PAGEPAGE142.2.1用樣本的頻率分布估計總體的分布(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解頻率分布折線圖和總體密度曲線的定義.2.理解莖葉圖的概念，會畫莖葉圖.3.了解頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖的各自特征，學(xué)會選擇不同的方法分析樣本的分布，從而作出總體估計．學(xué)問點一頻率分布折線圖和總體密度曲線1．頻率分布折線圖用線段連接頻率分布直方圖中各個長方形上邊的中點，就得到頻率分布折線圖．2．總體密度曲線在樣本頻率分布直方圖中，隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布直方圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線，它精確地反映了一個總體在各個區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律．學(xué)問點二莖葉圖思索莖葉圖是表示樣本數(shù)據(jù)分布狀況的一種方法，那么“莖”、“葉”分別指的是哪些數(shù)？答案莖葉圖中，“葉”是數(shù)據(jù)的最終一個數(shù)字，其前面的數(shù)字作為“莖”．梳理莖葉圖(1)將全部兩位數(shù)的十位數(shù)字作為莖，個位數(shù)字作為葉，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的依次從上向下列出，共莖的葉可以按從大到小(或從小到大)的依次同行列出(也可以沒有大小依次)．(2)莖葉圖的優(yōu)點與不足①優(yōu)點：一是原始數(shù)據(jù)信息在圖中能夠保留，全部數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，便利記錄與表示．②不足：當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時，莖葉圖就顯得不太便利．1．頻率分布折線圖就是總體密度曲線．(×)2．對于兩位數(shù)的莖葉圖，中間的數(shù)字表示十位數(shù)，旁邊的數(shù)字表示個位數(shù)．(√)3．對于三位數(shù)的莖葉圖，中間的數(shù)字表示百位數(shù)，旁邊的數(shù)字表示十位和個位數(shù)．(×)題型一莖葉圖及應(yīng)用eq\x(命題角度1莖葉圖的繪制)例1某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個優(yōu)良品種B進(jìn)行比照試驗．兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：品種B：(1)畫出莖葉圖；(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點？(3)通過視察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，得出統(tǒng)計結(jié)論．解(1)莖葉圖如圖．(2)樣本容量不大，畫莖葉圖很便利，此時莖葉圖不僅清楚明白地展示了數(shù)據(jù)的分布狀況，便于比較，沒有任何信息丟失，而且還可以隨時記錄新的數(shù)據(jù)．(3)通過視察莖葉圖可以看出：①品種A畝產(chǎn)量的平均數(shù)比品種B畝產(chǎn)量的平均數(shù)大；②品種A的畝產(chǎn)量波動比品種B的畝產(chǎn)量波動大，故品種A的畝產(chǎn)量穩(wěn)定性較差．反思與感悟由于莖葉圖較好地保留了原始數(shù)據(jù)，所以可以幫助我們分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布．在利用莖葉圖分析數(shù)據(jù)特點時，要留意區(qū)分莖與葉．

跟蹤訓(xùn)練1某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場競賽的得分狀況如下：甲運動員得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；乙運動員得分：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.試制作莖葉圖來對比描述這些數(shù)據(jù)．解以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉，制作莖葉圖如圖：eq\x(命題角度2莖葉圖的應(yīng)用)例2某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿足度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿足度評分如下：A地區(qū)：62738192958574645376

