河北省安平縣安平中學(xué)2025屆高二下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下面是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，且的部分過程：“……，假設(shè)當(dāng)時，＋＋…＋，故當(dāng)時，有，因為，故＋＋…＋，……”，則橫線處應(yīng)該填（）A．＋＋…＋+＜，B．＋＋…＋，C．2＋＋…＋+，D．2＋＋…＋，2．函數(shù)f(x)的定義域為R，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()．A．無極大值點，有四個極小值點B．有三個極大值點，兩個極小值點C．有兩個極大值點，兩個極小值點D．有四個極大值點，無極小值點3．在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，若，，則的最小值是（）A.B.C.D.4．已知樣本數(shù)據(jù)點集合為，樣本中心點為，且其回歸直線方程為，則當(dāng)時，的估計值為（）A． B． C． D．5．設(shè)有兩條直線，和兩個平面、，則下列命題中錯誤的是A．若，且，則或B．若，且，，則C．若，且，，則D．若，且，則6．某批零件的尺寸X服從正態(tài)分布，且滿足，零件的尺寸與10的誤差不超過1即合格，從這批產(chǎn)品中抽取n件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，則n的最小值為（）A．7 B．6 C．5 D．47．已知二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．函數(shù)f(x)=13ax3A．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)>2 D．a(chǎn)≥29．已知，，，則它們的大小關(guān)系是A． B． C． D．10．點的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)為（）A． B． C． D．11．分配名工人去個不同的居民家里檢查管道，要求名工人都分配出去，并且每名工人只去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種12．已知，橢圓的方程，雙曲線的方程為，和的離心率之積為，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是______．14．在直角中，，，，為斜邊的中點，則=．15．設(shè)向量，，且，則的值為__________．16．設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若，則；②若，則；③若，，則；④若，則，其中正確命題的序號是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的定義域為實數(shù)集R.(1)當(dāng)a＝5時，解關(guān)于x的不等式f(x)>9；(2)設(shè)關(guān)于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集為A,若B＝{x∈R||2x－1|≤3},當(dāng)A∪B＝A時，求實數(shù)a的取值范圍．18．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．19．（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的極大值．20．（12分）如圖,在四棱錐S-ABCD中，平面，底面ABCD為直角梯形，,,且（Ⅰ）求與平面所成角的正弦值.（Ⅱ）若E為SB的中點，在平面內(nèi)存在點N，使得平面，求N到直線AD,SA的距離.21．（12分）命題方程表示雙曲線；命題不等式的解集是.為假，為真，求的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列滿足，且≥（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由歸納假設(shè)，推得的結(jié)論，結(jié)合放縮法，便可以得出結(jié)論．【詳解】假設(shè)當(dāng)時，＋＋…＋，故當(dāng)時，＋＋…＋+＜，因為，＋＋…＋，故選A．本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的步驟，以及放縮法的運用，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．2、C【解析】試題分析：所給圖象是導(dǎo)函數(shù)圖象，只需要找出與軸交點，才能找出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而找出極值點；由本題圖中可見與有四個交點，其中兩個極大值，兩極小值.考點：函數(shù)的極值.3、A【解析】試題分析：設(shè)P（x,y）,則，，所以，所以P點軌跡為，根據(jù)條件，可以整理得到：，所以M,Q,N三點共線，即Q點在直線MN上，由M（8，0），N（0，8）可知Q點在直線上運動，所以的最小值問題轉(zhuǎn)化為圓上點到直線的最小距離，即圓心到直線的距離減去圓的半徑，。考點：1.平面向量的應(yīng)用；2.直線與圓的位置關(guān)系。4、D【解析】

根據(jù)線性回歸直線過樣本中心點，可得，然后代值計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以回歸直線方程為當(dāng)當(dāng)時，故選：D本題考查線性回歸方程，掌握回歸系數(shù)的求法以及回歸直線必過樣本中心點，屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】

