3.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用1、實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.

在日常生活、生產(chǎn)和科研中,常常會(huì)遇到求函數(shù)的最大(小)值的問(wèn)題.建立目標(biāo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值是求解這類問(wèn)題常見(jiàn)的解題思路.

在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí),一定要注意確定函數(shù)的定義域.

在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使的情形,如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道這就是最大(小)值.這里所說(shuō)的也適用于開區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間.滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)”.3、求最大（最?。┲祽?yīng)用題的一般方法(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步。(2)確定函數(shù)定義域，并求出極值點(diǎn)。(3)比較各極值與定義域端點(diǎn)函數(shù)的大小，結(jié)合實(shí)際，確定最值或最值點(diǎn)。2、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的表現(xiàn)形式，常常不是以純數(shù)學(xué)模式反映出來(lái)。首先，通過(guò)審題，認(rèn)識(shí)問(wèn)題的背景，抽象出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。其次，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,將應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,再解。6060解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm，箱子容積為V=x2h例1在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？則箱高xxV′=60x－3x2/2令V′=0，得x=40,x=0(舍去)得V(40)=16000答：當(dāng)箱底邊長(zhǎng)為x=40時(shí),箱子容積最大，最大值為16000cm3

在實(shí)際問(wèn)題中，如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)x0

使f

′(x0)=0,而且從實(shí)際問(wèn)題本身又可以知道函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)比較，f(x0)就是所求的最大值或最小值.(所說(shuō)區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間)hR例2.要生產(chǎn)一批帶蓋的圓柱形鐵桶，要求每個(gè)鐵桶的容積為定值V，怎樣設(shè)計(jì)桶的底面半徑才能使材料最省？此時(shí)高與底面半徑比為多少？解:設(shè)桶底面半徑為R,因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值,所以它是最小值。答：當(dāng)罐高與底的直徑想等時(shí)，所用材料最省。例3.已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q,價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為求產(chǎn)量q為何值時(shí),利潤(rùn)L最大。分析:利潤(rùn)L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格.由此可得出利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式,再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn).求得唯一的極值點(diǎn)因?yàn)長(zhǎng)只有一個(gè)極值點(diǎn),所以它是最大值.答:產(chǎn)量為84時(shí),利潤(rùn)L最大.xy練習(xí)1:如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD,求這個(gè)矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0<x<2),則

A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當(dāng)時(shí),因此當(dāng)點(diǎn)B為時(shí),矩形的最大面積是2、一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比。已知在速度為10km/h時(shí)，燃料費(fèi)是6元/h。而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用為96元/h。問(wèn)以何種速度航行時(shí)。能使行駛每公里的費(fèi)用總和最少？3、如圖,鐵路線上AB段長(zhǎng)

100km,工廠C到鐵路的距離CA=20km.現(xiàn)在要在AB上某一處D,向C修一條公路.已知鐵路每噸千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3:5.為了使原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,D應(yīng)修在何處?BDAC解:設(shè)DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為3t元,則公路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為5t元.這樣,每噸原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的總運(yùn)費(fèi)為令,在的范圍內(nèi)有唯一解x=15.所以,當(dāng)x=15(km),即D點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米時(shí),總運(yùn)費(fèi)最省.注:可以進(jìn)一步討論,當(dāng)AB的距離大于15千米時(shí),要找的最優(yōu)點(diǎn)總在距A點(diǎn)15千米的D點(diǎn)處;當(dāng)AB之間的距離不超過(guò)15千米時(shí),所選D點(diǎn)與B點(diǎn)重合.練習(xí)4:已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求內(nèi)接于這個(gè)圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn).答:設(shè)圓柱底面半徑為r,可得r=R(H-h)/H.易得當(dāng)h=H/3

時(shí),圓柱體的體積最大.例4.如圖，扇形AOB中，半徑0A=1，∠AOB=900，在OA的延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)C，過(guò)C作CD與弧AB相切于點(diǎn)E，且與過(guò)點(diǎn)B所作的OB的垂線交于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)，直角梯形OCDB的面積最?。縊BDECA注：在實(shí)際問(wèn)題中，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使y’=0,如果函數(shù)在這點(diǎn)有極值，那么不與端點(diǎn)比較，就可確定這個(gè)點(diǎn)就是最值。教材例3：在如圖所示的電路中，已知電源的內(nèi)阻為r，電動(dòng)勢(shì)為ε，外電阻R為多大時(shí)，才能使電功率最大？最大電功率是多少？Rr

ε教材例4.強(qiáng)度分別為a,b的兩個(gè)光源A,B,他們間的距離為d，試問(wèn)：在連接這兩個(gè)光源的線段AB上，何處照度最小？試就a=8,b=1,d=3時(shí)回答上述問(wèn)題（照度與光的強(qiáng)度成正比，與光源距離的平方成反比）教材例5：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù),記為C(x),出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù),記為R(x),R(x)-C(x)稱為利潤(rùn)函數(shù),記為P(x).(1)如果,那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí),邊際成本C/(x)最低?(2)如果,產(chǎn)品的單價(jià)那么怎樣定價(jià)可使利潤(rùn)最大?變式：已知某商品