福建省福州市八縣市聯(lián)盟校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．5 B．3 C．10 D．5或32．年福清市元宵晚會(huì)共有個(gè)語(yǔ)言類(lèi)節(jié)目，個(gè)雜技魔術(shù)類(lèi)節(jié)目，個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目，假設(shè)從中依次不放回地隨機(jī)抽取兩個(gè)節(jié)目參加福州市元宵晚會(huì)，求第一次抽到雜技魔術(shù)類(lèi)節(jié)目的條件下，第二次抽到語(yǔ)言類(lèi)節(jié)目的概率為（

）A． B． C． D．3．函數(shù)在處可導(dǎo)，若，則（

）A．1 B． C． D．4．離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．5．近幾年，網(wǎng)購(gòu)已逐漸成為透視消費(fèi)市場(chǎng)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一扇窗戶(hù).小米直播間共有位主播（男女），現(xiàn)需安排兩人分別擔(dān)任“主推官”和“推薦官”，要求：主推官和推薦官必須由不同性別的主播擔(dān)任，且小李（男）和小紅（女）至少有一人被選中，則不同的安排方案有（

）A． B． C． D．6．定義的實(shí)數(shù)根叫函數(shù)的“躺平點(diǎn)”．若函數(shù)，，的“躺平點(diǎn)”分別為，則大小為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在上的最大值為，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．8．隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，AI的出現(xiàn)為人們提供了很大的便利.某企業(yè)員工小唐撰寫(xiě)報(bào)告選擇文心一言、豆包、DeepSeek的概率均為，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出錯(cuò)的概率分別為、、，結(jié)果今天他的報(bào)告有誤，在此條件下，他選擇文心一言寫(xiě)報(bào)告的概率為（

）A． B． C． D．9．已知二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則（

）A． B．C．展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)為 D．展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為二、多選題10．隨機(jī)變量分布列如下表，下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C． D．11．函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．三、填空題12．已知函數(shù)，，若，則．13．某?！靶腔稹迸c“沖鋒”兩支排球隊(duì)采用五局三勝制比賽，“星火”隊(duì)獲勝的概率為0.4，且每輪比賽都分出勝負(fù)，則“星火”隊(duì)不超過(guò)四局獲勝的概率為．14．某市青少年機(jī)器人編程大賽進(jìn)入決賽階段，共有10支隊(duì)伍參賽，其中4支隊(duì)伍由女生主導(dǎo)（記為F組），6支隊(duì)伍由男生主導(dǎo)（記為M組）．組委會(huì)通過(guò)隨機(jī)抽簽決定決賽展示順序．設(shè)事件A為“第1個(gè)進(jìn)行展示的隊(duì)伍來(lái)自F組”，事件B為“第2個(gè)進(jìn)行展示的隊(duì)伍來(lái)自F組”．則，．四、解答題15．在的展開(kāi)式中，求．（1）含項(xiàng)的系數(shù)；（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．16．某社區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100名居民的每日睡眠時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)），得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求該100名居民的每日睡眠時(shí)長(zhǎng)的第50百分位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（2）為進(jìn)一步調(diào)查睡眠質(zhì)量，采用分層抽樣從每日睡眠時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)的居民中抽取10人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到每日睡眠時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)的調(diào)查人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．17．設(shè)曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與軸交于點(diǎn).（1）求的值；（2）求函數(shù)的極值．18．甲參加一檔電視知識(shí)競(jìng)賽節(jié)目，該節(jié)目采用三輪兩勝制．在每輪比賽中，甲需要回答一個(gè)知識(shí)問(wèn)題，回答正確的概率為，回答錯(cuò)誤的概率為，每輪比賽的結(jié)果是獨(dú)立的，即每輪比賽甲回答正確的概率不受其他輪次結(jié)果的影響．（1）當(dāng)時(shí)，求甲最終獲勝的概率；（2）為了增加比賽的趣味性，節(jié)目組設(shè)置兩種積分獎(jiǎng)勵(lì)方案．方案一：最終獲勝者得5分，失敗者得2分；方案二：最終獲勝者得3分，失敗者得0分.請(qǐng)討論選擇哪種方案，使得甲獲得積分的數(shù)學(xué)期望更大．19．在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，若某曲線(xiàn)在內(nèi)具有“單側(cè)光反射”特性（即存在一條基準(zhǔn)線(xiàn)，曲線(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)始終上升，并且與基準(zhǔn)線(xiàn)在某一點(diǎn)處相切），則稱(chēng)該曲線(xiàn)為“光潔曲線(xiàn)”.曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為“光潔函數(shù)”，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)稱(chēng)為“超光潔函數(shù)”．（1）若是“超光潔函數(shù)”，求的取值范圍；（2）已知光潔曲線(xiàn)的一條基準(zhǔn)線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，求的方程；（3）若，，，.證明：.（可用結(jié)論：當(dāng)時(shí)，）

