第7章平面圖形的認識（二）（知識歸納+題型突破）1.掌握平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運用；2.了解平移的概念及性質(zhì).3.熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，三角形的分類和中線、高線、角平分線.4.熟練掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和的求解.一.同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角：兩條直線AB、CD與直線EF相交，交點分別為E、F，如圖，則稱直線AB、CD被直線EF所截，直線EF為截線.兩條直線AB、CD被直線EF所截可得8個角，即所謂“三線八角”.1.同位角：兩條直線被第三條直線所截，在二條直線的同側(cè)，且在第三條直線的同旁的二個角叫同位角.如圖中的∠1與∠5分別在直線AB、CD的上側(cè)，又在第三條直線EF的右側(cè)，所以∠1與∠5是同位角，它們的位置相同，在圖中還有∠2與∠6，∠4與∠8，∠3與∠7也是同位角.2.內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，在二條直線的內(nèi)側(cè)，且在第三條直線的兩旁的二個角叫內(nèi)錯角.如上圖中∠2與∠8在直線AB、CD的內(nèi)側(cè)（即AB、CD之間），且在EF的兩旁，所以∠2與∠8是內(nèi)錯角.同理，∠3與∠5也是內(nèi)錯角.3.同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，在兩條直線的內(nèi)側(cè)，且在第三條直線的同旁的兩個角叫同旁內(nèi)角.如上圖中的∠2與∠5在直線AB、CD內(nèi)側(cè)又在EF的同旁，所以∠2與∠5是同旁內(nèi)角，同理，∠3與∠8也是同旁內(nèi)角.因此，兩條直線被第三條直線所截，共得4對同位角，2對內(nèi)錯角，2對同旁內(nèi)角.二.直線平行的判定：1.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行，簡記為：同位角相等，兩直線平行.2.兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行，簡記為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.3.兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行，簡記為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.三.直線平行的性質(zhì)：1.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡記：兩直線平行，同位角相等2.兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡記：兩直線平行，內(nèi)錯角相等3.兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，簡記：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補四.平移：(一)平移的概念：把圖形上所有點都按同一方向移動相同的距離叫作平移.△ABC向右平移相同距離得到△A’B’C’，其中A與A’是對應(yīng)點，線段AB與線段A’B’是對應(yīng)線段，∠A與∠A’是對應(yīng)角.(二)平移的特征：1.平移后的圖形與原來的圖形的對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生改變，并且平移不改變直線的方向.2.平移把直線變成與它平行的直線.3.兩條平行線中的一條可以通過平移與另一條重合(三)平移作圖：確定一個圖形平移后的位置所需條件為：1.圖形原來的位置；2、平移的方向；3、平移的距離(四)兩直線之間的距離：如果兩條直線互相平行，那么其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等,這個距離稱為平行線之間的距離。五.三角形(一)三角形的定義：1.由不在同一直線上的三條線段首位順次相接所組成的圖形叫做三角形.2.三角形有三條邊、三個頂點和三個內(nèi)角.記作：△ABC三角形的頂點：A、B、C；三角形的內(nèi)角:∠A、∠B、∠C；三角形的邊：AB、AC、BC(二)三角形分類：（一）分類：1.三角形按邊分類：注：等邊三角形是特殊的等腰三角形，切記不能將三角形按邊分成不等邊三角形、等腰三角形和等邊三角形三類.2.三角形按角分類：（1）三個內(nèi)角都是銳角的三角形叫做銳角三角形.（2）有一個內(nèi)角是直角的三角形叫做直角三角形.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC、BC叫做直角三角形的直角邊，AB叫做直角三角形的斜邊.用“Rt”表示直角，直角三角形ABC可表示為：Rt△ABC.直角三角形的兩個銳角互余.即∠A＋∠B＝90°.（3）有一個內(nèi)角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形.(三)三邊關(guān)系：1、三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;（判斷三條線段能否構(gòu)成一個三角形時，就看這三條線段是否滿足任何兩邊之和大于第三邊，其簡便方法是看兩條較短線段的和是否大于第三條最長的線段.）(四)三角形的性質(zhì)：三角形具有穩(wěn)定性六.三角形三條重要線段1.三角形的角平分線、中線和高：如圖，點D、E、F都在AB上.（一）角平分線：1.在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點間的線段叫做三角形的角平分線.2.若∠ACE=∠ECB=∠ACB（即CE平分∠ACB），則CE是△ABC的角平分線.（二）高：1.從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.2、若CF⊥AB（即∠AFC＝∠BFC＝90°），則CF是△ABC的高.（三）中線：1.在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線.2.若AD=BD=AB（即D是AB的中點）時，則CD是△ABC的中線.特別注意：（1）三角形有三條角平分線，三條中線，三條高線（它們都是線段）（2）三角形三條角平分線，三條中線都在三角形的內(nèi)部，但高不一定(鈍角三角形有兩條在外部，直角三角形時有兩條恰好是兩條直角邊).（3）三角形三條角平分線交于一點，三條中線交于一點，三條中線所在的直線交于一點.（四）外角：（1）三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角（2）我們把兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做這個等腰三角形的腰；把三邊都相等的三角形叫做等邊三角形（或正三角形）.三角形的中線三條中線交于三角形內(nèi)一點三角形的角平分線三條角平分線交于三角形內(nèi)一點三角形的高銳角三角形的三條高交于三角形內(nèi)一點；直角三角形的三條高交于邊上；鈍角三角形的三條高交于三角形外一點2.三角形的內(nèi)角和定理：1、三角形的內(nèi)角：①三角形的三個內(nèi)角的和等于180°.②推論：直角三角形的兩個銳角互余.2、三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角.圖中的∠CBD稱為△ABC的一個外角3、注意：①“外角”是三角形的外角，不是它相鄰內(nèi)角的外角.對三角形的外角,稱某個角是某個三角形的外角,而不稱三角形某個角的外角②三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.③三角形的外角和等于360°.特別說明：多邊形的外角：（1）多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角，在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫做這個多邊形的外角和.（2）任意多邊形的外角和等于360°.多邊形的內(nèi)角：n邊形的內(nèi)角和等于（n－2）·180°【題型一同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的辨別】例題：（2023下·黑龍江綏化·七年級?？计谥校┤鐖D，的同旁內(nèi)角是，的內(nèi)錯角是，的同位角是．

