2025年春九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓綜合壓軸題》考前沖刺專題訓(xùn)練(附答案)

1.如圖，28為。。的直徑，COLAB,弦CD交48于點(diǎn)點(diǎn)尸為直徑B4延長線上一點(diǎn),

連接FD,S.FE=FD.

D

(1)求證：FD為。。的切線；

(2)連接BO,若見)=警，tanB=求4F的長.

54

2.在。。中，點(diǎn)48、C、。為圓周的四等分點(diǎn)，4E為切線，連接ED并延長交。。于點(diǎn)尸,

連接B尸交4C于點(diǎn)G.

(1)求皿1E的度數(shù)；

⑵求證：AE=AG；

⑶若4E=3,AG=3GC,貝!Jtan/CBF的值為一.

3.如圖，在△ABC中，以BC為直徑的。。交4c于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF14B于點(diǎn)尸，延長EF交

的延長線于點(diǎn)G,且乙48G=2NC.

⑴求證：EF是。。的切線；

⑵若sinNEGC=￡。。的半徑是3,求圖中陰影部分的面積.(sin36°=|)

4.如圖，在AABC中，AB=AC,^BAC=90°,以4B為直徑的回。交BC于點(diǎn)尸，連接。C,

過點(diǎn)B作BDIIOC交回O于點(diǎn)D.連接4D交。C于點(diǎn)E.

(1)求證：BD=AE.

⑵若回。的半徑為5,求。E的長.

⑶連結(jié)DF,在(2)的條件下，求DF的值.

5.如圖，O。是以BC為直徑的^ABC的外接圓，點(diǎn)M為AABC的內(nèi)心，連接4M并延長交。0

(2)求證：DM=DC-,

⑶連接OM,若AM=2①OM=居,求AC的長.

6.如圖，在OC中，ED為直徑，點(diǎn)4為直徑ED延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)3為回C上一點(diǎn)，連接4B,

且力B為OC切線，連接8。，BE.

⑵如圖2,若tanNB4E=?,作NB4E的平分線AF,且與BE交于點(diǎn)/；若4F=2,求OC的

4

半徑.

7.如圖，A4BC是等腰三角形，AB=AC,以AC為直徑的。。與BC交于點(diǎn)D,DE1AB,垂

足為E,的延長線與AC的延長線交于點(diǎn)F.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若。。的半徑為2,BE=1,求乙4的度數(shù)；

⑶在(2)的條件下，求圖形中陰影部分的面積.

8.如圖，已知CE是圓。的直徑，點(diǎn)B在圓。上，且BD=BC,過點(diǎn)B作弦CD的平行線與CE的

延長線交于點(diǎn)4.

(1)若圓。的半徑為2,且點(diǎn)。為弧EC的中點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長度；

⑵在(1)的條件下，當(dāng)NCBD=45。，DF=a時(shí)，求線段BD的長度；(答案用含a的代數(shù)式

表示)

⑶若4B=3AE,且CD=12,求△BCD的面積.

9.如圖，拋物線y=a/+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)力(―1,0)、B(3,0)與了軸交于點(diǎn)C,頂

點(diǎn)為D.以4B為直徑在x軸上方畫半圓交＞軸于點(diǎn)E,圓心為/,尸是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP,

點(diǎn)。為PD的中點(diǎn).

⑴試用含。的代數(shù)式表示c；

(2)若/Q1PD恒成立，求出此時(shí)該拋物線解析式；

⑶在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)尸沿半圓從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)/時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么，試求出

它的路徑長.

10.如圖1,已知。。外一點(diǎn)P向。。作切線P4點(diǎn)4為切點(diǎn)，連接P。并延長交。。于點(diǎn)B,

連接4。并延長交O。于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CDLP8,分別交PB于點(diǎn)E,交O。于點(diǎn)D,連接4D.

圖1圖2

(1)求證：A/IP。?△DC4；

(2)如圖2,當(dāng)4。=4。時(shí)，

①求”的度數(shù)；

②連接4B,若點(diǎn)2關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為。，連接CQ,PQ.請(qǐng)直接寫出翳的值.

11.已知，在AABC中，N4C8=90。,8c=6,以BC為直徑的o。與4B交于點(diǎn)H,將△力沿

射線4C平移得到4DEF,連接BE.

圖1圖2

(1)如圖1,0E與。。相切于點(diǎn)G.

①求證：BE=EG；

②則BE-CD=.

(2)如圖2,延長H。與。。交于點(diǎn)K,將△DEF沿DE折疊，點(diǎn)

的對(duì)稱點(diǎn)尸'恰好落在射線8K上.

①求證：HK||EF'；

②若KF，=3,求2C的長.

12.如圖，AB是。。的直徑，弦CD14B于點(diǎn)E,G是弧4C上一點(diǎn)，AG,DC的延長線交于

點(diǎn)、F,連結(jié)4D,已知力E=CD,BE=2

⑴求。。的半徑長；

(2)若點(diǎn)G是4尸的中點(diǎn)，連結(jié)DG,求4G的長；

⑶在(2)的條件下，連結(jié)GC,求ACDG與AADG的面積之比.

