數(shù)學(xué)簡介1/108計算政治學(xué)：?運(yùn)用數(shù)學(xué)形式和模型方法對政治現(xiàn)象進(jìn)行定量、模型化分析研究的社會科學(xué)學(xué)科，2024年成為二級學(xué)科2/1082024諾貝爾物理學(xué)獎約翰·J·霍普菲爾德（JohnJ.Hopfield）和杰弗里·E·辛頓（GeoffreyE.Hinton），表彰他們在使用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。2024諾貝爾化學(xué)獎DavidBaker以表彰其在計算蛋白質(zhì)設(shè)計方面的貢獻(xiàn)，另一半則共同授予DemisHassabis和JohnM.Jumper，以表彰其在蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)預(yù)測方面的人工智能模型AlphaFold2（2020年），能夠預(yù)測幾乎所有已確定的蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)。圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要內(nèi)容數(shù)學(xué)全貌；集合論

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的共同基礎(chǔ)；張量分析

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的共同語言；泛函分析

網(wǎng)絡(luò)距離的度量；群

論網(wǎng)絡(luò)同構(gòu)的度量；

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的三大支柱拓?fù)鋵W(xué)

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的度量；分形理論

網(wǎng)絡(luò)形狀的度量；如果把一個人的科學(xué)成就比作一棵樹，數(shù)學(xué)就是樹根。樹根的深淺決定了一個人成為參天大樹還是灌木叢。4/1085/1081.數(shù)學(xué)全貌1.1數(shù)學(xué)樹與數(shù)學(xué)史—了解數(shù)學(xué)全貌，形成概況；1.2數(shù)學(xué)的分類；1.3數(shù)學(xué)的定義；1.4數(shù)學(xué)的演化；1.5數(shù)學(xué)家職業(yè)—我們也可以學(xué)好數(shù)學(xué)微積分牛頓-拉布尼茨在1665年（康熙四年）創(chuàng)立：

1.1665之后的數(shù)學(xué)有哪些？見下頁數(shù)學(xué)樹

2.中國在干什么？《不得已》批判西洋歷

康熙四年與現(xiàn)代中國的差距，

就是微積分與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的差距

楊光先：寧可使中夏無好歷法，不可使中夏有西洋人6/108牛頓《流數(shù)簡論》手稿1665.5.20楊光先等人所著《不得已》1.1數(shù)學(xué)樹與數(shù)學(xué)史—了解數(shù)學(xué)全貌，形成概況7/108基石:圖論關(guān)鍵:場景變矩陣運(yùn)行:運(yùn)籌學(xué)模型:復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)計算:數(shù)值分析規(guī)律:統(tǒng)計出特征實質(zhì):量化人性人性:博弈+運(yùn)籌+深度學(xué)習(xí)圖論、概率學(xué)和線性代數(shù)構(gòu)成了人工智能的三大數(shù)學(xué)基礎(chǔ)邏輯古希臘時期集合論1870s數(shù)字系統(tǒng)古代分析17世紀(jì)幾何公元前300年代數(shù)古代線性代數(shù)19世紀(jì)博弈論二戰(zhàn)時期數(shù)值分析1940s實分析1900s復(fù)分析19世紀(jì)中期扭結(jié)理論19世紀(jì)末運(yùn)籌學(xué)二戰(zhàn)時期微分方程18世紀(jì)初統(tǒng)計學(xué)18世紀(jì)中葉概率論1650s計算數(shù)學(xué)20世紀(jì)初期微積分17世紀(jì)后半葉圖論1730s拓?fù)鋵W(xué)1890s數(shù)論1800s建模理論20世紀(jì)初密碼學(xué)1940s1、哲學(xué)產(chǎn)生邏輯學(xué)，所以說哲學(xué)是父親，數(shù)學(xué)是母親。2、以邏輯學(xué)為基礎(chǔ)，產(chǎn)生了集合論；3、為了分別代表數(shù)、形和數(shù)形結(jié)合，數(shù)字系統(tǒng)分成了代數(shù)、幾何和分析；4、因為非線性總可以用線性近似表示，代數(shù)的主流是線性代數(shù)；線性代數(shù)的推廣就是泛函分析；5、幾何首先分為圖論（包括圖形學(xué)）和拓?fù)鋬纱髩K，拓?fù)鋵W(xué)的重要內(nèi)容是群論；6、在圖論和拓?fù)涞幕A(chǔ)上形成數(shù)論；7、按集合不同，分析首先分為實分析和復(fù)分析；實分析的基礎(chǔ)是測度論；8、實分析演變成數(shù)值分析（之后變成計算數(shù)學(xué)），復(fù)分析接著演變成微積分；9、實分析同樣也可以產(chǎn)生概率學(xué)，概率學(xué)和時間序列結(jié)合產(chǎn)生統(tǒng)計學(xué)；10、微積分和拓?fù)浣Y(jié)合，產(chǎn)生扭結(jié)理論；11、扭結(jié)理論和線性代數(shù)組成微分方程；12、運(yùn)籌學(xué)+微分方程+統(tǒng)計學(xué)組成建模理論的基礎(chǔ)，可以最一切事物和過程進(jìn)行建模。數(shù)學(xué)樹的解讀8/1081.2數(shù)學(xué)的分類9/108

二級學(xué)科：25；三級學(xué)科：144；小項：5100。2.主要分為三部分：分析數(shù)學(xué)(-1850s)、結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)(1850s-1950s)、應(yīng)用數(shù)學(xué)(1950s-)；3.德裔美國數(shù)學(xué)家外爾（1885－1955）是最后一位數(shù)學(xué)全才。1.2數(shù)學(xué)的分類10/108結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)：O14

數(shù)理邏輯、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：演繹邏輯學(xué)、應(yīng)用數(shù)理邏輯、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、元數(shù)學(xué)、遞歸論、模型論、集合論；O15

代數(shù)、數(shù)論、組合理論：代數(shù)方程論、線性代數(shù)、群論、環(huán)論、模論、格論、范疇論、同調(diào)代數(shù)、微分代數(shù)、差分代數(shù)、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論、超越數(shù)論

、丟番圖逼近、概率數(shù)論

、計算數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、離散數(shù)學(xué)

、模糊數(shù)學(xué)；分析數(shù)學(xué)：O17數(shù)學(xué)分析：微積分、級數(shù)論、實變函數(shù)、逼近論、復(fù)變函數(shù)、微分方程、積分方程、變分法、泛函分析，非標(biāo)準(zhǔn)分析；O18

幾何：解析幾何、張量分析、非歐幾何、射影（投影）幾何、仿射幾何、分形幾何、微分幾何、代數(shù)幾何、

拓?fù)洌狐c(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、同倫論、低維拓?fù)鋵W(xué)、同調(diào)論、維數(shù)論、格上拓?fù)鋵W(xué)、纖維叢論、幾何拓?fù)鋵W(xué)、奇點(diǎn)理論、微分拓?fù)鋵W(xué)；1.2數(shù)學(xué)的分類11/108O19動力系統(tǒng)理論：整體分析、流形上分析、突變理論、微分動力系統(tǒng)；應(yīng)用數(shù)學(xué)：O21概率論與數(shù)理統(tǒng)計；O22運(yùn)籌學(xué)：規(guī)劃論、統(tǒng)籌方法、最優(yōu)化的數(shù)學(xué)理論、對策論（博弈論）、排隊論、庫存論、更新理論、搜索理論；O23控制論、信息論：控制論、最優(yōu)控制、邏輯網(wǎng)絡(luò)理論、學(xué)習(xí)機(jī)理論、模式識別理論、信息論O24計算數(shù)學(xué)：數(shù)值分析、數(shù)學(xué)模擬、近似計算、圖解數(shù)學(xué)、數(shù)值軟件、數(shù)值并行計算；O29應(yīng)用數(shù)學(xué).捷徑：1.數(shù)學(xué)史

2.國外翻譯的多版或高職

3.最薄的

4.定義+應(yīng)用12/1081.3數(shù)學(xué)的定義13/1081.亞里士多德（400B.C）：數(shù)學(xué)是量的科學(xué)（強(qiáng)調(diào)“數(shù)”）；2.笛卡爾（1700s）：數(shù)學(xué)是研究順序與度量的科學(xué)（擴(kuò)展：幾何）；3.恩格斯（1850s）：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)（擴(kuò)展：運(yùn)動）；4.前蘇聯(lián)（1950s）：數(shù)學(xué)是各種量之間的可能的，一般說是各種變化著的量的關(guān)系和相互聯(lián)系的科學(xué)（擴(kuò)展：多維空間）；5.現(xiàn)代（1980s）：數(shù)學(xué)被稱為模式的科學(xué)（scienceofpattern），其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀察的結(jié)構(gòu)和對稱性（擴(kuò)展：研究對象）。14/1081.4數(shù)學(xué)的演化

