熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題04三角函數(shù)與解三角形(十二大題型)

O-------------題型歸納?定方向----------*>

題型01任意角和弧度制.................................................................2

題型02任意角的三角函數(shù)...............................................................2

題型03同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.........................................................3

題型04三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.............................................................3

題型05三角恒等變換...................................................................3

題型06三角函數(shù)的有關(guān)概念.............................................................4

題型07三角函數(shù)圖像的變換.............................................................4

題型08三角函數(shù)的求參問題.............................................................5

題型09解三角形.......................................................................5

題型10解三角形一面積問題、解的個(gè)數(shù)等問題.............................................5

題型11解三角形與平面向量、數(shù)列等.....................................................6

題型12三角函數(shù)與解三角形的實(shí)際應(yīng)用...................................................6

o-------------題型探析,明規(guī)律-----------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、利用三角函數(shù)的定義，已知角a終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求a的三角函數(shù)值；已知角a的三角函數(shù)值，也可以

求出角a終邊的位置.

2、判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定所求三

角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.

3、誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用

①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；

②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

4、常用的拆角、配角技巧:2a=(a+p)+(a-p);a=(a+p)-p=(a-p)+p；p=—=(a+20)—(a+位；a-p=(a

-Y)+(Y-P)；15。=45。一30。；+a=一等.

5^確定y=Asin(<nx+(p)+b(A>0,co>0)的步驟和方法：

M—TYlM~\~1TI

(1)求A,b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m,貝ljA=-—，b=一一■

⑵求8.確定函數(shù)的最小正周期T,則8=筆

(3)求(p,常用方法如下：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象

的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入.

6、解三角形問題的技巧

(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一

次式時(shí)，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三

角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.

7、判斷三角形形狀的兩種思路

(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

(2)化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時(shí)要注意應(yīng)用A+B+C=TI這個(gè)結(jié)論.

8、平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，

利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決.在解決某些具體問題時(shí)，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把

要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函數(shù)思想.

題型01任意角和弧度制

【典例1-1].已知扇形的半徑是3,弧長為6,則扇形圓心角的弧度數(shù)是.

【典例1-2】.母線長為5、底面半徑為2的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為

【變式1-1】.若扇形的半徑為2,弧長為3,則扇形的面積為.

【變式1-2】.設(shè)。是第一象限的角，則言所在的象限為（）

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D(zhuǎn).第二象限或第四象限

【變式1-3].折扇在我國已有三千多年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的

形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）,圖2為其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化圖，設(shè)

扇面A,2間的圓弧長為/,A,B間的弦長為d,圓弧所對(duì)的圓心角為〃（。為弧度角），則/、d和。所滿足

c0e

萬2cos—,門cos一,

C.2_￡D.2

e~1e~1

題型02任意角的三角函數(shù)

【典例2-1】.若角。的終邊過點(diǎn)（4,3）,則sin（a+$=.

【典例2-2].“sin"正”是的（）

24

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3

【變式2-1].己知點(diǎn)尸（3,%）（4<0）是角a終邊上一點(diǎn)，若cosa=g,貝1|tana=.

【變式2-2】.下面有四個(gè)命題：

①若點(diǎn)尸（a,2a）（aw0）為角a的終邊上一點(diǎn)，則$也&=等；

②同時(shí)滿足sina=1,cosa=3的角a有且只有一個(gè)；

22

③如果角a滿足-3兀<[<-[無，那么角a是第二象限的角；

2

④滿足條件tanx=-百的角x的集合為卜|x=E-|?，kez1.

其中真命題的序號(hào)為.

【變式2-3].已知銳角a的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，將a的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);后交單位

0

圓于點(diǎn)尸]-；，0,則sina的值為.

題型03同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

【典例3-1].已知tan尤=2,貝!J2sinxcos%=.

【典例3-2】.設(shè)。為第二象限角，若tan6=-;，則sin9+cos9=.