13.如圖1,已知△48C是。。的內(nèi)接三角形，力8是。。的直徑，CD是。。的弦，連接

(1)求證：4CEB=^ABD+乙CDB；

(2)如圖2,連接。E、AD,若。EII4D,且4B=10,BD=8,求BC的長.

14.如圖1,AB為半圓。的直徑，點(diǎn)C在半徑。8上，射線CD14B,交半圓于點(diǎn)。,BE

交力D的延長線于點(diǎn)E,已知BC=2,CD=4.P為CD延長線上任意一點(diǎn)，設(shè)PD=x.

(1)求半圓。的半徑.

⑵當(dāng)A/ICD與以點(diǎn)尸，D,￡為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求x的值.

⑶連接我.

①如圖2,P4交半圓于點(diǎn)。，當(dāng)x=2時(shí)，求PQ的長.

②如圖3,作點(diǎn)E關(guān)于P4的對(duì)稱點(diǎn)？，且2,D,三點(diǎn)在同一直線上，PA交BE'于點(diǎn)、R.求

△PDR的面積.

15.已知：△ABC內(nèi)接于O。，48為。。的直徑，直徑4B垂直于弦CD于點(diǎn)77,連接4。，過

點(diǎn)D作。。的切線交C力延長線于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證：^ADE=ZXBC；

⑵如圖2,點(diǎn)尸在BC上，連接4F交CD于點(diǎn)G,若2乙CGF=3乙EAD,求證：AE=AG-,

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)P在BC上，作PQ14B垂足為點(diǎn)Q,PB=AF,AB=6亞,

PQ=2V5,求GF的長.

16.如圖，N2為。。的直徑，C為O。上一點(diǎn)，。為弧3c的中點(diǎn)，連接40、2c相交于E,

過點(diǎn)B作。。的切線交AD的延長線于F；

圖1

(1)求證：/.CBF=24BAF；

⑵過點(diǎn)。作D"14B,垂足為“，求證:BC=2DH；

⑶延長交。。于G,連接CG,交/。于N,CN=3,GN=8,求。。的半徑.

17.如圖1,已知△ABC內(nèi)接于O。，4B為O。的直徑，AB=5,tan^ABC=點(diǎn)。是半

4

圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作DE||4C交直徑4B于點(diǎn)￡.

ccc

EOFEOFEO

ABABAB

D

DD

圖1圖2圖3

⑴求證：乙ADE=ACBD；

(2)如圖2,連接CD交力B于點(diǎn)尸，若乙4DC=NEDB,求COSNCBD；

(3)如圖3,連接CD交4B于點(diǎn)尸，^CD=2AE,

①求4。的長；

②直接寫出第的值為.

18.如圖1,在RtAABC中，NC=90。.動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)/向點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C向/運(yùn)

動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)2時(shí)，點(diǎn)￡正好到達(dá)點(diǎn)工.作AADE的外接圓O,直線BE

交圓。于另一點(diǎn)足連結(jié)力F.記4D=x,AE=y,滿足y=—，x+4.

(1)求AC,4B的長.

⑵如圖2,連結(jié)FD,當(dāng)乙4FD+NFEA=90。時(shí).

①求證：AFADS&BCE.

②求圓。的半徑.

⑶在運(yùn)動(dòng)過程中，若直線B。經(jīng)過AAEF一邊的中點(diǎn)，求x的值.

19.已知：力B是。。的直徑，弦CD交力B于點(diǎn)￡,且弧BC=MBD.

⑴如圖1,求證：CE=DE；

(2)如圖2,連接力C,點(diǎn)尸為4C上的一點(diǎn)，連接BF,過點(diǎn)C作CH1BF,垂足為點(diǎn)G,若點(diǎn)

〃為弧力B的中點(diǎn)，求NCFB的度數(shù)；

⑶如圖3,在(2)的條件下，連接FH交48于點(diǎn)N,若4F=AN,FG=4,求O。的半徑.

20.如圖，已知圓。是四邊形4BCD的外接圓，BD是直徑.連接AC交BD于點(diǎn)￡.

(1)如圖1,。是弧4C的中點(diǎn)，當(dāng)"4。=25。，求的度數(shù)；

(2)如圖2,48=2。，將AaCD繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△28L,其中力D與4B重合，求證：

AB2=AC2-BC-BC；

(3)如圖3,AB=AD,尸是4。的中點(diǎn)，連接BF,過。點(diǎn)作DM1AD交4C于點(diǎn)當(dāng)BF1AC

時(shí)，求器的值.