數(shù)學(xué)家只會擴(kuò)展前人的成果，而不會推翻前人的成果。

活動觀念概念表述收集集體元素的集合觀察對稱群論測量距離、面積度量空間（泛函分析）估計逼近、附近連續(xù)性、極限挑選部分布爾代數(shù)論證證明邏輯、元數(shù)學(xué)選擇機(jī)會概率論15/1081.5數(shù)學(xué)家職業(yè)—我們也可以學(xué)好數(shù)學(xué)優(yōu)秀的物理學(xué)家也是數(shù)學(xué)家：亞里士多德、開普勒、牛頓、愛因斯坦、霍金、楊振寧；優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家很多為力學(xué)家：阿基米德、洛倫茨（混沌之父）、伯努利、傅里葉、馮.卡門（導(dǎo)彈之父）、泊松；數(shù)學(xué)家的職業(yè)多為大學(xué)老師，也有例外：祖沖之－長水校尉（四品）；笛卡爾－律師；傅里葉－軍官；費(fèi)馬－議員；狄康尼斯－魔術(shù)師，陳景潤－中學(xué)老師。數(shù)學(xué)家的專業(yè)：柯西－道路與橋梁工程；黎曼－神學(xué)；馮.諾伊曼－化學(xué)工程；萊布尼茲、費(fèi)馬、笛卡爾－法律；約翰.伯努利－醫(yī)學(xué)；外爾斯特拉斯－財務(wù)管理（中學(xué)體育老師）、華羅庚－初中畢業(yè)。16/108集合論：現(xiàn)代數(shù)學(xué)的共同基礎(chǔ)“選擇公理”(AxiomofChoice)。這個公理的意思是“任意的一群非空集合，一定可以從每個集合中各拿出一個元素。2.集合—現(xiàn)代數(shù)學(xué)的共同基礎(chǔ)17/108/6840611805656515075/在數(shù)軸上隨機(jī)取一個點(diǎn)，它是有理數(shù)的概率是多少裂紋分形維數(shù)的演化示意圖2.1集合論的定義；2.2無限集合；2.3勢—比較∞的大??；2.4模糊集合。2.集合—現(xiàn)代數(shù)學(xué)的共同基礎(chǔ)18/1082.1集合論的定義集合論的創(chuàng)立者：康托爾（cantor，1845-1918，德國）定義（cantor）：把一定的并且可以彼此明確識別的事物－這種事物可

以是直觀的對象，也可以是思維的對象－放在一起，稱為一個集合。導(dǎo)致羅素悖論：一個集合會是自己的元素又不是自己的元素。如：集合A=（x｜x為10個以上元素的集合）ZF公理：集合中的元素不能包含自身。19/1082.1集合論的定義一個圖書館編制了一本書名詞典，其中記錄了該圖書館中所有不包含自己名稱的書籍。這樣一本詞典是否會包含自己的名稱呢，如下圖？再比如，上帝是萬能的，但是他能否制造一個他所不能搬動的石頭呢？羅素悖論20/1082.2無限集合1.無限集：元素個數(shù)為無窮。2.集合A為無限集的充要條件是A必能與其某些真子集B對等，即A的元素與B的元素一一對應(yīng)。如：A為自然數(shù)的全體，B為偶數(shù)的全體。

21/1082.3勢—比較∞的大小勢是有限集中元素個數(shù)的推廣。定義：彼此對等的集合歸于同一集類，記為稱為這類集合中任何一個集合的勢（或基數(shù)）。如：

A=（x|0<x<1)，則

3.無窮集中自然數(shù)N的勢最小。22/1082.3勢—比較∞的大小1.無窮大這一概念可細(xì)分為可數(shù)無窮和不可數(shù)無窮。2.可數(shù)無窮作是無窮序列中最小的無窮大。3.可數(shù)集：那些能夠與自然數(shù)集建立一一對應(yīng)關(guān)系的集合，其包含的元素數(shù)量被定義為可數(shù)無窮。4.無窮大的層級采用阿列夫數(shù)（希伯來字母?）進(jìn)行表示。其中，阿列夫零?(0)指可數(shù)無窮，如自然數(shù)，作為無窮序列的起始點(diǎn)。23/1082.4模糊集合

同樣，模糊集合也常常與邏輯回歸、異構(gòu)張量的權(quán)重、概率圖相結(jié)合24/1083.張量—現(xiàn)代數(shù)學(xué)的共同語言3.1張量分析的實質(zhì)；3.2協(xié)變基矢量與逆變基矢量；3.3張量的定義；3.4張量的商法則；3.5曲線與曲面坐標(biāo)張量（非線性與大變形）；3.6拉格朗日坐標(biāo)與歐拉坐標(biāo)；3.7共軛張量。25/1083.1張量分析的實質(zhì)創(chuàng)立：黎曼（Riemann，1826-1866

）.因為愛因斯坦1915年發(fā)表的廣義相對論而得到廣泛應(yīng)用。屬于幾何的范疇，是多維幾何的表示方法。張量分析的實質(zhì)是研究張量在不同坐標(biāo)系下的求導(dǎo)法則。笛卡爾張量用于直角坐標(biāo)系，只能處理小變形和線性問題。黎曼張量的精髓是曲線坐標(biāo)系，可處理大變形和非線性問題。26/1083.2協(xié)變基矢量與逆變基矢量

x1x2P1g1P2g2P2g2P1g1P

27/1083.2協(xié)變基矢量與逆變基矢量張量：只有大小沒方向的物理量稱為標(biāo)量，既有大小又有方向的物理量為矢量，具有多重方向性的物理量稱為張量。矢量：28/1083.3張量的定義基矢量可在兩個不同的坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換。協(xié)變轉(zhuǎn)換系數(shù)：逆變轉(zhuǎn)換系數(shù)：滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系的有序數(shù)組成的集合，稱為張量-9565-94258521.25.54679535652.371423.18521.25.54679535652.3704258521.25.54679535652.37-94258521.25.54679535652.37標(biāo)量零維張量矢量一維張量矩陣二維張量矩陣數(shù)組三維張量-929/1083.4張量的商法則商法則：判定一個張量的階數(shù)。

二階應(yīng)力張量四階彈性張量二階應(yīng)變張量30/1083.5曲線坐標(biāo)張量非線性與大變形中必須采用曲線與曲面坐標(biāo)張量；通過Christoffel符號，實現(xiàn)張量在曲線坐標(biāo)系中的求導(dǎo)。光速不變原理廣義相對論

曲線坐標(biāo)笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Christoffel符號Oi3i2i1

g1g2g3

31/1083.6拉格朗日坐標(biāo)與歐拉坐標(biāo)Lagrange:(X,Y,Z,t)中“X”,“Y”,“Z”不變，基矢量與Christoffel符號變,如圖a；

Euler：(x,y,z,t)中“x”,“y”,“z”變，基矢量與Christoffel符號不變,如圖b；推導(dǎo)公式用Lagrange坐標(biāo)，因為“X”,“Y”,“Z”對t的導(dǎo)數(shù)為零。計算用Euler坐標(biāo)，因為Lagrange坐標(biāo)只能是曲線坐標(biāo)，計算不方便。yxO

EulerLagrange(a)歐拉坐標(biāo)系(b)拉格朗日坐標(biāo)系yzTOPe2e3e1xx0P’tux

TOPe2e3e1

x0P’tuOxyzxyzx32/1084.1泛函分析的實質(zhì)；4.2實變函數(shù)－在實數(shù)理論和測度理論上建立起現(xiàn)代分析；4.3距離；4.4范數(shù)4.泛函—網(wǎng)絡(luò)距離的度量33/1084.1泛函分析的實質(zhì)

泛函分析：創(chuàng)立于20世紀(jì)初，是在變分法、線性代數(shù)、微分方程、逼近論、數(shù)值分析的基礎(chǔ)上，將其具有共同特征的問題進(jìn)行抽象概括、發(fā)展而來的。n維空間可以用來描述具有n個自由度的力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動，實際上需要有新的數(shù)學(xué)工具來描述具有無窮多自由度的力學(xué)系統(tǒng)。比如梁的震動問題就是無窮多自由度力學(xué)系統(tǒng)的例子。一般來說，從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)過渡到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，就要由有窮自由度系統(tǒng)過渡到無窮自由度系統(tǒng)。

研究無窮自由度的系統(tǒng)需要無窮維空間的幾何學(xué)和分析學(xué)，這正是泛函分析的基本內(nèi)容。34/1084.1泛函分析的實質(zhì)實質(zhì)：

A.分析的課題、代數(shù)的方法和幾何的觀點(diǎn)。

B.線性泛函（序幕）—無限維空間上的線性代數(shù)（矩陣分析）；非線性泛函（核心）—無限維空間上的微積分（數(shù)學(xué)分析）。

C.變分法—函數(shù)的函數(shù)，泛函分析－求變分方程的近似函數(shù)解。35/1084.1泛函分析的實質(zhì)

A(0,0)B(xf,yf)yx條件極值－Euler-lagrange方程－速降線問題36/1084.2.1勒貝格積分實變函數(shù)：Lebesgue（1875－1941）創(chuàng)立，是對黎曼積分的推廣：以測度為基礎(chǔ)建立，擴(kuò)大了可積函數(shù)類，降低逐項積分的條件和降低交換積分順序的條件。勒貝格積分與黎曼積分的比較:ayxOyxOx1

黎曼積分勒貝格積分4.2實變函數(shù)－在實數(shù)理論和測度理論上建立起現(xiàn)代分析37/1084.2.2測度測度是長度，面積的推廣，推廣到n維空間上，是用“點(diǎn)集”的概念表示“長度”。如：

n=1時，m(I)就是長度，n=2時，m(I)就是面積，n=3時，m(I)就是體積.4.2實變函數(shù)－在實數(shù)理論和測度理論上建立起現(xiàn)代分析38/108狄利克雷（Dirichlet）函數(shù):在區(qū)間（0,1)上:有理數(shù)的測度為0，無理數(shù)的測度為1-04.2.2測度4.2實變函數(shù)－在實數(shù)理論和測度理論上建立起現(xiàn)代分析39/1084.3距離

4.3.1距離空間（Banach空間）40/1084.3距離4.3.2常見的距離Hamming101100111000ABEuclideanaCosinebcManhattandMinkowskiP=3P=2P=1P=0.5P=0.3eChebyshevfHaversineBAuvhJaccardgIntersectionABA

BUnionAB?AB?S?rensen-DiceiIntersectionABA

BAB2×+?歐幾里德距離余弦相似度S?rensen-Dice系數(shù)Haversine公式Jaccard

系數(shù)切比雪夫距離閔可夫斯基距離漢明距離曼哈頓距離41/1084.4范數(shù)

