壓軸專題08中點問題的探究

9技法全歸納

知識考點與解題策略

模型一：倍長中線或類中線(與中點有關的線段)構造全等三角形

如圖①,AD是4ABC的中線，延長AD至點E使DE=AD,易證:ADC0△EDB(SAS);

如圖②，D是BC中點，延長FD至點E使DE=FD,易證：△FDBgAEDC(SAS);

當遇見中線或者中點的時候，可以嘗試倍長中線或類中線，構造全等三角形，

目的是對已知條件中的線段進行轉移.

模型二：已知等腰三角形底邊中點，可以考慮與頂點連接用“三線合一”

AA

模型解讀

等腰三角形中有底邊中點時，常作底邊的中線，利用等腰三角形“三線合一”

的性質得到角相等，為解題創(chuàng)造更多的條件，當看見等腰三角形的時候，就應想

到：“邊等、角等、三線合一”.

模型三：已知三角形一邊的中點，可以考慮中位線定理

模型解讀

在三角形中，如果有中點，可構造三角形的中位線，利用三角形中位線的性

質定理:DE//BC,且DE=;BC來解題，中位線定理中既有線段之間的位置關系又

有數(shù)量關系，該模型可以解決角問題，線段之間的倍半、相等及平行問題.

模型四：已知直角三角形斜邊中點，可以考慮構造斜邊中線

模型分析

在直角三角形中，當遇見斜邊中點時，經(jīng)常會作斜邊上的中線，利用直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即CD二;AB,來證明線段間的數(shù)量關系，而

且可以得到兩個等腰三角形:AACD和aABCD,該模型經(jīng)常會與中位線定理一起

綜合應用.

模型4.與垂徑定理相關的中點模型

模型解讀

1）條件：如圖1,已知點P是A3中點，連接0P,結論：OP±AB;

2）條件：如圖2,已知點P是AS中點，過點P作MN〃AB,結論：MN是圓0的切

線；

3）條件：如圖3,點P是中點，連接BP、AP,若NBPN=NA,結論：MN是圓

0切線。

模型5：與圓周角定理相關的中點模型（母子模型）

模型解讀

1）條件：如圖1,已知點P是筋中點，點C是圓上一點，結論：ZPCA=ZPCB.

2）條件：如圖2,已知點P是半圓中點，結論：ZPCA=ZPCB=45°.

3）條件：如圖3,已知點P是AS中點，結論：ZPBA=ZPCA=ZPCB=ZPAB;APDA

s/kPAC;APDB^APBC;ACAP^ACDB；ACAD^ACPBo

模型6.垂徑定理與圓周角定理結合的中點模型

條件：如圖，AB是直徑，點P是AC中點，過點P作PH_LAB交AB于點H,連結

PB交AC于點F。

結論：AD=PD=FD,PQ=AC,AP2=ADXAC=AHXAB=PFXPB.

等：

典題固基礎

例題1（24-25九年級上?江蘇揚州?階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，4（0,5）、8（5,0）,以點8為圓

心、3為半徑的8上有一動點P.連接AP,若點C為竹的中點,連接OC,則OC的最小值為（）

D.一^2—1

c.2

例題2（24-25九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）“關聯(lián)”是解決數(shù)學問題的重要思維方式.角平分線的有關聯(lián)想就有

很多…

【問題提出】

【嘗試應用】

(2)如圖②，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是邊A3上一點，連接C。，將ACD沿C。所在直線折疊，

使點A恰好落在邊BC的中點E處.若OE=5,求AC的長；

【拓展提高】

(3)如圖③，VABC中，AB=6,AC=4,AD為/B4C的角平分線.AO的垂直平分線所交2C延長

線于點R連接AF,當即=3時，AF的長為.

例題3

14.(24-25九年級上?江蘇南京?階段練習)問題提出

如圖①，AB、AC是。的兩條弦，AC>AB,M是BAC的中點，MD，AC，垂足為。，求證：CD^BA+AD.

圖①圖②

小敏在解答此題時，利用了“補短法”進行證明，她的方法如下：

如圖②，延長C4至E,使AE=4B,連接加4、MB、MC、ME、BC.