參考答案

1.(1)證明：連接。D,如圖:

DF=EF,

???Z.FDE=乙FED,

???0C=0D,

?,.Z.C=乙ODE,

???0C1AB,

???乙COE=90°,

??.Z.OEC+"=90°,

乙FED=Z-OEC,

/.Z.ODE+^FDE=90°,即：OD1DF,

???。。是。。的半徑，

????OF是O。的切線.

(2)解：連接ZM,如圖：

??4B是。。的直徑,

???^ADB=90°,

在RtAABD中，BD=―,tanB=m,

54

???AD=tanfi.BD=￡,4B=VAD2+BD2=14,

???DF是。。的切線，

???ODIDF,即：/.ODF=90°,

???AADF+AODA=90°,

OA—OD,

??.z_OAD=Z.ODA,

???Z-B+乙BAD=90°,

Z-B=Z.ADF,

Z-F—Z-F,

???△ADFDBF,

??AF—DF—AD―-tanB=3)

DFBFBD4

設(shè)DF=3x,貝UBF=4%,AF=4x-14,

2

DF=FA-FB,即：(3x)2=(4x_14)x4x,

解得：%=8或x=0(舍去)，

XF=4X8-14=18.

2.(1)證明：回點(diǎn)N,B,C,。為圓周的四等分點(diǎn),

回&=CB,4c為直徑,

^z.BAC=/.DAC=/.ACB=45°,

回4E為切線，

團(tuán)4c1AE,

團(tuán)4C4E=90°,

^DAE=45°

(2)證明：^ABF+^ADF=180°,^ADE+^ADF=180°,

團(tuán)乙ADE=匕ABF,

團(tuán)AD=AB，

比4。=AB

在△AOE和△ABG中，

/.ADE=乙48G

AD=AB，

Z-DAE=Z-BAG

團(tuán)△ZDE三△ABG(SAS),

團(tuán)4E=AG；

(3)解：過G點(diǎn)G”IBC于7/點(diǎn)，如圖,

0AADE=△ABG,

團(tuán)4G=AE=3,

^\AG=3CG,

MG=1,AC=4,

回/C為直徑，

^Z.ABC=90°,

^ACB=45°,

^\BC=—AC=2V2,

2

在RtACGH中，CH=GH=^CG=y,

SBHBC-CH=2y[2

22

V2

團(tuán)tan/CBF=—=-^=i,

BH迥3

2

故答案為：

3.(1)解：⑴如圖，連接E。，貝UOE=OC,

???Z-ABG=2/-C

???乙EOG=Z.ABG

??.AB//EO

EF1AB

???EF1OE

又回E。是。。的半徑，

團(tuán)E尸是O。的切線；

(2)Z.ABG=2Z-C,Z-ABG=乙C+Z.A

???Z-A=Z-C

，BA=BC=6

在RtAOEG中，VsinzEGO=—,

OG

OE3

???OG=--------=于=5

sin乙EGO3

5

BG=OG-OB=2

在Rt△FGB中，???sin4EG。=—,

BG

：.BF=BGsinNEG。=2x-=-,

55

624

AF=AB-BF=6--=—.

55

在R"OEG中，vEG2=OG2-OE2

??.EG=yJOG2-OE2=泗2-32=4

11

SROEG=2OE-EG=—x3x4=6

在RtAFGB中FG2=BG2-BF2

在Rt△OEG中

33

vsin36°=-sinzEGC=-

55

???乙EGC=36°

???(EOG=90°-乙EGO=90°-36°=54°

54_54_27

???S扇形。EB=荻“=^X3”而兀

_2427_12627

6-7r-

???S陰影=S^OEG-S〉FGB-S扇形OER=^5一萬=~2S20^

故陰影部分的面積為等-弱小

4.(1)證明：MB是直徑，

???乙4。8=90。，

團(tuán)BOIIOC,

團(tuán)4AEO=/.ADB=90°,

^OAC=90°,

國乙OAE+Z.AOC=90%Z.AOC+乙ACO=90°,

^1Z-BAD=Z.ACE,

^AB=AC,2LADB=乙AEC=90°,

0AADB=△CEA(AAS),

團(tuán)4E=BD.

(2)解：由(1)知，Z.AEO=90°,

WELAD,

^\AE=DE,

回OE為△43。的中位線，

WD=2OE,由(1)知，BD=AE,

^\AE=2OE,

在內(nèi)△ZOE中，

OE2+AE2=OA2,OA=5,

團(tuán)?！?+4。產(chǎn)=42,

團(tuán)。E=V5.

(3)團(tuán)OEIIBD,AO=OB,

回AAOE?AABD

"OAE1

，

0—AB=—AD=-2

-'-AE=ED,

團(tuán)=2OE=2V5,

^AE=BD=DE=2V5,

團(tuán)△408m△CEA,

0FC=AD=4V5,

設(shè)AD交BC于K.

2

-

回OK3V5

2

^\BK=(|V5)+(2A/5)23=yV2,

^ABK=乙FDK,乙AKB=乙FKD,

[HAAKB—△FKD9

團(tuán)^D--F=-D-K，

ABBK

2V5

^DF丁

%=返

3

0DF=V10.