42/108幾何學(xué)七階段一：公理（歐幾里德）

二：坐標(biāo)（笛卡爾、費(fèi)馬）

三：微積分（牛頓菜布尼茲）

四：群（克萊因、李）

五：拓?fù)?/p>

六：流形（黎曼）、纖維叢（嘉當(dāng)、惠特尼）

七階：分形幾何（曼德勃羅特）43/1085.群論—網(wǎng)絡(luò)同構(gòu)的度量5.1實質(zhì)：對稱性；5.2重要群；5.3同構(gòu)與同態(tài)。初等代數(shù)-算“數(shù)”抽象代數(shù)-算“結(jié)構(gòu)”44/1085.1實質(zhì)：對稱性創(chuàng)立：伽羅瓦（Galois1811-1832,法國數(shù)學(xué)家)群論群論是研究系統(tǒng)對稱性質(zhì)的科學(xué)。系統(tǒng)的對稱性就是指它對轉(zhuǎn)動和平移保持不變的性質(zhì)。對力學(xué)中的非對稱性張量，可以通過群論，引入結(jié)構(gòu)張量，轉(zhuǎn)化為各向同性張量。如：第二類P-K張量。45/1085.1實質(zhì)：對稱性

本構(gòu)原理：決定性原理、局部作用原理和客觀性原理。

第二類PK張量重整化群確定裂紋分形方向-10-2-100121Sobel算子梯度向量裂紋圖像像素點(diǎn)梯度重整化群α46/1085.2重要群集合Ｇ中元素的個數(shù)，稱為階群的定義：47/1085.2重要群

阿貝爾群：即交換群a×b=b×a，又叫加法群，常將“×”改為“＋”。

循環(huán)群：某個固定元素的冪的集合。如：由x3=1的根組成的群。

李群：群論用于偏微分方程，是一種連續(xù)群，其映射可微分。

環(huán):定義了兩個二元運(yùn)算“×”和“＋”，分別稱為加法和乘法，并滿足乘法結(jié)合率、分配率、阿貝爾群相結(jié)合，即：(a×b)×c=a×(b×c)a×(b＋c)=a×b＋a×c(b＋c)×a=b×a＋c×a

群只具有一種代數(shù)運(yùn)算（“×”或“＋”），環(huán)具有兩種代數(shù)運(yùn)算（“×”和“＋”）。48/1085.3同構(gòu)與同態(tài)映射：一一對應(yīng)→同構(gòu)，多對一→同態(tài)同態(tài)包含同構(gòu)GF

G

F（a）同構(gòu)（b）同態(tài)49/1085.3同構(gòu)與同態(tài)

同構(gòu)圖圖的同構(gòu)變換，看似完全不一樣的圖，實質(zhì)拓?fù)潢P(guān)系是一樣的。abcdeabecde1e4e2e3e5e1e2e3e4e5（a）（b）同構(gòu)圖實質(zhì)上是一個圖，判斷同構(gòu)圖為智能制造系統(tǒng)設(shè)計中的難題。50/1086.1拓?fù)鋵W(xué)的實質(zhì)；6.2拓?fù)鋵W(xué)的定義；6.3圖論與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)；6.4拓?fù)鋵W(xué)的分類；6.5同倫與同調(diào)；6.拓?fù)洹W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的度量51/1086.1拓?fù)鋵W(xué)的實質(zhì)Topology：原意為地形學(xué)、地貌學(xué)。法國數(shù)學(xué)家龐加萊（1854-1912）實質(zhì)：橡皮膜幾何學(xué)，研究橡皮膜變形過程（不能斷裂和重疊）中的不變量52/1086.1拓?fù)鋵W(xué)的實質(zhì)多面體的拓?fù)湫再|(zhì)有歐拉定理：F是多面體的面數(shù)量，E為邊數(shù)量，V為頂點(diǎn)數(shù)量六面體四棱錐足球53/1086.2拓?fù)鋵W(xué)的定義

拓?fù)鋵W(xué)直觀描述：研究圖形在彈性運(yùn)動中保持不變性質(zhì)的科學(xué)。

同胚映射：集合A、B之間的映射既是一一對應(yīng)的又是連續(xù)的。直觀地說，同胚可以看作是從一個集合到另一個集合的這樣的映射：它既不斷開，又不重疊。

圖形在同胚映射下不變的性質(zhì)叫做圖形的拓?fù)湫再|(zhì)或拓?fù)洳蛔兞俊?/p>

拓?fù)鋵W(xué)是研究拓?fù)洳蛔兞康目茖W(xué)，它是現(xiàn)代分析的抽象基礎(chǔ)。54/1086.3圖論與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湫再|(zhì)研究是理解網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵。圖論中的拓?fù)湫再|(zhì)主要涉及圖的結(jié)構(gòu)和連接方式，不涉及節(jié)點(diǎn)和邊的具體屬性。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湫再|(zhì)涉及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征和模式，它們的拓?fù)湫再|(zhì)有：小世界性、無標(biāo)度性、社區(qū)結(jié)構(gòu)、聚類系數(shù)等55/1086.4拓?fù)鋵W(xué)的分類按照同胚映射的性質(zhì)分為點(diǎn)集拓?fù)浜徒M合拓?fù)洌ù鷶?shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)洌狐c(diǎn)集拓?fù)洌壕嚯x空間＋拓?fù)?，映射結(jié)構(gòu)為集合類；代數(shù)拓?fù)洌涵h(huán)＋拓?fù)?，映射結(jié)構(gòu)為代數(shù)；微分拓?fù)洌何⒎謳缀危負(fù)洌成涫强晌⒌?。點(diǎn)集拓?fù)洌喊褞缀螆D形看作點(diǎn)的集合，再把集合看作一個用某種規(guī)律連接其中元素的空間。組合拓?fù)洌喊褞缀螆D形看作一些基本構(gòu)件所組成，用代數(shù)工具組合這些構(gòu)件，并研究圖形在微分同胚變換下的不變性質(zhì)。56/1086.5同倫與同調(diào)同倫：端點(diǎn)相同的兩條道路，經(jīng)過連續(xù)變形能夠重合，稱這兩條道路同倫。同調(diào)：兩條同倫的環(huán)路。57/1087.1分形幾何的定義及特點(diǎn)；7.2典型曲線；7.3分維計算；7.分形—網(wǎng)絡(luò)形狀的度量58/1087.1分形幾何的定義及特點(diǎn)分形（1975，Mandelbrot）定義：部分以某種形式與整體相似的形狀叫作分形（fractal）。Fractal，原意是指不規(guī)則，支離破碎的物體。分形高度不規(guī)則幾何度量，宏微觀協(xié)同。分形的特點(diǎn)：A.自相似性；

B.標(biāo)度不變性;C.自組織現(xiàn)象。59/1087.1分形幾何的定義及特點(diǎn)A.自相似性人體小腸的自相似結(jié)構(gòu)蕨類植物葉子的自相似性60/1087.1分形幾何的定義及特點(diǎn)Sierpinski集61/1087.1分形幾何的定義及特點(diǎn)62/1087.1分形幾何的定義及特點(diǎn)63/1087.1分形幾何的定義及特點(diǎn)B.標(biāo)度不變性64/1087.1分形幾何的定義及特點(diǎn)C.自組織現(xiàn)象自組織現(xiàn)象是指在某一系統(tǒng)或過程中自發(fā)形成時空有序或狀態(tài)的現(xiàn)象。T2T1(T2>T1)(a)(c)(b)65/1087.2典型曲線7.2.1Koch曲線；7.2.2Sierpinski集；7.2.3Peano曲線；7.2.4Cantor集；7.2.5Mandelbrot集。66/1087.2典型曲線7.2.1Koch

曲線（1906年）特點(diǎn)：處處連續(xù)，處處不可導(dǎo)四次Koch曲線67/1087.2典型曲線Sierpinski三角形及其形成過程7.2.2Sierpinski集（1916，波蘭）特點(diǎn):Sierpinski海綿的體積為零68/1087.2典型曲線特點(diǎn)：一條曲線但可以充滿整個平面。7.2.3Peano曲線（1890，意大利）69/1087.2典型曲線7.2.4Cantor集（1883，法國）特點(diǎn)：不含任何開區(qū)間。又叫康托爾（Cantordust）三分Cantor集70/1087.2典型曲線Mandelbrot集合是非常復(fù)雜的,它包含了無限多個層次，具有千變?nèi)f化的形態(tài)，它可以用作潮泊、海洋線的數(shù)學(xué)模擬，也可以用作數(shù)據(jù)壓縮的模型，數(shù)學(xué)家們稱該集合中有研究不完的問題7.2.5Mandelbrot集71/1087.3分維計算7.3.1分維定義；7.3.2分維計算－數(shù)盒子法。72分維定義：根據(jù)此公式：直線的維數(shù)為1，平面為2，體積為3。分維是對歐幾里德空間維數(shù)的推廣。7.3.1分維定義737.3.2分維計算－數(shù)盒子法

通過數(shù)包括英國海岸線的小盒子數(shù)目，計算小盒子數(shù)目隨盒子大小的變化，可以求出分維74利用“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)”來解決復(fù)合材料跨尺度問題項目特點(diǎn)動力學(xué)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自相似自組織無標(biāo)度集群關(guān)鍵點(diǎn)社區(qū)發(fā)現(xiàn)鏈路預(yù)測分形幾何√√√多重吸引子多重分形分形生長裂紋√√√缺陷裂紋引發(fā)生成樹裂紋演化復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、分形與裂紋相似性75（a）原始圖像（b）灰度化（c）閉運(yùn)算（d）拉普拉斯（f）去噪聲（g）膨脹（h）反向（i）二值圖像（e）改進(jìn)的Canny（j）劃分網(wǎng)格（k）二值矩陣（l）分維計算2.42.3

2.22.11.41.51.61.7

盒維數(shù)

