專題4.5一次函數(shù)的應(yīng)用【八大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1分配方案問題】.........................................................................1

【題型2最大利潤問題】.........................................................................7

【題型3行程問題】............................................................................13

【題型4工程問題】............................................................................20

【題型5調(diào)運(yùn)問題】............................................................................25

【題型6體積問題】............................................................................31

【題型7平面幾何圖形問題】....................................................................36

【題型8分段收費(fèi)問題】........................................................................40

?舉一反三

【題型1分配方案問題】

【例1】（2023春?河南商丘.八年級(jí)校聯(lián)考期末）2022年河南省全民健身（線上）運(yùn)動(dòng)會(huì)最終各獎(jiǎng)項(xiàng)于12月

20日公布，此次盛會(huì)充分展示疫恃防控常態(tài)化下我省全民健身開展情況，某健身房于此推出“云健身”服務(wù),

針對(duì)特殊人群開展活動(dòng).活動(dòng)方案如下：方案一：不購買“云VIP”，每次收費(fèi)10元；方案二：購買“云VIP”,

每次另行額外收費(fèi).

設(shè)王先生“云健身”次數(shù)為工（次），按照方案一所需費(fèi)用為月（元），且為=右雙的中0）；按照方案二所需費(fèi)

用為力（元），且為=2H其函數(shù)圖象如圖所示.

（2）兩種方案的函數(shù)圖象交于點(diǎn)4請(qǐng)求出點(diǎn)4的坐標(biāo)并解糕點(diǎn)4的實(shí)際意義；

⑶若王先生準(zhǔn)備“云健身”25次，選擇方案—（選填“一”或“二”）所需費(fèi)用較少；若王先生注備180元進(jìn)

行“云健身”，選擇方案—（選填“一”或“二”）可以獲得更多的次數(shù).

【答案】(1)10,120

⑵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(20,200)；點(diǎn)A的實(shí)際意義為：當(dāng)“云健身”20次時(shí)，兩種方案所需費(fèi)用相同，均為200元

⑶二；一

【分析】(1)分別根據(jù)題意和函數(shù)的圖象求解；

(2)先根據(jù)待定系數(shù)法求出兩個(gè)函數(shù)的解析式，再求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合實(shí)際說出4點(diǎn)的意義；

(3)根據(jù)圖象可知，次數(shù)大于20次時(shí)，方案二的費(fèi)用較少，費(fèi)用小于200時(shí)，方案一次數(shù)較多，由此求解.

【詳解】(I)解：由題意得：yi=10x,

由圖象得:當(dāng)％=0時(shí)，y2=120f即購買“云VIP”需120X；,

故答案為:10,120；

(2)由題意得:=10%,

V(0,120),(10,160)在力=6工十。上，

(b=120

A

(160=10k2+b，

解律電蒜，

:.y2=4x4-120,

令10x=4x+120,

解得x=20,

10%=200,

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為(20,200)：

點(diǎn)4的實(shí)際意義為：當(dāng)“云健身”20次時(shí)，兩種方案所需費(fèi)用相同，均為200元；

(3)由圖象得：王先生準(zhǔn)備“云健身”25次，選擇方案二所需費(fèi)用較少；

若王先生準(zhǔn)備180元進(jìn)行“云健身”，選擇方案一可以獲得更多的次數(shù)；

故答案為：一；一.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

【變式1-i](2023春?四川成都?八年級(jí)?？计谥?成都教科院附屬學(xué)校組織八年級(jí)學(xué)生和帶隊(duì)老師共700

人參加研學(xué)活動(dòng)，已知學(xué)生人數(shù)的一半比帶隊(duì)老師人數(shù)的1()倍丕多35人.

(1)參加活動(dòng)的八年級(jí)學(xué)生和帶隊(duì)老師各有多少人？

(2)某公司有A、8兩種型號(hào)的客車，它們的載客量、每天的租金如表所示；

A型號(hào)客車8型號(hào)客車

載客量(人輛)4055

租金(元/輛)9001200

學(xué)校計(jì)劃租用/、B兩種型號(hào)的客車共16輛接送八年級(jí)師生，若每天租車的總費(fèi)用不超過16200元.共有幾

種不同的租車方案？最少的租車費(fèi)用為多少元？

【答案】(1)參加活動(dòng)的八年級(jí)學(xué)生有670人，老師有30人

(2)共有三種不同的租車方案，最少的租車費(fèi)用為15600元

【分析】(1)設(shè)帶隊(duì)老師有工人，則學(xué)生有2(10%+35)人，根據(jù)“八年級(jí)學(xué)生和帶隊(duì)老師共700人參加研學(xué)

活動(dòng)”，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解即可；

(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和題意，可以寫出費(fèi)用和租用4種型號(hào)車輛數(shù)的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可

以列出相應(yīng)的不等式組，從而可以得到相應(yīng)的租車方案，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到最少的租車

費(fèi)用.

【詳解】(1)解：設(shè)帶隊(duì)老師有x人，則學(xué)生有2(10%+35)人，

由題意可得:%+2(10x4-35)=700,

解得：x=30,

???2(10%+35)=2x(10X30+35)=670,

答：參加活動(dòng)的八年級(jí)學(xué)生有670人，老師有30人；

(2)解：設(shè)租用4種型號(hào)的客車Q輛，則租用8種型號(hào)的客車(16-。)輛，總費(fèi)用為w元，

由題意可得：w=900a+1200(16-a)=-300a+19200,

vw=-300<0?

