2025年浙江省衢州市、麗水市、湖州市高考數(shù)學二模試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={x\x2—x—2<0],B={x\y—Inx},則4CB=()

A.[0,1]B.[0,2]C.(0,1]D.(0,2]

2.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=a?-4+(a-2)i(aeR)是純虛數(shù)，貝！|a=()

A.2或一2B.2C.0D.-2

3.已知向量2=(1,1),b=(-1,1),則向量R+辦在向量3上的投影向量為()

A.(1,1)B.(-1,1)C.(0,1)D.(0,0)

727

4.若(1—%)—a0+axx+a2xH---1-a7x,則a2+a4+a6—()

A.31B.32C.63D.64

5.asin2a<0"是"tan]>1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

6.正方體中，點M,N分別為正方形481的￡)1及4的中心，則異面直線BD與MN所

成角的余弦值為()

A.0B.?CD.f

4LL

7.在△ABC中，角力，B,C所對的邊分別為a,b,c,已知力，B,C成等差數(shù)列，a,c,表b成等比數(shù)列，貝|

cosA=()

A."B.jC.苧D.苧

8.過拋物線C：必=?焦點F的直線與拋物線交于力，B兩點，過點2作C的切線2,交x軸于點M,過點B作

直線珀勺平行線交x軸于點N,則|FM|+4|FN|的最小值是()

A.12B.10C.9D.8

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數(shù)/'(x)=sinx+cosx,貝！]()

A./(x)的最大值是，8)(久)在(()5)上單調(diào)遞增

—x)=f(x)D"(x)在[0,兀]上有兩個零點

10.若函數(shù)/(%)與函數(shù)g(x)的圖象關于直線x-y+l=0對稱，則函數(shù)/(%)的解析式可能是()

pX_-X

A./(%)=3%+2B./(x)=幺^—p

C./(%)=ex—2xD./(%)=ln(x+V1+%2)-x

11.如圖，多面體R4BCQ由正四面體P-ABC和正四面體Q-ABC拼接而成，一只螞蟻從頂點P出發(fā)，沿著

多面體的各條棱爬行，每次等概率地爬行到相鄰頂點中的一個，記幾次爬行后，該螞蟻落在點P的概率為

Pn，落在點Q的概率為金，貝女)

AZZAC

B.P3><?4\、：'4_—一

C.Pn=qn\\/

D.Pzn+l<jQ

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知等差數(shù)列｛an｝的前n項和為品，的=2,a10=20,貝US1。=

2

13.已知斜率大于零的直線/交橢圓r：^+必=1于4B兩點，交x,y軸分別于C,D兩點，且C,D是線

段A8的三等分點，則直線1的斜率為.

14.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(X+1)=1+J2f(x)-(〃久)/,則/(2025)+2/(0)的最大值是

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

如圖，在直角梯形A8CD中，AD//BC,ABLAD,BD1DC.將△力BD沿BD折起，使4B12C,連接AC,

得到三棱錐4-BCD.

(1)求證：CD

(2)點E是BC的中點，連接2E、DE,若力B=4D=，！.

①求二面角B-AD-￡"的正切值；

(ii)求三棱錐力-BCD的外接球體積.

16.（本小題15分）

某校舉辦定點投籃挑戰(zhàn)賽，規(guī)則如下：每位參賽同學可在4,B兩點進行投籃，共投兩次,第一次投籃點可

在4B兩點處隨機選擇一處，若投中，則第二次投籃點不變；若未投中，則第二次切換投籃點.在4點投中

得2分，在B點投中得3分，未投中均得0分，各次投中與否相互獨立.

（1）在參賽的同學中，隨機調(diào)查50名的得分情況，得到如下2x2列聯(lián)表：

得分23分得分<3分合計

先在4點投籃20525

先在B點投籃101525

合計302050

是否有99%的把握認為投籃得分與第一次投籃點的選擇有關?

（2）小明在4點投中的概率為0.7,在B點投中的概率為0.3.

①求小明第一次投中的概率；

（譏）記小明投籃總得分為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

2

2_n(ad—bc')

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

2.7063.8416.63510.828

17.（本小題15分）

已知雙曲線E：盤—，=1Q>0,6>0）的左，右焦點分別為&,F2,且但I4I=2，Z圓Q—/2）2+

y2=1與E的漸近線相切.