（請你在下面的空白處完成小敏的證明過程.）

推廣運用

如圖③，等邊VABC內接于（0,AB=2,。是AC上一點，ZASD=45°,AE±BD,垂足為E,則BDC

的周長是

拓展研究

如圖④，若將“問題提出”中“四是BAC的中點”改成“M是8c的中點”，其余條件不變，“8=胡+4）”這

一結論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，寫出C。、BA、AD三者之間存在的關系并說明理由.

s新題型特3

1、如圖，已知E,尸分別為正方形ABCD的邊AB,3c的中點，AF與DE交于點。為3。的中點，則

2

下列結論：①/AME=90。，②Zfl4F=ZEDB,③AM=QMF,@ME+MF=6MB.其中正確結論的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

2、（24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習）如圖，在矩形ABCD中，M是A。邊的中點，BM1AC,交直線

AC于點N,連接ON,則下列結論中：①CN=2AN；②DN=DC；③AD=sfiCD;④￡\AMNsACAB.正

確的有（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④

3、如圖，48是的直徑，A5=4,點C是上半圓A8的中點，點。是下半圓A8上一點，點E是8￡）的

中點，連接AE、CD交于點F.當點。從點A運動到點8的過程中，點廠運動的路徑長是（）

C.兀D.2折:

4、如圖，正方形ABC。邊長為4,點G是以AB為直徑的半圓上的一個動點，點/是邊C。上的一個動點,

點E是AD的中點，則EF+FG的最小值為

5.（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習）如圖，。是Rt^ABC的外接圓，點。是半圓弧的中點,

交CB延長線于點E,連結A￡）,CD.若，ACD與CDE的面積比為2:9,貝|包=.

6.（24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習）如圖，VABC中，AC=BC,CD是VABC的高，AB=8,CD=3,

則3C=;若以點C為圓心，半徑為2作。C,點E是'C上一動點，連接AE,點尸是AE的中點,

則線段DF的最小值是.

E

C

ADB

7.（24-25九年級上?江蘇無錫?期末）如圖，在正方形A3CD中，4）=4,點、E,尸分別為AB,2C上的動

點，且AE=3-，AF與DE交于點、0,點P為EF的中點.

（1）若AE=1,則跖的長為；

（2）在整個運動過程中，OP長的最小值為.

8.（24-25九年級上?江蘇揚州?階段練習）【推理證明】

（1）如圖①，在四邊形ABCD中，ZB=ZD=90°,求證：A、B、C、。四點共圓.小明認為：連接AC,

取AC的中點0,連接02、OD即可證明，請你按照小明思路完成證明過程.

【嘗試應用】

（2）如圖②，在正方形ABC。中，點E是邊48上任意一點，連接。E,交AC于點歹，請利用無刻度的直

尺與圓規(guī)在線段C尸上確定點P,使NDPE=90°.（不寫作法，保留作圖痕跡）

【拓展延伸】

（3）在（2）的基礎上，若AB=6,BE=2AE,直接寫出線段￡＞尸的長.

D

9.（24-25九年級上?江蘇無錫?期中）如圖，VABC中，ZACB=90°,CB=2,C4=4,點。，E分別在AC,

AB邊上，AE=-45AD,連接OE,將VADE沿DE翻折得至UVEDE,連接CE,CF.

⑴若點E是AB的中點，求CP的長;

⑵若△CEF的面積是V8EC面積的2倍，求AD的長.

10.(24-25九年級上?江蘇南通期中)如圖1,VA3C的頂點在C。上，點E,尸分別為邊AB,AC的中點.

(1)求證：點A,E,O,尸在同一個圓上，并在圖中畫出該圓的圓心；

(2汝口圖2,。的直徑MN=4,點A固定，點8在半圓弧上運動.在點8從點M運動到點N的過程中，求

點E的運動路徑的長.

11.(24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習)【定義】

如果從一個平行四邊形的一個頂點向不過該頂點的對角線作垂線，垂線交平行四邊形的邊于另一點，且該

點為所在邊的中點，那么這個平行四邊形叫做“垂中平行四邊形”，垂足叫做“垂中點”

如圖1,在?ABCD中，3尸工AC于點E,交AT＞于點R，若F為AD的中點，貝％ABCD是垂中平行四邊

形，E是垂中點.

AD

圖3圖3備用圖1圖3備用圖2

【應用】

(D如圖1,在垂中平行四邊形ABC￡＞中，E是垂中點.若AF=ECE=2,則AE=；AB=；

(2)如圖2,在垂中平行四邊形中，E是垂中點.若AB=BD,試猜想AF與CD的數(shù)量關系，并加以證

明；

(3)如圖3,在VABC中，3￡'_14。于點瓦?！?=2隹=12,5￡1=5.

①請畫出以為邊的垂中平行四邊形，使得E為垂中點，點A在垂中平行四邊形的邊上；（不限定畫圖工

具，不寫畫法及證明，在圖上標明字母）

②將VABC沿AC翻折得到VAB'C,若射線CB，與①中所畫的垂中平行四邊形的邊交于另一點P,連接PE,

請直接寫出PE的長.