?e?w隨a的增大而減小，

?.?每天租車的總費(fèi)用不超過16200元，學(xué)校組織八年級(jí)學(xué)生和帶隊(duì)老師共70()人參加研學(xué)活動(dòng)，

(-300a+19200<16200

A(40a+55(16-a)>700'

解得：10WaW12,

???Q為整數(shù)，

a=10或11或12,即共有三種租車方案，

二當(dāng)a=12時(shí)，w取得最小值，此時(shí)w=15600,

28臺(tái)挖掘機(jī)，已經(jīng)調(diào)往甲地x臺(tái)挖掘機(jī)，則還剩(28-無)臺(tái)調(diào)往乙地，乙地需要25臺(tái)，已經(jīng)從.4省調(diào)(28-

%)臺(tái)到乙地，8省共24臺(tái)挖掘機(jī)，從B省調(diào)(27-x)臺(tái)到甲地后還剩24-(27-x)=(x-3)臺(tái)調(diào)往

乙地；從A省向甲地需耗資0.4%萬元，到乙地耗資0.3(28-幻萬元：從8省向甲地需耗資0.5(27-%)萬元,

到乙地耗資0.2(%-3)萬元，

則填表如下:

運(yùn)往甲地(單位：臺(tái))運(yùn)往乙地(單位；臺(tái))

A省X28-x

B省27-xx-3

運(yùn)往甲地耗資(單位：萬元)運(yùn)往乙地耗資(單位：萬元)

4省0.4x0.3(28-x)

B省0.5(27-%)0.2(%-3)

故答案為：28—不，27-x,x-3,0,3(28-X),0.5(27-x),0.2(%-3)

(2)解：由(1)可知,則34%327

tx-3>0

由題意得：y=0.4x+0.3(28-x)+0.5(27-x)+0.2(x-3)

即：y=-0.2x+21.3(3<x<27),

故'與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-0.2x4-21.3(3<x<27).

(3)解：依題意得：一0.2%+21.3416.2,解得：x>25.5,

又???34x427,且％為整數(shù)，

.??x=26或27.

???要使總耗資不超過16.2萬元，有如下兩種調(diào)運(yùn)方案：

方案一：從A省往甲地調(diào)運(yùn)26臺(tái)，往乙地調(diào)運(yùn)2臺(tái)：從8省往甲地調(diào)運(yùn)1臺(tái)，往乙地調(diào)運(yùn)23臺(tái)，0.4x26+0.3X

2+0.5x1+0.2x23=16.1(萬元)；

方案二：從A省往甲地調(diào)運(yùn)27臺(tái)，往乙地調(diào)運(yùn)1臺(tái)；從8省往甲地調(diào)運(yùn)。臺(tái)，往乙地調(diào)運(yùn)24臺(tái)，

0.4x27+0.3X1+0.2X24=15.9(萬元)，

v15.9<16.1.

???調(diào)運(yùn)方案二的總耗資最少.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、列函數(shù)解析式、列代數(shù)式、一元一次不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根

據(jù)已知表示出從8省調(diào)(27-％)臺(tái)到甲地后還剩24—(27-x)=(x-3)臺(tái)調(diào)往乙地是解題關(guān)鍵.

【變式1-3】(2023春?江蘇蘇州?八年級(jí)校聯(lián)考期中)母親節(jié)前夕，某工藝品店從廠家購進(jìn)小B兩種禮盒，

已知4、8兩種禮盒的單價(jià)之和為200元，購進(jìn)2個(gè)4種禮盒和3個(gè)8種禮盒共花費(fèi)520元.

(1)求4、B兩種禮盒的單價(jià)；

(2)若該店主購進(jìn)這兩種禮盒恰好用去9600元，且購進(jìn)A種禮盒最多36個(gè)，B種禮盒的數(shù)據(jù)不超過A種禮盒數(shù)

量的2倍，共有兒種進(jìn)貨方案？

(3)已知銷售一個(gè)4種禮盒可獲利10元，銷售一個(gè)8種禮盒可獲利18元，該店主決定每售出一個(gè)B種禮盒，為

愛心公益基金捐款m元，每個(gè)力種禮盒的利潤不變，在(2)的條件下，要使4、8兩種禮盒全部售出后所有

方案獲利均相同，m的值應(yīng)是多少？此時(shí)店主獲利多少元？

【答案】⑴力種禮盒單價(jià)為80元，B種禮盒單價(jià)為120元

(2)共有三種方案

(3)m=3,此時(shí)店主獲利1200元

【分析】(1)利用4、B兩種禮盒的單價(jià)和為200元，2個(gè)4種禮盒和3個(gè)B種禮盒共花費(fèi)520元，得出等式即可

求片、8兩種禮盒的單價(jià)；

(2)利用兩種禮盒恰好用去9600元，結(jié)合(1)中所求，得出等式，利用兩種禮盒的數(shù)量關(guān)系求出即可；

(3)首先表示出店主獲利，進(jìn)而利，書a,b關(guān)系得出符合題意的答案即可.

【詳解】(1)解：設(shè)4種禮盒單價(jià)為％元，B種禮盒單價(jià)為200元，依據(jù)題意得：

2x4-3(200-%)=520,

解得：x=80,

則200-80=120(元)，

答：4種禮盒單價(jià)為80元，8種禮盒單價(jià)為120元；

(2)設(shè)購進(jìn)4種禮盒a個(gè)，8種禮盒匕個(gè)，依據(jù)題意可得：

[80a+120b=9600

a<36,

(b<2a

解得：30WaW36,

???a,b的值均為整數(shù)，

??.a的值為：30、33、36,

.,?共有三種方案；

(3)設(shè)店主獲利為w元，則

w=lOcz+(18—m)b,

由80a+120b=9600,

得：a=120-gb，

則w=(3—m)b+1200,

???要使(2)中方案獲利都相同，

/.3—m=0?

m=3,

此時(shí)店主獲利1200元.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了?次函數(shù)與對(duì)應(yīng)的?元?次不等式及方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確數(shù)量關(guān)系是解

題關(guān)鍵.

【題型2最大利潤問題】

【例2】(2023春?江西景德鎮(zhèn)?八年級(jí)統(tǒng)考期中)某公司有100個(gè)工人生產(chǎn)4、B、C三種型號(hào)的產(chǎn)品，每個(gè)工

人每天只能生產(chǎn)一種型號(hào)的產(chǎn)品，每個(gè)工人每天生產(chǎn)三種型號(hào)產(chǎn)品的數(shù)量及每個(gè)48、C型號(hào)產(chǎn)品獲利情況

如下表所示.每天生產(chǎn)小B、C三種型號(hào)產(chǎn)品共1240個(gè).設(shè)安排次名)工人生產(chǎn)A型號(hào)產(chǎn)品，安排y(名)工人

生產(chǎn)8型號(hào)產(chǎn)品.公司生產(chǎn)小B、C三種型號(hào)產(chǎn)品每天獲總利w(元).