【變式3-1】.右tana=夜，則------;-的值為.

cos。一sma

【變式3?2】.已知角]的終邊不在坐標(biāo)軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是()

A.sina,cosa,tan。B.sina,tana,cosa

C.sin2<z,coscr,tan2crD.cos2<z,sincr,tan26z

l+sinOcos。

【變式3-3].若tan6=-2,那么

sin2^-cos26

題型04三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

sin(-a)-2cos--a

【典例4-1].已知tana=2,則_____________<2)_.

COS(7l+6Z)

【典例4-2].已知sin,+￡|=g,則cos("3=.

【變式4?1】.已知sin(a+萬)=4cosa,則tan2&=.

【變式4?2】.已知等差數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若S]2=7?,貝IJcos(“6+%)=.

【變式4-3】?已知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，將角a的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)g

0

后經(jīng)過點(diǎn)(-1,73),貝I]sina=.

題型05三角恒等變換

【典例5-1].若tana=5,貝Utan2a=

【典例5?2】.已知sin[a+mj+sina=7，貝林由[2[-2)=.

【變式5?1】.若tan2a='^^,則tana=______________.

2-sincrI2J

【變式5?2】?已知cos(a+￡)=；,tanortan/?=2,貝！Jcos(a—0=()

L--B.--C.—D.-

412124

【變式5.3】?函數(shù)y=3sin2%+2病inxcos%+cos2%,xw0弓的值域?yàn)?

題型06三角函數(shù)的有關(guān)概念

【典例6-1】.函數(shù)y=tan]2x+3的最小正周期為.

【典例6-2】.函數(shù)y=2sin[x+e]+l的單調(diào)遞增區(qū)間是.

【變式6-1】?已知函數(shù)/(x)=cos(ox+9)，>0,|9|<^|,的部分圖象如圖所示，則/(x)=

【變式6-2】.函數(shù)〃x)=sin(0x+e)(0>O,O<e<n),設(shè)T為〃x)的最小正周期，若/冉瀉，則

<P=.

【變式6.3】?函數(shù)y=2COS?x+6sin2x的值域?yàn)?

題型07三角函數(shù)圖像的變換

【典例7-1].把關(guān)于尤的函數(shù)'=411(》+。),。4。<2兀的圖像向左平移9三7r，可得函數(shù)，=0四的圖像，則e

的值為.

【典例7-2].函數(shù)/(x)=sin(2x+e)的圖象向左平移5個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，

則tanQ=.

【變式7-11.將函數(shù)y=sin2》的圖像向左平行移動(dòng)：個(gè)單位長度，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小

6

到原來的3(縱坐標(biāo)不變)，得到的函數(shù)圖像的解析式是

【變式7-2].若將函數(shù)y一彳但口/叫的圖像向右平移高個(gè)單位長度后，與函數(shù)y=tan"+f的

圖像重合，則。的最小值為.

【變式7-3].已知〃x）=sin[8+f（0＞。），函數(shù)y=〃x）,xeR的最小正周期為無，將y=〃x）的圖

像向左平移夕個(gè)單位長度，所得圖像關(guān)于＞軸對(duì)稱，則。的值是.

題型08三角函數(shù)的求參問題

【典例8-1】.若函數(shù)y=tan3x在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

【典例8-2】.函數(shù)/（x）=2sin,x-T（。＞0）在。,三上存在最小值-2,則實(shí)數(shù)。的最小值是.

JrJT

【變式8?1】.已知函數(shù)》=5皿2%-二）-根在[04]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍為.

【變式8.2】.關(guān)于1的不等式sinxNcos2x+a對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)。的最大值為.

【變式8?3】?設(shè)函數(shù)y=sing3＞0）在區(qū)間（0,2兀）上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，則。的取值范圍為.

題型09解三角形

【典例9」】.在VA6C中，若AB=5,BC=?,CA=4,則/A=.

【典例9.2】.在VABC中，已知5C=5,AC=4,A=25,貝！Jcosb的值為.

