第22頁（共22頁）2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之無理數(shù)與實數(shù)（2025年4月）一．選擇題（共10小題）1．（2025春?長壽區(qū)校級月考）已知m=(27-A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜42．（2025春?海安市月考）下列計算正確的是（）A．-22+3-C．4+2=0 D．3．（2025?昭陽區(qū)校級模擬）若x=5-2，A．25 B．22 C．3 D4．（2025?碧江區(qū)校級模擬）下列實數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（）A．3.14 B．17 C．π D．﹣5．（2025?寧國市一模）已知a，b滿足a＜b＜|a|，則下列判斷一定正確的是（）A．a(chǎn)+b＞0 B．a(chǎn)-1b＜0 C．|a|+b＞6．（2025?港北區(qū)一模）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數(shù)，且n＜2024＜A．43 B．44 C．45 D．467．（2024秋?沈陽校級期末）a-4+|b﹣9|＝0A．32 B．±32 C．948．（2025春?渝中區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．2的平方根是2 B．﹣4沒有平方根 C．25的算術(shù)平方根是5 D．1的平方根和算術(shù)平方根都是19．（2025春?渝中區(qū)校級月考）根據(jù)以下表格里的數(shù)據(jù)：m2.02420.24202.4202420240m≈1.4224.4991.2244.99142.2則0.02024≈A．0.1422 B．0.4499 C．0.01422 D．0.0449910．（2025?河南一模）-6A．6 B．-6 C．66 D二．填空題（共5小題）11．（2025春?海安市月考）已知(a-2)2+b-3=0，則點P（﹣12．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，數(shù)軸上依次有A、B、C三點，點B為線段AC的中點，若點A、B分別表示實數(shù)1和2，則點C表示的實數(shù)是．13．（2025?新安縣一模）請寫出一個大于﹣1的負無理數(shù)：．14．（2025?河西區(qū)一模）cos30°+32的值等于15．（2024秋?沈陽校級期末）實數(shù)a，b的位置如圖，化簡：|a+b|-(三．解答題（共5小題）16．（2025?五華區(qū)校級模擬）|1-17．（2025春?青秀區(qū)月考）【綜合與實踐】如圖，把圖（1）中兩個小正方形紙片分別沿對角線剪開，拼成一個面積為12cm2的大正方形紙片如圖（2）．（1）原小正方形的邊長為cm；（2）若沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形的長寬之比為2：1，且面積為8cm2？若能，試求出剪出的長方形紙片的長寬；若不能，試說明理由；（3）如圖（3）是由5個邊長為1的小正方形組成的紙片，能否把它剪開并拼成一個大正方形？若能，請畫出示意圖，并寫出邊的長度，若不能，請說明理由．18．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）閱讀材料：材料一：大家知道5是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此5的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是明明用5-2來表示5的小數(shù)部分，你同意明明的表示方法嗎？事實上，明明的表示方法是有道理的，因為5的整數(shù)部分是2，用由此可得：如果5=x+y，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，那么x＝其中x就是5的整數(shù)部分，y就是5的小數(shù)部分．材料二：已知m，n是有理數(shù)，且滿足等式2-7m=2求解過程如下：∵2-∴2-∵m，n是有理數(shù)，∴2＝3n﹣m，-m解得：m=根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）如果13=a+b，其中a是整數(shù)，且0＜b＜1，那么a＝，b＝（2）如果8+19的小數(shù)部分為m，8-19的整數(shù)部分為n（3）已知x，y是有理數(shù)，且滿足等式4(x-2)219．（2024秋?宿城區(qū)期末）《清秘藏》是明代所著工藝美術(shù)鑒賞著作，其中所述的刺繡在中國經(jīng)過長時間的發(fā)展，已經(jīng)形成了極高的工藝水平和獨特的工藝門類．現(xiàn)有一張長方形繡布，長、寬之比為4：3，繡布面積為588cm2．（1）求繡布的周長；（2）刺繡師傅想利用這張繡布裁出一張面積為375cm2的完整圓形繡布來繡花鳥圖，她能夠裁出來嗎？請說明理由．（π取3）20．（2025春?開福區(qū)校級月考）任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)T：m＜T＜n，（其中m為滿足不等式的最大整數(shù)，n為滿足不等式的最小整數(shù)），則稱無理數(shù)T的“立信區(qū)間”為（m，n），如1＜3＜2，所以3的立信區(qū)間為（（1）無理數(shù)11的“立信區(qū)間”是；（2）若其中一個無理數(shù)的“立信區(qū)間”為（m，n）且滿足0＜m+n＜10，其中x=my=n是關(guān)于x（3）實數(shù)x，y，m滿足關(guān)系式：2x+3y