ABC

每個(gè)工人每天生產(chǎn)數(shù)量/個(gè)151210

每個(gè)產(chǎn)品獲利/元182030

(1)分別求出y與工及w與x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)若生產(chǎn)小B、C每種都不小于27人，人數(shù)安排方案有幾種？寫出所有安排方案.

(3)若要使每天獲利最人?，應(yīng)采用哪種安排方案？求出最大利潤.

【答案】(l)y=-2.5%+120,w=120%+22800

(2)人數(shù)安排有3種方案，分別是A型號(hào)32人，8型號(hào)40人，C型號(hào)28人；4型號(hào)34人，8型號(hào)35人，C型號(hào)31人;

A型號(hào)36人，8型號(hào)30人，C型號(hào)34人

(3)當(dāng)x取得最大值36時(shí)，w的值最大，w的最大為：27120元

【分析】(1)根據(jù)題意中的數(shù)量關(guān)系列方程即可;

（2）根據(jù)生產(chǎn)4、B、C每種都不小于27人，列不等式組，根據(jù)U）中的y與％的函數(shù)解析式即可求解；

（3）根據(jù)（1）中w與x的函數(shù)關(guān)系式，由一次函數(shù)圖像的性質(zhì)可知，w隨匯的增大而增大，當(dāng)％取得最大值，

當(dāng)欠=36時(shí)，w的值最大，由此理可求解.

【詳解】（1）解：每個(gè)工人每天只能生產(chǎn)一種型號(hào)的產(chǎn)品，每天生產(chǎn)A、B、C三種型號(hào)產(chǎn)品共1240個(gè)，安

排x（名）工人生產(chǎn)4型號(hào)產(chǎn)品，安排y（名）工人生產(chǎn)8型號(hào)產(chǎn)品，則安排了（100—x—y）名工人生產(chǎn)C型號(hào)產(chǎn)

品>

.\15x+12y+10（100-x-y）=1240,整理的，y=-2.5x+120,

???每個(gè)4產(chǎn)品的獲利為18元，每個(gè)8產(chǎn)品的獲利為20元，每個(gè)C產(chǎn)品的獲利為30元，公司生產(chǎn)力、B、C三種

型號(hào)產(chǎn)品每天獲總利w（元），

Aw=18x15x+20x12y+30x10（100-%-y）,整理得，w=120x4-22800.

（2）解：生產(chǎn)小B、C每種都不小于27人,

（x>27

??.y>27,

（100-x-y>27

Vy=-2.5x4-120,

/x>27

/.]-2.5X+120>27,解此不等式組得解集為：31gW%W37.2.

（lOO-x+2.5x-120>27

XVy=-2.5x+120,

???義必須是偶數(shù),即X的值是:32,34,36,

①當(dāng)％=32（人）時(shí)，y=-2.5%+120=-2.5x32+120=40（人），100-x-y=100-32-40=

28（A）；

②當(dāng)x=34（人）時(shí)，y=-2.5%+120=-2.5x34+120=35（人），100-x-y=100-34-35=

31（A）;

③當(dāng)％=36（人）時(shí)，y=-2.5x+120=-2.5x36+120=30（人），100-x-y=10-36-30=34（人）;

綜上所述，人數(shù)安排有3種方案，分別是小型號(hào)32人，8型號(hào)40人，。型號(hào)28人；力型號(hào)34人，8型號(hào)35人，。型

號(hào)31人；4型號(hào)36人，8型號(hào)30人，C型號(hào)34人.

（3）解：Vw=120x4-22800,k=120>0,

隨x的增大而增大，

:.當(dāng)％取得最大值，

由（2）可知，”的最大值是36,

，當(dāng)％=36時(shí),卬的值最大，w的最大為:120x36+22800=27120(元).

【點(diǎn)睛】本題主要考查?次函數(shù)，?元?次不等式的實(shí)際運(yùn)用，掌握一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)解

不等式組，不等式組的取值方法等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2023春?河北邢臺(tái)?八年級(jí)統(tǒng)考期中)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本價(jià)為25元，出廠

價(jià)為50元.在生產(chǎn)過程中，每件產(chǎn)品產(chǎn)生0.5立方米污水，工廠有兩種方案對(duì)污水進(jìn)行處理.

方案I：自行處理，達(dá)標(biāo)排放.每處理1立方米所用原料費(fèi)2元，并且每月排污設(shè)備損耗費(fèi)為30000元.

方案2：污水納入污水處理廠統(tǒng)一處理，每處理I立方米污水需付14元的排污費(fèi).問：

(I)設(shè)工廠每月生產(chǎn)工件產(chǎn)品，每月的利潤為)，元，分別求出按方案1,方案2處理污水時(shí))，與x的函數(shù)關(guān)系

式；

(2)工廠每月生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，采用兩種方案所獲利潤相同？請(qǐng)說明理由；

(3)工廠每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品時(shí)，采用何種方案才能使工廠所獲利潤最大？請(qǐng)通過計(jì)算加以說明.

【答案】(1)方案1：yj=24x-30000(x>0)：方案2：y2=18x(x>0)

(2)工廠生產(chǎn)5000件產(chǎn)品時(shí)，采用兩種方案所獲利潤相同，見解析

(3)工廠采用方案1時(shí)所獲利潤更大，見解析

【分析】(I)每件產(chǎn)品出廠價(jià)為5(),共x件，則總收入為：50%,成本費(fèi)為25%,產(chǎn)生的污水總量為0.5%,

按方案一處理污水應(yīng)花費(fèi)：0.5%x2+30000,按方案二處理應(yīng)花費(fèi)：0.5xx14.根據(jù)利潤=總收入-總支出

即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系；

(2)令灼=丫2，解方程即可;

(3)根據(jù)(1)中得到的x與y的關(guān)系，將x=6000代入，比較丁的大小即可得采用哪種方案工廠利潤最多.