【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，與是_________角，是直線________和直線________被直線_____所截而形成的，與是_____角，是直線________和直線___________被直線__________所截而形成的．2．如圖，（1）∠1和∠ABC是直線AB、CE被直線________所截得的________角；（2）∠2和∠BAC是直線CE、AB被直線________所截得的________角；（3）∠3和∠ABC是直線________、________被直線________所截得的________角；（4）∠ABC和∠ACD是直線________、________被直線_________所截得的________角；（5）∠ABC和∠BCE是直線________、________被直線________所截得的________角．【題型二添加一條件使兩條直線平行】例題：如圖，點E在AC的延長線上，若要使，則需添加條件_______（寫出一種即可）【變式訓(xùn)練】1．如圖，填寫一個能使ABCD的條件：_________．2．如圖，要使，需補充一個條件，你認為這個條件應(yīng)該是______（填一個條件即可）．【題型三根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度】例題：（2023下·浙江溫州·七年級?？计谀┤鐖D，已知，分別是射線，上的點．連接，平分，平分，．(1)試說明；(2)若，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河北邢臺·八年級校考階段練習(xí)）如圖，于點P．

(1)求證：；(2)若平分，交于點C，且，求的度數(shù)．2．（2023上·浙江金華·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在三角形中，是上一點，，交于點，是上一點，．(1)與平行嗎？請說明理由；(2)若，求的度數(shù)．【題型四平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】例題：已知：某小區(qū)地下停車場的欄桿如圖所示，當(dāng)欄桿抬起到最大高度時∠ABC=150°，若此時CD平行地面AE，則_________度．【變式訓(xùn)練】1．光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當(dāng)光線從空氣射向水中時，會發(fā)生折射．如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，則∠2＝______．2．如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．【題型五平行線的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用】例題：（2023下·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D1，中，的平分線交于O點，過O點作平行線交于D、E．(1)請寫出圖1中線段之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(2)如圖2，若的平分線與的外角平分線交于O，過點O作平行線交于D，交于E．那么之間存在什么數(shù)量關(guān)系？并證明這種關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）已知，，直線交于點，交于點，點在線段上，過作射線、分別交直線、于點、．(1)如圖，當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)如圖，若和的角平分線交于點，求和的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖，在（）的基礎(chǔ)上，當(dāng)，且，時，射線繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動時間為秒，當(dāng)射線與的一邊互相平行時，請直接寫出的值．2．（2023下·吉林長春·九年級?？茧A段練習(xí)）如果兩個角的差等于，就稱這兩個角互為“兄弟角”．其中一個角叫做另一個角的“兄弟角”．例如，，，則a和β互為“兄弟角”，即a是β的“兄弟角”，β也是α的“兄弟角”．

(1)已知和互為“兄弟角”．，且和互補，求的度數(shù)．(2)在中，，是的角平分線，①如圖1，點P在射線上，平分，與射線交于點N，若與互為“兄弟角”，求的度數(shù)．②如圖2，若，射線平分且與射線交于點N，若與互為“兄弟角”，則的度數(shù)為．③如圖3，若于點P，、相交于點F，若與互為“兄弟角”，直接寫出的度數(shù)．【題型六生活中的平移現(xiàn)象】例題：（2023下·廣西南寧·七年級?？计谥校┫聢D是德勝中學(xué)的?；眨瑢⑺ㄟ^平移可得到的圖形是（