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之無理數(shù)與實數(shù)（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案BDCCCBBBAA一．選擇題（共10小題）1．（2025春?長壽區(qū)校級月考）已知m=(27-A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4【考點】估算無理數(shù)的大小．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】B【分析】先根據(jù)二次根式的混合運算法則計算得214【解答】解：m=27=214∵7＜∴1＜∴1＜m＜2．故選：B．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的混合運算及無理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．2．（2025春?海安市月考）下列計算正確的是（）A．-22+3-C．4+2=0 D．【考點】實數(shù)的運算．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)求一個數(shù)的平方根、算術(shù)平方根與立方根，逐項計算并判定即可．【解答】解：根據(jù)相關(guān)運算法則逐項分析判斷如下：A、-2B、-5C、4+2=2+2=4D、|-故選：D．【點評】本題考查平方根與算術(shù)平方根，立方根，掌握會求一個數(shù)的平方根、算術(shù)平方根與立方根是解題的關(guān)鍵．3．（2025?昭陽區(qū)校級模擬）若x=5-2，A．25 B．22 C．3 D【考點】算術(shù)平方根．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】C【分析】利用平方差公式計算即可求解．【解答】解：∵x=5-∴xy=(故選：C．【點評】本題考查了二次根式的運算．熟練掌握運算法則是關(guān)鍵．4．（2025?碧江區(qū)校級模擬）下列實數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（）A．3.14 B．17 C．π D．﹣【考點】無理數(shù)．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】C【分析】初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有三類：①π類，如2π，π3等；②開方開不盡的數(shù)，如2，35等；③雖有規(guī)律但卻是無限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001…（兩個1之間依次增加1個0），0.2121121112…（兩個2之間依次增加1個【解答】解：四個數(shù)中只有π是無理數(shù)，故選：C．【點評】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，熟練掌握該知識點是關(guān)鍵．5．（2025?寧國市一模）已知a，b滿足a＜b＜|a|，則下列判斷一定正確的是（）A．a(chǎn)+b＞0 B．a(chǎn)-1b＜0 C．|a|+b＞【考點】實數(shù)的運算；絕對值；實數(shù)大小比較．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)a，b滿足a＜b＜|a|，可得a＜b＜0或a＜0＜b，且|a|＞|b|，再根據(jù)有理數(shù)的加減法，可得答案．【解答】解：A、a＜b＜|a|，則a＜b＜0或a＜0＜b，且|a|＞|b|，所以a+b＜0，故A錯誤，不符合題意；B、由a＜b＜|a|，得a＜0，由b＜|a|，得-1由a＜|a|，得a|a|∴ab即-1b＜∴ab即-1b＜∴ab＜1，故B錯誤，不符合題意；C、由a＜b＜|a|，得|a|+b＞0，故C正確，符合題意；D、|a|-1b的正負不能確定，故D錯誤，不符合題意；故選：【點評】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握絕對值的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2025?港北區(qū)一模）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數(shù)，且n＜2024＜A．43 B．44 C．45 D．46【考點】估算無理數(shù)的大小．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】B【分析】首先估算被開方數(shù)在哪兩個相鄰的平方數(shù)之間，再估算該無理數(shù)在哪兩個相鄰的整數(shù)之間．【解答】解：∵1936＜2014＜1025，∴1936＜即44＜又∵n＜2024＜∴n＝44，故選：B．【點評】本題考查的是無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算是關(guān)鍵．7．（2024秋?沈陽校級期末）a-4+|b﹣9|＝0A．32 B．±32 C．94【考點】非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；平方根．【答案】B【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后代入代數(shù)式求出ba【解答】解：根據(jù)題意得，a﹣4＝0，b﹣9＝0，解得a＝4，b＝9，所以，ba∵（±32）2=∴ba的平方根是±3故選：B．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．8．（2025春?渝中區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．2的平方根是2 B．﹣4沒有平方根 C．25的算術(shù)平方根是5 D．1的平方根和算術(shù)平方根都是1【考點】算術(shù)平方根；平方根．【專題】二次根式；運算能力．【答案】B【分析】根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的意義即可做出判斷．【解答】解：2的平方根據(jù)是±2，故A選項不符合題意；﹣4沒有平方根，故B選項符合題意；25的算術(shù)平方根是5，故C選項不符合題意；1的平方根是±1，算術(shù)平方根是1，故D選項不符合題意，故選：B．【點評】本題考查了平方根和算術(shù)平方根，掌握平方根，算術(shù)平方根的意義是解題的關(guān)鍵．9．（2025春?渝中區(qū)校級月考）根據(jù)以下表格里的數(shù)據(jù)：m2.02420.24202.4202420240m≈1.4224.4991.2244.99142.2則0.02024≈A．0.1422 B．0.4499 C．0.01422 D．0.04499【考點】算術(shù)平方根．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】A【分析】根據(jù)被開方數(shù)的小數(shù)點向左移動兩位，算術(shù)平方根的小數(shù)點向左移動一位．