【變式9?1】.在VABC中，角A,民。對(duì)應(yīng)邊為。，瓦c,其中6=4.若A+C=120，且。=2c,則c邊長為.

【變式9-2].ABC中，sinA:sinB:sinC=1:A/1:石，則cosA+cosB+cosC=.

【變式9?3】.在VASC中，已知角A氏。所對(duì)的邊分別為。，瓦。，若g〃sin5+csinC=asinA+Z?sin3,貝!]

C=.

題型10解三角形一面積問題、解的個(gè)數(shù)等問題

【典例10-1】.在VA3C中，已知NACB=120,A3=2jf,若3c=2AC,則VABC的面積為.

【典例10-21.在VABC中，AB=4,BC=3,S^=373,貝!|AC=.

【變式10-1].記VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知A為鈍角，asinB=Z?cosB.貝U

cosA+cos8+cosC的取值范圍是.

【變式10-2].在VABC中，°=4&，A=45。，b=m,若滿足條件的VABC有兩個(gè)，則優(yōu)的可能取值為

（）

A.8B.6C.4D.2

3

【變式10?3】.在VABC中，已知cosA=g,smB=a,若cosC有唯一值，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為（）

A.[。]B,（0,|]{1}C.[詞田D.

題型11解三角形與平面向量、數(shù)列等

【典例11-1】.在VABC中，。是BC邊的中點(diǎn).若筋=2,BC=4,AC=3,則.

【典例11-21.已知等邊二ABC的邊長為石，點(diǎn)尸是其外接圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則叢.尸3的取值范圍

是.

【變式11-1】.銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，則其最大邊長與最小邊長比值的取值范圍是—

JT

【變式11-2].如圖，C是以AB為直徑的半圓。（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，/DCB=7,且OC=CB.若4?=2,

2

則OC。。的取值范圍是.

AOB

【變式11-3].已知平面向量a,b的夾角為6,b與。的夾角為3。，同=1,。和6-a在b上的投影為

x,y,則x（y+sin。）的取值范圍是.

題型12三角函數(shù)與解三角形的實(shí)際應(yīng)用

【典例12-11.一個(gè)機(jī)器零件的形狀是有缺口的圓形鐵片，如圖中實(shí)線部分為裁剪后的形狀.已知這個(gè)圓

的半徑是13cm,AB=8cm,BC=6cm,且AB_L5C,則圓心到點(diǎn)5的距離約為cm.（結(jié)果精確到

0.1cm）

【典例12?2】.下圖為某地出土的一塊三角形瓷器片，其一角已破損.為了復(fù)原該三角形瓷器片，現(xiàn)測(cè)得如

JT

下數(shù)據(jù)：=34.64cm,AZ）=10cm,B￡=14cm,A=B=-,則。,石兩點(diǎn)間距離為cm.（精確到1cm）

【變式12-1】.如圖，是款電動(dòng)自行車用“遮陽神器”的結(jié)構(gòu)示意圖，它由三叉形的支架O-ABC和覆蓋在

支架上的遮陽布VABC組成.

已知。4=1.4m,OB=OC=0.6m,且NAO3=/AOC；為保障行車安全，要求遮陽布的最寬處BCWlm；

若希望遮陽效果最好（即VA5c的面積最大），則N3OC的大小約為.（結(jié)果四舍五入精確到1。）

【變式12-21?某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段2C、CD是救生棧道的一部

分，其中3c=300〃?，CD=800m,8在A的北偏東30。方向，C在A的正北方向，。在A的北偏西80。方

向，且？390?.若救生艇在A處載上遇險(xiǎn)游客需要盡快抵達(dá)救生棧道3-C-D,則最短距離為

m.（結(jié)果精確到1m）

【變式12-3】.隨著市民健康意識(shí)的提升，越來越多的人開始運(yùn)動(dòng)，身邊的健身步道成了市民首選的運(yùn)動(dòng)