12、（24-25?江蘇蘇州?模擬預測）【問題初探】如圖1,在＜。的內接四邊形ABC。中，DB=DC,/DAE

是四邊形ABCD的一個外角.求證：ZDAE=ZDAC.

【拓展研究】如圖2,己知。內接VABC,AOBC,點〃是ACB的中點，過點M作垂足為

點。.求證：BC+CD=AD.

【解決問題】如圖3,已知等腰三角形ABC內接于。，AB=AC,。為AB上一點，連接OB、DC,

圖1圖2圖3

13.（2024?江蘇揚州?三模）（1）觀察猜想：如圖1,已知C,D,G三點在一條直線上QCD＞DGl,正方

形A3CD和正方形。EfG在線段CG同側，H是CG中點，線段。"與AE的數(shù)量關系是,位置關系是

（2）猜想證明：在（1）的基礎上，將正方形DEfG繞點。旋轉。度（0。＜口＜360。），試判斷（1）中結

論是否仍成立？若成立，僅用圖2進行證明；若不成立，請說明理由.

（3）拓展延伸：如圖3,矩形MCD和矩形DEPG中，緣=/,DE=3,將矩形。所G繞點。旋轉任意

CDDCJ

3

角度，連接AE,CG,〃是CG中點，若DH=：AE,求點H運動的路徑長.

14、給出一個新定義：有兩個等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點互相重合且其中一個等腰三角

形的一個底角頂點在另一個等腰三角形的底邊上，那么這兩個等腰三角形互為“友好三角形”.

（1）如圖①，YABC和VADE互為“友好三角形”，點D是BC邊上一點（不與點2重合），AB=AC,AD=M,

ZBAC=ZZME=60°,連接CE,則CEBD（填或“=”或“>"）,ZBCE=°；

（2）如圖②，VABC和VADE互為“友好三角形”，點。是BC邊上一點，AB=AC,AD=AE,

ABAC=ZDAE=120°,M、N分別是底邊3C、的中點，請?zhí)骄縈N與CE的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）如圖③，VABC和VADE互為“友好三角形”，點。是BC邊上一動點，AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=a,M、N分別是底邊BC、DE的中點，請直接寫出MN與CE的數(shù)量關系（用含a的式子

表示）

15.（24-25九年級上?江蘇無錫?期末）在矩形ABC。中，點E,F分別在邊AO,上，將矩形A3C。沿

圖1圖2圖3

⑴若點A的對應點P落在邊C。上，點8的對應點為點G,PG交BC于點、H.

①如圖1,當尸為C。的中點，且4?=2,AD=3時，則G//的長為_；

4D

②如圖2,連接2G,當P,X分別為CD,BC的中點時，求^的值.

⑵若點A的對應點P落在邊BC上，如圖3,點8的對應點為點G.當AB=2,AD=3時，則AE的最小

值為一，BF的最大值為

16、請閱讀下列材料，并完成相應的任務：

三角形中線定理

三角形中線定理又稱阿波羅尼奧斯定理，是一種平面幾何的定理之一，指三角形三邊和中線長度關系.

阿波羅尼奧斯(約公元前262-190年)，古希臘數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德合稱為古希臘亞歷山大前期

的三大數(shù)學家.

中線定理:三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍.如圖1,在VABC中，

點。為的中點，根據(jù)“阿波羅尼奧斯”，nf^AB2+AC2=2AD2+2BD2.下面是該定理的證明過程(部

分)：

證明：過點A作AEL5c于點E,如圖2,在RtAABE中，AB2^AE2+BE2,

同理可得：AC2=AE2+CE2,AD2=AE2+DE2>

證明的方便，不妨設Br>=CD=x,DE=y,

AB2+AC2AE2+BE2+AE2+CE2

任務:

(1)按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；

(2)如圖3,在VABC中，點。為2c的中點，AB=4,AC=10,BC=8,則AO的長為；

(3)如圖4,已知平行四邊形A5CD中，AC和80相交于點0,設AC=a,30=6,請直接用含。，6的代

數(shù)式表示2(4笈+3。2)的值；

⑷如圖5,已知平行四邊形A3CD內接于。，點尸為I。內一點，若AB=6,BC=8,PB=4,PD=1,

請直接寫出。尸的長.

17、已知：AB為圓。的直徑，點。為弦AC上一點，連接OD并延長交圓。于點E,連接BE,BE交AC于

點尸，且NCFE+」/54c=135°.