【詳解】(1)按方案1處理污水時(shí)，yi=50x-25x-0.5xx2-30000=24%-30000(x>0).

按方案2處理污水時(shí)，y2=50x-25x-0.5xx14=18x(x>0)；

(2)工廠生產(chǎn)5000件產(chǎn)品時(shí)，，采用兩種方案所獲利潤相同，

理由：當(dāng)24%-30000=18%時(shí)，解得x=5000,

所以工廠生產(chǎn)5(X)0件產(chǎn)品時(shí)，采用兩種方案所獲利潤相同；

(3)當(dāng)％=6000時(shí)，刈=24x6000-30000=114000；

y2=18x6000=108000.

因?yàn)椤?>丫2，

所以工廠采用方案1時(shí)所獲利潤更大.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)健根據(jù)題干信息找出題中存在的等式關(guān)系，然后依照等式

關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式.

【變式2-2】（2023春?全國?八年級(jí)期末）“平遙古城三件寶，漆器牛肉長山藥平遙推光漆器因其歷史悠久

和獨(dú)特的制作工藝，和福州脫胎漆器、揚(yáng)州漆器、成都漆器并稱為中國四大漆器.某漆器廠清明前生產(chǎn)4、

B兩種首飾盒，若生產(chǎn)10件4首飾盒和20件8首飾盒，共需投入成本3100元；若生產(chǎn)20件4首飾盒和10件8首

飾盒，共需投入成本3800元.

B

（1）每件48首飾盒的生產(chǎn)成本分別是多少元？

（2）該廠準(zhǔn)備用不超過12900元的資金生產(chǎn)這兩種首飾盒共100件，目要求生產(chǎn)4首飾盒數(shù)量不少于。首飾盒數(shù)

量的2倍，問共有幾種牛.產(chǎn)方案？

（3）洛漆器供應(yīng)給商場后，每件4首飾盒可獲利100元，每件B首飭盒可獲利40元，在（2）的前提下，請(qǐng)你設(shè)

計(jì)出總獲利最大的生產(chǎn)方案，并求出最大總獲利.

【答案】（1）每件人首飾盒的生產(chǎn)成本是150元，每件8首飾盒的生產(chǎn)成本是80元.

（2）共有4種生產(chǎn)方案.

⑶生產(chǎn)A首飾盒70件，8首飾盒3（）件時(shí)總獲利最大，最大利澗為8200元.

【分析】（1）設(shè)每件A首飾盒的生產(chǎn)成本是工元，每件8首飾盒的生產(chǎn)成本是y元，根據(jù)“生產(chǎn)10件A首飾盒

和20件B首飾盒，共需投入成本3100元；若生產(chǎn)20件A首飾盒和10件B首飾盒，共需投入成本3800元”

列二元一次方程組，求解即可；

（2）設(shè)該廠生產(chǎn)B首飾盒m件，根據(jù)用不超過12900元的資金生產(chǎn)這兩種首飾盒共100件，且要求生產(chǎn)4

首飾盒數(shù)量不少于8首飾盒數(shù)量的2倍列一元一次不等式組，求解即可；

（3）設(shè)該廠總獲利w元，表示出w與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可確定獲利最大時(shí)的生產(chǎn)方案.

【詳解】（1）解：設(shè)每件A首飾盒的生產(chǎn)成本是x元，每件4首飾盒的生產(chǎn)成本是），元，

根據(jù)題意,得服居;歌

解明片o°

答：每件4首飾盒的生產(chǎn)成本是150元，每件4首飾盒的生產(chǎn)成本是80元.

(2)設(shè)該廠生產(chǎn)8首飾盒〃?件，

根據(jù)題意，得｛150(10()1%)：訕黑12900，

解得30<m<^,

???執(zhí)取正整數(shù)：30,31,32,33,

二共有4種生產(chǎn)方案.

(3)設(shè)該廠總獲利卬元，

根據(jù)題意，得w=100(100-m)+40m=-60771+10000,

v-60<0,

???w隨著m的增大而減小，

當(dāng)m=30時(shí)，w取最大值，最大利潤=-60x30+10000=8200(元)，

100-30=70(件),

二生產(chǎn)A首飾盒70件，B首飾盒30件時(shí)總獲利最大，最大利潤為8200元.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立關(guān)

系式是解題的關(guān)健.

【變式2-3](2023春?福建廈門?八年級(jí)統(tǒng)考期末)“雙減”政策頒布后，各校重視了延時(shí)服務(wù)，并在延時(shí)服務(wù)

中加大了體育活動(dòng)的力度.某體育用品商店抓住商機(jī),計(jì)劃購達(dá)300套乒乓球拍和羽毛球拍進(jìn)行銷售，其

中購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過150套，他們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：

商品進(jìn)價(jià)售價(jià)

丘乓球拍(元/套)a45

羽毛球拍(元/套)b52

已知購進(jìn)2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費(fèi)110兀，購進(jìn)4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花費(fèi)260兀.

(1)求出〃的值；

(2)該店面根據(jù)以往的俏售經(jīng)驗(yàn)，決定購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半.設(shè)購進(jìn)乒乓球拍x套,

售完這批體育用品獲利,，元.

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

②該商品實(shí)際采購時(shí)，恰逢“618”購物節(jié)，乒乓球拍的進(jìn)價(jià)每套降低了〃元(0<n<10),羽毛球拍的進(jìn)

價(jià)不變.已知商店的售價(jià)不變，這批體育用品能夠全部售完.則如何購貨才能獲利最大？

【答案】(1)。的值為35,〃的值為40

(2)①)，與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-2%+3600,x的取值范圍為：100WxW150；②當(dāng)0<幾<2時(shí)，乒乓球

拍購進(jìn)100套，羽毛球拍購進(jìn)200套能獲利最大；當(dāng)2Vn<10時(shí)，乒乓球拍購進(jìn)150套，羽毛球拍購進(jìn)

150套能獲利最大；當(dāng)n=2時(shí)，無論購多少套，只要滿足100150,利潤都是3600.