【解答】解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知：0.02024≈0.1422故選：A．【點評】本題考查算術(shù)平方根，解決本題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根．10．（2025?河南一模）-6A．6 B．-6 C．66 D【考點】實數(shù)的性質(zhì)．【專題】實數(shù)；符號意識．【答案】A【分析】根據(jù)絕對值的定義即可解答．【解答】解：|-6|=故選：A．【點評】本題考查絕對值的定義，掌握絕對值的定義是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025春?海安市月考）已知(a-2)2+b-3=0，則點【考點】非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；點的坐標(biāo)；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】二．【分析】根據(jù)平方和算術(shù)平方根的非負性求出a、b的值，再判斷P所在的象限．【解答】解：由條件可知a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得：a＝2，b＝3，∴P（﹣2，3），∴點P在第二象限．故答案為：二．【點評】本題考查點所在的象限、平方和算術(shù)平方根的非負性，解決本題的關(guān)鍵是熟練性質(zhì)及點所在象限的特征．12．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，數(shù)軸上依次有A、B、C三點，點B為線段AC的中點，若點A、B分別表示實數(shù)1和2，則點C表示的實數(shù)是22-1【考點】實數(shù)與數(shù)軸．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】22【分析】根據(jù)中點的意義得到AB=【解答】解：由條件可知AB=∴CB=∴C對應(yīng)的數(shù)是2+(故答案為：22【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．（2025?新安縣一模）請寫出一個大于﹣1的負無理數(shù)：-22（答案不唯一）【考點】實數(shù)大小比較；無理數(shù)．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】-22（答案【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)求解即可．【解答】解：滿足條件的無理數(shù)可以是：-2故答案為：-22（答案【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．14．（2025?河西區(qū)一模）cos30°+32的值等于【考點】實數(shù)的運算；特殊角的三角函數(shù)值．【專題】計算題；運算能力．【答案】3．【分析】將三角函數(shù)的值代入加法中，再進行計算即可．【解答】解：原式==3故答案為：3．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值．15．（2024秋?沈陽校級期末）實數(shù)a，b的位置如圖，化簡：|a+b|-(a【考點】實數(shù)的運算．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】﹣2b．【分析】先根據(jù)數(shù)軸推出a+b＜0，a﹣b＜0，再化簡絕對值和計算算術(shù)平方根后合并同類項即可得到答案．【解答】解：由數(shù)軸可知a＜0＜b，|a|＞|b|，∴a﹣b＜0，a+b＜0，∴原式＝﹣（a+b）+（a﹣b）＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b．故答案為：﹣2b．【點評】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，化簡絕對值和求算術(shù)平方根，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2025?五華區(qū)校級模擬）|1-【考點】實數(shù)的運算．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】﹣9．【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪和二次根式的性質(zhì)計算即可．【解答】解：原式==3＝﹣9．【點評】本題考查實數(shù)的混合運算．熟練掌握運算法則是關(guān)鍵．17．（2025春?青秀區(qū)月考）【綜合與實踐】如圖，把圖（1）中兩個小正方形紙片分別沿對角線剪開，拼成一個面積為12cm2的大正方形紙片如圖（2）．（1）原小正方形的邊長為6cm；（2）若沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形的長寬之比為2：1，且面積為8cm2？若能，試求出剪出的長方形紙片的長寬；若不能，試說明理由；（3）如圖（3）是由5個邊長為1的小正方形組成的紙片，能否把它剪開并拼成一個大正方形？若能，請畫出示意圖，并寫出邊的長度，若不能，請說明理由．【考點】算術(shù)平方根．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】（1）6；（2）不能；理由見解答；（3）能，邊長為：5，示意圖見解答．【分析】（1）根據(jù)剪拼面積不變求解；（2）根據(jù)矩形的面積公式列解方程求解；（3）根據(jù)剪拼面積不變求解．【解答】解：（1）122故答案為：6；（2）不能；理由：設(shè)長方形的寬為xcm，則x?2x＝8，解得：x＝2（取正數(shù)解），∴2x＝4，∵4＞12故不能；（3）能，邊長為：5，示意圖如下：邊長為：5．【點評】本題考查了算術(shù)平方根，掌握矩形的面積公式是解題的關(guān)鍵．18．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）閱讀材料：材料一：大家知道5是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此5的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是明明用5-2來表示5的小數(shù)部分，你同意明明的表示方法嗎？