2

⑴如圖1,求證：AE=CE;

(2)如圖2,連接30,點H為80中點,射線C"交圓。于點M,G為8/上一點，連接GM,BG,求證:

NG=NBDE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，在。E上取一點N,連接EG,BN,使NGEO=NEBN,BD=BG,連接AN,

4

若2ZNAD=ZONB,GM=1,0D=-,求線段AC的長.

3

18、已知CD為RfAABC斜邊AB上的高，以CD為直徑的圓交BC于E點，交AC于歹點，G為80的中點.

(1)求證：GE為(。的切線；

(2)若tanB=J,GE=5,求AZ)的長.

壓軸專題08中點問題的探究

9技法全歸納

知識考點與解題策略

模型一：倍長中線或類中線(與中點有關的線段)構造全等三角形

如圖①,AD是4ABC的中線，延長AD至點E使DE=AD,易證:ADCgAEDB(SAS);

如圖②，D是BC中點，延長FD至點E使DE=FD,易證：△FDBgZkEDC(SAS);

當遇見中線或者中點的時候，可以嘗試倍長中線或類中線，構造全等三角形，

目的是對已知條件中的線段進行轉移.

模型二：已知等腰三角形底邊中點，可以考慮與頂點連接用“三線合一”

連接中線

BDCBDC

等腰三角形中有底邊中點時，常作底邊的中線，利用等腰三角形“三線合一”

的性質得到角相等，為解題創(chuàng)造更多的條件，當看見等腰三角形的時候，就應想

到：“邊等、角等、三線合一”.

模型三：已知三角形一邊的中點，可以考慮中位線定理

模型解讀

在三角形中，如果有中點，可構造三角形的中位線，利用三角形中位線的性

質定理:DE//BC,且DE=;BC來解題，中位線定理中既有線段之間的位置關系又

有數(shù)量關系，該模型可以解決角問題，線段之間的倍半、相等及平行問題.

模型四：已知直角三角形斜邊中點，可以考慮構造斜邊中線

AA

構造直角三角形斜邊上的中線

模型分析

在直角三角形中，當遇見斜邊中點時，經(jīng)常會作斜邊上的中線，利用直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即CD二;AB,來證明線段間的數(shù)量關系，而

且可以得到兩個等腰三角形:AACD和aABCD,該模型經(jīng)常會與中位線定理一起

綜合應用.

模型4.與垂徑定理相關的中點模型

模型解讀

1）條件：如圖1,已知點P是A3中點，連接0P,結論：OP±AB;

2）條件：如圖2,已知點P是AS中點，過點P作MN〃AB,結論：MN是圓0的切

線；

3）條件：如圖3,點P是中點，連接BP、AP,若NBPN=NA,結論：MN是圓

0切線。

模型5：與圓周角定理相關的中點模型（母子模型）

模型解讀

1）條件：如圖1,已知點P是筋中點，點C是圓上一點，結論：ZPCA=ZPCB.

2）條件：如圖2,已知點P是半圓中點，結論：ZPCA=ZPCB=45°.

3）條件：如圖3,已知點P是AS中點，結論：ZPBA=ZPCA=ZPCB=ZPAB;APDA

s/kPAC;APDB^APBC;ACAP^ACDB；ACAD^ACPBo

模型6.垂徑定理與圓周角定理結合的中點模型

模型解讀

條件：如圖，AB是直徑，點P是4c中點，過點P作PH_LAB交AB于點H,連結

PB交AC于點F。

結論：AD=PD=FD,PQ=AC,AP2=ADXAC=AHXAB=PFXPB.

學典題固基礎

例題1（24-25九年級上?江蘇揚州?階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，4（0,5）、8（5,0）,以點8為圓

心、3為半徑的8上有一動點P.連接AP,若點C為竹的中點,連接OC,則OC的最小值為（

D.一^2—1

c.2

【答案】A

【分析】在y軸負半軸上取OQ=OA=5,連接。8,PQ.證明OC是△AP。的中位線得OC=gp。，可得當尸。

取得最小值時，OC的值最小，當點尸在線段。8上時，P。的值最小，即OC的值最小，求出尸。=5血-3,

可得以oc的最小值是:夜-g.

【詳解】解：在y軸負半軸上取。。=。4,連接QB,PQ.

7點C為小的中點，

/.OC是APQ的中位線，

OC=；P。，

...當P。取得最小值時，OC的值最小，當點P在線段Q8上時，尸。的值最小，即OC的值最小.

???4(0,5)、3(5,0),

/.OA=OB=OQ=5,

QB=yl52+52=5A/2.