【分析】(1)根據(jù)購進(jìn)2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費(fèi)110元，購進(jìn)4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需

花費(fèi)260元，列出方程組，解方程組即可；

(2)①根據(jù)總利潤二乒乓球拍的利潤+羽毛球拍的利潤列出函數(shù)解析式，再根據(jù)購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過

150套，購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半求出自變量的取值范圍；

②根據(jù)總利潤=乒乓球拍的利潤+羽毛球拍的利潤列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值.

【詳解】⑴根據(jù)題意：?

14a+3D=260

解得心=盆，

5=40

答：〃的值為35,。的值為40；

(2)①由題意得：

y=(45-35)x+(52-40)(300-%)=-2x+3600,

?.?購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過150套，

<150,

???購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半，

,X>1300—x),

解得：x>100,

則I的取值范圍為：100<x<150,

?力與.1的函數(shù)關(guān)系式為、=一2%+3600,工的取值范圍為：100工工4150；

②由題意得：y=(45-35+ri)x+(52-40)(300-x)=(n-2)x4-3600,

V0<n<10,

，當(dāng)0V九V2即71-2<0時(shí)，y隨x的增大而減小，

工當(dāng)％=100時(shí),y有最大值100(?i-2)+3600,

???乒乓球拍購進(jìn)100套，羽毛球拍購進(jìn)200套能獲利最大；

當(dāng)2V71V10時(shí)，即九一2>0時(shí)，y隨工的增大而增大，

???當(dāng)％=150時(shí)，y有最大值150（n一2）+3600,

乒乓球拍購進(jìn)150套，羽毛球拍購進(jìn)150套能獲利最大；

當(dāng)九=2時(shí)，無論購多少套，只要滿足100WxW150,利潤都是3600.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，找到等量關(guān)系列出函數(shù)解

析式和列出方程組.

【題型3行程問題】

【例3】（2023春?全國?八年級(jí)期中）貨車和轎車分別沿同一路線從A地出發(fā)去8地，已知貨車先出發(fā)10分

鐘后，轎車才出發(fā)，當(dāng)轎車追上貨車5分鐘后，矯車發(fā)生了故障，花了20分鐘修好車后，轎車按原來速度

的看繼續(xù)前進(jìn)，在整個(gè)行駛過程中，貨車和轎車均保持各自的速度勻速前進(jìn)，兩車相距的路程y（米）與貨

車出發(fā)的時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系的部分圖象如圖所示，對(duì)于以下說法：①貨車的速度為1500米/分；

②OA〃CD；③點(diǎn)。的坐標(biāo)為（65,27500）：④圖中。的值是言，其中正確的結(jié)論有（）個(gè)

【答案】D

【分析】先設(shè)出貨車的速度和轎車故障前的速度，再根據(jù)貨車先出發(fā)10分鐘后轎車出發(fā)，橋車發(fā)生故障的

時(shí)間和兩車相遇的時(shí)間，根據(jù)路程;速度x時(shí)間列出方程組求解兀判斷①；利用待定系數(shù)法求OA與CQ解析

式可判斷②，先求出點(diǎn)C貨車的時(shí)間，用轎車修車20分鐘-BC段貨車追上轎車時(shí)間乘以貨車速度，求出點(diǎn)

。的坐標(biāo)可判斷③；求出轎車速度2000x9=1800（米/分），到下。時(shí)轎車追上貨車兩車相遇，列方程（〃-65）

x（1800-1500）=27500,解得〃丹可判斷④.

?5

【詳解】解：由圖象可知，當(dāng)戶10時(shí)，轎車開始出發(fā)；當(dāng).145時(shí)，轎車開始發(fā)生故障，則m45-5=40（分

鐘），即貨車出發(fā)40分鐘時(shí)，轎車追上了貨車，

設(shè)貨車速度為X米/分，轎車故障前的速度為），米/分，根據(jù)題意，

(10%=(40—10)(y—x)

得:

1(45-40)(y-x)=2500,

x=1500

解得:

y=2000'

貨車的速度為1500米/分，轎車故障前的速度是2000米/分,

故①貨車的速度為1500米/分正確;

VX(10,15000)

設(shè)Q4解析式：y=+b過點(diǎn)0(0,0)與點(diǎn)A,代入坐標(biāo)得

(b=0

h()k+b=15000

解得七5°00

：.OA解析式:y—1500%

點(diǎn)C表示貨車追上轎車，從B到C表示貨車追及的距離是2500,貨車所用速度為1500,

追及時(shí)間為鬻分

JLOvVJ

點(diǎn)C昔,0)

CO段表示貨車用20-合弓分鐘行走的路程，

。點(diǎn)的橫坐標(biāo)為45+20=65分，縱坐標(biāo)1500xm=27500米，

：.D(65,27500)

故③點(diǎn)D的坐標(biāo)為(65,27500)正確；

設(shè)CD解析式為y=krx+bx,代入坐標(biāo)得

(140,,

)飛~七+瓦=。

165kl+瓦=27500

解洱1自=150°

???CO解析式為y=1500X-70000

VOA與CQ解析式中的A相同，

AOA/7CD,

??.②04//C0正確;

。點(diǎn)表示轎車修好開始繼續(xù)行駛時(shí)，轎車的速度變?yōu)樵瓉淼?即此時(shí)轎車的速度為：2000x^=1800(米/

分)，

到ma時(shí)轎車追上貨車兩車相遇，

/.（a-65）x（1800-1500）=27500,

解得。=65管=言，

即圖中。的值是等；

故④圖中。的值是等正確，

正確的結(jié)論有4個(gè).

故選擇D.

【點(diǎn)睛】本題考杳一次函數(shù)圖像與行程問題的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，從圖像中獲取信息，利用

一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想，方程思想解答.

