遼寧省大連市2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．集合，集合，則（

）A．B． C． D．2．命題“”的否定為（

）A． B．C． D．3．已知隨機(jī)變量，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．94．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．85．已知函數(shù)，且，則（

）A．4 B．5 C．4 D．36．設(shè)的平均數(shù)為與的平均數(shù)為與的平均數(shù)為.若，則與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．不能確定7．小明每天從騎自行車、坐公交車兩種方式中選擇一種去上學(xué).已知他選擇騎自行車的概率為0.6，在他騎自行車的條件下，7:20之前到達(dá)學(xué)校的概率為0.95.若小明7:20之前到達(dá)學(xué)校的概率為0.93，則在他坐公交車的條件下，7:20之前到達(dá)學(xué)校的概率為（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.68．已知函數(shù)，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則稱函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”，已知函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在下列函數(shù)中，最小值是2的是（

）A． B．C． D．10．已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，11．設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若為奇函數(shù)，且，則下列說法中一定正確的是（

）A．4是的一個(gè)周期B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．D．三、填空題（本大題共3小題）12．若函數(shù)，則.13．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則.14．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖象都有且只有一個(gè)對稱中心點(diǎn)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)圖象的對稱中心點(diǎn)為，且不等式對任意恒成立，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求的值：(2)求函數(shù)的極值.16．盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2的小球各3個(gè)，標(biāo)記數(shù)字3的小球2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球.(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)記取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.17．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若的前項(xiàng)和為，求.18．現(xiàn)有抽球游戲規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和黑球各一個(gè)，每次有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪.如果每一輪取到的兩個(gè)球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失敗.在抽取過程中，如果某一輪成功，則停止游戲；否則，在盒子中再放入一個(gè)黑球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功.(1)某人進(jìn)行該抽球游戲時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止游戲，記其進(jìn)行抽球游戲的輪數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)有數(shù)學(xué)愛好者統(tǒng)計(jì)了1000名玩家進(jìn)行該抽球游戲的數(shù)據(jù)，記表示成功時(shí)抽球游戲的輪數(shù)，表示對應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：1234523294574423經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，非線性回歸模型的擬合效果優(yōu)于線性回歸模型，求出關(guān)于的非線性回歸方程，并頂測第7輪成功的人數(shù)（精確到1）；(3)證明：（其中且）.附：回歸方程系數(shù)：；參考數(shù)據(jù)：設(shè)，.19．在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的差（前項(xiàng)減后項(xiàng)），形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“差擴(kuò)充”.如數(shù)列1，2第1次“差擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，1，2，第2次“差擴(kuò)充”后得到的數(shù)列.設(shè)數(shù)列經(jīng)過第次“差擴(kuò)充"后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，所有項(xiàng)的和為.(1)若，求；(2)設(shè)滿足的的最小值為，求出的值并求出關(guān)于的表達(dá)式（其中x是指不超過的最大整數(shù)，如）；(3)若，設(shè)，在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請說明理由.