對A，直接進(jìn)行直觀想象可得命題正確；對，由線面垂直的性質(zhì)可判斷；對，由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷；對D，也有可能.【詳解】對A，若，且，則或，可借助長方體直接進(jìn)行觀察命題成立，故A正確；對B，若，且，可得，又，則由線面垂直的性質(zhì)可知，故B正確；對C，若，且，可得，又，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，故C正確；對D，若，且，則也有可能，故D錯誤.故選：D.本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握空間線面之間關(guān)系的判定方法及性質(zhì)定理是解答此類問題的關(guān)鍵．6、D【解析】

計算，根據(jù)題意得到，設(shè)，判斷數(shù)列單調(diào)遞減，又，，得到答案.【詳解】因為，且，所以，即每個零件合格的概率為.合格零件不少于2件的對立事件是合格零件個數(shù)為零個或一個.合格零件個數(shù)為零個或一個的概率為，由，得①，令.因為，所以單調(diào)遞減，又因為，，所以不等式①的解集為.本題考查了正態(tài)分布，概率的計算，數(shù)列的單調(diào)性，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.7、A【解析】

先求出二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，所需要的條件，然后再平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，然后分析得出的取值范圍.【詳解】因為二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，所以有：，對應(yīng)的平面區(qū)域為下圖所示：則令，則的取值范圍為，故本題選A.本題考查了一元二次方程零點分布問題，正確畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】

根據(jù)fx單調(diào)遞增可知f'x≥0在1,2【詳解】由題意得：ffx在1,2上單調(diào)遞增等價于：f'x即：ax2當(dāng)x∈1,2時，2x本題正確選項：D本題考查根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為恒成立問題，從而利用分離變量的方式來進(jìn)行求解.9、A【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，而，因此，即。選A。10、D【解析】

分別求得極徑和極角，即可將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo).【詳解】由點M的直角坐標(biāo)可得：，點M位于第二象限，且，故，則將點的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)為.本題選擇D選項.本題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.11、C【解析】

根據(jù)題意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家檢查；分兩步進(jìn)行，①先從4名水暖工中抽取2人，②再將這2人當(dāng)做一個元素，與其他2人，共3個元素，分別分配到3個不同的居民家里，由分步計數(shù)原理，計算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，分配4名水暖工去3個不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每個居民家都要有人去檢查；

則必有2名水暖工去同一居民家檢查，

即要先從4名水暖工中抽取2人，有種方法，

再將這2人當(dāng)做一個元素，與其他2人，共3個元素，分別分配到3個不同的居民家里，有種情況，

由分步計數(shù)原理，可得共種不同分配方案，

故選：C.本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意一般順序是先分組（組合），再排列，屬于中檔題.12、A【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結(jié)合和的離心率之積為，即可得的關(guān)系，進(jìn)而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程，雙曲線的方程為，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，由和的離心率之積為，即，解得，所以漸近線方程為，化簡可得，故選：A.本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與恰有兩個交點，當(dāng)和時，利用函數(shù)的圖象易得交點個數(shù).當(dāng)，利用表示直線的斜率，結(jié)合圖象即可求出的范圍.【詳解】由題知：函數(shù)恰有兩個零點.等價于函數(shù)與恰有兩個交點.當(dāng)時，函數(shù)與恰有一個交點，舍去.當(dāng)時，函數(shù)與恰有兩個交點.當(dāng)時，如圖設(shè)與的切點為，，，，則切線方程為，原點代入，解得，.因為函數(shù)與恰有兩個交點，由圖知.綜上所述：或.故答案為：.本題主要考查函數(shù)的零點問題，分類討論和數(shù)形結(jié)合為解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.14、【解析】試題分析：由于為直角三角形，且，，所以，由正弦定理得，，.考點：1.正弦定理；2.平面向量的數(shù)量積15、【解析】分析：先根據(jù)向量垂直得，再根據(jù)兩角差正切公式求解.詳解：因為，所以,因此點睛：向量平行：，向量垂直：，向量加減：16、①②【解析】

