專題16.3二次根式的加減【八大題型】

【人教版】

【甩型1同類二次根式的判斷】...............................................................................1

【題型2求同類二次根式中的參數(shù)】.........................................................................3

【題型3二次根式的加減運(yùn)算】..............................................................................4

【題型4二次根式的混合運(yùn)算】...............................................................................6

【題型5已知字母的值化簡(jiǎn)求值】............................................................................7

【題型6已知條件式化簡(jiǎn)求值】...............................................................................9

【題型7二次根式的新定義運(yùn)算】...........................................................................11

【題型8二次根式的應(yīng)用】...................................................................................12

。協(xié)字，?三

【知識(shí)點(diǎn)1同類二次根式】

把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.

①同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng)；

②幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡(jiǎn)之前，被開方數(shù)完全可以互不相同；

③判斷兩個(gè)二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再看被開方數(shù)是否相同.

【題型1同類二次根式的判斷】

［例1］（2022春?西華縣期末）下列各組二次根式中，化簡(jiǎn)后可以合并的是（）

A.b與原B.遍與gC.花與阮D.瓜1與歷

【分析】化簡(jiǎn)二次根式，判斷被開方數(shù)是否相同即可得出答案.

【解答】解?：A選項(xiàng)，b與4短不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

B選項(xiàng),遍與20不是同類一次根式,故該選項(xiàng)不符合題意：

C選項(xiàng)，6與5通不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

D選項(xiàng)，2V5與375是同類二次根式，可以合并，故該選項(xiàng)符合題意：

故選：。.

【變式1-1］（2022春?鄭城縣期中）下列根式中，與鬧不是同類二次根式的是（）

A.B.C.D.V6+x

【分析】根據(jù)同類二次根式的概念進(jìn)行分析排除，即幾個(gè)最簡(jiǎn)二次根式的被開方數(shù)相同，則它們是同類

二次根式.

【解答】解.：A、H很,與而是同類二次根式；

Y66

B、=-V6x,與是同類二次根式；

yjxx

C、=^V6x?與是同類二次根式；

D、付G與誠(chéng)不是同類二次根式，

故選：。.

【變式1-2］（2022春?肥城市期中）若兩個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后被開方數(shù)相同，則稱這樣的二次

根式為同類二次根式，那么下列各組二次根式，不是同類二次根式的一組是（）

A.我與寂B.同與何C.后與阮D.舊與同

【分析】幾個(gè)二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.根

據(jù)定義逐個(gè)判斷可知答案為。

【解答】解：???內(nèi)=2灰，V80=4V5,

???5#6,

???內(nèi)與、頌不是同類二次根式，

故選：Q.

【變式1?3】（2022春?河西區(qū)校級(jí)月考）下列各式中與后”是同類二次根式的是（）

A.W（a+b）2B,2口+缶C,舟D.忌

【分析】根據(jù)同類二次根式的定義逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：A、m（a+b）2=等與^/^不萬不是同類二次根式,故本選項(xiàng)不符合題意；

B、丫3（。+b）=可3a+3b與不是同類二次根式,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、檸=巧至與衍5不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

。、忌=六川石與是同類二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：Q.

【題型2求同類二次根式中的參數(shù)】

【例2】（2022春?懷遠(yuǎn)縣期中）已知二次根式一77^1.

(I)求使得該二次根式有意義的x的取值范圍；

(2)己知-VF”為最簡(jiǎn)二次根式，且與Ji為同類二次根式，求X的值，并求出這兩個(gè)二次根式的積.

【分析】(1)根據(jù)二次根式有意義的條件得出220,求出不等式的解集即可；

(2)先求出J|=^V10,得出x?2=10,求出x即可.

【解答】解：(1)要使一有意義，必須x-220,

即

所以使得該二次根式有意義的x的取值范圍是x22；

⑵加標(biāo)

所以x-2=10,

解得：工=12,

這兩個(gè)二次根式的積為一“Ox&-5.

【變式2-1](2022秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末)如果最簡(jiǎn)二次根式“3a+8與式12-a是同類二次根式,那么3府的

值為3.

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式及同類二次根式概念作答.

【解答】解：由題意得%+8=12-a,

解得4=1，

當(dāng)a=I時(shí)=3.

故答案為：3.