參考答案1．【答案】D【分析】利用交集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選D.2．【答案】A【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題.【詳解】命題“”為全稱命題，其否定為：.故選A.3．【答案】D【分析】直接由二項(xiàng)分布的方差公式以及方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，則.故選D.4．【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由，即，解得，所以. 故選C.5．【答案】B【分析】令，則，即可判斷為奇函數(shù)，根據(jù)奇偶性計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋疃x域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，又因?yàn)椋?，所以，則，所以.故選B.6．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，利用作差法比較大小.【詳解】由題意可知：，則，因?yàn)椋瑒t，可得，即.故選B.7．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及全概率公式即可求解.【詳解】設(shè)“小明騎自行車去上學(xué)”為事件,“小明坐公交車去上學(xué)”為事件,“小明7:20之前到達(dá)學(xué)?！睘槭录瑒t,由全概率公式可得,即，解得，所以在他坐公交車的條件下，7:20之前到達(dá)學(xué)校的概率為.故選A.8．【答案】B【分析】依題意，恒成立，參變分離可得，恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，即可得解.【詳解】依題意，恒成立，即，恒成立，所以，恒成立，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，所以，即的取值范圍是.故選B.【思路導(dǎo)引】本題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得到，恒成立，再參變分離得到，恒成立.9．【答案】BCD【分析】利用基本不等式、單調(diào)性和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的最小值為，但當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的最大值為，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，的定義域?yàn)?，由，得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，故B正確；對于選項(xiàng)C，由在上單調(diào)遞增，得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故C正確；對于選項(xiàng)D，，由二次函數(shù)的性質(zhì)知的對稱軸為，開口向上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故D正確.故選BCD.10．【答案】BC【分析】對于A項(xiàng)，由等差數(shù)列求和公式結(jié)合已知即可驗(yàn)算；對于B項(xiàng)，由等差數(shù)列求和公式結(jié)合即可驗(yàn)算；對于C、D項(xiàng)，由等差數(shù)列性質(zhì)即可驗(yàn)算.【詳解】對于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，，故B正確；對于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即，故D錯(cuò)誤.故選BC.11．【答案】ACD【分析】利用抽象函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算判斷函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)2,0對稱，所以B錯(cuò)誤；的圖象關(guān)于對稱，所以是周期函數(shù)，4是一個(gè)周期，判斷A正確；因?yàn)椋?，判斷C正確；因?yàn)?，所以分類討論為奇?shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，即可求出，判斷D正確；【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以的圖象關(guān)于中心對稱，兩邊求導(dǎo)得：，所以的圖象關(guān)于對稱，因?yàn)?，所以；所以，又，所以，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)2,0對稱，所以B錯(cuò)誤；的圖象關(guān)于對稱，所以，即，又，所以，即，所以，所以是周期函數(shù)，且4是一個(gè)周期，又因?yàn)?，所以是周期函?shù)，且4是一個(gè)周期，所以A正確；為奇函數(shù)，所以過，所以，令代入，可得，所以，所以C正確；因?yàn)椋詾槠鏀?shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，，所以，所以D正確；故選ACD.【思路導(dǎo)引】1.若，則關(guān)于對稱，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：，則f'x關(guān)于中心對稱；2.若，則關(guān)于中心對稱，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：，則f'x關(guān)于對稱；3.若，則為周期函數(shù)且周期為.12．【答案】.【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的加法法則即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.13．【答案】.【分析】利用正態(tài)曲線的特點(diǎn)即可求解.【詳解】由題意可知，正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，又因?yàn)?，所以，解?故答案為：.14．【答案】.【分析】首先求得，，而原不等式等價(jià)于，可以利用不等式放縮即可求解.【詳解】，因?yàn)閳D象的對稱中心點(diǎn)為，所以，所以，由，所以，原不等式為，因?yàn)閤∈1,+∞，所以設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以其最小值為，所以.故答案為：.【思路導(dǎo)引】關(guān)鍵是得到恒成立，結(jié)合切線放縮不等式即可順利得解.15．【答案】(1)；(2)極大值為，極小值為.【分析】（1）利用切點(diǎn)既在曲線上又在切線上及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，斜率,所以.（2）由（1）知，，可得，所以，令，則，解得或，當(dāng)或時(shí)，f'x>0當(dāng)時(shí)，f'x所以在和上單調(diào)遞增，在?2,3上單調(diào)遞減，從而可知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為.所以函數(shù)的極大值為，極小值為.16．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）利用組合數(shù)及古典概型的概率計(jì)算公式即可求解；（2）根據(jù)已知條件，求出隨機(jī)變量的可能取值，然后利用組合數(shù)及古典概型的概率計(jì)算公式求出不同取值的概率，進(jìn)而得出分布列，再利用隨機(jī)變量的期望公式即可求解.【詳解】（1）記“取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”為事件，所以.（2）由題意可知，的可取值為,所以，，，所以的分布列為：123所以.17．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)求出和的關(guān)系，據(jù)此即可求解；（2）設(shè)bn的前項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，求出和即可求解.【詳解】（1）因?yàn)棰伲瑫r(shí)，②，①-②整理得，因?yàn)閿?shù)列an是正項(xiàng)數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以?shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以；（2）由題意知，設(shè)bn的前項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，則，，所以.18．【答案】(1)分布列見解析，；(2)，8；(3)證明見解析.【分析】（1）寫出的可能取值，求出各取值的概率，寫出分布列即可求出數(shù)學(xué)期望；（2）令，則，根據(jù)線性回歸方程公式求出方程即可頂測第7輪成功的人數(shù)；（3）求出在前輪內(nèi)（包括第輪）成功的概率，求出前輪內(nèi)（包括第輪）均沒有成功的概率，據(jù)此即可求解.【詳解】（1）由題知，的取值可能為，所以，，，所以的分布列為：123所以數(shù)學(xué)期望為；（2）令，則，由題知：，所以，所以，所以所求的回歸方程為：，所以估計(jì)時(shí)，；（3）由題知，當(dāng)且時(shí)，在前輪內(nèi)（包括第輪）成功的概率為，在前輪內(nèi)（包括第輪）均沒有成功的概率為，所以.19．【答案】(1)9，19；(2)，；(3)不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)“差擴(kuò)充”的定義可寫出數(shù)列兩次擴(kuò)充后的結(jié)果，即得答案.（2）根據(jù)數(shù)列擴(kuò)充后增加的項(xiàng)數(shù)可推出，構(gòu)造等比數(shù)列求出，由即可求出的值，可得，方法一，可寫出三次擴(kuò)充的結(jié)果求得答案；方法二，根據(jù)擴(kuò)充規(guī)律可得到是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，求出的表達(dá)式，可得答案；（3）結(jié)合（2）可得，從而推出，假設(shè)在數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列性質(zhì)推出矛盾，即可得結(jié)論.【詳解】（1）數(shù)列，經(jīng)第1次“差擴(kuò)充”后得到數(shù)列為，數(shù)列6，5，4，經(jīng)第2次“差擴(kuò)充”后得到數(shù)列為，所以，；（2）數(shù)列經(jīng)每1次“差擴(kuò)充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，由數(shù)列經(jīng)第次“差擴(kuò)充”后的項(xiàng)數(shù)為，則經(jīng)第次“差擴(kuò)充”后增加的項(xiàng)數(shù)為，所以，所以，由（1）得是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，由，即，解得，即，所以，求法一：數(shù)列經(jīng)過第1次“差擴(kuò)充”后得到數(shù)列，經(jīng)過第2次“差擴(kuò)充”后得到數(shù)列，經(jīng)過第3次“差擴(kuò)充”后得到數(shù)列，，即；求法二：數(shù)