2025年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試(數(shù)學(xué)二)試卷解析

一、選擇題:1~10小題,每小題5分,共50分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)符合題目要求的,請將所選項(xiàng)前的字母填在答·題·紙·指定位置上.

2

一t

(1)設(shè)函數(shù)由z+lnz一xedt=0確定,則)

(A)(B)

(C)一(D)一

【答案】(A)

2

一x

【解析】原式兩邊對x求導(dǎo)得一e=0

2

一y

原式兩邊對y求導(dǎo)得+e=0,

兩式相加得

22

tt2

(2)已知函數(shù)esinedt.sinx,則

(A)x=0是f(x)的極值點(diǎn),也是g(x)的極值點(diǎn)

(B)x=0是f(x)的極值點(diǎn),(0,0)是曲線y=g(x)的拐點(diǎn)

(C)x=0是f(x)的極值點(diǎn),(0,0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)

(D)(0,0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn),也是曲線y=g(x)的拐點(diǎn)

【答案】(B)

【解析】

1

222

xxx

fI(x)=esinx,fII(x)=e2xsinx+ecosx

2x2

Ix2t

g(x)=esinx+edt.2sinxcosx

2222

IIx2xxt

g(x)=e2xsinx+e2sinxcosx+e2sinxcosx+edt2cos2x

fI(0)=0,fII(0)=1>0→x=0為f(x)的極值點(diǎn),但不是拐點(diǎn)

gI(0)=0,gII(0)=0

II

2222

x2x2xx

gIII(x)=2esinx+x(2esinx)+4cos2xe+2sin2x(e)

gIII(0)=6>0→x=0為g(x)的拐點(diǎn)

(3)如果對微分方程yII一2ayI+(a+2)y=0的任意解y(x),反常積分

均收斂,那么a的取值范圍是()

(A)(一2,一1](B)(一∞,一1]

(C)(一2,0)(D)(一∞,0)

【答案】(C)

【解析】特征根方程為r2一2ar+(a+2)=0

收斂可知r<0,則=一

故一2<a<0

(4)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在x=0的某去心鄰域內(nèi)有定義且不恒為零,若當(dāng)x→0

時(shí),f(x)是g(x)的高階無窮小,則當(dāng)x→0時(shí),()

(A)f(x)+g(x)=。(g(x))(B)f(x)g(x)=。(f2(x))

2

(C)f(x)=。(eg(x)—1)(D)f(x)=。(g2(x))

【答案】(C)

選項(xiàng)=0+1=1

選項(xiàng)

選項(xiàng)

選項(xiàng)是未定式

()設(shè)函數(shù)f(x,y)連續(xù),則dx—xf(x,y)dy=()

52

2

【答案】(A)

【解析】如圖:

3

(6)設(shè)單位質(zhì)點(diǎn)P,Q分別位于點(diǎn)(0,0)和(0,1)處,P從點(diǎn)(0,0)出發(fā)沿x軸正向

移動,設(shè)G為引力常量則當(dāng)質(zhì)點(diǎn)P移動到點(diǎn)(l,0)時(shí),克服質(zhì)點(diǎn)Q的引力所做的功

為()

(A)(B)

(C)(D)

【答案】(B)

(7)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),給出下列四個(gè)條件

存在;存在

存在;存在;

其中能得到“f(x)在x=0處可導(dǎo)”的條件個(gè)數(shù)是()

(A)1(B)2(C)3(D)4

【答案】(D)

存在,則分子極限為零;

連續(xù),則l|=|f

進(jìn)而,|f(0)|=f(0),故f(0)≥0

當(dāng)f(0)>0時(shí),則存在x=0的某鄰域有f(x)>0,則

4

存在,即f在x=0處可導(dǎo);

當(dāng)=0時(shí),設(shè)l則有=|A|

故-A=A=0,進(jìn)而有即導(dǎo)數(shù)為零,故○1正確

存在,又f連續(xù),故f(0)=if(0)i≥0

極限存在可導(dǎo),故○2正確

存在設(shè)為A,則有l(wèi)=|A|極限存在

故A=-A=0,進(jìn)而l=0可導(dǎo),故正確

○4當(dāng)f(0)>0時(shí),與○1一樣,

當(dāng)f(0)=0時(shí),與○3一樣

當(dāng)f(0)<0時(shí),在x=0的某鄰域有f(0)<0

與已知極限差個(gè)負(fù)號,

故極限存在,可導(dǎo)○4正確,綜上,選(D)