【變武2?2】(2022春?西華縣期末)先閱讀下面的解題過程，再回答后面的問題：

如果J16(2m+n)和加-”-而不7在二次根式的加減運(yùn)算中可以合并成一項(xiàng)，求相、〃的值.

解：因?yàn)镴16(2m+")與'-A府萬可以合并

所以瑞溫;Mm+7即嚼得■=7

55

m=—

47

解得86

n=-----

47

問：

(I)以上解是否正確？答.不正確.

(2)若以上解法不正確，請(qǐng)給出正確解法.

【分析】（1）要知道，同類二次根式是化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同，故要分兩種情況討論.

（2）分兩種情況討論：被開方數(shù)相同和化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同.

【解答】解：（1）不正確；

(2)*/，16(2TH+幾)與m-n~x/m+7可以合并，

.—n—1=2應(yīng)［血—n-1=2或［血—n—1=2

't2m+n=m+7,乂(16(2m+幾)=m+7"“(4(2m+n)=m+7

故答案為：不正確.

【變式2-3］（2022春?孟村縣期中）若最簡(jiǎn)二次根式+y-5和-3y+11是同類二次根式.

（1）求x,y的值；

（2）求J/+y2的值.

【分析】（1）根據(jù)同類二次根式的定義：①被開方數(shù)相同；②均為二次根式；列方程解組求解.；

（2）根據(jù)X,），的值和算術(shù)平方根的定義即可求解.

【解答】解：⑴根據(jù)題意知二:嗔:一七,A11，

（4人IyDA,OVIJLJL

解得：（；：3:

（2）當(dāng)x=4、）=3時(shí)，

Jx2+y2=V42+32=V25=5.

【知識(shí)點(diǎn)2二次根式的加減法則】

二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方

法為系數(shù)相加減，根式不變.

【題型3二次根式的加減運(yùn)算】

【例3】（2022春?普蘭店區(qū)期中）計(jì)算:

（I）V18-V32+V2

（2）7?\/8?-4a24-7ay/2a.

【分析】（I）首先化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而利用二次根式加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；

（2）首先化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而利用二次根式加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【解答】解：（1）舊一夜+企

=3\/2-4>/2+41

=0

(2)7。廊-4a2標(biāo)+7Q加

=7aX2房-4/x運(yùn)+7ayf2a

4a

=\4crj2a-a4la+7?V2a

=20aV2a.

【變式3-1](2022春?高密市校級(jí)月考?)計(jì)算：

⑴衣+身旃+嗝

(2)91一屆+(-1)3,/(一0.01)2+而

(3)4V5+V45-V8+4V2.

【分析】(1)先去絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)數(shù)的開方法則計(jì)算出各數(shù)，再由有理數(shù)的加減法則進(jìn)行計(jì)算即可;

(2)先根據(jù)數(shù)的開方法則計(jì)算出各數(shù)，再由有理數(shù)的加減法則進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)先把各式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類項(xiàng)即可.

【解答】解：⑴原式=0.5+：+0.7+2

—1.9；

(2)原式=0.1-2一0.01+0

=-0.01；

(3)原式=46+36-2a+4&

=7遙+2或.

【變式3-2](2022秋?浦東新區(qū)期中)化簡(jiǎn)：V8ab-b第一。居(心。，心。)

【分析】本題較簡(jiǎn)單，分別將各二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可.

【解答】解；原式=27^、向

一2.

【變式3-3](2022秋?浦東新區(qū)期末)計(jì)算下列各式：

(1)V5-V6-V20+4+/

(2)V12-V0^-2Jj-jjn-V18

3小因

(3)V27a-G

(4)|xV9x+6x號(hào)+靖一花

【分析】先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可.

【解答】解：⑴原式=遍一遍一2代+日+管

2西276

=-T--

(2)原式=26一包一獨(dú)一包+3企

234

4^3,9\歷

=v+-

(3)原式=37^-

2

=g,

2

(4)原式=2x\[x+6y/xy+yfxy-x\[x

=xy/x+lyfxy.

【題型4二次根式的混合運(yùn)算】

【例4】(2022春?安慶期末)計(jì)算：

(1)同+V5+24x同一(2A/2+V3)2

(2)(--)-2-(-1)2O,2X(Jr-V2)0-+V25

2

【分析】(1)先利用二次根式的乘除法則運(yùn)算，再利用完全平方公式計(jì)算，然后合并即可;

(2)根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)箱、零指數(shù)'幕和二次根式的性質(zhì)計(jì)算.