27r

場(chǎng)所.如圖，某公園內(nèi)有一個(gè)以。為圓心，半徑為5,圓心角為三的扇形人工湖OA8,OM,ON分別是由

OA,延伸而成的兩條健身步道.為進(jìn)一步完善全民健身公共服務(wù)體系，主管部門準(zhǔn)備在公園內(nèi)增建三條

健身步道，其中一條與弧A8相切于點(diǎn)R且與OM，ON分別交于點(diǎn)C,D,另兩條分別是和湖岸04,OB

垂直的尸G,尸H（垂足均不與。重合）.在,.08區(qū)域內(nèi)，扇形人工湖OA8以外的空地鋪上草坪，則下列

說法正確的是.（填序號(hào)）

②新增步道CD的長度可以為20；

③新增步道FG,9長度之和可以為7；

④當(dāng)點(diǎn)尸為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，草坪的面積為25括-等.

?>----------題型通關(guān)?沖高考-----------<>

一、填空題

1.（2024.上海徐匯?二模）在VABC中，AC=1,ZC=—,=則VABC的外接圓半徑為_____.

36

2.（2024.上海.三模）若函數(shù)〃x）=asinx-粗cosx的一個(gè)零點(diǎn)是:，則函數(shù)>=〃同的最大值為

3.（2024?上海靜安.一模）如圖所示，小明和小寧家都住在東方明珠塔附近的同一幢樓上，小明家在A層,

小寧家位于小明家正上方的B層，已知AB=”.小明在家測(cè)得東方明珠塔尖的仰角為a，小寧在家測(cè)得東方

明珠塔尖的仰角為夕，則他倆所住的這幢樓與東方明珠塔之間的距離“=.

4.（2024?上海?三模）設(shè)a>0,已知函數(shù)〃x）=ln（尤2+OT+2）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)X］、x2,滿足歸-々|=1，

若將該函數(shù)圖象向右平移機(jī)（機(jī)>。）個(gè)單位后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則機(jī)=.

5.（2024?上海崇明?二模）已知實(shí)數(shù)%,%，%，%滿足：片+3=1芯+￡=1,占%-，也=1，則歸+%-2|+"+%-2|

的最大值是.

6.（2024?上海?三模）空間中A、8兩點(diǎn)間的距離為8,設(shè)利△的面積為S,令%若火2%=3,

則S的取值范圍為.

二、單選題

7.（2024?上海奉賢?一模）函數(shù)y=log2siiw+log2cosx,則下列命題正確的是（）

函數(shù)定義域是（0微

A.函數(shù)是偶函數(shù)

C.函數(shù)最大值-1D.函數(shù)的最小正周期為兀

71,若］上單調(diào)遞增，則3的取值范圍是

（2024.上海長寧?一模）已知函數(shù)〉=$也CDX-3--->0）在區(qū)間

6

A.（0,1]B.（0,1）

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專題04三角函數(shù)與解三角形(十二大題型)

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題型01任意角和弧度制.................................................................2

題型02任意角的三角函數(shù)...............................................................3

題型03同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.........................................................6

題型04三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.............................................................7

題型05三角恒等變換...................................................................9

題型06三角函數(shù)的有關(guān)概念............................................................11

題型07三角函數(shù)圖像的變換............................................................13

題型08三角函數(shù)的求參問題............................................................15

題型09解三角形.......................................................................17

題型10解三角形一面積問題、解的個(gè)數(shù)等問題............................................19

題型11解三角形與平面向量、數(shù)列等....................................................21

題型12三角函數(shù)與解三角形的實(shí)際應(yīng)用..................................................26

?>-----------題型探析?明規(guī)律----------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、利用三角函數(shù)的定義，已知角a終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求a的三角函數(shù)值；已知角a的三角函數(shù)值，也可以

求出角a終邊的位置.

2、判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定所求三

角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.