V8的半徑為3,

/.加=50-3,

：.OC=-PQ=-^[2--.

222

故選A.

【點睛】本題考查了圖形與坐標的性質、勾股定理、圓的性質、三角形中位線，確定出OC最小時點P的位

置是解題關鍵，也是本題的難點.

例題2(24-25九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期中)“關聯(lián)”是解決數(shù)學問題的重要思維方式.角平分線的有關聯(lián)想就有

很多…

【問題提出】

(1)如圖①，PC是_JR鉆的角平分線，求證：W=蕓.

PBBC

小明思路：關聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過點2作BD〃9，交PC的延長線于點。，利

用“三角形相似

(2)如圖②，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是邊AB上一點，連接C。，將「ACD沿CD所在直線折疊，

使點A恰好落在邊BC的中點E處.若DE=5,求AC的長；

【拓展提高】

(3)如圖③，VABC中，AB=6,AC=4,AD為的角平分線.AD的垂直平分線E尸交8C延長

線于點尸，連接,,當3。=3時，■的長為.

【分析】(1)小明的思路：過點3作〃上4,根據(jù)平行線的性質可證/APC=/BPC,根據(jù)對頂角相等

可得ZACP=/BCD,所以可證ACPsBCD,根據(jù)相似三角形對應邊成比例可證結論成立；

小紅的思路：過點C作CDLAP,過點C作CEL3P,過點尸作尸尸_LAB,根據(jù)高相等的兩個三角形的面

SAPSAC

積比等于它們的底邊之比可得：1組=,，正，從而可證結論成立；

,BCP"卜BCPU

AM

(2)根據(jù)(1)中的結論可得"，根據(jù)折疊的性質可知：AC=CE,AD=OE=5,從而得到AB=15,

nCDD

設AC=x,則有BC=2x,在RfABC中利用勾股定理可以求出AC的長度；

(3)根據(jù)垂直平分線的性質可證NA切=ZFDA,根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和可得

ZFDA=ZB+ZBAD,從圖中可以看出/E4D=/E4C+NC4D,所以可證/E4c=/8,再根據(jù)

ZAFC=/BFA,可證AFCs5E4,根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求解.

【詳解】解：（1）小明的思路：

過點5作如下圖所示,

:.ZAPC=ZBPC,

又BD"Ph,

ZAPC=ZD,

:"D=/BPC,

:.BD=BP,

又'ZACP=/BCD,

ACPsBCD,

.PA—

一茄一法’

.PAAC

*BC；

選擇小紅的思路:

過點。作CD_LAP,過點C作CEL5?，過點P作尸尸，AB,如圖所示,

尸。平分/AP5,

:.ZAPC=ZBPC,

CE=CD,

「

SMAL廠p=—2AP'CD,SDi-r=—2BP,CE,

C-APCD

3ACP_2AP

q1BP

DBCP—BPCE

2

又s4CP=LACPF,s^~BCPF,

/ICr2DL.rBC2P

c-ACPF

3ACP__2______AC

q1~BC

'BCP-BCPF

2

PAAC

PB-BC

(2)如下圖所示,

根據(jù)折疊的性質可知：AC=CE,AD=DE=5,

點E為2C的中點,

.ACCE_1

"BC~BC~2'

AD_CE_j_

…BD-BC~3'

又?.AD^5,

BD=10,

:.AB=15,

設AC=x,則3c=2x,

在RCABC中，AC2+BC2=AB-,

.-.x2+（2x）2=152,

解得：x=3^5,

AC的長為3石；

(3)解：如下圖所示,

A

AD為—A4C的角平分線,

?,八iBDAB

由（1）可知而二法

AB=6,AC=4,BD=3,

.3_6

,Be-4

:.DC=2,

￡F是AD的垂直平分線,

:.AF=DF,

:.ZFAD=ZFDA,

ZFAD=ZFAC-^-ZCAD,ZFDA=ZB-^-ZBAD,

:.ZFAC=ZB,

又?，ZAFC=ZBFA,

AFCsBFA,

.A3一b_6

,AC-CF-4?

AF=DF,CD=2,

AB_AF_6

'^C~AF-CD~4,

.AF_6

"AF-2"4?

解得：AF=6.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，角平分線、中垂線、等腰三角形的性質及勾股定理，解決

本題的關鍵是根據(jù)角平分線的性質和線段垂直平分線的性質找出圖中相等的角，從而得到相似三角形，再

利用相似三角形對應邊成比例解決問題.

例題3

14.（24-25九年級上?江蘇南京?階段練習）問題提出

如圖①，A3、AC是：。的兩條弦，M是3AC的中點，AC,垂足為。，求證：CD=BA+AD.