76謝謝觀看！圖論引言

圖論是智能制造系統(tǒng)的細(xì)胞、設(shè)計的基石。圖論主要研究由點(diǎn)（頂點(diǎn)）和（邊）所構(gòu)成的圖形的性質(zhì)。在智能制造領(lǐng)域，從物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計到生產(chǎn)流程優(yōu)化，圖論的應(yīng)用都是不可或缺的。微積分到圖論，是思維方式從產(chǎn)品形狀到要素關(guān)系的巨大改變。學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解圖論的基本術(shù)語以及在實際應(yīng)用中的含義。掌握圖的分類和性質(zhì)并在智能制造中的具體應(yīng)用。了解復(fù)雜圖與簡單圖的嵌入，增強(qiáng)對大規(guī)模系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析的能力。掌握譜圖論的基礎(chǔ)知識，分析和優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。應(yīng)用分析工具進(jìn)行圖的構(gòu)建、分析和可視化。圖論課程簡介1.圖論的概述2.譜圖論3.復(fù)雜圖4.圖嵌入5.圖論與智能制造的關(guān)系定義1圖（Graph）：一個圖G（圖2-18）可以被視為一個組成元素的集合，包括節(jié)點(diǎn)（Vertex或Node）和邊（Edge），成為有序二元組G=（V，E）。1.圖論的概述—圖的定義定義2無向圖（UndirectedGraph）：在圖論中，如果一個圖的所有邊都沒有指定方向，那么這樣的圖稱為無向圖。定義3有向圖（DirectedGraph）：相對于無向圖，如果圖中的邊具有明確的方向，即從一個特定的起點(diǎn)指向一個終點(diǎn)，那么這種圖稱為有向圖。1.圖論的概述—無向圖與有向圖定義4權(quán)值圖（WeightedGraph）如果圖中的每條邊都有一個實數(shù)權(quán)值與之對應(yīng)，并且這個實數(shù)權(quán)值代表著這條邊的重要程度，那么這樣的圖稱為權(quán)值圖。1.圖論的概述—權(quán)值圖定義5鄰接矩陣：對于一個圖G=（V，E），其中V是節(jié)點(diǎn)集，E是邊集，鄰接矩陣是一個大小為vi×vj的矩陣，用于表示節(jié)點(diǎn)間的直接連接關(guān)系。在鄰接矩陣A中，第i行第j列的元素記作Ai,j。1.圖論的概述—鄰接矩陣與關(guān)聯(lián)矩陣節(jié)點(diǎn)v1與節(jié)點(diǎn)v3之間的連接強(qiáng)度為3，節(jié)點(diǎn)v3與另一個節(jié)點(diǎn)v2的連接強(qiáng)度為2，等等。這種加權(quán)表示更加細(xì)致地描繪了網(wǎng)絡(luò)中各種關(guān)系的強(qiáng)度。1.圖論的概述—鄰接矩陣與關(guān)聯(lián)矩陣定義7鄰域（Neighborhood）：對于任意一個節(jié)點(diǎn)vi，與其直接相連的所有節(jié)點(diǎn)組成了一個集合，稱為節(jié)點(diǎn)vi的鄰域。1.圖論的概述—鄰域和度定義8度（Degree）：一個節(jié)點(diǎn)vi的度是指與該節(jié)點(diǎn)直接相連的邊的數(shù)量。這個度數(shù)提供了關(guān)于節(jié)點(diǎn)連接密度的重要信息，通常記為deg(vi)或簡寫為d()。在上圖中展示的無向圖里，節(jié)點(diǎn)v2與三個節(jié)點(diǎn)v1、v5和v6直接相連。因此，節(jié)點(diǎn)v2的鄰接點(diǎn)包括這三個節(jié)點(diǎn)。由于這三個連接，節(jié)點(diǎn)v2的度為3，表示為deg(v2)=3。1.圖論的概述—鄰域和度定義9度數(shù)矩陣（DegreeMatrix）是用來描述一個圖中各節(jié)點(diǎn)度數(shù)的矩陣，特別用于無向圖和有向圖的分析。在度數(shù)矩陣中，每個節(jié)點(diǎn)的度（即與該節(jié)點(diǎn)相連的邊的數(shù)量）被表示在矩陣的對角線上，而矩陣的其他元素都是0。1.圖論的概述—度數(shù)矩陣在加權(quán)鄰接矩陣W中，每個元素Wi,j表示節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間的連接權(quán)重。如果兩個節(jié)點(diǎn)之間沒有直接的連接，相應(yīng)的矩陣元素就是0。否則，它是一個正實數(shù)，表示這兩個節(jié)點(diǎn)之間連接的強(qiáng)度。1.圖論的概述—度數(shù)矩陣深度優(yōu)先搜索（Depth-FirstSearch，DFS）和廣度優(yōu)先搜索（Breadth-FirstSearch，BFS）是圖遍歷的兩種基本方法，每種方法都有其特定的用途和特點(diǎn)。DFS探索盡可能深的節(jié)點(diǎn)，而不考慮先探索鄰近的節(jié)點(diǎn)，直到當(dāng)前路徑被完全探索，然后回溯并探索下一個可能的路徑。BFS從圖的根節(jié)點(diǎn)開始，探索所有鄰近節(jié)點(diǎn)，然后再按順序訪問每個鄰近節(jié)點(diǎn)的鄰居，層層推進(jìn)。1.圖論的概述—圖的遍歷定義10圖同構(gòu)：兩個圖G=（V，E）和G’=（V’，E’）是同構(gòu)的，記作G≈G’，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個從G到G’的映射σ。1.圖論的概述—圖的同構(gòu)定義11途徑是在圖G=（V，E）中從一個節(jié)點(diǎn)u到另一個節(jié)點(diǎn)v的一個交替的節(jié)點(diǎn)和邊序列。定義12跡是一種特殊的途徑，其中所有的邊都是互不相同的，但節(jié)點(diǎn)可以重復(fù)。定義13路徑是一種更嚴(yán)格的途徑，其中所有節(jié)點(diǎn)（以及所有邊）都是唯一的，即途徑中沒有任何節(jié)點(diǎn)或邊重復(fù)出現(xiàn)。1.圖論的概述—圖的途徑、軌跡與路定義14連通圖（ConnectedGraph）如果圖G=（V，E）只有一個連通分量，那么G是連通圖。這意味著在連通圖中，沒有任何孤立的節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)組，所有節(jié)點(diǎn)都至少通過一條路徑與圖中的其他節(jié)點(diǎn)相連。連通圖的一個關(guān)鍵特征是它只包含一個連通分量。1.圖論的概述—圖的連通性定義15最短路（ShortestPath）指的是在圖G中從一個節(jié)點(diǎn)u到另一個節(jié)點(diǎn)v的所有可能路徑中，長度最短的那一條路徑。定義16直徑（Diameter）是指在連通圖中所有節(jié)點(diǎn)對的最短路徑的最大長度。換句話說，直徑是圖中最遠(yuǎn)兩個節(jié)點(diǎn)間最短路徑的長度。1.圖論的概述—圖的連通性之前提到，矩陣可以看作一種線性變換（類似于運(yùn)動）。從這個角度看，鄰接矩陣可以理解為圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的“運(yùn)動”方式，而拉普拉斯矩陣則描述了這種運(yùn)動的變化（即中心節(jié)點(diǎn)和相鄰節(jié)點(diǎn)的信號差異）。拉普拉斯矩陣的概念源自拉普拉斯算子。在工程數(shù)學(xué)中，拉普拉斯算子是一種常見的微分工具，它反映了中心點(diǎn)和其周圍點(diǎn)之間的梯度差異的總和。2.譜圖論拉普拉斯矩陣（LaplacianMatrix）是拉普拉斯算子在圖論中表現(xiàn)形式，廣泛應(yīng)用于圖的分析和計算。給定一個無向圖G=（V，E），拉普拉斯矩陣L定義為L=D-A。2.譜圖論定義17異質(zhì)圖（HeterogeneousGraphs）：節(jié)點(diǎn)集V和邊集E可以被映射到多個類型上，即存在一個節(jié)點(diǎn)類型映射函數(shù)V→A和一個邊類型映射函數(shù)筏：E→R。3.復(fù)雜圖—異質(zhì)圖定義18二分圖（BipartiteGraph）：二分圖是一種特殊的無向圖，其節(jié)點(diǎn)集V可以被分割成兩個互不相交的子集A和B。每條邊都跨越這兩個集合，連接一個來自A的節(jié)點(diǎn)和一個來自B的節(jié)點(diǎn)，即每條邊的兩個端點(diǎn)分別屬于A和B。3.復(fù)雜圖—二分圖定義19多維圖（Multi-dimensionalGraphs）：一個多維圖由一個節(jié)點(diǎn)集V={v1,……，vN}和D個邊集{e1,……,eD}構(gòu)成，每個邊集εd描述節(jié)點(diǎn)間的一種特定關(guān)系。這D種不同的關(guān)系可以通過D個鄰接矩陣A（1），…，A（D）來表示。3.復(fù)雜圖—多維圖定義20符號圖（SignedGraph）：符號圖G={V，E+，E-}是一種特殊類型的圖，其中V是節(jié)點(diǎn)集，包含n個節(jié)點(diǎn)。E+?V×V和E-?V×V分別代表圖中的正邊集和負(fù)邊集。在符號圖中，每條邊要么具有正的標(biāo)志（表達(dá)積極的關(guān)系），要么具有負(fù)的標(biāo)志（表達(dá)消極的關(guān)系），不存在沒有符號的邊，即每條邊都明確標(biāo)記為正或負(fù)。3.復(fù)雜圖—符號圖定義21超圖：超圖G={V,E,W}是一種圖形結(jié)構(gòu)，其中V是包含n個節(jié)點(diǎn)的集合，E是超邊的集合，而W是一個對角權(quán)重矩陣，Wj,j表示超邊ej的權(quán)重。3.復(fù)雜圖—超圖超圖示例，圓圈為超邊代表產(chǎn)品、設(shè)備為節(jié)點(diǎn)定義22動態(tài)圖（DynamicGraphs）：動態(tài)圖G=（V，E）是一個圖模型，其中包括一組節(jié)點(diǎn)V={v1,……，vN}和一組邊E={e1,……，eM}。在動態(tài)圖中，每個節(jié)點(diǎn)和每條邊都與其產(chǎn)生的時間相關(guān)聯(lián)。3.復(fù)雜圖—動態(tài)圖將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)壓縮就是圖嵌入。比如高考，通過原始分和標(biāo)準(zhǔn)分等操作，將各科成績（6個分量）轉(zhuǎn)化為一個總分（1個分量）來錄取。圖嵌入（GraphEmbedding）的目的是每個節(jié)點(diǎn)映射到一個低維的向量表示。4.圖嵌入—簡介4.圖嵌入—簡單圖的圖嵌入①保留節(jié)點(diǎn)共現(xiàn)一種常見方法是執(zhí)行隨機(jī)游走（RandomWalk）。使得學(xué)習(xí)到的節(jié)點(diǎn)能夠重現(xiàn)從隨機(jī)游走中提取的“相似性”。②保留結(jié)構(gòu)角色從原始圖中提取結(jié)構(gòu)角色相似度的信息，并用它來構(gòu)建一個新的圖。③保留節(jié)點(diǎn)狀態(tài)同時保留節(jié)點(diǎn)共現(xiàn)信息和節(jié)點(diǎn)全局狀態(tài)的圖嵌入方法，主要由兩個部分組成：保留共現(xiàn)信息的組件和保留全局狀態(tài)的組件。4.圖嵌入—簡單圖的圖嵌入全局排名被保留下來的概率可以通過使用節(jié)點(diǎn)嵌入進(jìn)行建模，見下式：式中，