5.(1)證明：連接BD,

回點(diǎn)M為X4BC的內(nèi)心，

回4。平分ABAC,貝ikB4D=N&W,

0BD=CD,

回BC為直徑，

0ZFDC=ZBXC=90°,

SAB2+AC2=BD2+CD2=BC2,

SAB2+AC2=2CD2.

A

D

(2)連接CM,

團(tuán)點(diǎn)"為△ZBC的內(nèi)心，

^Z-BAD=Z.CAD,/-ACM=乙BCM,

^BAD=乙BCD,

^CAD=乙BCD,

^DMC=ACAD+/.ACM,乙DCM=^BCD+乙BCM,

^1Z-DMC=(DCM,

^\DM=DC.

(3)過點(diǎn)〃作MEIZB,MFIAC,MGIBC,垂足分別為點(diǎn)E,F,G,

團(tuán)BC為直徑，

瓦血4c=90°,

團(tuán)ME1AB,MF1AC,

團(tuán)四邊形/EMF為矩形，

團(tuán)點(diǎn)M為工的內(nèi)心，

^\ME=MF=MG,

團(tuán)四邊形ZEMF為正方形，

^MAF=45°,

團(tuán)4M=2V2,

0i4F=AM?cos45°=2,

團(tuán)AE=AF=ME=MF=MG=2,

0MG=2,OM=V5,

在RtAOMG中，根據(jù)勾股定理可得：OG=VOM2-MG2=1,

設(shè)。。半徑為r，

回B。=CO=r,

團(tuán)BC=2r,BG=7+1,CG=r—1,

團(tuán)點(diǎn)M為工ZBC的內(nèi)心，

回BE=BG=r+1,CF=CG=r—1,

^\AB=BE+AE=廠+3,AC=CF+AF=r+1,

在中，根據(jù)勾股定理可得：AB2+AC2=BC2,

即(r+3)2+(r+l)2=(2r)2,

解得：7=5或丁=一1(舍)，

6.(1)解：?.TB為OC切線，

Z.ABD=乙E,

???Z.A=Z.A,

???△ABD-△AEB,

AB：AE=AD：AB,

vAB=8,DE=12,

???8:(40+12)=AD:8,

解得4。=4,4。=-16(負(fù)值舍去)，

???AE=AD+DE=16.

(2)如圖，連接BC,過點(diǎn)。作DHLAB于點(diǎn)〃,

則BCim

???DHWBC.

3

???tanZ-BAE=

4

設(shè)AB=4%,則BC=3%,則AC=5%,

CD=CB=3%,

??.AD=AC-CD=2x,

??,DHWBC,

.AD_HD_AH

*'AC-BC~AB'

.2x_HD_AH

5x3x4x*

DH=-x,AH^-x.

55

12

??.BH=AB-AH=yx,

6

在RtABHD中，tan4HBD=-=^-=~.

HByX2

???Z-ABD=乙E,

tanE=tanzHBjD=

2

如圖，過點(diǎn)尸作FM1CE于M,

AE=AC~\~CE—8x.

???AF是的平分線,

BF_AB_4x_1

EF~AE―8x~2

2

???FE=-BE.

3

在RtZkBDE中，tanE=-=

BE2

則BE=2BD.

■-BD2+BE2=DE2,

???B￡)2+(2BD)2=(6久尸.

6yf5

BnDn=——x,

5

BE=2BD=—x.

5

廠廠8V5

.?.FE=——X.

5

在RtABDE中，tan￡=—=i,則ME=2MF.

ME2

FM2+ME2^FE2,

FM2+(2MF)2=(W%)2.

???FM=-x.

5

ME=2FM=^x,

???AM=AE-ME==yx.

在RtAAFM中,

???AM2+FM2=AF2,

???(如2+(")2=42.

解得：X=±乎(負(fù)數(shù)不合題意，舍去)?

Vio

x=——

???oC的半徑CE=3久=上.

4

7.(1)證明：如圖，連接4D、0D,

F

???AC是直徑，

???AD1BC,

???AB=AC,

??.。是BC的中點(diǎn)，

又???。是AC的中點(diǎn),

???DOWAB,

DE1AB,

???DO1DE,

又?.?點(diǎn)。在。。上，

???DE是。。的切線；

(2)解：由(1)知OOIIAE,

\FODs\FAE,

.FO_DO

,?=,

FAAE

.FC+OC_DO

??FC+AC-AB-BE9

.FC+2_2

??FC+4-4-1'