【變式3-1］（2023春?安徽蕪湖?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在一條筆直的公路上有A、B兩地，甲、乙二人同時(shí)出發(fā),

甲從A地步行勻速前往3地，立刻以原速度沿原路返回工地.乙從。地步行勻速前往A地（甲、乙二人到達(dá)A地

后均停止運(yùn)動(dòng)），甲、乙二人之間的距離y（米）與出發(fā)時(shí)間x1分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合

(2)圖中a=,b=,c=

(3)求線段MN的函數(shù)解析式.

【答案】(1)1200；60

(2)900：800：15

(3)y=-20%+1200(15<x<20)

【分析】（1）利用函數(shù)圖象中的信息直接得到力、B兩地之間的距離，再利用函數(shù)圖象中的信息即可求得乙

的步行速度：

（2）利用（1）的結(jié)論通過計(jì)算即可得出結(jié)論：

（3）設(shè)線段MN的函數(shù)解析式為y=1"+九，將點(diǎn)M,N的坐標(biāo)代入解析式，解關(guān)于k,九的二元一次方程組

即可.

【詳解】（1）解：由圖象知：當(dāng)％=0時(shí)，y=1200,

??/、/?兩地之間的距離是1200米，

由圖象知：乙經(jīng)過20分鐘到達(dá)4,

，乙的速度為1200+20=60（米/分），

故答案為:1200；60：

（2）由圖象知：當(dāng)％=,時(shí)，y=0,

???甲、乙二人的速度和為：1200+9=140（米/分），

由（1）知：乙的速度為60米/分，

工甲的速度為140—60=80（米/分），

???點(diǎn)M的實(shí)際意義是經(jīng)過c分鐘中到達(dá)B地，

：.C=12004-80=15（分鐘）,

：,a=60x15=900（米），

?.?點(diǎn)N的實(shí)際意義是經(jīng)過20分鐘乙到達(dá)4地.

???￡=900-（80-60）x5=800（米）,

故答案為：900；800；15：

（3）由題意得:M（15,900）,N（20,800）,

設(shè)線段MN的函數(shù)解析式為y=kx+n,

.（15k+n=900

Fok+n=800'

解得：『=瑞，

5=1200

???線段MN的函數(shù)解析式為y=-20x+1200（15<%<20）.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，明確函數(shù)圖象上

點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023春?江蘇鹽城?八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上：學(xué)?？萍夹〗M進(jìn)行機(jī)器人行走性能試驗(yàn)，

在試驗(yàn)場地一條筆直的賽道上有兒B,。三個(gè)站點(diǎn)，A,8兩站點(diǎn)之間的距離是90米（圖1）.甲、乙兩

個(gè)機(jī)器人分別從A,8兩站點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向終點(diǎn)C行走，乙機(jī)器人始終以同一速度勻速行走.圖2是兩機(jī)器

人距離。站點(diǎn)的距離y（米）出發(fā)時(shí)間，（分鐘）之間的函數(shù)圖像，其中EF-FM-MN為折線段.請(qǐng)結(jié)合

圖像回答下列問題：

圖1圖2

（1）乙機(jī)器人行走的速度是米/分鐘；

⑵在4工￡46時(shí)，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，6分鐘后，甲機(jī)器人又恢復(fù)為原來出發(fā)時(shí)的速度.

①圖2中m的值為.

②請(qǐng)求出在6WC49時(shí)，甲、乙兩機(jī)器人之間的距離為60米時(shí)時(shí)間，的值.

【答案】⑴5（）

（2）①120,②7或g

【分析】（1）根據(jù)圖形知乙機(jī)器人9分鐘走完了450米，據(jù)此不求得乙機(jī)器人行走的速度：

（2）①先求得甲機(jī)器人行走的總路程540米，再分段求得甲機(jī)器人行走的路程，根據(jù)速度、時(shí)間、路程的

關(guān)系式求解即可；

②分情況討論，一種是甲乙都在運(yùn)動(dòng)，第二種狀態(tài)是甲先到，靜止下來，乙在跑，以甲停止運(yùn)動(dòng)那一刻為

分界點(diǎn).

【詳解】（1）解：根據(jù)圖形知乙機(jī)器人9分鐘走完了450米，

，乙機(jī)器人行走的速度為450+9=50（米/分）；

故答案為：50.

（2）①設(shè)甲機(jī)器人前3分鐘的速度為x米/分，

依題意得：3%=50x3+90,

解得％=80,

甲機(jī)器人行走的總路程為：450+90=540（米），

甲機(jī)器人前4分鐘的速度為80米/分，甲行走路程:80x4=320（米）,

4<t<6^,甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，甲行走路程：50x2=100（米），

Am=540-320-100=120,

故答案為:120.

②76分鐘后甲機(jī)器人的速度乂恢復(fù)為原來出發(fā)時(shí)的速度，

???6分鐘后甲機(jī)器人的速度是80米/分，

當(dāng)t=6時(shí)，甲乙兩機(jī)器人的距離為：80x4+50x（6-4）一（90+50x6）=30（米），

當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)。時(shí)，t=7.5（分），乙到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，t=9（分）

當(dāng)64tW9時(shí)，y乙=-50t+450

當(dāng)6工tW7.5時(shí)，y甲=-80t+600

當(dāng)7.5VtW9時(shí)，y甲=0

（―50￡+450）-（-80t+600）=30t-150=60,解得￡=7

（一50￡+450）-0=60,解得￡=?

甲、乙兩機(jī)器人之間的距離為60米時(shí)時(shí)間的值為7或?

【點(diǎn)睛】本題考杳了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程中追擊問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函

數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【變式3-3]（2023春?河北保定?八年級(jí)保定十三中?？计谀┰谝粭l筆直的公路上依次有4c,8三地，甲，

乙兩人同時(shí)出發(fā)，甲從力地騎自行車勻速去B地，途經(jīng)C地時(shí)休息1分鐘后繼續(xù)按原速騎行至8地，甲到達(dá)8地

后，立即按原路原速返回力地；乙步行勻速從8地至對(duì)也，甲，乙兩人距A地的距離y（米）與時(shí)間》（分）之

間的關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問題：

⑴甲騎行速度為米/分，乙步行速度為一米/分，4B兩地的距離為一米；

⑵求甲返回時(shí)距4地的距離y（米）與時(shí)間工（分）之間的關(guān)系式（不需要寫自變量的取值范圍）；

（3）兩人出發(fā)后，在甲返回A地之前，設(shè)第％分鐘時(shí)，兩人距C地的距離相等，請(qǐng)直接寫出”的值.

