6.4求和方法（精練）1．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）2022年11月8日，著名華人數(shù)學家張益唐教授以視頻方式作學術報告，與北大數(shù)學師生分享他圍繞“朗道—西格爾零點猜想”所做的研究工作，他在“大海撈針”式的研究過程中提出的新想法是基于一個簡單的代數(shù)恒等式：.已知數(shù)列的通項公式為，則其前9項的和等于（

）A．13280 B．20196 C．20232 D．295202．（2023·全國·高三專題練習）我們都聽說過一個著名的關于指數(shù)增長的故事：古希臘著名的數(shù)學家、思想家阿基米德與國王下棋.國王輸了，問阿基米德要什么獎賞？阿基米德說：“我只要在棋盤上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八?！创朔椒ǚ诺竭@棋盤的第64個格子就行了.”通過計算，國王要給阿基米德粒米，這是一個天文數(shù)字.年后，又一個數(shù)學家小明與當時的國王下棋，也提出了與阿基米德一樣的要求，由于當時的國王已經(jīng)聽說過阿基米德的故事，所以沒有同意小明的請求.這時候，小明做出了部分妥協(xié)，他提出每一個格子放的米的個數(shù)按照如下方法計算，首先按照阿基米德的方法，先把米的個數(shù)變?yōu)榍耙粋€格子的兩倍，但從第三個格子起，每次都歸還給國王一粒米，并由此計算出每個格子實際放置的米的個數(shù).這樣一來，第一個格子有一粒米，第二個格子有兩粒米.第三個格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于歸還給國王一粒米，就剩下三粒米；第四個格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聰明”的國王一看，每個格子上放的米的個數(shù)都比阿基米德的方案顯著減少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，請你計算個格子一共能得到（

）粒米.A． B． C． D．3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數(shù)列．若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有一個“三角垛”，共有40層，各層小球個數(shù)構成一個二階等差數(shù)列，第一層放1個小球，第二層放3個小球，第三層放6個小球，第四層放10個小球，，則第40層放小球的個數(shù)為（

）A．1640 B．1560 C．820 D．7804．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）我國古代數(shù)學在宋元時期達到繁榮的頂點，涌現(xiàn)了一大批卓有成就的數(shù)學家，其中朱世杰與秦九韶、楊輝、李冶被譽為我國“宋元數(shù)學四大家”.朱世杰著有《四元玉鑒》和《算學啟蒙》等，在《算學啟蒙》中，最為引人入勝的問題莫過于堆垛問題，其中記載有以下問題：“今有三角、四角果子垛各一所，共積六百八十五個，只云三角底子一面不及四角底子一面七個，問二垛底子一面幾何？”其中“積”是和的意思，“三角果子垛”是每層都是正三角形的果子垛，自上至下依次有1，3，6，10，15，…，個果子，“四角果子垛”是每層都是正方形的果子垛，自上至下依次有1，4，9，16，…，個果子，“底子一面”指每垛最底層每條邊”.根據(jù)題意，可知該三角、四角果子垛最底層每條邊上的果子數(shù)是（

）（參考公式：）A．4，11 B．5，12 C．6，13 D．7，145．（2023·上海普陀·上海市宜川中學校考模擬預測）德國數(shù)學家高斯是近代數(shù)學奠基者之一，有“數(shù)學王子”之稱，在歷史上有很大的影響.他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學天賦，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知某數(shù)列通項，則（

）A．98 B．99 C．100 D．1016．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）“數(shù)學王子”高斯是近代數(shù)學奠基者之一，他的數(shù)學研究幾乎遍及所有領域，在數(shù)論?代數(shù)學?非歐幾何?復變函數(shù)和微分幾何等方面都作出了開創(chuàng)性的貢獻.我們高中階段也學習過很多高斯的數(shù)學理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法等等.已知某數(shù)列的通項，則（

）A． B． C． D．7．（2023·上海黃浦·上海市大同中學?？既＃┠纤蔚臄?shù)學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應立體圖形作類比，推導出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則______．