78869566977888827689B地區(qū)：73836251914653736482

93486581745654766579依據(jù)兩組數(shù)據(jù)作出兩地區(qū)用戶滿足度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿足度評分的平均值及分散程度(不要求計算出詳細(xì)值，給出結(jié)論即可)．解兩地區(qū)用戶滿足度評分的莖葉圖如圖：通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿足度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿足度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿足度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿足度評分比較分散．反思與感悟莖葉圖可保留原始數(shù)據(jù)，還可以通過葉的疏密情形，得到樣本數(shù)據(jù)的分布離散情形．跟蹤訓(xùn)練2一家連鎖超市擁有多個分店，為分析各個分店的銷售狀況，管理部門收集了A，B兩個規(guī)模相近的分店50天的銷售額數(shù)據(jù)(單位：萬元)：A分店：4457596061616263636566666769707071727373737474747575757575767677777778787980808285858686909292929396B分店：3539404444485152525455565657575758596061616263646668687070717173747479818283838485909191949596100100100(1)將兩個分店的銷售額制成莖葉圖；(2)比較兩個分店銷售額分布的特點．解(1)莖葉圖如圖所示：(2)由莖葉圖可以看出A分店銷售額的分布比較勻稱，平均銷售額是74.38萬元，B分店的銷售額分布不太勻稱，其平均銷售額是68.48萬元，因此A分店的銷售狀況比B分店的好．題型二莖葉圖與頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用例3從甲、乙兩個城市全部的自動售貨機中隨機抽取16臺，記錄了上午8∶00～11∶00之間各自的銷售狀況(單位：元)：甲：18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41；乙：22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.試用縱坐標(biāo)為頻數(shù)的頻數(shù)分布直方圖與莖葉圖的方式分別表示上面的數(shù)據(jù)，并簡要說明各自的優(yōu)點．解用頻數(shù)分布直方圖表示如圖：莖葉圖如圖，兩豎線中間的數(shù)字表示甲、乙銷售額的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示甲、乙銷售額的個位數(shù)．從圖中可以看出頻數(shù)分布直方圖能直觀地反映數(shù)據(jù)分布的大致狀況，并且能夠清楚地表示出各個區(qū)間的詳細(xì)數(shù)目；而用莖葉圖表示有關(guān)數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來便利．反思與感悟莖葉圖由全部樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成，沒有損失任何樣本信息，可以在抽樣的過程中隨時記錄，但樣本容量較大，或者須要比較三組及三組以上的數(shù)據(jù)時，運用莖葉圖就不合適；而頻率分布表和頻率分布直方圖可以處理樣本容量很大的數(shù)據(jù)，但損失了樣本的原始數(shù)據(jù)，而且必需在完成抽樣后才能制作．跟蹤訓(xùn)練3某中學(xué)實行了一次“環(huán)保學(xué)問競賽”活動．為了了解本次競賽學(xué)生的成果狀況，從中抽取了部分學(xué)生的成果(得分取正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計．依據(jù)[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出了頻率分布直方圖，并作出了分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出得分在[50,60)，[90,100]的數(shù)據(jù))，如圖．則樣本容量n和頻率分布直方圖中x，y的值分別為()A．50,0.030,0.004 B．30,0.040,0.003C．30,0.030,0.040 D．50,0.300,0.400答案A解析由題意可知，樣本容量n＝eq\f(8,0.016×10)＝50，y＝eq\f(2,50×10)＝0.004，x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.1．假如想用統(tǒng)計圖來反映各數(shù)據(jù)的改變趨勢，比較合適的統(tǒng)計圖是()A．條形圖 B．折線圖C．扇形圖 D．其他圖形答案B解析能反映各數(shù)據(jù)的改變趨勢的統(tǒng)計圖是折線圖．2．在用樣本頻率分布估計總體分布的過程中，下列說法正確的是()A．總體容量越大，估計越精確B．總體容量越小，估計越精確C．樣本容量越大，估計越精確D．樣本容量越小，估計越精確答案C3.如圖是總體密度曲線，下列說法正確的是()A．組距越大，頻率分布折線圖越接近于它B．樣本容量越小，頻率分布折線圖越接近于它C．陰影部分的面積代表總體在(a，b)內(nèi)取值的百分比D．陰影部分的平均高度代表總體在(a，b)內(nèi)取值的百分比答案C4．對一個未知總體，下列方法：①頻率分布直方圖；②頻率分布表；③頻率分布折線圖；④莖葉圖；⑤總體密度曲線．其中可以用來表示樣本數(shù)據(jù)的頻率分布的有()A．2種 B．3種C．4種 D．5種答案C5．從甲、乙兩種玉米苗中各抽6株，分別測得它們的株高如圖所示(單位：cm)．依據(jù)數(shù)據(jù)估計()A．甲種玉米比乙種玉米不僅長得高而且長得整齊B．乙種玉米比甲種玉米不僅長得高而且長得整齊C．甲種玉米比乙種玉米長得高但長勢沒有乙整齊D．乙種玉米比甲種玉米長得高但長勢沒有甲整齊答案D解析由題中的莖葉圖可知，甲種玉米的株高集中在20cm段，乙種玉米的株高集中在30cm和40cm段，則甲種玉米的平均株高小于乙種玉米的平均株高，但乙種玉米的株高較分散，故選D.6．一個樣本的容量為72，分成5組，已知第一、五組的頻數(shù)都為8，其次、四組的頻率都為eq\f(2,9)，則第三組的頻數(shù)為()A．16B．20C．24D．36答案C解析因為頻率＝eq\f(頻數(shù),樣本容量)，所以其次、四組的頻數(shù)都為72×eq\f(2,9)＝16.所以第三組的頻數(shù)為72－2×8－2×16＝24.1．估計總體的分布分兩種狀況：當(dāng)總體中的個體取值很少時，用莖葉圖估計總體的分布；當(dāng)總體中的個體取值較多時，將樣本數(shù)據(jù)恰當(dāng)分組，用各組的頻率分布描述總體的分布，方法是用頻率分布表或頻率分布直方圖．2．莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布狀況的．一、選擇題1．當(dāng)樣本數(shù)據(jù)增加時，下列說法正確的是()A．頻率分布表不會改變B．莖葉圖不會改變C．頻率折線圖不會改變D．頻率分布直方圖改變不太大答案D2.如圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位：臺)的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22,30)內(nèi)的頻率為()A．0.2B．0.4C．0.5D．0.6答案B解析依據(jù)莖葉圖，在區(qū)間[22,30)內(nèi)頻數(shù)為4，樣本容量為10，故對應(yīng)的頻率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)＝0.4，故選B.