【答案】⑴240,60,1200

（2）y=-240%+2640

（3）4或6或8

【分析】（1）根據(jù)圖象可得，甲從A地到C地用了（弓一1）分鐘，共1020米，即可求出甲的速度，再求出

A地到3地的路程，即可求出乙的速度；

（2）求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，把點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)帶入、=kx+b即可求解；

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：

甲的速度：1020+（弓一1）=240（米/分），

A,B兩地距離：240x（ll-l）x：=1200（米），

乙的速度：12004-20=60（米/分），

故答案為:240,60,1200.

（2）設(shè)甲返回時(shí)距A地的距離y（米）與時(shí)間％（分）之間的關(guān)系式為：y=kx+b,

V/地至lj3地距離為1200米，

???點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1200,

???甲在C地休息了一分鐘，

???點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為[x（11+1）=6,

，M（6,1200）,

把點(diǎn)M（6,1200）,N（ll,0）帶入y=匕+力得：

[1200=6k+bZB（k=-240

I0=1M+8'解傳：I》=2640，

/.>■=-240%+2640.

（3）。地距離8地1200-1020=180（米）

乙到。地時(shí)間：180+60=3（分）

甲乙相遇的時(shí)間：1200+(240+60)=4(分)

①當(dāng)0時(shí)，

此時(shí)乙還沒到。地：1020-240%=180-60%,

解得：x=^＞3,此種情況不符合題意；

②當(dāng)3Vx＜之一1時(shí)，即3cx時(shí)，

44

1020-240x=60x-180

解得：x=4時(shí)；

③當(dāng)之＜工＜6時(shí)，甲在仄C之間，乙在A、C之間，

4

.*.240(%-1)-1020=60%-18。，

解得：x=6時(shí)：

此種情況不符合題意；

④當(dāng)％=6時(shí)，甲到8地，距離C地180米，

乙距C地的距離：6x60-180=180(米)，

即x=6時(shí)兩人距。地的路程相等，

⑤當(dāng)%＞6時(shí)，甲在返回途中，

當(dāng)甲在8、C之間時(shí),180-[240(x-1)-1200]=60x-180,

解得：x=6,

此種情況不符合題意，

當(dāng)甲在A、C之間時(shí)，240(%-1)-1200-180=60%-180,

解得：x=8,

綜上所述，在甲返回A地之前，經(jīng)過4分鐘或6分鐘或8分鐘時(shí)兩人距。地的路程相等.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系的運(yùn)用，行程

問題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，注意由圖像得出有用的信息及分類討論思想在解題時(shí)的應(yīng)用.

【題型4工程問題】

【例4】(2023春?重慶九龍坡?八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？计谥?某地計(jì)劃修建一條長36千米的鄉(xiāng)村公

路，已知甲工程隊(duì)修路的速度是乙工程隊(duì)修路速度的1.5倍，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成本次修路任務(wù)匕甲工程隊(duì)單

獨(dú)完成多20天.

⑴求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各修路多少千米？

(2)已知甲工程隊(duì)修路費(fèi)用為25萬元/千米，乙工程隊(duì)修路費(fèi)用為20萬元/千米.甲工程隊(duì)先單獨(dú)修路若干天

后，接到其它任務(wù)需要離開，剩下的工程由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成.若要使修路總時(shí)間不超過55天，總費(fèi)用不

超過820萬元，且甲工程隊(duì)所修路程需為整數(shù)，請(qǐng)問共有幾種修路方案？哪種方案最省錢？

【答案】(1)甲工程隊(duì)每天修路0.9千米，乙工程隊(duì)每天修路0.6千米

⑵共有13種方案，其中甲單獨(dú)干10天，剩下的乙單獨(dú)修完，最省錢.

【分析】(1)設(shè)乙工程隊(duì)每天修路x千米，則甲工程隊(duì)每天修路1.5X千米，根據(jù)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成本次修路

任務(wù)比甲工程隊(duì)單獨(dú)完成多20天，列出方程，進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)甲工程隊(duì)修路Q天，根據(jù)修路總時(shí)間不超過55天，總費(fèi)用不超過820萬元，列出不等式組，求出Q的

取值范圍，確定方案，設(shè)花費(fèi)的總費(fèi)用為w，列出一次函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴解：設(shè)乙工程隊(duì)每天修路工千米，則甲工程隊(duì)每天修路1.5%千米，

由題意，得：--20=^-,

xl.Sx

解得：x=0.6,

經(jīng)檢驗(yàn)￥=0.6,是原方程的解，

1.5x=0.9；

答：甲工程隊(duì)每天修路0.9千米，乙工程隊(duì)每天修路0.6千米;

(2)解：設(shè)甲工程隊(duì)修路Q天，由題意，得：

36-09a--

Q+Az-55AZJ40q,200

0.6，解得：IOWQWF

(25x0.9a+20x(36-0.9a)<8209

???a為整數(shù)，

可以?。?0,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22；

，共有13種方案；

設(shè)共需花費(fèi)w萬元，由題意，得：

w=Z5X0.9a+20X(36—0.9a)=4.5a十720,

V4.5>0,w隨著a的增大而增大,

，當(dāng)Q=10時(shí)，W的值最小，

即：甲單獨(dú)干10天，剩下的乙單獨(dú)修完，最省錢.

答：共有13種方案，其中甲單獨(dú)干10天，剩下的乙單獨(dú)修完，最省錢.

【點(diǎn)晴】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.解題的關(guān)鍵

是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，不等式組.

【變式4-1］（2023春?重慶?八年級(jí)重慶八中?？计谥校┠硨W(xué)校利用寒假維護(hù)其教學(xué)樓，若甲、乙兩工程隊(duì)合

作10天可完成；若甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工5天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)施工20天也可完成.