解得：FC=2,

AF=6,

???4=60°；

(3)解：如上圖，連接。M,

vAB=AC,Z,A=60°,

??.△ABC是等邊三角形，OF=。。+CF=2+2=4,

同理可得：0M是A48C的中位線，

.?.四邊形。DBM是平行四邊形，

4F0D=60°,乙MOD=60°,

???ZCOM=120°,DF=OFsin60°=4xf=2百，

S^DOF=,DF=|X2X2V3=2V3,

?；DB^-BC=-AC=2,

22

DE=DB-sin600=2x—=V3,S成正=—TT-22=-TT,

2扇形COM3603

???平行四邊形。DBM的面積=DO-DE=2x43=2V3,

44

S陰影=2V3+2V3——7T=4V3——7T

8.(1)解回如圖，過。作。HlCD于H,連接DE,貝!]CD=2CH,

回CE是圓。的直徑，

0ZEDC=90°,

回點(diǎn)。為弧EC的中點(diǎn)，

EMED=弧。。，

回￡7)=CD,

國匕OCH=45°,

^HOC="CH=45°,

回。”=CH,

團(tuán)圓。的半徑為2,即。C=2,

回?！?CH=42,

0CD=2CH=2近；

(2)解：0ZFCD=45°,ZDSC=45°,

0ZFCD=/.DBC,

回乙。=乙D,

[?]△CDFfBDC,

LFDCD

回--=---

CDBD

由(1)可知CD=2企,

aa

(3)解：如圖，連接BE,BO,DO,并延長8。至H點(diǎn),

I3CE是圓。的直徑，

0ZEBC=90°,

回=BC,OD=OC,

國垂直平分CD,

^BHC=90°,

又財(cái)B||CD,

團(tuán)乙48。=(DHO=90°=乙EBC,

團(tuán)乙4BE=Z.OBC=Z.OCB,

又回乙/=Z-A,

0AABEACB,

0—=—BPXB2=AE-AC,

ABAC

設(shè)AE=%,則48=3%,

比4c=9%,EC=8x,

團(tuán)。E=OB=OC=4%,OA=5%,

團(tuán)CD=12,

團(tuán)CH=6,

團(tuán)48||CH,

^OAB=^.OCH,Z.OBA=Z.OHC,

回△408八C0H,

A0BOABa5x3x

—=——即n一=—

COHOCH4x6

解x=|,OH=8,OB=10,

SBH=BO+OH=18,

0ABCD的面積=|X18X12=108.

9.(1)解：回拋物線y=a/+6%+c的圖象與x軸交于點(diǎn)4(—1,0)、B(3,0),

回該函數(shù)的解析式為y=a(%+1)(久-3)=ax2-2ax-3a,

0c=—3a.

(2)解:連接皿,

SP是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)。為PD的中點(diǎn)，且/Q1PD,

回點(diǎn)。在上，

1-1

回“=#3=爐[3—(-1)]=2,

回該拋物線的對(duì)稱軸為直線久=于2=1，

0D(l,-2),

把。(1,—2)代入y=ax2—2ax—3a得：-2=a—2a—3a,

解得：a=3，

回該拋物線解析式為：y=|x2—%—I；

(3)解：回/QLPD,

團(tuán)乙IQD=90°,

團(tuán)點(diǎn)0在以川為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

財(cái)(一1,0)、8(3,0),。(1,—2),

團(tuán)當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，Q1(祟，￡)，即Q1(2,—1),

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)/重合時(shí)，Q2(U—＞即Q2(O，-D，

團(tuán)Q1Q2II%軸，Q1Q2=2,

團(tuán)點(diǎn)0在以皿中點(diǎn)為圓心的半圓上運(yùn)動(dòng),

10.解：（1）如圖1,回P4切。。于點(diǎn)A,ZC是。。的直徑,

圖1

^PAO=Z.CDA=90°,

團(tuán)CD1PB,

^CEP=90°,

團(tuán)4CEP=4CDA,

團(tuán)PBII4D,

團(tuán)NPOA=Z-CAD,

回△ZP。一△DCA.

(2)如圖2,連接OD,

圖2

①回AD=4。，OD=710,

IHA是等邊二角形，

^OAD=60°,

團(tuán)PBII4D,

團(tuán)NP04=Z-OAD=60°,

^PAO=90°,

回乙尸=90°一4POA=90°-60°=30°.

②存在.如圖2,過點(diǎn)8作BQ1/C交。。于Q,連接PQ,BC,CQ,

由①得：2LP0A=60°,/-PAO=90°,

^BOC=Z.POA=60°,

WB=OC,

團(tuán)乙4cB=60°,

團(tuán)/BQC=ABAC=30°,

團(tuán)BQLAC,

團(tuán)CQ=BC,

團(tuán)BC=OB=OA,

[?]△CBQ=△OBA,

團(tuán)BQ=AB,

^OBA=4OPA=30°,

團(tuán)48=AP,

團(tuán)BQ=AP,

團(tuán)尸/1AC,

回BQIIZP,

團(tuán)四邊形ZBQ尸是平行四邊形，

^AB=AP,

團(tuán)四邊形48QP是菱形，

團(tuán)PQ=AB,

0—=—=tan^ACB=tan60°=V3.