圖①圖②

小敏在解答此題時，利用了“補短法”進行證明，她的方法如下：

如圖②，延長C4至E,使AE=4B,連接加4、MB、MC、ME、BC.

(請你在下面的空白處完成小敏的證明過程.)

推廣運用

如圖③，等邊VABC內接于(0,AB=2,。是AC上一點，ZASD=45°,AE±BD,垂足為E,則BDC

的周長是

拓展研究

如圖④，若將“問題提出”中“四是BAC的中點”改成“M是8c的中點”，其余條件不變，“8=胡+4)”這

一結論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，寫出C。、BA、AD三者之間存在的關系并說明理由.

【答案】問題提出：見解析；推廣運用：20+2;拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之間的關系為：

AD=BA+CD,見解析

【分析】問題提出：首先證明EAM^BAMBAS),進而得出ME=MC,再利用等腰三角形的性質得出

ED=CD,即可得出答案；

推廣運用：首先證明aABP空ACD(SAS),進而得出AF=">,以及CD+DE=BE,進而求出DE的長即可

得出答案；

拓展研究：連接E4,EF,ED,EB交AC于N,根據(jù)已知條件得到=,根據(jù)全等三角形的

性質得到CD=NE>,ZECD=ZEND,根據(jù)等腰三角形的判定得到AN=AB,于是得到結論.

【詳解】問題提出：證明：如圖2,延長C4至E,使AE=AB,連接加4、MB、MC,ME、BC,

:.MB=MC.ZMBC=ZMCB,

ZMAB=1SO°-ZMCB,

ZEAM=180°-ZCAM=180°-ZMBC,

ZEAM=ZBAM，

在AE4M和4M中，

AE=AB

<ZEAM=ZBAM,

AM=AM

/.￡W^BAM(SAS),

；?ME=MB,ZE=ZMBA,

丁ZMCE=ZMBA,

:?ZMCE=/E,

：.MC=ME,

：.MC=ME=MB,

又二MD±AC,

ED=CD,

/.DC=AD+AE=BA-\-AD；

推廣運用：解：如圖3,截取收=CD,連接AF,AD,CD,

由題意可得：AB=AC,ZABF=ZACD,

在A4郎'和ACD中

AB=AC

<ZABF=ZACD,

BF=DC

ABb烏ACD(SAS),

:.AF=AD,

AE±BD,

:.FE=DE,則CD+DE=BE,

ZABD=45°f

:.BE=#=啦,

V2

則43。。的周長是5。+。。+3。=5石+。石+。。+5。=25￡+3。=20+2,

故答案為：2加+2;

拓展研究：不成立，CD、BA.AO三者之間的關系：AD=BA+CD,

證明：延長皿D交I。于點E,連接E4,EC,EB,EB交AC于N,

M是的中點,

.\ZBEM=ZCEM,

/BEM=ZCEM

在和△E?C中，\DE=DE

/EDN=/EDC=90°

:.EDN^tEDC(ASA)

.\CD=NDfZECD=ZEND,

ZECD=ZABE,ZENC=ZANB,

:.ZANB=ZABE,

:.AN=AB,

:.AD=AN+ND=BA+CD.

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形以及

等邊三角形的性質，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質解題是解題關鍵.

S新題型特3

1、如圖，已知E,尸分別為正方形ABCD的邊AB的中點，AF與DE交于點、M,。為3。的中點，則

2

下列結論：①/AME=90。，?ZBAF=ZEDB,③AM=-MF,?ME+MF=^MB.其中正確結論的有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等，證

明，均ZME(SAS),得出=通過導角證明NAME=90。，可判斷①；根據(jù)/4DEw

可判斷②;證明一AMES_ABF,根據(jù)對應邊成比例可判斷③;過點M作MV1AB于點N,證明..NAM^BAF,

結合勾股定理可判斷④.

【詳解】解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD,ZABC=ZBAD=90°,

E,尸分別為邊AB,3c的中點，

.-.AE=BF=-BC.

2

BF=AE

在尸和_/ME中，＜NABF=ND4E,

AB=DA

ABF^DAE(SAS),

:.ZBAF=ZADE.

ZBAF+ZDAF=ZBAD=90°=ZADE+ZDAF,

:.ZAME=90°,

故①正確；

OE是的中線，

:.ZADE^ZEDB,

:.NBAFANEDB,

故②錯誤；

設正方形ABC。的邊長為2a,則昉=。,

在RtABF中,AFZAB。+BF?=&.