（1）求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天？

（2）現(xiàn)將該教學(xué)樓工程分成兩部分，甲工程隊(duì)做其中一部分工程用了m天，每天需付施工費(fèi)3萬元，乙工程隊(duì)

做另一部分工程川了ri天，每天需付施工費(fèi)1.4萬元，若m,n都是正整數(shù)，乙工程隊(duì)做的時(shí)間不到17天，求

出此項(xiàng)工程總施工費(fèi)用的最小值.

【答案】（1）甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要15天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要30天

（2）此項(xiàng)工程總施工費(fèi)用的最小值為434萬元

【分析】⑴設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需費(fèi)天，則甲工程隊(duì)的工作效率冷乙工程隊(duì)的工作效率為

（卷一0,依題意可列出分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；

⑵依題意，+=得出血=15-條設(shè)此項(xiàng)工程總施工費(fèi)用為y,依題意可函數(shù)關(guān)系，根據(jù)一

次函數(shù)的性質(zhì)，求得最小值即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要工天，則甲工程隊(duì)的工作效率為L乙工程隊(duì)的工作效

X

率為（卷一:），依題意得，

?+（?!）X20=1,

解得：x=15,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=15是原方程的解，且符合題意，

，乙工程隊(duì)需要一?詰一曰=1+（卷一?=3。（天），

答：甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要15天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要30天.

（2）解：依題意,2m+泉九=1,

.*.2m+n=30,

即m=15—p

設(shè)此項(xiàng)工程總施工費(fèi)用為y,

則;y=?nx34-nxl.4=3m+1.4n

=3（15-0.5n）+1.4n

=45-O.ln,

V-O.l<0,y隨71的增大而減小，

又nvl7,當(dāng)九=16時(shí)，y取得最小值，

y=45-0.1x16=45-1.6=43.4（萬元），

???此項(xiàng)工程總施工費(fèi)用的最小值為43.4萬元.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程和函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2023春?河南新鄉(xiāng)?八年級(jí)?？计谥校┠呈性诘缆犯脑爝^程中，需要鋪設(shè)一條長為144。米的管

道，決定由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成這一任務(wù)，已知甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)每天能多鋪設(shè)20米，且甲工程隊(duì)

鋪設(shè)480米所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)360米所用的天數(shù)相同.

（1）甲、乙工程隊(duì)每天各能鋪設(shè)多少米？

（2）如果要求完成該工程的工期不超過12天，工程分配給甲工程隊(duì)m米，寫出m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，施工時(shí)，每天需要支付甲工程隊(duì)1520元，每天需要支付乙工程隊(duì)1200元，完成這

項(xiàng)工程的總支出為y元，寫出y關(guān)于m的函數(shù)解析式，并利用函數(shù)的性質(zhì)，說明如何設(shè)計(jì)施工方案所支付

的總費(fèi)用最少？

【答案】（1）甲、乙工程隊(duì)每天分別能鋪設(shè)80米和6（）米；⑵720WmS1440；（3）y=-m+28800；工

程全部分配給甲工程隊(duì)支出的總費(fèi)用最少.

【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)x米，則乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)（x-20）米，根據(jù)甲工程隊(duì)鋪設(shè)480米

所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)360米所用的天數(shù)相同，列方程求解；

（2）設(shè)分配給甲工程隊(duì)m米，則分配給乙工程隊(duì)（1440-m）米，根據(jù)總工期不超過12天，列不等式，解

不等式即可；

（3）設(shè)完成這項(xiàng)工程的總支出為y元，根據(jù)題意得到y(tǒng)=#1520+V誓xl200=-m+28800,根據(jù)一次函

8060

數(shù)的性質(zhì)即可求得.

【詳解】解：（1）設(shè)甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)X米，則乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)（X-20）米.

根據(jù)題意得竺費(fèi)，

xx-20

解得：x=80,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=80是原分式方程的解，且符合題意，

則x-20=60,

答：甲、乙工程隊(duì)每天分別能鋪設(shè)80米和60米：

（2）設(shè)分配給甲工程隊(duì)m米，則分配給乙工程隊(duì)（1440-m）米，

由題意，得/嗤與⑵

解得：吟720,

Vm<1440,

/.72U<m<l440；

（3）設(shè)完成這項(xiàng)工程的總支出為y元，

y=—x1520+144（）-?nx120（）=19m-28800-20m=-m+28800,

J8060

V-l<0,

???y隨m的增大而減小，

V720<m<1440,

???m=1440時(shí)，y的值最小，支出的總費(fèi)用最少，

，工程全部分配給甲工程隊(duì)支出的總費(fèi)用最少.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂

題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解.

【變式4-3］（2023春?四川成都?八年級(jí)統(tǒng)考期末）某市計(jì)劃修建一條長60千米的地鐵，根據(jù)甲，乙兩個(gè)地

鐵修建公司標(biāo)書數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：甲，乙兩公司每天修建地鐵長度之比為3：5：甲公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程比乙公

司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程要多用240天.

（1）求甲，乙兩個(gè)公司每天分別修建地鐵多少千米？

（2）該市規(guī)定：“該工程由甲，乙兩個(gè)公司輪流施工完成，工期不超過450天，且甲公司工作天數(shù)不少于乙

公司工作天數(shù)的表.設(shè)甲公司工作。天，乙公司工作〃天.

6

①請(qǐng)求出〃與a的函數(shù)關(guān)系式及a的取值范圍；

②設(shè)完成此項(xiàng)工程的工期為W天，請(qǐng)求出W的最小值.

【答案】（1）甲公司每天修建地鐵白千米，乙公司每天修建地鐵;千米;（2）①b=+360（200<a<225）；

1065

②W最小值為440天

【分析】（1）甲公司每天修33千米，乙公司每天修5%千米，根據(jù)題意列分式方程解答即可：

（2）①由題意得白a+；b=60,再根據(jù)題意列不等式組即可求;Ila的取值范圍；

106

②寫出W