3、誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用

①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；

②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

6、常用的拆角、配角技巧：2a=(a+p)+(a—P)；a=(a+P)—P=(a—P)+P；P=—=(a+2p)—(a+P)；a—P=(a

-y)+(y-p)；15°=45°-30°；+a=一等.

7、確定y=Asin(a)x+<p)+b(A>0,a>>0)的步驟和方法：

M—TYlTH

(1)求A,b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則人=一一，b=—^―.

2冗

(2)求3.確定函數(shù)的最小正周期T,則3=下.

(3)求中，常用方法如下：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象

的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入.

6、解三角形問題的技巧

(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一

次式時(shí)，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；己知兩邊和一邊的對(duì)角，該三

角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.

7、判斷三角形形狀的兩種思路

(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

(2)化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時(shí)要注意應(yīng)用A+B+C=7t這個(gè)結(jié)論.

8、平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，

利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決.在解決某些具體問題時(shí)，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把

要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函數(shù)思想.

題型01任意角和弧度制

【典例1-1].已知扇形的半徑是3,弧長為6,則扇形圓心角的弧度數(shù)是.

【答案】2

【分析】利用扇形的弧長得到關(guān)于圓心角的方程，解之即可得解.

【解析】依題意，設(shè)扇形的圓心角為

因?yàn)樯刃蔚陌霃绞莚=3,弧長為/=6,

所以由/=ar,得6=3a,貝｝](z=g=2.

故答案為：2.

【典例1-2】?母線長為5、底面半徑為2的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為.

【答案】黃477色4

【分析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為a,根據(jù)底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長計(jì)算可得.

【解析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為a,

又母線/=5,底面半徑廠=2

47r

則al=2兀/,即5a=4兀，解得a=—.

4冗

故答案為：—

【變式1-1】.若扇形的半徑為2,弧長為3,則扇形的面積為.

【答案】3

【分析】根據(jù)扇形的面積公式直接運(yùn)算求解.

【解析】由題意可得：扇形的面積為]x3x2=3.

故答案為：3.

【變式1-2】?設(shè)a是第一象限的角，則言所在的象限為()

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D(zhuǎn).第二象限或第四象限

【答案】C

【分析】根據(jù)a是第一象限的角，求出言的范圍判斷即可得解.

【解析】因?yàn)閍是第一象限的角,

71

所以2fal<a<2kn+—,keZ,

2

Of7T

所以E<一<E+一,左eZ

24

(yTTCi

當(dāng)上=2〃,〃￡Z時(shí)，2〃兀<—<2rm+—,〃￡Z,—為第一象限角;

242

ryTVry

當(dāng)左=2〃+l,"cZ時(shí)，2〃兀+兀<—<2/77T+TT+—,77eZ,—為第三象限角.

242

故選：C

【變式1-3】?折扇在我國已有三千多年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的

形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）,圖2為其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化圖，設(shè)

扇面A,8間的圓弧長為/,A,B間的弦長為d,圓弧所對(duì)的圓心角為6（。為弧度角），則/、d和。所滿足

的恒等關(guān)系為（）

圖1圖2

c.e.0

.2sin—,sin—,

A_2_dB.2_L

e~1e~1

?oe

〃2cos-,ccos-,

C.2_￡D.2_￡

e~1e~1

【答案】A

【分析】先用。表示出d和7,進(jìn)而求得:的值.

0

【解析】過點(diǎn)。作COLAS于。，則NAOB=〃，ZDOB=-

2

0

貝ijd=2忸。|=2|O/sin,,l=\OB\-0

故選：A

題型02任意角的三角函數(shù)

【典例2-1】.若角a的終邊過點(diǎn)（4,3）,則sin（a+$=.

【答案】加8

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得cosa,再利用誘導(dǎo)公式即可求得.

44

【解析】依題意,cosa=

"+325

兀4

貝!Jsin（。+—）=cosa=—.

,、4

故答案為:—.

【典例2-2]."sinO=立”是“。=?”的（）

24

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】判斷“sin6=1”和“。=乎’之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.