3．甲、乙兩名同學(xué)12次考試中數(shù)學(xué)成果的莖葉圖如圖所示，則下列說法正確的是()A．甲同學(xué)比乙同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成果也比乙同學(xué)高B．甲同學(xué)比乙同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，但平均成果比乙同學(xué)低C．乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成果也比甲同學(xué)高D．乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，但平均成果比甲同學(xué)低答案C解析由莖葉圖的性質(zhì)可知乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成果比甲同學(xué)高．4．某學(xué)校隨機抽取20個班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)驗的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]時，所作的頻率分布直方圖是()答案A解析由于頻率分布直方圖的組距為5，去掉C，D，又[0,5)，[5,10)兩組各一人，去掉B，應(yīng)選A.

5．如圖是甲、乙兩名運動員某賽季一些場次得分的莖葉圖，據(jù)圖可知()A．甲運動員的成果好于乙運動員B．乙運動員的成果好于甲運動員C．甲、乙兩名運動員的成果沒有明顯的差異D．甲運動員的最低得分為0分答案A解析從莖葉圖上看，由于甲運動員的成果多數(shù)集中在31以上，而乙運動員的成果集中在12到29之間，所以甲運動員成果較好．6．關(guān)于樣本頻率分布折線圖與總體密度曲線的關(guān)系，下列說法中正確的是()A．頻率分布折線圖與總體密度曲線無關(guān)B．頻率分布折線圖就是總體密度曲線C．樣本容量很大的頻率分布折線圖就是總體密度曲線D．假如樣本容量無限增大，分組的組距無限減小，那么頻率分布折線圖就會無限接近于總體密度曲線答案D解析總體密度曲線通常都是用樣本頻率分布估計出來的．假如樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布折線圖就會無限接近于一條光滑曲線，這條曲線就是總體密度曲線．7．給出如圖所示的三幅統(tǒng)計圖及四個命題：①從折線統(tǒng)計圖能看出世界人口的改變狀況；②2050年非洲人口將達(dá)到大約15億；③2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多；④從1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢．其中命題正確的有()A．①② B．①③C．①④ D．②④答案B解析①從折線統(tǒng)計圖能看出世界人口的改變狀況，故①正確；②從條形統(tǒng)計圖中可得：2050年非洲人口大約將達(dá)到18億，故②錯誤；③從扇形統(tǒng)計圖中能夠明顯地得到結(jié)論：2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故③正確；④由題中三幅統(tǒng)計圖并不能得出從1957年到2050年中哪個洲人口增長速度最慢，故④錯誤．因此正確的命題有①③.故選B.二、填空題8．從甲、乙兩個班中各隨機選出15名同學(xué)進(jìn)行隨堂測驗，成果的莖葉圖如圖所示，則甲、乙兩班的最高成果分別是______，______.從圖中看，________班的平均成果較高．答案9692乙解析由莖葉圖可知，甲班的最高分是96，乙班的最高分是92.甲班的成果集中在(60,80)內(nèi)，乙班的成果集中在(70,90)內(nèi)，故乙班的平均成果較高．9．為了了解一片經(jīng)濟林的生長狀況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100cm.答案24解析由頻率分布直方圖可得樹木底部周長小于100cm的頻率是(0.025＋0.015)×10＝0.4，又樣本容量是60，所以頻數(shù)是0.4×60＝24.10．隨機抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖．依據(jù)莖葉圖推斷________班的平均身高較高．答案乙解析由莖葉圖可知：甲班身高集中于160～179之間，而乙班身高集中于170～180之間．因此乙班平均身高高于甲班．11．為了了解某校老師運用多媒體進(jìn)行教學(xué)的狀況，采納簡潔隨機抽樣的方法，從該校200名授課老師中抽取20名老師，調(diào)查了他們上學(xué)期運用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù)，結(jié)果用莖葉圖(如圖)表示，據(jù)此可估計該校上學(xué)期200名老師中，運用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù)在[15,25)內(nèi)的人數(shù)為________．答案60解析由莖葉圖，知抽取的20名老師中運用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù)在[15,25)內(nèi)的人數(shù)為6，頻率為eq\f(6,20)，故200名老師中運用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù)在[15,25)內(nèi)的人數(shù)為eq\f(6,20)×200＝60.三、解答題12．某市對2024年11月5日—2025年12月4日的空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下(主要污染物為可吸入顆粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103，95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)完成頻率分布表；(2)作出頻率分布直方圖；(3)依據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0～50之間時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51～100之間時，為良；在101～150之間時，為稍微污染；在151～200之間時，為輕度污染．請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價．解