CQBC

11.(1)①回將△ABC沿射線AC平移得至!!△DEF,

??.AC||BE,

???^ACB=90°,

???/.ACB=乙OBE=90°,

aDE與。。相切于點(diǎn)G,

如圖1所示：連接。E,OG,

圖1

?*.OG_LED,

???乙OGE=90。，

在Rt△BOE和Rt△GOE中，

..(OE=OE

?=OG'

Rt△BOE=RtAGOE(HL),

BE=EG,

②如圖2所示：過點(diǎn)D作。M1BE交BE于點(diǎn)M,

圖2

???乙DME=90°,

根據(jù)切線長定理可知：EB=EG,DC=DG,

設(shè)BE=x,CD=y,貝！JEM=x—y,ED=汽+y,

在中，DM2+ME2=DE2,

???BC=6,DM=BC,

???62+(x-y)2=(x+y)2,

22

???36+%—2xy+y2=%2+2%y+yf

???xy=9,

即BE-CD=9.

（2）①如圖3所示：延長HK交BE于點(diǎn)Q,

設(shè)乙OBH=a,

???OB=OH,

???乙OBH=乙OHB,

???(BOQ=2a,

Z.OQB=90°—2a,

ABC沿射線ZC平移得至?。荨鱀EF,

???Z-DEF=Z.ABC=a,

團(tuán)將△DEF沿。E折疊得至DEF',

???Z-DEF=乙DEF'=a,

???乙BEF=90。，

???乙BEP=90°-2a,

???(OQB=乙BEF=90°-2a,

???HK||EF'.

②如圖4所示：連接FF',交ED于點(diǎn)N,

圖4

0ADEF沿DE折疊，點(diǎn)尸的對(duì)稱點(diǎn)F什合好落在射線BK上,

1

???ED1FF'.FN=-FF,,

???HK是O。的直徑,

???4HBK=90°,

BC=EF,BC=HK,EF=EF',

???HK=EF',

在RtAHBK和Rt△ENF'中，

NHBK=乙ENF'

乙BHK=乙NEF',

.HK=EF'

???RtAHBK=RtAENF'(AAS),

BK=NF',

設(shè)BK=x,

BK=NF'=NF=x,

???KF'=3,

BF=3x+3,

???^OBA+乙4=9Q。,乙OHB+乙HKB=90°,

又乙OBA=/.OHB,

：.zX=AHKB,

■■乙HBK=乙FCB

???RtAHBK-RtAFCB,

BK_HK

"~BC=~BF'

x6

"6-3x+3'

*'?久i-3,%2■—4(舍去)，

■■HK=6,

???乙BHK=30°,

???AABC=30°,

在RtAABC中，

V3廣

AC=BC-tan30°=6x—=2v3.

即AC的長為2百.

12.(1)解：連接。D,

A

設(shè)。。的半徑為r,則48=2廠，

U：AE=CD,BE=2,

CD=AE=2r—2,

VCD1AB,

：.DE=-CD=r-l,

2

???。標(biāo)=OE2+DE2,

Ar2=(r—2)24-(r—l)2,

r=5,r=1(不合題意，舍去),

???。。的半徑長為5；

(2)解：連接BG

??ZB是。。的直徑，

：.^AGB=90°

?"BAG+N8=90°

VCDLAB

???484G+4F=90°

乙B=乙F

LB=/-ADG

：.Z.ADG=乙F

V^DAG=2LFAD,

△ADG^△AFD,

,ADAG

??——,

AFAD

：.AD2=AG?AF,

;DE=4,AE=8,

：.AD=>JDE2+AE2=4V5,

???點(diǎn)G是4F的中點(diǎn)，

：.AF=2AG

：.2AG2=80

：.AG=2V10

(3)解：：NGCF=ND4F,4F=KF,

：.KFCGs4FAD,

?,F?G-=—FC,

FDFA

：.FG?FA=FC?FD,

?.?點(diǎn)G是AF的中點(diǎn)，

?'AG=FG,S-DG=S^DGF，

：.AD2=FC?FD,

\'AD=4V5,

.*.80=DF(DF-8),

ADF=4+4V6(負(fù)值舍去)，

276-2

,',■^ACDG:^A/IDG=SACDG：SADGF=CD:DF=8:(4+4V6)

5,

13.(1)證明：???Z.BAC,NCDB都是BC所對(duì)的圓周角，

Z.BAC=/.CDB,

???/.CEB=乙ABD+Z.BAC,

乙CEB=Z.ABD+乙CDB；

(2)解：OEWAD,點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，

???OE為△力DB的中位線，

???DE=BE=-BD=4,

2

「4B為直徑，

???乙ADB=90°,N4CB=90°,

AD=y]AB2-BD2=V102-82=6,

???AE=yjAD2+DE2=A/62+42=2V13,

設(shè)BC=x,EC=y,

在RtAABC和RtABCE中，

2=AC2+BC2102=(2V13+y)2+x2

2=BC2+CE2，M1

42=%2+y2

22

整理得:%+y+4V13y—48=0

12+y2=16

16+4V13y-48=0,

解得：y=潟，

264

/.V=——

/13

.??/+*16,

12-713.12713

解得:X=----:.或無=—(舍去),

1313

:的長為誓

14.(1)解：(1)連結(jié)OD.設(shè)半圓。的半徑為

則。B=OD=R,OC=R-2.