24

【解析】當(dāng)sinO=正時(shí)，e=J+2E#eZ或。=亞+2配#eZ,推不出。=：；

2444

當(dāng)。=:時(shí)，必有sinO=^^

42

故"sin。=交”是“”的必要不充分條件,

24

故選：C

3

【變式2-1].己知點(diǎn)尸（3,為卜%<0）是角a終邊上一點(diǎn)，若cosa=g,貝1|tana=

4

【答案】

3

【分析】由任意角的三角函數(shù)定義即可求解.

33

【解析】cosa=/5>又％<。，

解得：%=-4,

4

所以tana=一§,

4

故答案為：-§

【變式2-2】.下面有四個(gè)命題：

①若點(diǎn)尸（a,2“）（4wO）為角a的終邊上一點(diǎn)，則sina=竿；

②同時(shí)滿足sina=1,cosa=3的角a有且只有一個(gè)；

22

③如果角a滿足-3n<a<-]兀，那么角a是第二象限的角；

④滿足條件tanx=-粗的角x的集合為卜|x=EeZ：.

其中真命題的序號(hào)為.

【答案】④

【分析】①根據(jù)正弦函數(shù)定義求正弦值判斷；②注意任意角定義即可判斷；③直接判斷角所在象限即可；

④根據(jù)正切值及任意角定義求角即可判斷.

【解析】①若點(diǎn)尸（a,2a）（a/0）為角a的終邊上一點(diǎn),sina=/2a=±攣（注意參數(shù)。的符號(hào)不確定）,

+4/5

假命題；

②同時(shí)滿足sina=^,cosa=昱,只要終邊與a=J相同的角都滿足，假命題；

226

③如果角a滿足-兀，那么角a是第三象限的角，假命題；

④滿足條件tanx=-V^的角彳=三+航，keZ,真命題.

故答案為：④

【變式2-3].已知銳角a的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，將a的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)g后交單位

0

圓于點(diǎn)則sina的值為

276+1

【答案】

6

【分析】先求得cos[a+總,sin[a+f,然后利用三角恒等變換的知識(shí)求得sina

【解析】由于f在單位圓上，所以（_￡|2+/="=|,

由于a是銳角，所以y2=?=逑，則尸，[竺],

93（33）

（兀）1-（兀）272

/TT以cosocH—|=—,sinan—=------，

I6；3I6；3

.兀兀7171.兀

所以sin。=sina-\--------=sina+—cos——cosa+—sm—

（66I6666

11276+1

=述苕+-x—=

323-26

故答案為：馬位口

6

題型03同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

【典例3」】.已知tanx=2,則2sin%cos%=

【答案】弛8

2sinxcosx

【分析】由2sinxcosx二,再將弦化切，最后代入計(jì)算可得.

sin2x+cos2x

2sinxcosx2tanx2x24

【解析】因?yàn)閠anx=2,所以2sinxcos;r=

sin2x+cos2xtan2x+122+15

4

故答案為：—

【典例3-2】.設(shè)。為第二象限角，若tan6=-g,貝ijsin6?+cos6>=

布z-A/5

【答案】--------/---------

55

【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，列方程組解出sinacos0,求和即可.

【解析】6為第二象限角，貝Usin6>0,cos0<0,

sin。1sin8=——

若tan6=-；，則有<5

cos62解得

A2后

sin2+cos20=1cos"=--------

5

所以sin6+cos0=

555

故答案為：T

cosa+sina

【變式3“】.若tana=V^，則的值為

cosa—sina

【答案】-3-272

【分析】弦化切，代入tana即可.

cosa+sina

cosa+sina1+tan。

【解析】cos。=-（3+2及）

cosa-sinacosa—sina1—tana

cos。

故答案為：-3-272

【變式3?2】.已知角a的終邊不在坐標(biāo)軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是（）

A.sina,cos%tanaB.sina,tana,cosa

C.sin2%cosa,tan2aD.cos26Z,sinof,tan26Z

【答案】D

【分析】對(duì)于ABC,舉反例排除即可；對(duì)于D,利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可判斷.

