初中數(shù)學(xué)競賽系列講座對稱式和輪換對稱式合肥市第三十八中學(xué)趙月和第1頁一.定義在含有多個變量代數(shù)式f(x,y,z)中，假如變量x,y,z任意交換兩個后，代數(shù)式值不變，則稱這個代數(shù)式為絕對對稱式，簡稱對稱式.比如：代數(shù)式x+y，xy，x3+y3+z3－3xyz,x5+y5+xy,都是對稱式.其中x+y和xy叫做含兩個變量基本對稱式.假如把一個多項式每兩個字母依次交換后，多項式不變，這種多項式叫對稱多項式。如是一個二元對稱式．第2頁

(x-1)(y-1)=xy-(x+y)+1(x+1)(y+1)=xy+(x+y)+1例題

求方程x+y=xy整數(shù)解。解：

∵

x+y=xy∴

(x-1)(y-1)=1.解之，得

x-1=1,y-1=1;或

x-1=-1,y-1=-1.∴x=2

y=2或

x=0

y=0分析

這是一道求不定方程解題目，當(dāng)然x與y交換位置后，原等式不變，可考慮移項分解因式。第3頁

關(guān)于x、y、z三個變量多項式，假如對式子中變量按某種次序輪換后（比如把x換成y,把y換成z,把z換成x），所得式子仍和原式相同，則稱這個多項式是關(guān)于x、y、z

輪換對稱式.簡稱輪換式.比如：代數(shù)式a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b),2x2y+2y2z+2z2x,,（xy+yz+zx），.都是輪換式.很顯然，對稱式一定是輪換式,而輪換式不一定是對稱式.第4頁二.性質(zhì)1、含兩個變量x和y對稱式，一定可用相同變量基本對稱式來表示.２、對稱式中，假如含有某種形式一式，則必含有該式由兩個變量交換后一切同型式，且系數(shù)相等.比如：在含x,y,z二次對稱多項式中，假如含有x2項，則必同時有y2,z2兩項；如含有xy項，則必同時有yz,zx兩項，且它們系數(shù)，都分別相等.故能夠表示為：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx)其中m,n是常數(shù).第5頁３、輪換式中，假如含有某種形式一式，則一定含有該式由變量字母循環(huán)變換后所得一切同型式，且系數(shù)相等.比如：輪換式a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)中，有因式a－b這一項,必有同型式b－c和c－a兩項.比如：輪換式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有因式a－b這一項,必有同型式b－c和c－a兩項.比如：輪換式分解因式：a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)＝－(a－b)(b－c)(c－a)第6頁∵xy+yz+zx和都是輪換式，∴＋xy+yz+z，（）（xy+yz+z）.也都是輪換式。４、兩個對稱式（輪換式）和，差，積，商（除式不為零），依然是對稱式（輪換式）.比如：∵x+y,xy都是對稱式∴x+y＋xy，（x+y）xy，等也都是對稱式.又：第7頁例題１：已知：a+b+c=0,abc≠0.求代數(shù)式值分析：這是含a,b,c輪換式，化簡第一個分式后，其余兩個分式，可直接寫出它同型式.解：∵＝＝∴＝

＝－－－＝－＝0.三：例題精講第8頁已知：S＝（a+b+c）.求證：＝3S（S－a）(S－b)(S－c).練習(xí)1:第9頁例２若abc=1，試證:證實：∵abc=1∴=+=+==1于是命題得證。評注：“1”代換是恒等變形中慣用技巧。第10頁例３已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0.證實：

證實：解方程組(2)+(3)-(1)得y+z-x=2ax，所以所以同理可得，，所以本題含有輪換對稱式特征，所以只需對其中一個式子化簡，就能夠得出相同規(guī)律.第11頁例４設(shè)a、b、c三數(shù)中必有兩個數(shù)之和為零；對任何奇數(shù)n，有要求a、b、c三數(shù)中必有兩個數(shù)之和為零，即要證(a+b)(b+c)(c+a)=0，故可對已知條件進(jìn)行變形，使它出現(xiàn)(a+b)、(b+c)、(c+a)這些因式。，證實證實：(1)由得從已知知a、b、c≠0，所以abc≠0，且a+b+c≠0，則(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc+ca+ab)+(b+c)(bc+ca+ab)–abc=(b+c)(bc+ca+ab)+abc+a2c+a2b–abc第12頁例４設(shè)a、b、c三數(shù)中必有兩個數(shù)之和為零；，證實證實：(1)由得從已知知a、b、c≠0，所以abc≠0，且a+b+c≠0，則(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc+ca+ab)+(b+c)(bc+ca+ab)–abc=(b+c)(bc+ca+ab)+abc+a2c+a2b–abc=(b+c)(bc+ca+ab)+a2(b+c)=(b+c)(a2+bc+ca+ab)∴(a+b)(b+c)(c+a)=0，這就是說，在a+b、b+c、c+a中至少有一個為零，即a、b、c三數(shù)中必有兩個數(shù)之和為零。=(a+b)(b+c)(c+a)第13頁證實(2):由(1)得，不妨設(shè)a+b=0，即b=-a，因為n為奇數(shù)

∴又∴實質(zhì)(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc是關(guān)于a、b、c一個輪換對稱式。令a=-b，代入得(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b2)(-b+b+c)-(-b)bc=-b2c+b2c=0，這就是說a+b是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc一個因式，由輪換對稱式性質(zhì)知，b+c、a+c也是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc一個因式，所以有(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)再令a=b=c=1代入，求出k=1，所以(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)例４，證實(2)對任何奇數(shù)n，有第14頁比如：輪換式a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)中，有因式a－b這一項,必有同型式b－c和c－a兩項.第15頁例６若a+b+c=0，求值本題是輪換對稱式，所以不宜直接通分，只需對其中一個分式化簡，就能夠得出相同規(guī)律.解：∵a+b+c=0，∴a＝－b－c，第16頁例７.已知x、y、z滿足關(guān)系式求證：證實：將已知等式分別乘以x、y、z得①②③所以即：由①+②+③得第17頁例８已知a+b+c=a2+b2+c2=2，求證：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2

本題證實采取了結(jié)構(gòu)法，它結(jié)構(gòu)了三次式(x-a)(x-b)(x-c)，然后建立它與x(1-x)2之間關(guān)系，再經(jīng)過賦值來證實。分析：求證等式中各式，恰好是多項式x(1-x)2中x分別取a、b、c時值。所以，本題可轉(zhuǎn)化為證實當(dāng)x分別取a、b、c時，x(1-x)2值不變。因為x(1-x)2是關(guān)于x三次多項式，且注意到題設(shè)條件，所以我們結(jié)構(gòu)三次式(x-a)(x-b)(x-c)，建立它與x(1-x)2之間某種關(guān)系。證實：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca又∵a+b+c=a2+b2+c2=2∴4=2+2ab+2bc+2ca，∴ab+bc+ca=1∴(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc=x3-2x2+x-abc

即x(1-x)2=(x-a)(x-b)(x-c)+abc由此可見，當(dāng)x分別取a、b、c時，x(1-x)2值都是abc∴a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2第18頁１、已知a+b+c=10，，，則abc值是()A、24B、30C、36D、42３、已知abc≠0，a+b+c=0，則值為

４、設(shè)a、b、c都是正數(shù)，且，求證：a=b=c鞏固練習(xí)2、若abc滿足a2+b2+c2=9，則代數(shù)式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2最大值是()A、27B