【解答】解：(1)原式=,48+3+2.X30一(8+4V6+3)

=4+2V6-ll-476

=-7-2倔

(2)原式=4-1X1-4+5

=4-1-4+5

=4.

【變式4-1](2022春?岳池縣期中)計(jì)算：膂+(V3-2)2一企(N/2-V6)

V3

【分析】利用乘法公式展開，叱簡(jiǎn)后合并同類二次根式即可.

【解答】解：史等+(V3-2)2一魚(V2-V6)

V3

=2+3-4百+4-2+2V3

=7-2/5

【變式4-2]（2022春?天心區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：

（I）（V20+V5+5）+炳-xV24-V5；

（2）等+（V3-2）。+J（l-V2）2.

【分析】（I）原式利用二次根式的乘除法則計(jì)算即可得到結(jié)果；

（2）原式各項(xiàng)后，計(jì)算即可求出值.

【解答】解：（1）原式=（V4+1+V5）-V8-V5=3+V5-2V2-V5=3-2A/2；

(2)原式=3&-孑&一(I+V2)+1+(V2-1)="V2-l-V2+1+V2-I=-V2-1.

222

【變式4-3】（2022秋?昌江區(qū)校級(jí)期末）（依+需）?（卷+看-翳）.

【分析】先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的分式分別通分，然后分解因式并約分.

ll，(l

【解答】解：原式=a+V0^+b-Vab.ayab(v'ab-a)+bvab(vab+fc)-4i+b)(Vab+fe)(vab-a)

\fa+Vb>/ab(tVab+b')(y/ab-a')

a+b.a2--a\!ab-b'<[ab-b2-a2+b2

>Ja+>jb用+布)(仿

a+b仿)(\'0+'仿)

^/a+>fb-yfabCa+b')

—y[a+Vb.

【題型5已知字母的值化簡(jiǎn)求值】

【例5】（2022秋?如東縣期末）已知尸I-V5,求代數(shù)式（4+2怖）/+（1-V5）X+8V3.

【分析】將x=l-百代入原式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【解答】解：當(dāng).1=1-6時(shí),

原式=(4+2V3)X(I-/3)z+(1-V3)2+8V3

=(4+2V3)X(4-2V3)+4-2V3+8V3

=16-12+4-2V3+8V3

=8+6百.

【變式5-1]（2022秋?楊浦區(qū)期中）計(jì)算與求值.

2

已知。=求巴-2a+lVa-2a+l的值.

2+v3a-1a2-a

【分析】首先關(guān)鍵〃的值求得1=2+遮，l=l-V3<0,然后把原代數(shù)式變形為1+L再進(jìn)一步代

aa

入求得數(shù)值即可.

【解答】解：??7=舟

/?c/=2—V3,

??*=2+百，a-l=l-V3<0,

.。2-2。+1_、/。2-2。+1

a-1a2-a

_(a-1)2]a-1

I

a-1a(a-l)

=a-1+-a

=I-V3+2+V3

=3.

【變式5-2](2022春?容縣校級(jí)月考)已知。=2,b=3,求式子不一屆+薩的值.

【分析】根據(jù)題目中》的他可以求得所求式子的值，本題得以解決.

【解答】解：???a=2,b=3,

Ja3b_TaS+Va3b3

=ay[ab->[ab+abVab

=(a-1+ab)\[ab

=(2-1+2X3)xV2V3

=7限.

【變式5-3](2022秋?天河區(qū)校級(jí)月考)已知k—1則f-2V2020X5-x4+x3-2V2021X2+2x-

\^021-\/2020

同五的值為()

A.0B.IC.V2020D.V2021

【分析】把一知的條件進(jìn)行分母有理化，再把所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可.

【解答】解：?、=而志病

AA=V2021+\/2020,

???_?-2V2020x5-x4+x3-2V2021X2+2x-V20H

=x4(x2-2V2020X-1)+x(/-2V2021X+2)-V2021

=x4[(x-V2020)2-2021]+.r[(x-V2021)2-2019]-V2021

=x4[(V2021+V2020-V2020)2-2021]4-A-[(V2021+V2020-V2021)2-2019]-V2021

=x4(2021-2021)+x(2020-2019)-V2021

=A-V20H

=V2021+V2020-V2021

=72020.