sinci

【解析】角。的終邊不在坐標(biāo)軸上，有cosawO,sinawO,tanawO,tana=-------,

cosa

對(duì)于A,令a=；,則sina=Y^,cosa=?^,tana=l,

422

cos2cr=—,sinatma=x1=,即cos2。wsinatana,A不是；

222

兀]

對(duì)于B,令1=:，貝!|tan%=1,cosasine=:，即tan%wcosasine,B不是；

42

對(duì)于C,令a=￡,則sin2a=（；）2=；,cosc=孝,tan%=（弓y=g,

于是cos%=：,sin%tan%=-x-=—,即cos%wsiratan%,C不是；

44312

對(duì)于D,sin<z=cosatancz,則sin2（z=cos%tan2￡,貝ljcos%,sine,tan?。一定成等比數(shù)列，D是.

故選：D

1+sinOcos。

【變式3-3].若tand=-2,那么

sin26>-cos20

【答案】1

【分析】弦化切即可.

1+sindcosO_sin2J+cos,e+sin-cosJ_tan26+\+tan0

【解析】

sin2cos20sin20-cos20tan20-1

故答案為：1

題型04三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

sin（一2cos--a

【典例4」】.已知tana=2,則''”上.

cos（兀+a）

【答案】6

【分析】由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得出答案.

sin2cos--a

【解析】\2）-sma-2sma3sina。/

----------------------------===3tana=6

cos（兀+a）--------cosa---------cosa

故答案為：6.

【典例4-2】?已知sin(e+"=g,則cos(""=

【答案】1/0.5

【分析】依題意利用兩角之間的關(guān)系并根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算可得結(jié)果.

【解析】根據(jù)題意，由誘導(dǎo)公式可得sin(e+E)=cos]-=cos(￡-々=85標(biāo)一；]=：

故答案為：?

【變式4?1】.已知sin(a+i)=4cosa,則tan2a=.

【答案】卷

【分析】利用誘導(dǎo)公式將sinQ+萬)=4cosa化簡(jiǎn)，求出tana,再利用二倍角公式求值.

【解析】因?yàn)閟in(a+萬)=4cosa,所以一sina=4cosa,所以tana=Y,

““Ic2tana8

所以tan2a=------

1-tana15

故答案為：—

【變式4?2】.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若S]2=7?,則COS(4+%)=.

【答案】一也

2

【分析】由條件可得5]2=6(%+%)=7%，然后可得cosa+^XcosgECOs,即可得到答案.

【解析】因?yàn)镾,是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，所以兀=6(4+%)=7萬，即g+%=?

以cos(4+%)=cos$=-cos————

故答案為：4

【變式4-3].已知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，將角a的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)￡TT

0

后經(jīng)過點(diǎn)(-1,73),則Sina=.

【答案】1

【解析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，先求得。的值，可得sina的值.

【解析】角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，

將角a的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)?后經(jīng)過點(diǎn)㈠道卜

/.tana+—==—>/3,a+—=+2k7i,左￡Z,

I6—163

JIJI

所以a=5+2k兀,左￡Z,sincr=sin(—+2ki)=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查已知終邊上一點(diǎn)求三角函數(shù)值的問題，涉及到三角函數(shù)的定義，是一道容易題.

題型05三角恒等變換

【典例.若tana=5,貝Itan2a二

【答案】4

【分析】直接利用二倍角公式計(jì)算可得.

【解析】因?yàn)閠ana=5,

2tana2x5

所以tan2a=

1—tan2a1-52~12

5

故答案為:

12

71+S23,貝！畝［一

【典例5-2］.已知sin|a+三|52￡2

34

7

【答案】-三/-0.875

o

【分析】利用輔助角公式求出

sin(a+￡j=再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解即可.

立

【解析】sin|cr+—71j+sincr=—sin6z+c°sa+sina=

3224