SCD1AB，

0OC2+CD2=OD2,

0(/?-2)2+42=R2,

解得R=5,

回半圓。的半徑是5；

(2)EL4c=5+3=8,

???CD=VXC2+CD2=V82+42=4V5,

0CD1AB,BE14B,

回BE||CD,

「DEBC

回一=—

ADAC

2

8

0DF=V5,

如圖1,

（備用圖）

若AACD?APED,則把=",

0%=5,

綜上所述，x的值是1或5；

（圖2）

當(dāng)x=2時(shí)，PC=4+2=6,

???PA=yjAC2+PC2=V82+62=10,

n.AC84

???CQSZ-PAC=—=—=一，

PA105

4

AF=OA-cos乙PAC=5x-=4,

AQ=2AF=8,

??.PQ=P4-/Q=10-8=2,

②連結(jié)4E,作RM14E于點(diǎn)/，設(shè)4P交半圓于點(diǎn)0,連結(jié)BQ,

(圖3)

則乙4Q8=90°,

團(tuán)點(diǎn)E,￡關(guān)于P力對(duì)稱，

EL4E'=AE=4V5+V5=5V5,

回4力DE=Z.ADB=90°,

WE=ylAE'2-AD2=J(5V5)2-(4V5)2=3V5,

回NPAE=/-PAE',

BIRD=RM,

???S岳RM+4乘RD=3V5x4V5,

SRD=—,

3

團(tuán)AE'=5V5=BE1

^￡.EAB==乙E'BA,

國匕DBQ=Z-DAQ=乙E'AQ,

^QAB=/-QBA=45°,

^APC=^PAC=45°,

PC=AC=8,PD=8-4=4,

團(tuán)SMQR=SNDA-S^RDA=|x8x4-|x4^5x手=:

15.(1)證明：如圖，連接。D.

回ED是。。的切線，

團(tuán)。。1ED,

回乙ODE=90°,

設(shè)=a,

則=90°-a,

團(tuán)。Z=OD,

回=Z.ODA=90°-a,

團(tuán)ZB為。。的直徑，

團(tuán)乙4cB=90°,

團(tuán)481CD,

團(tuán)BC=BD,

^CAB=￡.DAB=90°-a,

^\Z-ABC=a,

團(tuán)NADE=/.ABC；

(2)證明：如圖，

圖2

0X51CD,

回AC=AD，AC=AD,

^Z-ACD=乙ADC=乙ABC=a,

^EAD=2a,

02ZCGF=3zEi4D,

0ZCGF=3a,

^\Z-CAG—Z-DAE—2a,

回入4CG=Z-ADE,AC=AD,

回△ACG=△ADE,

團(tuán)4G=AE；

(3)解：如圖，延長/C到點(diǎn)N,使4V=AF,連接NF并延長交于點(diǎn)M,過點(diǎn)/作ZR，NF

垂足為點(diǎn)R.

N

團(tuán)4cAF=2a,AN=AF,

團(tuán)乙4NF=Z-AFN=90°-a,

團(tuán)匕CFN=乙MFB=z_B=a,

團(tuán)4R1NF,

回4NZR=Z.FAR=a

回PQ1AB

^PQB=4ARF=90°

^\Z-RAF=Z-QBP—a,PB=AF

0ARAF=△QBP

回RF=PQ=2遍

^Z-MFB—乙MBF=a

0FM=MB

團(tuán)/NMZ=2a

團(tuán)/MAN=AMNA=90°-a

回/M=MN

團(tuán)48=AM+MB=NM+FM=NF+2FM

團(tuán)RF=RN=2V5,即NF=4V5

MM=MB=小

團(tuán)RM=3V5,AM=5通，AR=4^5

在Rt△RAF^tanZ-RAF=tana=|

在RtAACB中AC=6,BC=12,DH=CH=：遮，OH=1V5,

在Rt△。//。中tan/Jf。。=tan2a=-

在內(nèi)△%"中AF=10

解△AGC可得AG=|^

團(tuán)FG=—.

11

16.(1)證明：連接4C,

???48為。。的直徑，

???乙ACB=90°,

???乙ABC+Z.CAB=90°,

???切。。于點(diǎn)8口

???FB1AB,

???4ABF=90°

Z.CBF+乙ABC=90°,

Z.CBF=Z.BAC,

r-\

?,CD=BD，

??.Z.CAD=Z.BAF=-^BAC,

2

???Z.BAC=2/.BAF,

???乙CBF=2乙BAF.