(8)設(shè)矩陣有一個(gè)正特征值和兩個(gè)負(fù)特征值,則

5

(A)a>4,b>0(B)a<4,b>0(C)a>4,b<0(D)

a<4,b<0

【答案】(D)

【解析】由題意,

則a>4,b>0,或a<4,b<0

由于2有兩個(gè)異號的根,進(jìn)而,故

、-(a-1)、-4=0b<0a<4,b<0

(9)下列矩陣中,可以經(jīng)過若干初等行變換得到矩陣的是

(A)(B)

(C)(D)

【答案】(B)

6

選項(xiàng),→

(10)設(shè)3階矩陣A,B滿足r(AB)=r(BA)+1,則

(A)方程組(A+B)x=0只有零解

(B)方程組Ax=0與方程組bx=0均只有零解

(C)方程組Ax=0與方程組bx=0沒有公共非零解

(D)方程組ABAx=0與方程組BABx=0有公共非零解

【答案】(D)

【解析】

令,,則,

滿足r(AB)=r(BA)+1,則(A+B)x=0有非零解,故A錯;

由Ax=0與Bx=0均有非零解,故B錯;由Ax=0與Bx=0同解,故C錯;故選

D.

設(shè)dx=ln2,則a=_______.

【答案】2

【解析】

7

所以

解得a=2或a=-6若a=-6則發(fā)散舍去,綜上a=2

曲線y=的漸近線方程是.

【答案】y=x-1

【解析】

limy=∞

x→∞無水平漸近線

x→∞x

=-1

8

所以有斜漸近線y=x—1

=_______.

【答案】—

【解析】

(14)已知函數(shù)由確定,則=_______.

=0t=0

【答案】e

【解析】

t=0代入方程得y=1

—

2—e=y1

0代入t=0,=得t=0=2e

9

(15)微分方程(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0滿足條件y(1)=1的解為_______.

【答案】5y2-4xy+3x2=4

【解析】

令=u帶入得u+x化簡為

22

兩邊同時(shí)取積分得5y-4xy+3x=C,將y(1)=1帶入解得C=4

則解為5y2-4xy+3x2=4

(16)設(shè)矩陣A=(。1,。2,。3,。4),若。1,。2,。3線性為無關(guān),且。1+。2=。3+。4,

則方程組Ax=。1+4。4的通解x=.

【答案】

【解析】

。=。+。-。

4123

r(。1,。2,。3,。4)=r(。1,。2,。3)=3=r(A)

Ax=0的基礎(chǔ)解系中有1個(gè)線性無關(guān)的解向量

T

(1,1,-1,-1)為Ax=0的解

T

(1,0,0,4)為Ax=。1+4。4的解

10

則通解為

(17)(本題滿分10分)

【答案】ln2+

【解析】

由于

則→.

11

(18)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù),且

=-3,證明f在x=0處可導(dǎo),并求fI(0)

【答案】fI(0)=5

【解析】

12

x→0-x

因?yàn)?/p>

x→0x

所以即f(x)在x=0處可導(dǎo)且fI(0)=5

(19)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x,y)可微且滿足

-y-y2

df(x,y)=-2xedx+e(x-y-1)dy,f(0,0)=2,求f(x,y),并求f(x,y)的

極值.

--

【答案】f(x,y)=-x2ey+(y+2)ey;f(0,-1)為極大值

13

'-y'-y2

由題意知:fx(x,y)=-2xe,fy(x,y)=e(x-y-1),

故

-y2-y'2-y-y2

f(x,y)=-2xedx=-xe+C(y)→f(x,y)=xe+C,(y)=e(x-y-1),

∫y

-y-y2-y-y

C,(y)=-(y+1)e→C(y)=(y+2)e+C→f(x,y)=-xe+(y+2)e+C

2-y-y

因?yàn)閒(0,0)=2→C=0→f(x,y)=-xe+(y+2)e

故極大值為f(0,-1)=e.

2222

(20)(本題滿分12分)已知平面有界區(qū)域D={(x,y)x+y≤4x,x+y≤4y},

2

計(jì)算二重積分dxdy

【答案】12τ-

【解析】

14

(21)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)可導(dǎo),證明導(dǎo)函數(shù)f,(x)在(a,b)

內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增的充分必要條件是:對(a,b)內(nèi)任意x1,x2,x3,當(dāng)x1<x2<x3時(shí),有

【答案】略

【解析】證明:(1)必要性

15

由于f'(x)在(a,b)上單增,且ξ1<