ZBAF=ZMAE,ZABC=ZAME=90°,

:.AAMEsAABF,

MEAMAEBnMEAMa

…BFABAF'alay/5a

解得ME=—a,

55

：.MF=AF—AM=-a=^-a,

55

,AM=-MF,

3

故③正確；

如圖，過點M作肱VIAB于點M

ZNAM=ZBAFZANM=ZABF=90°,

:.NAMsBAF,

MN_AN_AM

即MNAN

BF~AB-NF

a2a小a

24

解得MN=—d!,AN=—<2,

46

:.BN=AB-AN=2a——a=-a.

55

根據(jù)勾股定理，得MB=yjBN2+MN2=3普a,

"一八"木的亞4君r-r-2M4^5

ME+MF=——a+---a=a,72MB=72乂--------a=a,

55555

:.ME+MF=6MB.

故④正確.

綜上所述，正確的結論有①③④共3個，

故選B.

2、（24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習）如圖，在矩形ABCD中，M是AD邊的中點，BMLAC,交直線

AC于點N,連接。N,則下列結論中：①CN=2AN；②DN=DC；③AD=y^CD;④^AMNsNAB.正

確的有（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④

【答案】A

【分析】通過證明△AAWS/XCBN,可得坐=跑，可證CN=24V；過。作?！ā?加交AC于G,可

BCCN

證四邊形5MDH是平行四邊形，可得=由直角三角形的性質和等腰三角形的性質可得

DN=DC；由平行線性質可得NZMC=/ACB,ZABC=ZANM=90°,可證△AAWs4C4B；通過證明

AABM^ABCA,可得4"=4亙，可求AB=1BC,即可得烏=受，則可求解.

ABBC2AD2

【詳解】解：在矩形ABCD中，

AZD|BC,

.?.-AMNSbCBN,

.AM_AN

一記一府’

M是AD邊的中點，

：.AM=MD=-AD=-BC,

22

AN_1

~NC~2,

CN=2AN,故①正確;

如圖，過。作8M交AC于G,

DH//BM,BMLAC,

s.DH^AC,

DH//BM,AD//BC,

???四邊形5Mz汨是平行四邊形,

:.BH=MD=-BC,

2

:.BH=CH,

ZBNC=90°,

:.NH=HC,且OH_LAC,

：.DH是NC的垂直平分線，

：.DN=CD,故②正確；

?四邊形ABC。是矩形，

.'.AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

,\ZDAC=ZACBfZABC=ZANM=90°,

AMNsCAB,故④正確；

AMNs二CAB,

.MN_AB

AD//BC,

：.ZDAC=ZBCA,且NB4C+NACB=90。，ZDAC+ZAMB=90°f

.\ZBAC=ZAMB,>ZBAM=ZABC,

/.ABMsBCA,

.AMAB

,?=，

ABBC

1

/.AB?2=-BC27,

2

/.AB=—BC,

2

AB42

/.--——,

BC2

???烏=也，即：ADfCD，故③正確.

AD2

故選：A.

【點睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，斜邊上的中線，中垂線的

性質，平行四邊形的判定和性質，正確的作出輔助線構造平行四邊形是解題的關鍵.

3、如圖，48是。的直徑，/R=4,點C是上半圓A8的中點，點。是下半圓A8上一點，點E是80的

中點，連接AE、CD交于點F.當點。從點A運動到點8的過程中，點廠運動的路徑長是（）

71

A.兀B.V2TIC.D.2-\/27r

【答案】B

【分析】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，作出正確的輔助線是解題的關鍵.連接

圓周角定理，推出C4=C產(chǎn)，進而得到點廠只在AB上運動，求解即可.

【詳解】解：連接ACBCB3OE,

：回是:，O的直徑，點C是上半圓AB的中點,

???AC=BC，NACB=90。，

：.AC=BC=—AB=2A/2,

2

ZBCD=ZCAB=45°,

設=貝!I：ZBOE=2a,ZBDE=a,ZCAF=450+a,

BE的度數(shù)為2。，NCDE=450+a,

:點E是go的中點，

???50的度數(shù)為4a,

???AD的度數(shù)為180。-40,

AZDEF=90°-h,

???ZAFC=ZDFE=1800-ZDEA-ZCDE=45°+af

：.ZCAF=ZAFC,

：.AC=CF=BC

工點廠在以點。為圓心，以C4長為半徑的圓上，且只在I。的A8上運動,

點F的軌跡為AB的長=9。。"=岳.

180°

故選B.

4、如圖，正方形A3CD邊長為4,點G是以AB為直徑的半圓上的一個動點，點/是邊上的一個動點,

點￡是AD的中點，則所+FG的最小值為.