故選：C.

【題型6已知條件式化簡(jiǎn)求值】

【例6】(2022秋?虹口區(qū)校級(jí)期中)已知三心=2-1，且出〃=2,請(qǐng)化簡(jiǎn)并求值以下代數(shù)式：萼至+

?Jx+l+v￡

/X+I-A/X'

【分析】解方程得出x=2,再分母有理化，化簡(jiǎn)得出原式=4x+2,最后代入求出即可.

【解答】解：-=2-^,

ab

b(x-b)=2ab-a(x-a),

bx+ax=(a+b)2,

,：a+b=2.

???2x=4,

，x=2,

.+>fx+i+\[x

**Vx+l+x/xVx+l-Vx

_?X+1-4)2+(x/x-j-l+Vx)2

(Vx+1+\/x)(x/x+1->/x)(Vx+l-4)(dx+l+A)

=A+1-2,干(X+1)+x+x+1+2^/X(X+1)+.V

=4x+2

=4X2+2

=10.

【變式6-1】(2022春?陽(yáng)信縣期中)已知乒二號(hào)，且x為奇數(shù)，求(1+x)?區(qū)券各的值.

yj9-xv9-x7x2-l

【分析】先根據(jù)二次根式的乘除法則求出X的值，再把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，把工的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解「,后=磊’

rx-6>0

**(9-x>0'

解得6WxV9.

又??”是奇數(shù)，???x=7.

.,、lx2-5x+4

??z(…

=(1+x)卜一1)("旬

=(l+x)巨

yjx+l

???當(dāng)x=7時(shí)，

原式=S7)層

=2V6.

【變式6-2](2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末)若二個(gè)正數(shù)小h,「滿足〃+4屬+%-2加一〃=0,則竺出的

Vc

一是1.

【分析】直接將原式湊成平方差公式，即可得出答案正數(shù).

[解答]解：a+4y/ab+3b-2\京-c=0>

(Va+2VF)2—(Vb+Vc)2=(),

,:a,b,c是正數(shù),

?*.y/a+2\[b=yfb+&,

/.y/a+yfb=Vc,

仿(

...—v&+號(hào)v-=1.

VC

故答案為：1.

【變式6-3】(2022春?芝果區(qū)期末)若實(shí)數(shù)小匕滿足(歷+歷)(V5+VF-2)=3,則〃+傷的值是

3_.

【分析】求出(VE+VF)2-2(Va+Vb)-3=0,再分解因式(VH+x/S-3)(VH+VF+I)=0,

根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出仿+y/b>0,求出仿+Vb-3=0即可.

【解答】解：???實(shí)數(shù)。，b滿足(迎+傷)(VH+Vb-2)=3,

:.(VH+VF)2?2(VH+VF)-3=0,

**?(Vu+yfb-3)(y/a+\fb4-1)=0,

*.*\[a+'fb>0?

yfu.+>[b—3=0,

+yfb=3,

故答案為：3.

【題型7二次根式的新定義運(yùn)算】

【例7】（2022春?那陽(yáng)區(qū)期中）對(duì)于任意的正數(shù)〃?，〃定義運(yùn)算*為：〃為2=1可一次（血'?，計(jì)算（3*2）

（vm+Vn（7n<n）

+（8*12）的結(jié)果為38.

【分析】結(jié)合有理數(shù)的大小比較和新定義運(yùn)算法則及二次根式的加減法運(yùn)算法則先算小括號(hào)里面的，然

后再算加法.

【解答】解：：3>2,8<12,

???原式=（V3-V2）+（V8+V12）

=V3-V2+2企+2V3

=3A/3+V2,

故答案為：3V3+V2.

【變式7-1]（2022春?江岸區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于實(shí)數(shù)〃、。作新定義：a@b=ab,a^b=c^,在此定義下，計(jì)

算：（』-』）@履-<V75-4\/3）派2=1-3夜.

【分析】利用新定義：a@b=ab,〃求解即可.

【解答】解：（卡-@（V75-4x^3）派2

=（竽-4）X2V3-（V75-4V3）2

=（4-3V2）-3

=1-3V2.

故答案為：1-3企.