事實上，明明的表示方法是有道理的，因為5的整數(shù)部分是2，用由此可得：如果5=x+y，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，那么x＝其中x就是5的整數(shù)部分，y就是5的小數(shù)部分．材料二：已知m，n是有理數(shù)，且滿足等式2-7m=2求解過程如下：∵2-∴2-∵m，n是有理數(shù)，∴2＝3n﹣m，-m解得：m=根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）如果13=a+b，其中a是整數(shù)，且0＜b＜1，那么a＝3，b＝13（2）如果8+19的小數(shù)部分為m，8-19的整數(shù)部分為n（3）已知x，y是有理數(shù)，且滿足等式4(x-2)2【考點】估算無理數(shù)的大??；代數(shù)式求值．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】（1）3，（2）﹣7；（3）-72或【分析】（1）根據(jù)無理數(shù)的估算方法即可得到答案；（2）根據(jù)無理數(shù)的估算方法求出m=19-4，n＝（3）根據(jù)題意得到4（x﹣2）2﹣3y＝34，﹣y＝3，求出x，y的值，代入x+y計算即可．【解答】解：（1）∵3＜∴a＝3，b=故答案為：3，（2）∵8+19的小數(shù)部分為m，8-19的整數(shù)部分為n∴m=19-4，∴m-（3）x，y滿足等式4(∴4（x﹣2）2﹣3y＝34，﹣y＝3，∴y＝﹣3，∴4（x﹣2）2+9＝34，∴x=-1當(dāng)x=-1當(dāng)x=92，y＝﹣3綜上所述，x+y的值為-72或【點評】本題主要考查的是無理數(shù)的估算，熟知估算無理數(shù)大小要用逼近法是解題的關(guān)鍵．19．（2024秋?宿城區(qū)期末）《清秘藏》是明代所著工藝美術(shù)鑒賞著作，其中所述的刺繡在中國經(jīng)過長時間的發(fā)展，已經(jīng)形成了極高的工藝水平和獨特的工藝門類．現(xiàn)有一張長方形繡布，長、寬之比為4：3，繡布面積為588cm2．（1）求繡布的周長；（2）刺繡師傅想利用這張繡布裁出一張面積為375cm2的完整圓形繡布來繡花鳥圖，她能夠裁出來嗎？請說明理由．（π取3）【考點】算術(shù)平方根．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】（1）98cm；（2）不能夠裁出來，理由見解析．【分析】（1）設(shè)繡布的長為4xcm，寬為3xcm，根據(jù)面積公式列式得出4x?3x＝588，解出x＝7，即可作答．（2）設(shè)完整的圓形繡布的半徑為rcm，根據(jù)圓面積公式列式，進行計算得r=125，結(jié)合【解答】解：（1）設(shè)繡布的長為4xcm，寬為3xcm，根據(jù)題意，得4x?3x＝588，即12x2＝588，∴x2＝49，∵x＞0，∴x＝7，∴繡布的長為28cm，寬為21cm，周長為2×（28+21）＝98（cm）．（2）不能夠裁出來，理由如下：設(shè)完整的圓形繡布的半徑為rcm，得πr2＝375，∵π取3，∴r2＝125，解得r=∵125＞∴2r＞21，∴不能夠裁出來．【點評】本題考查了算術(shù)平方根，熟練掌握估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用是關(guān)鍵，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力．20．（2025春?開福區(qū)校級月考）任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)T：m＜T＜n，（其中m為滿足不等式的最大整數(shù)，n為滿足不等式的最小整數(shù)），則稱無理數(shù)T的“立信區(qū)間”為（m，n），如1＜3＜2，所以3的立信區(qū)間為（（1）無理數(shù)11的“立信區(qū)間”是（3，4）；（2）若其中一個無理數(shù)的“立信區(qū)間”為（m，n）且滿足0＜m+n＜10，其中x=my=n是關(guān)于x（3）實數(shù)x，y，m滿足關(guān)系式：2x+3y【考點】估算無理數(shù)的大小；二次根式有意義的條件；二元一次方程的解；非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根．【專題】新定義；創(chuàng)新意識．【答案】（1）（3，4）；（2）3；（3）（4，5）．【分析】（1）只需要估算出11的取值范圍即可得到答案；（2）由是關(guān)于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝C的一組正整數(shù)解，得到n是一個完全平方數(shù)，m＞0，再由0＜m+n＜10，可得滿足題m，n的值，由此代入方程mx﹣ny＝（3）先根據(jù)x+y﹣24≥0，24﹣x﹣y≥0，得出x+y＝24，進而得出2x+3y﹣m＝0，3x+4y﹣2m＝0，兩式相減可得m＝x+y＝24，再根據(jù)“立信區(qū)間”的定義即可求解．【解答】解：（1）∵9＜11＜16，∴3＜11＜∴無理數(shù)11的“立信區(qū)間”是（3，4）．故答案為：（3，4）；（2）由題意得，m、n是兩個相鄰的正整數(shù)，∵x=my=n是關(guān)于x，y的二元一次方程mx∴n是一個完全平方數(shù)，m＞0，∵0＜m+n＜∴滿足題意的m、n的值為：m=3∴x=3∴3×3﹣3×2＝C，∴C＝3，綜上所述，C的值為3；（3）實數(shù)x，y，m滿足關(guān)系式：2x∴x+y﹣24≥0，24﹣x﹣y≥0，∴x+y＝24，∴2x+3∴2x+3y﹣m≥0，3x+4y﹣2m≥0，∴2x+3y﹣m＝0，3x+4y﹣2m＝0，兩式相減，得x+y﹣m＝0，∴m＝x+y＝24，∴m的算術(shù)平方根為24，∵16＜24＜25，∴4＜24＜∴m的算術(shù)平方根的“立信區(qū)間”是（4，5）．【點評】本題主要考查了算術(shù)平方根、無理數(shù)的估算，非負數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，題目較為新穎，解題的關(guān)鍵是理解題目中“立信區(qū)間”的定義．