表示節(jié)點(diǎn)

的排名在

之前的概率。④保留社區(qū)結(jié)構(gòu)

文獻(xiàn)[1]基于矩陣分解的方法，既保留了節(jié)點(diǎn)之間的連接、共現(xiàn)等結(jié)構(gòu)信息，又保留了社區(qū)結(jié)構(gòu)。[1]WangX,CuiP,WangJ,etal.Communitypreservingnetworkembedding[C]//ProceedingsoftheAAAIconferenceonartificialintelligence.2017,31(1).①異質(zhì)圖嵌入旨在將異質(zhì)圖中的各類節(jié)點(diǎn)映射到一個統(tǒng)一的嵌入空間。4.圖嵌入—復(fù)雜圖的圖嵌入②二分圖嵌入

BiNE的二分圖嵌入框架用于捕捉兩個集合之間的關(guān)系以及集合內(nèi)部的關(guān)系。③多維圖嵌入

學(xué)習(xí)所有維度捕獲信息所得到的節(jié)點(diǎn)的通用表示。④符號圖嵌入

使正邊相連的節(jié)點(diǎn)比負(fù)邊相連的節(jié)點(diǎn)在嵌入域中更接近彼此。⑤超圖嵌入利用超邊中編碼的節(jié)點(diǎn)關(guān)系來學(xué)習(xí)超圖節(jié)點(diǎn)表示的方法4.圖嵌入—復(fù)雜圖的圖嵌入⑥動態(tài)圖嵌入

文獻(xiàn)[2]引入了時序隨機(jī)游走來生成能夠捕獲圖中時間信息的隨機(jī)游走，利用產(chǎn)生的時序信息重構(gòu)共現(xiàn)信息。定義24時序鄰居：對于動態(tài)圖G中的節(jié)點(diǎn)v，它在時間t的時序鄰居是在時間t之后與v相連的節(jié)點(diǎn)。這可以正式表示見式：定義25時序隨機(jī)游走：設(shè)圖G={V,E}，G={V,E,Φe}是一個動態(tài)圖，其中Φe是邊的時間映射函數(shù)。[2]NguyenGH,LeeJB,RossiRA,etal.Continuous-timedynamicnetworkembeddings[C]//Companionproceedingsofthethewebconference2018.2018:969-976.忽略時間因素導(dǎo)致信息丟失的例子生產(chǎn)流程優(yōu)化每個作業(yè)的加工順序和時間如下：作業(yè)A：在M1上加工3小時，然后在M2上加工2小時。作業(yè)B：在M2上加工1小時，然后在M1上加工4小時。作業(yè)C：在M1上加工2小時，然后在M2上加工3小時。可以將這個調(diào)度問題建模為有向圖，使用最短路徑算法找到最優(yōu)的調(diào)度順序，最小化總生產(chǎn)時間。5.圖論與智能制造的關(guān)系供應(yīng)鏈管理使用最小費(fèi)用流算法找到最優(yōu)的庫存分配方案，以最小化總庫存成本和缺貨風(fēng)險。如下圖所示，在這個SCM網(wǎng)絡(luò)中，從供應(yīng)商1到零售商1的最優(yōu)路徑是通過制造商1進(jìn)行運(yùn)輸，這條路徑的總運(yùn)輸成本為30。這個路徑是基于運(yùn)輸成本最小化的目標(biāo)計算出來的。5.圖論與智能制造的關(guān)系工廠布局設(shè)計假設(shè)一個工廠有三臺設(shè)備X、Y、Z，需要在三個工作區(qū)域W1、W2、W3中進(jìn)行布局?？梢詫⑦@個設(shè)備布局問題建模為一個二分圖，節(jié)點(diǎn)表示設(shè)備和工作區(qū)域，邊表示設(shè)備與工作區(qū)域之間的匹配關(guān)系和移動成本。使用圖匹配算法找到最優(yōu)的設(shè)備布局方案以最小化設(shè)備之間的移動和轉(zhuǎn)換時間。如下圖所示，圖中的藍(lán)色雙線邊表示通過Kruskal算法計算出的最小生成樹，這條路徑連接了所有設(shè)備，并且總布線成本最小化。5.圖論與智能制造的關(guān)系故障診斷與維護(hù)假設(shè)一個生產(chǎn)系統(tǒng)有五臺設(shè)備E1、E2、E3、E4、E5，其中E1依賴于E2和E3，E3依賴于E4，E4依賴于E5。可以將這個系統(tǒng)建模為一個有向圖，節(jié)點(diǎn)表示設(shè)備，邊表示設(shè)備之間的依賴關(guān)系，如圖2-48所示。通過分析設(shè)備依賴圖，可以識別出關(guān)鍵設(shè)備E5，并優(yōu)先進(jìn)行維護(hù)和修復(fù)，以防止故障傳播影響整個系統(tǒng)。5.圖論與智能制造的關(guān)系數(shù)據(jù)分析與機(jī)器學(xué)習(xí)通過構(gòu)建生產(chǎn)過程的圖模型，可以分析各個環(huán)節(jié)的關(guān)鍵性，并檢測到異常的生產(chǎn)環(huán)節(jié)，從而及時進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化。假設(shè)一個生產(chǎn)系統(tǒng)有多個生產(chǎn)環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)都有數(shù)據(jù)采集。可以將這些數(shù)據(jù)建模為一個有向圖，節(jié)點(diǎn)表示生產(chǎn)環(huán)節(jié)，邊表示生產(chǎn)環(huán)節(jié)之間的數(shù)據(jù)流，如下圖所示。5.圖論與智能制造的關(guān)系113謝謝觀看！復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)—智能制造系統(tǒng)的神經(jīng)1復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)概述2復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的測度3異構(gòu)張量及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)類型4復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與智能制造的關(guān)系目錄1復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)概述1.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的定義復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（ComplexNetwork），錢學(xué)森院士給出的定義，是指具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無標(biāo)度中部分或全部性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)，是一種用來描述現(xiàn)實世界中復(fù)雜系統(tǒng)之間相互作用關(guān)系的抽象模型。與一般圖相比，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)目巨大，可以代表任何事物且節(jié)點(diǎn)之間的連接權(quán)重存在差異，同時網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)展現(xiàn)出高度的動態(tài)性和自組織性。圖1具有34個節(jié)點(diǎn)和78條邊的Zachary空手道俱樂部網(wǎng)絡(luò)圖2復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)如一幅千變?nèi)f化的畫卷1復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)概述2.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特性像是幅畫卷的紋理和圖案，展現(xiàn)出了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多樣性和復(fù)雜性。其中包括：小世界性、集群性、無標(biāo)度性等。圖3小世界網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換過程圖4具有3個集群的圖圖5無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)示意圖小世界性：網(wǎng)絡(luò)中任意兩點(diǎn)間通過少量節(jié)點(diǎn)即可相連，體現(xiàn)信息的快速傳播能力。集群性：網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)傾向于形成緊密連接的群體或社區(qū)。無標(biāo)度性：網(wǎng)絡(luò)中少數(shù)節(jié)點(diǎn)擁有大量連接，而大多數(shù)節(jié)點(diǎn)連接較少，形成冪律分布。1復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)概述3.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型隨機(jī)圖模型是最簡單的網(wǎng)絡(luò)模型之一，它假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)和連接是隨機(jī)生成的，具有均勻的度分布和隨機(jī)的連接規(guī)則。核心-邊緣網(wǎng)絡(luò)模型就是將網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)分為兩個主要部分：核心節(jié)點(diǎn)和邊緣節(jié)點(diǎn)。核心節(jié)點(diǎn)通常在網(wǎng)絡(luò)中占據(jù)重要位置，它們之間連接緊密，擁有較高的連接度和影響力。而邊緣節(jié)點(diǎn)則相對孤立，它們與核心節(jié)點(diǎn)的連接較少，彼此之間的連接也可能較弱。圖6具有100個節(jié)點(diǎn)，概率參數(shù)p=0.03的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)圖7核心邊緣網(wǎng)絡(luò)示意圖2復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的測度在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析領(lǐng)域，測度被用于識別和表征不同類型的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)測度包括：平均鄰居度、網(wǎng)絡(luò)直徑、度分布、連通性測度、社區(qū)結(jié)構(gòu)和中心性等。這些測度不僅刻畫點(diǎn)、邊、社區(qū)在系統(tǒng)的權(quán)重，還是制造系統(tǒng)設(shè)計算法創(chuàng)新的關(guān)鍵。1.平均鄰居度平均鄰居度（AverageNeighborDegree,AND）為網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的度的平均值。通過比較不同網(wǎng)絡(luò)的平均鄰居度，可以判斷網(wǎng)絡(luò)的稀疏性或密集性，進(jìn)而推測網(wǎng)絡(luò)的功能和穩(wěn)定性。AND刻畫了網(wǎng)絡(luò)的局部特性，有助于確定網(wǎng)絡(luò)的類型。2.網(wǎng)絡(luò)直徑網(wǎng)絡(luò)直徑是網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)對中所有可能的最短路徑距離的最大值。網(wǎng)絡(luò)直徑的大小與網(wǎng)絡(luò)的有效性和魯棒性密切相關(guān)，對于優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和提高網(wǎng)絡(luò)性能具有重要意義。較小的網(wǎng)絡(luò)直徑表示網(wǎng)絡(luò)中的遠(yuǎn)程節(jié)點(diǎn)可以更快地到達(dá)，降低網(wǎng)絡(luò)直徑將能夠改善網(wǎng)絡(luò)中的傳輸延遲。圖8平均鄰居度為2的圖圖9網(wǎng)絡(luò)直徑為2的圖2復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的測度3.度分布網(wǎng)絡(luò)的度分布反映了網(wǎng)絡(luò)的整體連通性，即度分布表示在網(wǎng)絡(luò)中有多少個節(jié)點(diǎn)具有相同的度。度分布通常用概率分布函數(shù)來表示，在許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，度分布遵循冪律分布。4.連通性測度平均路徑長度：網(wǎng)絡(luò)中所有可能節(jié)點(diǎn)對之間的端到端路徑長度的平均值，是基于網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)間的距離計算得到，因此其為一個全局測度。平均聚類系數(shù)：代表一個節(jié)點(diǎn)的鄰居彼此間也是鄰居的數(shù)目的平均值，用來刻畫網(wǎng)絡(luò)的健壯性和冗余性。圖10平均路徑長度為1.53的圖圖11平均聚類系數(shù)為0.28的圖2復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的測度5.社區(qū)結(jié)構(gòu)測度社區(qū)結(jié)構(gòu)是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中普遍存在的現(xiàn)象，它指的是網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)傾向于形成若干個相對獨(dú)立且內(nèi)部連接緊密的群組，這些群組之間則相對稀疏地連接。社區(qū)結(jié)構(gòu)測度旨在揭示這些群組的存在、規(guī)模、邊界以及它們之間的相互作用。模塊度衡量了網(wǎng)絡(luò)劃分成社區(qū)后，社區(qū)內(nèi)部連接與社區(qū)間連接的相對強(qiáng)度。輪廓系數(shù)結(jié)合了節(jié)點(diǎn)的內(nèi)部相似度和外部差異度，為每個節(jié)點(diǎn)計算一個值，從而評估整個劃分的緊密性和分離度。標(biāo)準(zhǔn)化相互信息是一種比較兩個社區(qū)劃分相似性的方法，常用于評估社區(qū)檢測算法的性能。圖12具有四個社區(qū)的圖2復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的測度6.中心性測度對中心性度量是理解復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和動態(tài)特性的基礎(chǔ)。度量網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)的中心性，本質(zhì)上就是量化網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的重要性。度中心性（DegreeCentrality，DC）：是一種最簡單的中心性測度，節(jié)點(diǎn)的DC定義為所有與該節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊之和。某一節(jié)點(diǎn)i的DC可以通過如下公式計算得出：圖13給出了一個非加權(quán)網(wǎng)絡(luò)及對應(yīng)鄰接矩陣的例子，其中節(jié)點(diǎn)的DC值如表1所示。可以發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)C的DC值最高，意味著節(jié)點(diǎn)C是該網(wǎng)絡(luò)中最中心的節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)DCA2/4B2/4C1D1/4E1/4圖13網(wǎng)絡(luò)及其鄰接矩陣的例子表1度中心性式中，表示節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的邊。度分布函數(shù):隨機(jī)選定節(jié)點(diǎn)的度恰好為k的概率。通常我們定義網(wǎng)絡(luò)的度分布，為網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)為k的節(jié)點(diǎn)個數(shù)占節(jié)點(diǎn)總個數(shù)的比例。