【答案】2麗-2/-2+2M

【分析】本題考查了軸對稱一最短距離問題，圓的有關性質，勾股定理等知識；解題的關鍵是靈活運用所

學知識解決問題.作點E關于C。的對稱點連接此時，防+產(chǎn)G最小，最小值為總的長，再利用

勾股定理即可求解.

【詳解】解：作點E關于C。的對稱點”，設A8的中點為O,連接OH,交C。于點死交圓。于點G,如

圖:

H

則EF+FG=HF+FG=HG,此時，￡F+FG最小，最小值為龐的長;

:正方形ABCD邊長為4,點E是4。的中點，

ADE=DH=2,貝I|AH=6,

:點G是以為直徑的半圓上的一個動點，

OG=OA=2,

在RtACMH中，OA=2,AH-6，

OH=y/OA'+AH2=A/22+62=2廂，

HG=OH-OG=2^10-2,

：.石尸+尸3的最小值為2拈-2,

故答案為：2JQ-2.

5.（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習）如圖，。是RtZXABC的外接圓，點。是半圓弧的中點,

DE〃AB交CB延長線于點E,連結AD,CD.若,ACD與CDE的面積比為2:9,貝U色=.

4

【答案】I

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，圓周角定理，解一元二次方程，過。作DM，3c于

DNJ.AC交直線AC于N,連接￡>8,先由點。是半圓弧的中點，得到加=。3,

ZDAB=ZDBA=ZDCB=ZDCA=45°,即可證明四邊形DMCN是正方形，設AC=a,AN=b,貝|

DM=DN=CN=CM=a+b,再證明RtADNmRtBDM（HL）,得AN=BM=b,由，ACD與CDE■的面

積比為2:9,得至I嘗=，，解得EM=與絲,最后根據(jù)得到ABCs.DEM,代入翌=警

CE92DMEM

整理得5儲_8仍—4〃=0,解得1=26,最后代入土二廠“二”,計算即可.

BEEM-BM

【詳解】解：過。作DM,5c于M,ON1AC交直線AC于N,連接。3,則

ZN=ZDMC=ZDMB=ZACB=90°f

???點。是半圓弧AB的中點，

：.DA=DB,ZDAB=ZDBA=ZDCB=ZDCA=45°,

：.。。平分—AC3,

DM=DN,

J四邊形。MCN是正方形，

:?DM=DN=CN=CM,

設AC=a,AN=b,典\DM=DN=CN=CM=a+b,

VDM=DN,DA=DB,

：.Rt.AD^Rt.BDM（HL）,

：.AN=BM=b,

：.BC=CM+BM=a+2b,

????AS與石的面積比為2:9,

--J22

即——-——

*CE~9a+b+EM9

la—1b

解得四=

2

'：DE//AB,

/E=ZABC,

工一ABCsDEM,

aa+b

.AC_BC

即a+2b7a-2b,

''DMEM

2

整理得5a2—8小4/=0,

（5a+2b）（a-2b）=0,

:?a=2b,

EM=——―=6b,BC=a+2b=4b,

2

?CB4b_4Z?_4

…BE~EM-BM~6b-b~5?

4

故答案為：—.

6.（24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習）如圖，VABC中，AC=BC,CD是VABC的高，AB=8,CD=3,

則3C=；若以點。為圓心，半徑為2作。C,點石是（上一動點，連接AE,點尸是AE的中點,

則線段DF的最小值是.

J7

【分析】由等腰三角形的性質得8。=3^=4,CDLAB,由勾股定理即可求得2C長度；連接BE,CE,

則。F=：BE,當BE最小時，Z）戶最小，此時E點在線段BC上時，BE最小，從而。尸，最后求得最小值

即可.

【詳解】解：：AC=3C，CD是VA5c的高，

/.BD=-AB=4,CD±AB,

2

由勾股定理得：BC=^BEr+CD1=5；

如圖，連接BE,CE,

丁點尸是人石的中點，點。是A5中點，

J。尸是?AES的中位線，

???DF=-BE,

2

當BE最小時，DF最小，

當E、C、3三點共線，且E點在線段5c上時，砥最小，從而。尸最小,

^BE=BC-CE=5-2=3,

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，三角形中位線，圓外一點與圓上點的最值等知識，構

造輔助線，運用中位線定理是解題的關鍵.

7.（24-25九年級上?江蘇無錫?期末）如圖，在正方形ABC。中，AD=4,點、E,尸分別為AB,上的動

點，且AE=5/，AF與DE交