(2)證明：連接OC,OD交BC于點(diǎn)、M,

vCD=BD，

Z.COD=Z.BOD,

???OB=OC,

???OM1BC

???乙BMO=90°

???CM=BM,

???DHLAB.

???(DHO=匕0MB=90°

(Z-DHO=40MB

在Rt△和Rt△BOM中，\^DOH=/_BOM

、OD=OB

??.△DOH=△BOM,

.?.DH=BM=CM,

??.BC=2DH.

(3)解：連接4C、AG.DC,作APIDC的延長線于尸

,?CD=BD，

???Z-CGD—Z-BAD=Z-CAD,

??.UNG=AAHG,

???直徑AB1DG,

??.UNG=AAHG=90°,

??.DH=GH.

???AD=AG,

???Z-ACG=Z.ADG=Z.AGD.

???Z.AGD+AACD=180°,AACP+￡.ACD=180°.

???Z-ACP=Z.AGD.

???Z.ACP=Z-ACG.

Z.APC=乙ANC

???在Rt△ACP和Rt△ACN中，^PCA=乙NCA

、AC=AC

ACN=AACP.

.?.CP=CN=3.

???UNG=AAHG=90°,4ADP=^AGC

Z.APD=^ANG

在RtZkADP和RtZkAGN中，\AADP=Z.AGN

、AD=AG

ADP三△ZGN,

???DP=GN=8,

DC=DP-CP=8-3=5.

???在Rt△DNC中，DN=y/DC2-CN2=V52-32=4.

ri\jR

???tan乙4BC=tan^ADC=—=

DN4

AP_3

t—―,

DP4

AP=6,

???AC=<AP2+PC2=3V5,—

BC4

??.BC=4V5,

AB=5A/5,

■■-OA=OB=^

故答案為：當(dāng)

17.(1)證明：如圖所示，延長DE交。。于點(diǎn)尸,

0DFWAC,

r-\

0AD=CP，

r-\

0DC=AP，

^\Z-ADE=Z.CBD；

(2)解：如圖所示，連接4P,PB,

回AB為。。的直徑，AB=5,tan^ABC=

4

^ACB=90°,設(shè)AC=3kBC=4fc,貝腦8=5/c,

玳=1,

團(tuán)4c=3,BC=4,

^\Z-ADC=Z.EDB,

團(tuán)AC=PB，

t^AP=BC，

團(tuán)PB=/C=3,AP=BC=4,

團(tuán)AD=CP，

^ABD=乙CBP,

0ZCBD=（ABC+Z.CBP="BP,

團(tuán)AP=BC，

團(tuán)4ABp=/-CAB,

^Z-CBD=Z-CAB,

3

^\cosZ-CBD=cosZ-CAB=-；

（3）解：①由（1）可知N2DE=NCBD,

0BD=BD，

團(tuán)ZJD/E=Z-DCB,

[?]△DAE?△BCD,

^ADAE

回一=—,

BCCD

團(tuán)CD=2AE,

團(tuán)BC=2AD,

由（2）得：BC=4,

團(tuán)4。=2；

②回AD=2,AB=5,

EIBD=y/AB2-AD2=VH,

回晶=靛）,

WMF=乙DCB,

r'\

團(tuán)AC=AC，

^ADF=（ABC,

0ADAF—△BCF,

0—=—=2,

DFAD

國BF=2DF

^Z-ACD=Z-ABD,乙CAB=Z-CDB,

ACF-△DBF,

^ACAF

回--=--，

DBDF

「3S-BF

回而=中

2

解得：8尸=竺葭至，

04F=年，

^BF2A/21

團(tuán)一=---；

AF3

18.(1)解：團(tuán)當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)2時(shí)，點(diǎn)￡正好到達(dá)點(diǎn)工,

團(tuán)當(dāng)點(diǎn)E正好到達(dá)點(diǎn)/時(shí)，4E=y=0,AD=AB,

團(tuán)當(dāng)4E=y=0時(shí)，0=一±久+4,

解得久=5,

SAB——5,

當(dāng)月。=x=0時(shí)，AE=ac=y=%

04C=4,AB=5；

(2)①證明：^AFD+Z.FEA=90°,AAFD=AAED,

^AED+Z.FEA=90°,

0ZFED=90°,

團(tuán)FO為圓。的直徑，

^FAD=90°,

^\AFAD=Zf

團(tuán)4CEB=Z.FEA,Z.ADF=/-FEA,

^\Z-ADF=乙CEB,

[HAFADs&BCE、

②EL4D=x,滿足4E=—：x+4,

HEC=XC-X￡=4-(-1x+4)=|x

HAFAD—△BCE,

「BCEC

回一=—,

AFAD

WC=^JAB2-AC2=3.

團(tuán)二=J

AFx

團(tuán)4尸=—,

4

22

團(tuán)=(羊)2+%2,eb2=g%)+9>/7^2=^+25,

國匕DEB=Z.FAD=90°,Z.FBA=乙DBE,

[?]△