2復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的測度2復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的測度接近中心性（ClosenessCentrality，CC）：描述了在網(wǎng)絡(luò)中一個節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)的接近程度。網(wǎng)絡(luò)中的臨近節(jié)點(diǎn)可以與他們的鄰居節(jié)點(diǎn)快速交互。CC還度量了在向網(wǎng)絡(luò)中的其他節(jié)點(diǎn)擴(kuò)散信息時的節(jié)點(diǎn)的重要性。在一個N節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)中，第i個節(jié)點(diǎn)的CC可以通過下述公式計算得到：節(jié)點(diǎn)d(i,j)CCA61/6B61/6C41/4D71/7E71/7表2接近中心性圖14給出了一個無權(quán)網(wǎng)絡(luò)及對應(yīng)最短路徑耗費(fèi)矩陣的例子。節(jié)點(diǎn)的CC分?jǐn)?shù)如表2所示?？梢钥闯觯鶕?jù)CC測度值，節(jié)點(diǎn)C是整個網(wǎng)絡(luò)最中心的節(jié)點(diǎn)。需進(jìn)一步指出的是，節(jié)點(diǎn)C之所以具有最大的CC分?jǐn)?shù)，是因為它與網(wǎng)絡(luò)中所有其他節(jié)點(diǎn)都有直接聯(lián)系。圖14一個網(wǎng)絡(luò)及其最短路徑耗費(fèi)矩陣式中，是節(jié)點(diǎn)i和j之間最短路徑的長度。2復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的測度介數(shù)中心性（BetweennessCentrality，BC）：度量了網(wǎng)絡(luò)中一個節(jié)點(diǎn)位于其他節(jié)點(diǎn)最短路徑上的程度。也就是說，計算網(wǎng)絡(luò)中任意兩個節(jié)點(diǎn)的所有最短路徑，如果這些最短路徑中很多條都經(jīng)過了某個節(jié)點(diǎn)，那么就認(rèn)為這個節(jié)點(diǎn)的介數(shù)中心性高?？赏ㄟ^以下公式計算：式中，是點(diǎn)Vi的介數(shù)中心性，是圖中各節(jié)點(diǎn)最短路徑的數(shù)量，是經(jīng)過點(diǎn)Vi的最短路徑的數(shù)量。圖15介數(shù)中心性，其中E點(diǎn)介數(shù)中心性最大2復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的測度特征向量中心性（EigenvectorCentrality，EC）：度量了網(wǎng)絡(luò)中一個節(jié)點(diǎn)位于其他節(jié)點(diǎn)最短路徑上的程度。也就是說，節(jié)點(diǎn)的重要性不僅取決于自身的度，還與連接的節(jié)點(diǎn)的重要性緊密相關(guān)。圖16以特征值的最大值對應(yīng)的特征向量作為中心性度量3異構(gòu)張量及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)類型1.異構(gòu)張量構(gòu)建應(yīng)用所謂異構(gòu)張量是一種多維數(shù)組，但其各個維度可以代表不同類型的數(shù)據(jù)或?qū)嶓w。圖17智能制造系統(tǒng)異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)示意一個智能制造工廠內(nèi)，從原材料入庫到成品出庫，每一個環(huán)節(jié)都產(chǎn)生著海量的數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)不僅包括產(chǎn)品的物理屬性、生產(chǎn)線的運(yùn)行參數(shù)，還涵蓋了設(shè)備狀態(tài)、人員操作記錄以及外部環(huán)境因素等多種類型的信息。傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方式在面對如此復(fù)雜多樣的數(shù)據(jù)時顯得力不從心，而異構(gòu)張量則以其獨(dú)特的結(jié)構(gòu)優(yōu)勢，能夠輕松地將這些不同類型的數(shù)據(jù)整合到一個統(tǒng)一而有序的多維數(shù)組中。在智能制造系統(tǒng)中，設(shè)備、工人、生產(chǎn)任務(wù)等元素之間的相互作用和依賴關(guān)系構(gòu)成了一個復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，如圖17所示。3異構(gòu)張量及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)類型2.端到端學(xué)習(xí)端到端學(xué)習(xí)是一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法，能夠直接從原始數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)并輸出最終結(jié)果，不需要人工設(shè)計特征或中間步驟。這種方法的特點(diǎn)包括減少了人為干預(yù)的需求，提高了模型的整體性能，并能夠自動優(yōu)化整個學(xué)習(xí)過程。圖18

端到端學(xué)習(xí)（端到端的語音識別系統(tǒng)）3異構(gòu)張量及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)類型3.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)類型剖析異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)：指由不同類型節(jié)點(diǎn)和邊交織而成的網(wǎng)絡(luò)體系。異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的核心特征在于其“異構(gòu)性”，即網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)和邊在類型、屬性和功能上均呈現(xiàn)出多樣性。圖19簡單異構(gòu)張量構(gòu)建舉一個簡單的例子如圖19所示。用數(shù)學(xué)形式表示異構(gòu)張量，我們可以定義一個二維張量T，其中每個元素T[i,j]表示任務(wù)（i=1,2）和工人（j=1,2）之間的關(guān)系。具體來說，異構(gòu)張量可以定義為：例如，T[i,j]表示設(shè)備連接到任務(wù)1，且任務(wù)1連接到工人1。張量T具體表示為：3異構(gòu)張量及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)類型層析網(wǎng)絡(luò)：核心在于其相對獨(dú)立的層次化結(jié)構(gòu)。揭示了系統(tǒng)內(nèi)部的組織結(jié)構(gòu)和功能關(guān)系,是跨尺度模型的利器。圖19層析網(wǎng)絡(luò)示意4復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與智能制造的關(guān)系1.數(shù)據(jù)驅(qū)動的智能制造通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析，可以揭示制造系統(tǒng)中不同部分之間的關(guān)系和互動。例如，生產(chǎn)線上的機(jī)器、傳感器和產(chǎn)品可以看作網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，它們之間的連接則代表數(shù)據(jù)的傳輸和信息的交換。圖20