①利用線面平行性質(zhì)以及線面垂直的定義判斷真假；②利用面面平行的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)判斷真假；③④可借助正方體判斷真假.【詳解】①因為，過作平面，使得，則有；又因為，所以，又因為，所以，故①正確；②因為，所以；又因為，所以，故②正確；③例如：正方體上底面的對角線分別平行下底面，但是兩條對角線互相不平行，故③不正確；④選正方體同一頂點處的三個平面記為，則有，但與相交，故④不正確.故填：①②.判斷用符號語言描述的空間中點、線、面的位置關(guān)系的正誤：（1）直接用性質(zhì)定理、判定定理、定義去判斷；（2）借助常見的空間幾何體輔助判斷（正方體等）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1){x∈R|x<－6或x>3}．(2)[－1,0]．【解析】分析：（1）當(dāng)a＝5時，把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求；（2）由題意可得B?A，區(qū)間B的端點在集合A中，由此求得a的取值范圍.詳解：(1)當(dāng)a＝5時，f(x)＝|x＋5|＋|x－2|.①當(dāng)x≥2時，由f(x)>9，得2x＋3>9，解得x>3；②當(dāng)－5≤x<2時，由f(x)>9，得7>9，此時不等式無解；③當(dāng)x<－5時，由f(x)>9，得－2x－3>9，解得x<－6.綜上所述，當(dāng)a＝5時，關(guān)于x的不等式f(x)>9的解集為{x∈R|x<－6或x>3}．(2)∵A∪B＝A，∴B?A.又B＝{x||2x－1|≤3}＝{x∈R|－1≤x≤2},關(guān)于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集為A，∴當(dāng)－1≤x≤2時，f(x)≤|x－4|恒成立．由f(x)≤|x－4|得|x＋a|≤2.∴當(dāng)－1≤x≤2時，|x＋a|≤2恒成立，即－2－x≤a≤2－x恒成立．∴實數(shù)a的取值范圍為[－1,0]．點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，集合間的包含關(guān)系.18、（1）；（2）見解析.【解析】

（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計算A的坐標(biāo)，計算切線與橢圓交點坐標(biāo)，代入橢圓方程，計算參數(shù)，即可．（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可．【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得，∴點在橢圓上，∴，解得，∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過點且與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設(shè)切線方程為，由(Ⅰ)知，，，∴.當(dāng)過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設(shè)切線的方程為，，∴，即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得，∴，得.∵，∴，，∴.綜上所述，圓上任意一點處的切線交橢圓于點，都有.在中，由與相似得，為定值.本道題考查了橢圓方程的求解，考查了直線與橢圓位置關(guān)系，考查了向量的坐標(biāo)運算，難度偏難．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）將點代入切線方程得出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出，于此列方程組求解出實數(shù)、的值；（Ⅱ）求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分析出該函數(shù)的極大值點并求出該函數(shù)的極大值?！驹斀狻浚á瘢┯?，得．由曲線在點處的切線方程為，得，，解得．（Ⅱ），．，解得；，解得；所以函數(shù)的增區(qū)間：；減區(qū)間：，時，函數(shù)取得極大值，函數(shù)的極大值為．本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，求解時要熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的基本步驟，另外在處理直線與函數(shù)圖象相切的問題時，抓住以下兩個要點：（1）函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率；（2）切點是切線與函數(shù)圖象的公共點。20、（Ⅰ）；（Ⅱ）N到直線AD,SA的距離分別為1,1.【解析】

（Ⅰ）以點A為原點，以AD所在方向為x軸，以AS所在方向為z軸，以AB所在方向為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法求與平面所成角的正弦值；（Ⅱ））設(shè)，再根據(jù)已知求出x,z,再求出N到直線AD,SA的距離.【詳解】解：（I）以點A為原點，以AD所在方向為x軸，以AS所在方向為z軸，以AB所在方向為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，D(1,0,0),S(0,0,2),,,,設(shè)平面的一個法向量為則由設(shè)與平