8．（2023春·江西宜春·高三校考開學考試）德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設數(shù)列滿足，若，則的前n項和_________．9．（2023·全國·高三專題練習）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.10．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預測）正項數(shù)列中，，，的前n項和為，從下面三個條件中任選一個，將序號填在橫線______上．①，；②為等差數(shù)列；③為等差數(shù)列，試完成下面兩個問題：(1)求的通項公式；(2)求證：．11．（2023·山東·山東省實驗中學校考一模）已知正項數(shù)列的前項和為，且，．(1)求；(2)在數(shù)列的每相鄰兩項、之間依次插入、、、，得到數(shù)列、、、、、、、、、、，求的前項和．12．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足．(1)證明是等比數(shù)列；(2)若，求的前項和．13．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）在①2，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．問題：設數(shù)列的前項和為，且__________．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．14．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，求的通項公式.15．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預測）設為數(shù)列的前n項積．已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．16．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的首項，且滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.17．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？寄M預測）在公差不為零的等差數(shù)列中，且，，成等比數(shù)列．(1)求通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和；18．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和19．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）已知數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前40項和.20．（2023·陜西西安·?？寄M預測）正項數(shù)列的前n項和為，已知．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出，；(2)若，求數(shù)列的前2023項和．21．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預測）在①；②，與都是等比數(shù)列；③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．已知數(shù)列的前n項和為，且______．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．注：如果選擇多個條件分別作答，則按所作第一個解答計分．22．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公差和公比都是，若對滿足的任意正整數(shù)，，均有成立．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和．23．（2023·湖南長沙·長郡中學?？寄M預測）已知數(shù)列的前項和為，.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式;(2)若，求數(shù)列的前項和.從①和②這兩個條件中任意選擇一個填入上面橫線上，并完成解答.注:若選擇多個條件作答，則按第一個解答計分.24．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）已知為正項等差數(shù)列，為正項等比數(shù)列，其中，且，成等比數(shù)列，．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．25．（2023春·河北唐山·高三開灤第二中學?？茧A段練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.26．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．27．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學?？寄M預測）設數(shù)列的前項和為，已知，且數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求其前項和28．（2023·山東濰坊·三模）已知數(shù)列和滿足．(1)證明：和都是等比數(shù)列；(2)求的前項和．29．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知等比數(shù)列的公比，前n項和為，滿足：.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.30．（2023·安徽滁州·?？寄M預測）已知等比數(shù)列的前項和為，且(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和．31．（2022春·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習）已知數(shù)列，，為數(shù)列的前n項和，，若，，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的通項公式為，令為的前n項的和，求.32．（2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習）數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，求使成立的最小正整數(shù).1．（2022·全國·高三專題練習）設，為數(shù)列的前n項和，求的值是（

）A． B．0 C．59 D．2．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校聯(lián)考模擬預測）（多選）如圖，楊輝三角形中的對角線之和1，1，2，3，5，8，13，21，…構成的斐波那契數(shù)列經(jīng)常在自然中神奇地出現(xiàn)，例如向日葵花序中央的管狀花和種子從圓心向外，每一圈的數(shù)字就組成這個數(shù)列，等等.在量子力學中，粒子糾纏態(tài)、量子臨界點研究也離不開這個數(shù)列.斐波那契數(shù)列的第一項和第二項都是1，第三項起每一項都等于它前兩項的和，則（

）

A． B．C． D．3．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考模擬預測）數(shù)列的前1357項均為正數(shù),且有：,則的可能取值個數(shù)為（

）A．665 B．666 C．1330 D．13324．（2023·全國·高三對口高考）在如圖所示的數(shù)表中，第行第列的數(shù)記為，且滿足，，，則此數(shù)表中的第行第列的數(shù)是________；記第行的數(shù)、、、、、為數(shù)列，則數(shù)列的通項公式為________．第1行

1

2

4

8

…第2行

2

3

5

9

…第3行

3

5

8

13……

…5．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且，設函數(shù)，則___________，___________.6．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學?？计谀┰诟咧械臄?shù)學課上，張老師教會了我們用如下方法求解數(shù)列的前n項和：形如的數(shù)列，我們可以錯位相減的方法對其進行求和；形如的數(shù)列，我們可以使用裂項相消的方法對其進行求和．李華同學在思考錯位相減和裂項相消后的本質后對其進行如下思考：錯位相減：設，綜上：當中間項可以相消時，可將求解的問題用錯位相減化簡裂項相消：設或為公比為1的等比數(shù)列；①當時，②當為公比為1的等比數(shù)列時，；故可為簡便計算省去②的討論，綜上：可將求解的問題用裂項相消轉化為求解的問題你看了他的思考后雖覺得這是“廢話文學”，但是你立刻腦子里靈光一閃，回到座位上開始寫下了這三個問題：(1)用錯位相減的方法“溫故”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項和；(2)用裂項相消的方法“知新”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項和；(3)融會貫通，求證：前n項和滿．請基于李華同學的思考做出解答，并寫出裂項具體過程．7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．8．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？寄M預測）已知數(shù)列的前項和為是與的等差中項；數(shù)列中.(1)求數(shù)列與的通項公式；(2)若，證明：；(3)設，求.9．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預測）記為數(shù)列的前項和，已知.(1)求的通項公式；(2)設單調(diào)遞增的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.（i）求的通項公式；（ii）設，證明：.10．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預測）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和分別為：，且滿足：，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若求數(shù)列的前項的和.11．（2023春·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）已知數(shù)列各項都不為0，，，的前項和為，且滿足.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.12．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學?？寄M預測）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.13．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預測）2023年4月23日，是中國海軍成立74周年74年向海圖強，74年劈波斬浪．74年，人民海軍新裝備不斷增加，新型作戰(zhàn)力量加速發(fā)展，從“101南昌艦”到“108咸陽艦”，8艘055型驅逐艦列陣.我國自主研制的075型兩棲攻擊艦“31海南艦”“32廣西艦”“33安徽艦”也相繼正式入列．從小艇到大艦，從近海防御到挺進深藍大洋，人民海軍步履鏗鏘，捍衛(wèi)國家主權，維護世界和平．為了慶祝中國海軍成立74周年，某公司設計生產(chǎn)了三款兩棲