數(shù)據(jù)驅(qū)動的智能制造4復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與智能制造的關(guān)系2.網(wǎng)絡(luò)化生產(chǎn)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)化生產(chǎn)系統(tǒng)通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)連接設(shè)備，實現(xiàn)實時數(shù)據(jù)共享與協(xié)作，增強(qiáng)生產(chǎn)靈活性與效率。MES網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實時監(jiān)控設(shè)備狀態(tài)，預(yù)測性維護(hù)減少故障影響，動態(tài)調(diào)度優(yōu)化生產(chǎn)任務(wù)分配，確保生產(chǎn)不中斷。圖21

智能制造設(shè)備網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)4復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與智能制造的關(guān)系3.智能供應(yīng)鏈管理SCMSCM通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型優(yōu)化供應(yīng)鏈節(jié)點(diǎn)關(guān)系，識別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和薄弱環(huán)節(jié)，提升穩(wěn)定性與效率?？梢暬夹g(shù)直觀呈現(xiàn)供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)，幫助發(fā)現(xiàn)瓶頸并制定優(yōu)化策略，如增加供應(yīng)商多樣性、改進(jìn)物流管理等，提高供應(yīng)鏈可靠性。圖22

智能供應(yīng)鏈管理4復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與智能制造的關(guān)系4.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在APS中的應(yīng)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于生產(chǎn)調(diào)度，通過優(yōu)化APS，確定最優(yōu)生產(chǎn)路徑，減少設(shè)備空閑和切換時間，實現(xiàn)高效調(diào)度；實時數(shù)據(jù)分析使調(diào)度動態(tài)調(diào)整，確保資源優(yōu)化配置和高效生產(chǎn)運(yùn)行。圖23

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在APS中的應(yīng)用135謝謝觀看！運(yùn)籌學(xué)--智能制造系統(tǒng)的器官1運(yùn)籌學(xué)概念2運(yùn)籌學(xué)內(nèi)容——十大分支3運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用——與智能制造的關(guān)系智能制造框架

運(yùn)籌學(xué)與智能制造關(guān)系

動態(tài)規(guī)劃智能制造生態(tài)圈智能排產(chǎn)PLMERPAPSLIMSSRM企業(yè)供應(yīng)方工廠實驗數(shù)據(jù)研發(fā)工藝工藝仿真物料采購單與物料供應(yīng)計劃排產(chǎn)發(fā)布MES運(yùn)籌學(xué)非線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)分析排隊論決策分析對策論WMS物料配送存儲論一一對應(yīng)運(yùn)輸問題線性規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃和整數(shù)規(guī)劃運(yùn)籌學(xué)釋義與發(fā)展簡史運(yùn)籌學(xué)釋義

運(yùn)籌學(xué)(operationalresearch)一詞起源于第二次世界大戰(zhàn)時期的英國。運(yùn)籌學(xué)在不同的領(lǐng)域有不同的釋義,從其性質(zhì)與特點(diǎn)可定義為:

運(yùn)籌學(xué)是一門以數(shù)學(xué)為主要工具,用系統(tǒng)的觀念,多學(xué)科的綜合,應(yīng)用模型技術(shù),為經(jīng)濟(jì)、軍事、管理等部門提供最優(yōu)的決策方案?！胺蜻\(yùn)籌帷幄之中，決勝前里之外”，樸素的運(yùn)籌學(xué)思想在我國古代文獻(xiàn)中有不少記載。如齊王賽馬和北宋丁渭修復(fù)皇宮等事例。

現(xiàn)代運(yùn)籌學(xué)名詞源于1938年英國，為解決空襲的

早期預(yù)警中的協(xié)調(diào)配合問題。英軍成立了由P.M.S.Blackett領(lǐng)導(dǎo)的“operationalresearch”小組。由于綜合應(yīng)用了科學(xué)方法和技術(shù)，糾正了人們一些直觀想象的錯誤，有效解決了當(dāng)時戰(zhàn)爭中的一些新問題。運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展趨勢：(1)運(yùn)籌學(xué)理論研究將會進(jìn)一步系統(tǒng)深入發(fā)展．(2)運(yùn)籌學(xué)將向一些新的研究領(lǐng)域發(fā)展．(3)運(yùn)籌學(xué)分散融化于其他學(xué)科，并結(jié)合于其他學(xué)科一起發(fā)展．(4)運(yùn)籌學(xué)沿原有的各學(xué)科分支向前發(fā)展．(5)運(yùn)籌學(xué)中建立模型的問題將日益受到重視．(6)運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展將進(jìn)一步依賴計算機(jī)的應(yīng)用和發(fā)展．工業(yè)生產(chǎn)優(yōu)化1940二戰(zhàn)期間的軍事應(yīng)用交通運(yùn)輸?shù)膽?yīng)用融合大數(shù)據(jù)人工智能結(jié)合計算機(jī)技術(shù)19702000195019802020深度運(yùn)籌時間線

運(yùn)籌學(xué)將不同的實際問題歸結(jié)為不同的數(shù)學(xué)模型，不同的模型構(gòu)成了運(yùn)籌學(xué)的各個分支，主要的分支有：1.線性規(guī)劃（linearprogramming)——PLM

2.非線性規(guī)劃（nonlinearprogramming)——PLM3.動態(tài)規(guī)劃（dynamicprogramming)——MES4.整數(shù)規(guī)劃（Integerprogramming——SCM5.網(wǎng)絡(luò)分析（networkanalysis)——ERP6.運(yùn)輸問題（Transportationproblem）7.存儲論（inventorytheory)——WMS8.排隊論（queueingtheory)——APS9.對策論（gametheory)——CRM10.決策分析（decisiontheory)——CRM運(yùn)籌分析基本步驟運(yùn)籌學(xué)的核心方法為智能制造系統(tǒng)提供了強(qiáng)有力的決策支持與優(yōu)化方案。這些方法不僅在理論上精致而全面，也在實際應(yīng)用中證明了其高效與可行性。問題的分析和確立深入分析，并準(zhǔn)確表述問題的本質(zhì)和目標(biāo)模型的建立以形式化的方式描述問題結(jié)構(gòu)和關(guān)系模型的求解和優(yōu)化數(shù)學(xué)方法和算法對建立的模型進(jìn)行求解模型的驗證和修正確保解在實際應(yīng)用中的有效性和可行性解的有效控制將優(yōu)化的方案轉(zhuǎn)化為實際行動，實施并監(jiān)控方案的執(zhí)行過程方案的實施

確保模型的準(zhǔn)確性和可靠性在多元化的經(jīng)濟(jì)活動中，巧妙地利用手中有限的資源，以精心的統(tǒng)籌安排實現(xiàn)總體效益的最大化，或是在既定的任務(wù)目標(biāo)下，如何以最小的資源消耗達(dá)成目標(biāo)，這些都是我們面臨的關(guān)鍵問題。這類問題，我們通常稱之為規(guī)劃問題。而當(dāng)這類問題被轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述時，如果目標(biāo)（函數(shù)）以及資源的約束條件均呈現(xiàn)為線性函數(shù)的形式，那么我們便稱之為線性規(guī)劃問題。第一章線性規(guī)劃

在考慮資源的合理分配時，還要兼顧效益的最大化線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型，其一般形式是：

線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型min(或max)z=CTX

≤(≥,=)bX≥0其中:

向量形式:線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型min(或max)Z=CTXAX≤(≥,=)bX≥0其中:矩陣和向量形式:線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型例如對三個資源的約束，構(gòu)建二維坐標(biāo)系?？紤]目標(biāo)函數(shù)，在可行域上找到使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值的方案。資源1資源2資源3等值線12340123456789圖2-75

三個資源的二維坐標(biāo)系圖解法對模型中只含2個變量的LP，可通過在平面坐標(biāo)系中作圖求解。其步驟概括為：1.在平面建立直角坐標(biāo)系；2.圖示約束條件，找出可行域；3.圖示目標(biāo)函數(shù)和尋求最優(yōu)解。

圖解法一、圖解法的步驟：二、線性規(guī)劃問題求解的幾種可能的結(jié)局

無窮多最優(yōu)解：目標(biāo)函數(shù)與某約束條件對應(yīng)成比例。無界解：可行域無界無解或無可行解：無可行域1.解的情況有：唯一最優(yōu)解；無窮多最優(yōu)解；無界解；無可行解。2.若LP的可行域存在，則可行域是一凸集。3.若線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解存在,則最優(yōu)解或最優(yōu)解之一(如有無窮多)一定是可行域的某個頂點(diǎn)。4.解題思路,先找出可行域的某個頂點(diǎn)，計算其目標(biāo)函數(shù)值。比較相鄰頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，直至找出使目標(biāo)函數(shù)值最大的頂點(diǎn)。圖解法三、從圖解法得到的啟示：

通過建立一個目標(biāo)函數(shù)和一系列線性約束來尋找最優(yōu)解。在智能制造的大背景下，線性規(guī)劃與PLM的結(jié)合，不僅強(qiáng)化了對生產(chǎn)流程的智能化管理，還促進(jìn)了制造系統(tǒng)中資源配置的精準(zhǔn)化和科學(xué)化，為企業(yè)的可持續(xù)發(fā)展提供了有力的決策支持。通過對生產(chǎn)計劃的優(yōu)化，企業(yè)可以更靈活地應(yīng)對市場變化，實現(xiàn)生產(chǎn)效率和產(chǎn)品質(zhì)量的雙重提升，從而在激烈的市場競爭中占據(jù)有利地位。產(chǎn)品外觀圖產(chǎn)品加工路線生產(chǎn)物料清單產(chǎn)品設(shè)計產(chǎn)品工藝設(shè)計產(chǎn)品生產(chǎn)制造產(chǎn)品服務(wù)產(chǎn)品設(shè)計圖設(shè)計物料清單產(chǎn)品庫存信息客戶需求信息客戶需求產(chǎn)品的形成過程產(chǎn)品資料與信息