參考答案1．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以或，所以故選A.2．【答案】D【詳解】設(shè)事件第一次抽到雜技魔術(shù)類(lèi)節(jié)目為，事件第二次抽到語(yǔ)言類(lèi)節(jié)目為，則，，則第一次抽到雜技魔術(shù)類(lèi)節(jié)目的條件下，第二次抽到語(yǔ)言類(lèi)節(jié)目的概率，故選D.3．【答案】B【詳解】，故，由導(dǎo)數(shù)的定義可知，.故選B4．【答案】B【詳解】由題知，解得，所以，又，故選B.5．【答案】C【詳解】分三種情況討論：小李（男）被選中，小紅（女）沒(méi)被選中，則需在另外名女主播中再選擇一人，此時(shí)，不同的安排方案種數(shù)為種；小李（男）沒(méi)被選中，小紅（女）被選中，則需在另外名男主播中再選擇一人，此時(shí)，不同的安排方案種數(shù)為種；小李（男）和小紅（女）都被選中，此時(shí)不同的安排方案種數(shù)為種.綜上所述，不同的安排方案種數(shù)為種.故選C.6．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，令可得，所以，所以是函?shù)的“躺平點(diǎn)”，故，因?yàn)?，所以，令可得，所以，所以是函?shù)的“躺平點(diǎn)”，故，因?yàn)?，所以，令可得，設(shè)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其零點(diǎn)為，則，所以方程的解集為，所以是函數(shù)的“躺平點(diǎn)”，即，，，且，所以，故選C.7．【答案】D【詳解】由可得，函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，，若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，的最大值為，不符合題意；若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在上的最大值為，可得，所以，又，所以；若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最大值為，滿(mǎn)足條件，所以時(shí)，函數(shù)在上的最大值為.綜上所述，的范圍是.故選D.8．【答案】C【詳解】設(shè)事件為選擇文心一言，事件為選擇豆包，事件為選擇DeepSeek，事件為報(bào)告有誤，，，，，所有，.故選C9．【答案】AC【詳解】展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和，得，故A正確；故B錯(cuò)誤；由二項(xiàng)式，常數(shù)項(xiàng)為，故C正確；令，展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤；故選AC．10．【答案】BCD【詳解】由已知結(jié)合分布列的性質(zhì)可得，，，，B正確，當(dāng)，，，時(shí)，，所以所以，即，A錯(cuò)誤；，所以，所以，當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，C正確；，又，所以，故，D正確；故選BCD.11．【答案】ACD【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得或；由，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，由函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值可以是，ACD是，B不是.故選ACD12．【答案】【詳解】對(duì)求導(dǎo)，因?yàn)槭浅?shù)，所以.將代入，可得.已知，即，那么.因?yàn)?，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)滿(mǎn)足的的值為.13．【答案】0.1792【詳解】計(jì)算“星火”隊(duì)三局獲勝的概率：“星火”隊(duì)三局獲勝，即前三局“星火”隊(duì)都獲勝.因?yàn)槊枯啽荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，且“星火”隊(duì)每局獲勝的概率為0.4，根據(jù)獨(dú)立事件概率的乘法公式，可得“星火”隊(duì)三局獲勝的概率為：計(jì)算“星火”隊(duì)四局獲勝的概率：“星火”隊(duì)四局獲勝，意味著前三局“星火”隊(duì)勝局，第四局“星火”隊(duì)獲勝.從三局中選兩局“星火”隊(duì)獲勝的組合數(shù)為，前三局“星火”隊(duì)勝局的概率為，第四局“星火”隊(duì)獲勝的概率為0.4，根據(jù)獨(dú)立事件概率的乘法公式，可得“星火”隊(duì)四局獲勝的概率為：計(jì)算“星火”隊(duì)不超過(guò)四局獲勝的概率：“星火”隊(duì)三局獲勝與四局獲勝這兩個(gè)事件是互斥事件，根據(jù)互斥事件概率的加法公式，可得“星火”隊(duì)不超過(guò)四局獲勝的概率為：.14．【答案】/【詳解】由題意可得事件B可以分為兩種情況，即第一個(gè)進(jìn)行展示的隊(duì)伍來(lái)自組和第一個(gè)進(jìn)行展示的隊(duì)伍來(lái)自組，所以；，，所以.15．【答案】（1）60（2）【詳解】（1）由題知展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，令，解得，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為60.（2）令，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上所述，展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)分別為16．【答案】（1）（小時(shí)）（2）分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）由題意得所以所以該100名居民的每日睡眠時(shí)長(zhǎng)的第50百分位數(shù)：法1：因?yàn)椋核?0%分位數(shù)一定位于內(nèi)，由（小時(shí)），法2：由題意得所以所以該100名居民的每日睡眠時(shí)長(zhǎng)的第50百分位數(shù)：設(shè)第50百分位數(shù)為x，則，解得（2）每日睡眠時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)居民人數(shù)的頻率分別為，所以采用分層抽樣從每日睡眠時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)的居民中抽取10人中每日睡眠時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)居民人數(shù)分別為，即人數(shù)分別為2，4，4，所以X可取0，1，2，3，，，，所以X的分布列為X0123P數(shù)學(xué)期望17．【答案】（1）（2）的極大值為，極小值為【詳解】（1）由，得令，則所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為∵點(diǎn)在切線(xiàn)上，可得解得.（2）由（1）知且的定義域?yàn)?，則令解得則、、的變化情況如下：?jiǎn)握{(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以的極大值為，的極小值為.18．【答案】（1）（2）方案一【詳解】（1）記“甲最終以獲勝”為事件，記“甲最終以獲勝”為事件，“甲最終獲勝”為事件于是，與為互斥事件，由于，則，即甲最終獲勝的概率為.（2）由（1）可知，若選用方案一，記甲最終獲得積分為分，則可取則的分布列為：5則若選用方案二，記甲最終獲得積分為分，則可取3，0則的分布列為：30則所以答：方案一始終更優(yōu)19．【答案】（1）（2）或（3）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）方法一：設(shè)，則，由題意可知恒成立，故在上恒成立，即在上恒成立，故，解得，方法二：設(shè)，則，由題意可知恒成立，故在上恒成立，即，在上恒成立，，（2）方法一：設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，因?yàn)?，則，設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，因?yàn)?，則，因此有，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，的方程為，當(dāng)時(shí)，的方程為，方法二：設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，則，，設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，則，，所以，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，的方程為，當(dāng)時(shí)，的方程為，（3）方法一：設(shè)，則，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且