【變式7-2]（2022秋?內(nèi)江期末）我們規(guī)定運(yùn)算符號(hào)的意義是：當(dāng)a>b時(shí)，必6=〃+6當(dāng)aWb

時(shí)，a4b=a-b,其它運(yùn)算符號(hào)的意義不變，計(jì)算：（V5△療）-（2V3A3V2）=_-V3+4>/2_.

【分析】根據(jù)已知將原式化簡(jiǎn)進(jìn)而求出即可.

【解答】解：???當(dāng)時(shí)，a^b=a+b；當(dāng)時(shí)，a^b=a-b,V3>V2,2V3<3V2,

???（V3AV2）-（2V3A3V2）

=V3+V2-（2A/3-3V2）

=-73+4\/2.

故答案為：-V5+4&.

【變式7-3］（2011秋?廈門期末）若a+b=2,則稱。與〃是關(guān)于1的平衡數(shù).

（1）3與-1是關(guān)于1的立衡數(shù)，5-&與-3+夜是關(guān)于1的平衡數(shù)；

（2）若（w+V3）X（1-V3）=-5+3V3,判斷加+6與5-百是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說明理由.

【分析】（1）根據(jù)所給的例子，可得出平衡數(shù)的求法，由此可得出答案.

（2）根據(jù)所給的等式，解出川的值，進(jìn)而再代入判斷即可.

【解答】解：（1）由題意得，3+（-1）=2,5-V2+（-3+應(yīng)）=2,

???3與-I是關(guān)于1的平衡數(shù)，5-&與-3+或是關(guān)于I的平衡數(shù).

（2）不是.

??,（m+V3）X（1-V3）

=機(jī)—-3,（5分）

又?。ā癏?b）X（l-x/3）=?5十3百，

?*.m—y/Sffj+y/S—3=-5+3\/3?

/.m—y/3m=-2+2A/3.

即m（1-V3）=-2（1-V3）.

/.m=~2.

:.（w+V3）+（5-V3）

—（-2+x^3）+（5—>/3）

=3,

???（-2+V3）與（5-V3）不是關(guān)于1的平衡數(shù).

【題型8二次根式的應(yīng)用】

【例8】（2022春?定州市校級(jí)月考）2016年6月4日葫蘆島日?qǐng)?bào)報(bào)道，南票區(qū)住建局已全面加大城鎮(zhèn)園林

綠化力度，組織環(huán)衛(wèi)工作人員加緊開展9000加2的草坪種植，切實(shí)掀起了綠化城|乂的熱潮.若環(huán)衛(wèi)工人在

一塊長(zhǎng)方形的土地上種植草坪，已知該長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)為7^〃?、寬為丁而〃?.

（I）求該長(zhǎng)方形土地的周長(zhǎng)；

（2）若在該長(zhǎng)方形土地上種植造價(jià)為每平方米2元的草坪，求在該長(zhǎng)方形土地上全部種植草坪的總費(fèi)用

（提示:V6?2.45）

【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）X2,可以解答本題；

（2）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)義寬和造價(jià)為每平方米2元的草坪，可以求得在該長(zhǎng)方形土地上全部種植草

坪的總費(fèi)用.

【解答】解：(1)由題意可得，

該長(zhǎng)方形土地的周長(zhǎng)是：(V555+V128)X2=(9V3+8&)x2=(186+16企)〃?，

即該長(zhǎng)方形土地的周氏是(18百+16夜)加；

(2)由題意可得，

在該長(zhǎng)方形土地上全部種植草坪的總費(fèi)用是：V243xV128X2=9A/3X8或X2=144遍k352.8(元)，

即在該長(zhǎng)方形土地上全部種植草坪的總費(fèi)用352.8元.

【變式8-1](2022春?岱岳區(qū)期末)在一個(gè)邊長(zhǎng)為(28+3西)”〃的正方形的內(nèi)部挖去一個(gè)長(zhǎng)為(28+內(nèi))

cm,寬為(瓜-圾)a〃的矩形，求剩余部分圖形的面枳.

【分析】用大正方形的面積減去長(zhǎng)方形的面積即可求出剩余部分的面積.

【解答】解：剩余部分的面積為：(2V3+3V5)2-(2V3+V10)(A/6-V5)=(12+12715+45)-

(672-2V15