運(yùn)輸是WMS和SCM中的一類重要問題。供應(yīng)鏈?zhǔn)且粋€由物流系統(tǒng)和該供應(yīng)鏈中的所有單個組織或企業(yè)相關(guān)活動組成的網(wǎng)絡(luò)。為滿足供應(yīng)鏈中各方的需求，需要對物品、服務(wù)及相關(guān)信息，從產(chǎn)地到消費(fèi)地高效率、低成本地流動及儲存進(jìn)行規(guī)劃、執(zhí)行和控制。運(yùn)籌學(xué)中對運(yùn)輸模型的研究為達(dá)到上述目的提供了相應(yīng)的理論和方法論基礎(chǔ)。第二章運(yùn)輸問題圖2-77

運(yùn)輸網(wǎng)

運(yùn)輸問題即研究物資運(yùn)輸?shù)恼{(diào)度問題。其典型的情況是：設(shè)某種物品有m個產(chǎn)地A1,A2,……,Am，各產(chǎn)地的產(chǎn)量分別為a1,a2,……am;有n個銷地B1,B2,…,Bn，各銷地的銷量分別為b1,b2,……,bn，假定從產(chǎn)地Ai（i=1,2……m)向銷地Bj（j=1,2,……,n）運(yùn)輸單位物品的運(yùn)價是cij，如圖所示，問怎樣調(diào)運(yùn)這些物品才能使總運(yùn)費(fèi)最少？運(yùn)輸問題及數(shù)學(xué)模型產(chǎn)銷平衡問題的數(shù)學(xué)模型為：或用表格表示：運(yùn)輸問題及數(shù)學(xué)模型運(yùn)輸問題一定有有限最優(yōu)解運(yùn)輸問題的約束系數(shù)矩陣⑴的元素等于０或１。⑵運(yùn)輸問題的約束系數(shù)矩陣的每一列有兩個非零元素。對產(chǎn)銷平衡問題有：⑶所有約束都是等式約束。⑷產(chǎn)量等于總銷量。運(yùn)輸問題及數(shù)學(xué)模型運(yùn)輸問題數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)運(yùn)輸問題的解運(yùn)輸問題的解X＝（xij）代表一種運(yùn)輸方案。xij的值表示從Ai調(diào)運(yùn)數(shù)量為xij的物品到Bj。解X必須滿足模型中所有約束條件?；兞繉?yīng)的約束方程組的系數(shù)列向量線性無關(guān)。運(yùn)輸問題模型中的約束條件個數(shù)為m+n個，但因為總產(chǎn)量=總銷量，故只有m+n-1個是線性獨(dú)立的，所以解X中非零變量的個數(shù)不能大于m+n-1個。為使迭帶過程能順利進(jìn)行，基變量在迭代過程中應(yīng)保持為m+n-1個。運(yùn)輸問題及數(shù)學(xué)模型最小元素法：產(chǎn)大于銷，劃掉列；產(chǎn)小于銷，劃掉行銷產(chǎn)B1B2B3B4產(chǎn)量A141241116A22103910A38511622銷量8141214②⑤⑥81410268681026①③④⑦運(yùn)輸問題的最小元素法前面討論的線性規(guī)劃問題，有些最優(yōu)解可能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)，這是因為線性規(guī)劃是連續(xù)變量的優(yōu)化問題。在實際問題中，常有要求問題的解必須是整數(shù)的情形（整數(shù)解），如人員、設(shè)備配置等。線性規(guī)劃中如果所有的變量都限制為（非負(fù)）整數(shù)，就稱之為純整數(shù)線性規(guī)劃或稱為全整數(shù)線性規(guī)劃。第三章整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型及解的特點(diǎn)整數(shù)線性規(guī)劃的分類：純整數(shù)線性規(guī)劃：指全部決策變量都必須取值的整數(shù)線性規(guī)劃。也稱全整數(shù)規(guī)劃?；旌险麛?shù)線性規(guī)劃：指決策變量中有一部分必須取整數(shù)值，另一部分可以不取整數(shù)值的線性規(guī)劃。0-1型整數(shù)線性規(guī)劃：指決策變量只能取值0或1的整數(shù)線性規(guī)劃。整數(shù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型及解的特點(diǎn)整數(shù)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型為：去掉整數(shù)約束后的數(shù)學(xué)模型稱為整數(shù)規(guī)劃的松弛問題整數(shù)規(guī)劃及其松弛問題，從解的特點(diǎn)看，二者間既有密切的聯(lián)系，又有本質(zhì)的區(qū)別。松弛問題的可行域是一凸集，整數(shù)規(guī)劃的可行域（非凸集）是它的松弛問題的可行解集的一個子集。由于整數(shù)規(guī)劃的可行解一定是它的松弛問題的可行解(反之則不一定)。所以整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值≤其松弛問題的目標(biāo)函數(shù)值。在一般情況下，松弛問題的最優(yōu)解不會剛好滿足整數(shù)約束條件，自然就不是整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。解的特點(diǎn)：整數(shù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型及解的特點(diǎn)整數(shù)規(guī)劃并不是線性規(guī)劃取整。求解整數(shù)規(guī)劃可用分支定界法和割平面解法。分支定界解法，就是只檢查可行的整數(shù)部分，就能定出最優(yōu)的整數(shù)解，可用于解純整數(shù)或混合的整數(shù)規(guī)劃問題。整數(shù)規(guī)劃的求解例圖2-76

三個約束的二維坐標(biāo)系1234056781234678959x1+8x2=567x1+22x2=70z=x1+x2①

分支定界解法分支定界解法整數(shù)規(guī)劃的求解迭代過程圖整數(shù)規(guī)劃的求解②

割平面解法先利用單純形法解其松弛問題，若最優(yōu)解中X*的所有分量均為整數(shù)，則原問題得到最優(yōu)解，否則，從X*的非整數(shù)分量中選一個，用于構(gòu)造一個線性約束條件，將其加入最終單純形表中在繼續(xù)求解．重復(fù)上述步驟，直到獲得整數(shù)最優(yōu)解為止?，F(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到這樣的問題，如某單位需要完成n項任務(wù)，有n個人可承擔(dān)這些任務(wù)。由于每個人專長不同，各人完成任務(wù)不同（或所耗費(fèi)時間），效率也不同。于是產(chǎn)生應(yīng)指派哪個人去完成哪項任務(wù)，使完成n項任務(wù)的總效率最高（或所需總時間最?。┑膯栴}。這類問題被稱為指派（分配）問題（assignment

problem）。整數(shù)規(guī)劃的求解問題要求極小化時的數(shù)學(xué)模型是：整數(shù)規(guī)劃的求解約束條件②說明第j項任務(wù)只能一人完成：約束條件③說明第i人只能完成一項任務(wù)。約束條件②~④的可行解可寫成表格或矩陣形式，稱為解矩陣。整數(shù)規(guī)劃的求解第一步：使指派問題的系數(shù)矩陣經(jīng)變換，在各行各列都出現(xiàn)0元素。整數(shù)規(guī)劃的求解反復(fù)進(jìn)行前兩步直到0元素都被圈出和劃掉為止這表明，甲加工D，乙加工B，丙加工A，丁加工C，所需總時間最少。

第一步：變換系數(shù)矩陣。第二步：用最少的直線覆蓋系數(shù)矩陣中的零元素，若直線數(shù)等于矩陣階數(shù)n，則已得到最優(yōu)解，可用畫圈的方法確定獨(dú)立零元素。否則轉(zhuǎn)第三步。第三步：對于系數(shù)矩陣中未被直線覆蓋的元素選取最小者θ

，所有未被直線覆蓋的元素都減去θ，而被一條直線覆蓋的元素不變，被兩條直線覆蓋的元素加上θ

，轉(zhuǎn)第二步。

整數(shù)規(guī)劃的求解匈牙利解法的一般步驟:→-1-7-6-6-6-4-3因為可以覆蓋所有０元素的最少直線為４條，小于矩陣階數(shù)，故獨(dú)立０元素個數(shù)小于階數(shù)，非最優(yōu)。轉(zhuǎn)下一步調(diào)整。

整數(shù)規(guī)劃的求解→

整數(shù)規(guī)劃的求解→-1-1+1

C’’已有５個獨(dú)立的０元素，故可以確定最優(yōu)的指派方案X。在很多管理情境中，企業(yè)面臨著多階段（可以體現(xiàn)為空間、時間等維度）的決策問題，每一階段的最優(yōu)決策不僅受制于當(dāng)時的實際情況（比如當(dāng)時具備的資源)，而且要考慮到該決策對未來的影響。因此，不同階段的決策是彼此關(guān)聯(lián)的。動態(tài)規(guī)劃提供了一種解決多階段決策過程最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。第四章動態(tài)規(guī)劃多階段決策過程的最優(yōu)化所謂多階段決策問題是指這樣一類活動過程:它可以分為若干個互相聯(lián)系的階段(稱為時段)，在每一階段都需要作出決策。這個決策不僅決定這一階段的效益,而且決定下一階段的初始狀態(tài)。每個階段的決策確定以后,就得到一個決策序列,稱為策略。多階段決策問題求一個策略,使得整個活動過程的整體效果最優(yōu)。243254354735358235724332圖2-78

簡單的線路網(wǎng)圖動態(tài)規(guī)劃的基本概念：

⑴

階段：將所給問題的過程，按時間或空間特征分解為若干相互聯(lián)系的階段，以便按次序去求每一階段的解。用k表示階段變量。⑵狀態(tài)：各階段開始時的客觀條件叫做狀態(tài)。描述各階段的客觀條件的變量稱為狀態(tài)變量sk

，狀態(tài)變量sk的取值集合稱為狀態(tài)集合,用Sk表示。

狀態(tài)應(yīng)具有如下性質(zhì)：當(dāng)某階段狀態(tài)給定后，在這階段以后過程的發(fā)展不

受以前各段狀態(tài)的影響。這種特性稱為狀態(tài)的無后效性。多階段決策