）

A．

B．

C．

D．

【變式訓(xùn)練】1．（2024上·黑龍江綏化·七年級?？计谀┫铝羞\動屬于平移的是（

）A．蕩秋千 B．地球繞著太陽轉(zhuǎn)C．風(fēng)箏在空中隨風(fēng)飄動 D．急剎車時，汽車在地面上的滑動2．（2023下·浙江溫州·七年級溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）下列大學(xué)?；湛梢钥闯墒怯蓤D案自身的一部分經(jīng)平移后得到的為（）A．

B．

C．

D．

【題型七圖形的平移】例題：（2023下·天津東麗·七年級統(tǒng)考期中）如圖，沿方向平移得到，已知，，則平移的距離．

【變式訓(xùn)練】1．（2023下·重慶·七年級統(tǒng)考期末）如圖，邊長為的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此時陰影部分的面積為．

2．（2023下·浙江溫州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，長方形中，，，現(xiàn)將該長方形沿方向平移，得到長方形，若重疊部分的面積為16，則長方形向右平移的距離為cm．【題型八平移作圖】例題：（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，的頂點均在小正方形的頂點上．(1)把先向右移動5個單位長度，再向下移動3個單位長度得到，畫出（其中點A的對應(yīng)點為，點B的對應(yīng)點為，點C的對應(yīng)點為）；(2)連接，，判定與的位置關(guān)系，并寫出的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2022下·福建廈門·七年級?？计谥校?）把進行平移，得到，使點A與對應(yīng)，請在網(wǎng)格中畫出；

（2）線段與線段的關(guān)系是：__________；（3）求出的面積．2．（2023下·江蘇·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在方格紙內(nèi)將水平向右平移4個單位得到．利用網(wǎng)格點和直尺畫圖：

(1)補全；(2)畫出邊上的高線，圖中的面積是；(3)與面積相等，在圖中描出所有滿足條件且異于A點的格點E，并記為、、．【題型九平移與平行線的綜合問題】例題：（2023下·江西新余·七年級新余四中?？计谥校┰谥?，，于點．（提示：三角形的三個內(nèi)角和為）

(1)在圖1中，將沿的方向平移，使點移到點的位置，得到，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)在圖2中，將沿的方向平移，當(dāng)點移動到線段上的時，得到，求證：．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江蘇鹽城·七年級濱海縣第一初級中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖1，，被直線所截，點D是線段上的點，過點D作，連接，．

(1)請說明的理由．(2)將線段沿著直線平移得到線段，連接．①如圖2，如果，那么；②如果，那么；③在整個運動中，當(dāng)時，求的度數(shù)．2．（2023下·福建廈門·七年級廈門一中?？计谀┤鐖D1，已知中，，直線經(jīng)過點，將沿直線方向平移，平移后的圖形記為，則有且．

(1)當(dāng)時，若，請在圖2上畫出向右平移后的，并求線段的長度．(2)如圖3，當(dāng)與不平行時，連接，，分別在所在直線上點右側(cè)取一點，使得，連接，恰有，平分交于，恰有，①探究和的位置關(guān)系，并說明理由；②直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．【題型十三角形的穩(wěn)定性】例題：如圖，木工師傅做窗框時，常常如圖中那樣釘上兩條斜拉的木條起到穩(wěn)固作用，這樣做的數(shù)學(xué)原理是（

）A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短C．兩點之間，線段最短 D．三角形的穩(wěn)定性【變式訓(xùn)練】1．如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤可將其固定，這里所運用的幾何原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點之間線段最短C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短2．如圖，學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數(shù)學(xué)原理是________．【題型十一構(gòu)成三角形的條件及求第三邊的范圍】例題：下列各長度的木棒首尾相接可以組成三角形的是（

）A．1，2，3 B．3，4，6 C．2，3，5 D．2，2，5【變式訓(xùn)練】1．下列長度的三條線段，能組成三角形的是（

）A．3，4，8 B．5，6，7 C．5，6，11 D．5，5，102．一個三角形的三邊長都是整數(shù)，其中兩邊長分別為1，2，則這個三角形的第三邊長為_____．3．已知三條線段的長分別是4，4，m，若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)m的最大值是_____．【題型十二三角形的中線、高線、角平分線】例題：（2023上·云南昆明·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，分別為的邊上的中線和高，為的角平分線．(1)若，，求的大?。?2)若的面積為48，，求的長．【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，中邊上的高線畫法正確的是（

）A． B． C． D．2．在中，點D是邊上的中點，如果厘米，厘米，則和的周長之差為____，面積