAC=LX100O=50。，

22

ZC4E=ZBAD=50°,

（2）連接AE并延長(zhǎng)交2C于點(diǎn)Q,連接。Q,

AD//B