考點卡片1．絕對值（1）概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當(dāng)a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；③當(dāng)a是零時，a的絕對值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值在實數(shù)范圍內(nèi)，任意一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．3．非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負性．任意一個數(shù)的偶次方都是非負數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．4．平方根（1）定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．（2）求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方．一個正數(shù)a的正的平方根表示為“a”，負的平方根表示為“-a正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作a．零的算術(shù)平方根仍舊是零．平方根和立方根的性質(zhì)1．平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．2．立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0．5．算術(shù)平方根（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為a．（2）非負數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負性：①被開方數(shù)a是非負數(shù)；②算術(shù)平方根a本身是非負數(shù)．（3）求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根時，可以借助乘方運算來尋找．6．非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（1）非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有非負性．（2）利用算術(shù)平方根的非負性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，開方的結(jié)果也是非負數(shù)列出不等式求解．非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值問題．7．無理數(shù)（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，13=0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．（3）學(xué)習(xí)要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分?jǐn)?shù)π2是無理數(shù)，因為π無理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如2，（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．（3）含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果．如16是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．8．實數(shù)的性質(zhì)（1）在實數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣．實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離．（2）實數(shù)的絕對值：正實數(shù)a的絕對值是它本身，負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．（3）實數(shù)a的絕對值可表示為|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是說實數(shù)a的絕對值一定是一個非負數(shù)，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），則x＝±a．實數(shù)的倒數(shù)乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab＝1；反之，若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)，這里應(yīng)特別注意的是0沒有倒數(shù)．9．實數(shù)與數(shù)軸（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系．任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù)．?dāng)?shù)軸上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離．（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而?。?0．實數(shù)大小比較實數(shù)大小比較（1）任意兩個實數(shù)都可以比較大小．正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)比大小，絕對值大的反而?。?）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而?。?1．估算無理數(shù)的大小估算無理數(shù)大小要用逼近法．思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．12．實數(shù)的運算（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方．（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：