（1）求雙曲線E的標準方程；

（2）若E上兩點48滿足醇=4瓦才（4>1）,且四邊形2/“”的面積為求4的值.

18.（本小題17分）

已知函數(shù)f（x）=e'+a（aeR）,。為坐標原點.

（1）當a=1時，

①求曲線y=f（久）在點（-1,/（一1））處的切線方程；

（九）若點P是函數(shù)/（%）圖象上一點，求|OP|的最小值；

（2）若函數(shù)/（乃圖象上存在不同兩點48滿足|。*=|。半=Jl+|a|,求a的取值范圍.

19.(本小題17分)

對于給定的幾項整數(shù)數(shù)列/九：的,。2，…，(九之3),定義變換H(i)：①若i=1,則％加2,an,g均加

1,其余項不變；②若1<2<九，則七加2,七+i均加1,其余項不變；③若i=7i,則冊加2,

an_r,的均加1,其余項不變,例如，對數(shù)列：一1,0,1做變換”(1)得到1,1,2,即一1,0,

變換H(l)

1-1,1,2；而對數(shù)列：2,5,7,3先后做變換”(3),”(4)可得到3,6,10,6,即2,5,7,

變換H(3)變換H(4)

3—>2,6,9,4—>3,6,10,6.

(1)找出一系列變換，使得數(shù)列：1,2,3經(jīng)過這系列變換后成為常數(shù)列；

(2)是否能找出一系列變換，使得數(shù)列：-1,-1,0,2,2經(jīng)過這系列變換后成為常數(shù)列，若存在，請給

出具體的變換；若不存在，請說明理由；并請判斷當兀為奇數(shù)時，對于任意數(shù)列4個是否總存在一系列變

換能使該數(shù)列成為常數(shù)列(無須證明).

(3)當n為偶數(shù)且數(shù)列力“是遞增數(shù)列時，是否存在一系列變換，使得該數(shù)列成為常數(shù)列，若存在，請給出具

體的變換；若不存在，請說明理由.

參考答案

l.D

2.D

3.B

4.C

5.B

6.C

l.D

8.C

9.AC

10.ABD

U.ACD

12.110

13-

14.2+2

15.解：(1)證明：因為力BlAC,ABLAD,ADQAC=A,AD,ACu平面ACD,

所以4B1平面4CD,又CDu平面AC。，

所以4B1C。，又因為BD1CD,BDCAB=B,BD,48u平面48。，

所以CD1平面力8D；

(2)①以。為坐標原點，以DB,DC,Dz所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系

貝14(1,0,1),￡(1,1,0),所以以=(1,0,1)，DE=(1,1,0)，

設平面力DE的一個法向量為元=(x,y,z),

則(元?DA=%+z=0

、(n?DE=%+y=0'

?。?1,則記

由(1)可知，平面48。的一個法向量為記=(0,1,0),

所以cos<n,m>==一噂，

\二n\\m:\3

由圖可知二面角B—AD-E平面角是銳角，記為

則cos。=苧，

所以tern。=V~2,

故二面角8-AD-E的正切值為

(譏)因為NBAC==宏

所以E為三棱錐人-BCD的外接球的球心，且球半徑為

故三棱錐4-BCD的外接球體積為手兀.

16.解：(1)零假設為為得分與第一投籃點選擇獨立，即得分無差異f=2嵋瓢=V>6-635,

ZJXZUXOUXZUJ

根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，我們推斷/不成立，

因此認為得分與第一投籃點選擇有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01；

(2)設第1次選擇在點4投籃記為事件4,在點B投籃記為事件B,投中記為事件E,

貝熾4)=(P(B)==0.7,P(E|B)=0.3；

(i)P(E)=P(EX)+P(EB)=P(X)-P(E\A)+P(B)-P(E|B)=2,

所以小明第一次投籃命中的概率為0.5；

(ii)小明投籃總得分X可取0,2,3,4,6,

rrhin/u八、13717321

人JP(X=0)=2XWXW+2X10X10=100

我--XX+XX-XX+XX

2)2-3)2-

10101010101010

n/xz12-7749n/v八1332-9

P(X=4)=2X10X10=200'P(X=6)=2X10X10=200'

???%的分布列為

X02346

2173499

p

Too2020200200

217349912

F(X)=0X-+2X-+3X-+4X-+6X-=

17.解：(1)由題意得2c=2，一2,解得c=

,雙曲線的漸近線為ay±bx=0,

12=1,解得b=l,所以a=l,

Ja2+b2

故雙曲線方程為：x2-y2=1；

(2)由冗X,庭同向可知，直線Fi4與E均有兩個交點，

設直線F/l：x=ty-它與E的另一個交點記為C,

由雙曲線的對稱性可知，|FiC|=\F2B\,故三角形AFzB面積等于三角形C&B面積，

所以四邊形面積等于三角形2。尸2面積，

設4(X1,%)，。(%2,丫2)，

聯(lián)立方程：卜2=(t2-l)y2-272ty+1=0,

[%—y=1

得/=4(t2+1)>0,%+丫2==六，

二角形4,尸2面積s=1.?\y-y\=+為乃—4yly2==亨'

乙12|C-11°之淳；

整理得14t4-37t2+5=0,解得產(chǎn)=|或產(chǎn)=1,

經(jīng)檢驗產(chǎn)=5>1時，%%=白>。，故A，c均在無軸上方或下方，

不妨令t=孚，此時卜=學、一四，

2(X2-y2=1

此時月工,用反向，故舍去;

同理可得t=—學也不滿足要求，

當產(chǎn)=決寸，可驗證得及汗，取同向，符合題意，

若［=一C,由卜=一—涯，解得y=—0或包，

7"y2=i762

由于4>1，所以E4=一^^,yc=

故“一兩一兩一兩一3,

若t=?,同理可得"制=陶=3,

綜上，4=3.

18.解：(1)當a=1,/(x)=靖+】，

①因為((%)=/+1,貝葉(一1)=1,/(—1)=1,

故切線方程為y-久一2=0；

(苴)設PQ,eX+i),則|OP|=Vx2+e2x+2(xGR)，

t己g(x)=x2+e2x+2,

則g'Q)=2(%+e2x+2'),

易知g'Q)=2(%+e2、+2)是關于％的增函數(shù)且g(—l)=0,

所以當x6(-8,-1),g(久)<0,g(x)單調(diào)遞減；當％6(-1,+8),g(久)>0,g(x)單調(diào)遞增,

故g(x)最小值為g(-1)=2,得|OP|的最小值，I；

(2)B/i(x)=x2+e2x+2a,xER,

則八'(x)=2(x+e2x+2a),

易知h'(x)是關于x的增函數(shù)且存在負實數(shù)而，使得h'Qo)=0,

則。=蛆押一汽，即e2&+2a=—而，

所以當x6(-8,%0),h'(x)<0,八(%)單調(diào)遞減,當久6(刀0，+8),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

故八。)最小值為九(刀),

注息至U，XT+ooh(x)=+oo>且比T—co/l(x)=+，

為使％(x)=1+|a|有兩個不等實數(shù)解,則有似殉)<l+|a|.

2x+2aln()-x

即以+e0<1+|~—-x0|<^>%oo<1+I皿｝°)-%ob

考慮到函數(shù)pQ)=與辿-久是關于久的減函數(shù)，且p(-；)>0,P(-》<0，

故該函數(shù)存在唯一零點a滿足ae(J，一%則與@=a；

(此處只需給出p(x)零點a的一個合理估計即可.)

①若a<0,即歷([和)_.0<0,貝°口<久0<0.

ln(yo)

由初而)<1+|磯，化簡得詔-2x0+--1<0,

記F(x)=x2-2x+與N-1,注意到F(x)在區(qū)間(一8,0)的減函數(shù)，

所以FQo)<F(a)〈尸(一》=；—竽<0,

故a<x<0時，/i(x0)<1+|a|恒成立，即a<。滿足.

②若。20,即與Q—q之0,

則久o<a.由h(%)<1+|a|,化簡得就一網(wǎng)手。)_1<0,

記々(%)=x2—，丁)—l(x<0),

則叫)=吟，

所以依)在區(qū)間(—8,—今單調(diào)遞減，在區(qū)間(―ga)單調(diào)遞增且做―1)=0,k(a)=a?-㈣#一1=a2-

c