橫峰中學(xué)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某水管的流水量（單位：）與時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系式，則的實(shí)際意義是（）A.3秒時(shí)水管的流水量 B.3秒內(nèi)水管的流水總量C.3秒內(nèi)水管的流水量的平均變化率 D.3秒時(shí)水管流水量的瞬時(shí)變化率【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，的實(shí)際意義是3秒時(shí)水管流水量的瞬時(shí)變化率.故選：D.2.已知曲線上一點(diǎn)，記為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)可得，代入運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：C.3已知隨機(jī)變量，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布的期望公式即可.【詳解】因，則，則故選：B4.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若，，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，則，整理可得，又因?yàn)?，?故選：A.5.若數(shù)列滿足，則稱為“對(duì)奇數(shù)列”.已知為“對(duì)奇數(shù)列”，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)奇數(shù)列的定義可得，化簡可證明是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)闉椤皩?duì)奇數(shù)列”，則，即，且，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以.故選：B.6.已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)最小，利用列舉法判斷的最大值.【詳解】要使最大，則數(shù)列的項(xiàng)要盡可能的小，注意到，，依此類推，，，所以的最大值5.故選：A7.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.已知滿足：，，則（）A.4720 B.4722 C.4723 D.4725【答案】D【解析】【分析】根據(jù)“冰雹猜想”結(jié)合遞推關(guān)系可知數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，結(jié)合周期性即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：,可知數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，因?yàn)?，所以，故選：D.8.記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)為等比數(shù)列；：對(duì)，都有，其中為非零常數(shù)，則是的（）A.充分條件不必要條件 B.必要條件不充分條件C.充要條件 D.既不是充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式對(duì)是否為1進(jìn)行分類討論，可得出充分性成立；再依據(jù)前項(xiàng)和滿足條件可證明為等比數(shù)列，可得必要性也成立，可判斷出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意若為等比數(shù)列，且，可得，此時(shí)，因此可得成立，當(dāng)時(shí)，顯然成立，綜上可知，充分性成立；若成立，可得，因此，即對(duì)于，都成立，因此可得對(duì)于，都成立，所以可知正項(xiàng)數(shù)列為等比數(shù)列，因此必要性也成立；可得是的充要條件.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用等比數(shù)列定義以及前項(xiàng)和性質(zhì)，分別判斷出充分性和必要性可得出結(jié)論.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若直線的斜率，直線經(jīng)過點(diǎn)，，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.1 C. D.5【答案】AD【解析】【分析】先由斜率定義寫出直線斜率，因?yàn)椋瑒t，由此解出，但要驗(yàn)證的解是否會(huì)使得直線的斜率不存在，由此可得答案.【詳解】由斜率的定義，直線的斜率，因?yàn)?，則，解得或，代入驗(yàn)證或時(shí)，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)均不同，直線的斜率均存在，故或均滿足題意，故選：AD.10.若公差為2的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件得到，即可判斷選項(xiàng)A和B的正誤，再求出時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可判斷選項(xiàng)C和D的正誤.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，由題有，解得，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確，又，由，得到，由，得，由，得到，所以是數(shù)列前項(xiàng)和的最小值，故選項(xiàng)CD正確，故選：ACD.11.若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)積等于數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列C.是遞減數(shù)列D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A：由遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列，即可證明；對(duì)B：根據(jù)A中證，求得，再利用逐差法即可求得；對(duì)C，先求得，再求得，再根據(jù)其通項(xiàng)公式，判斷其單調(diào)性即可；對(duì)D：利用作差法判斷的大小，再根據(jù)C中所求的單調(diào)性，即可判斷.【詳解】對(duì)A：由，得，且，故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故A正確；對(duì)B：由上可知，，即，故是等比數(shù)列，B正確；對(duì)C：設(shè)的前項(xiàng)積為的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則_________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)公式運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，整理可得，解得或，且，所?故答案為：8.13.函數(shù)在處的切線方程為，則_________.【答案】【解析】【分析】由條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則列方程求.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線方程為，所以，又，所以，所以，故答案為：.14.數(shù)列滿足，，，若不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值為_______.【答案】24【解析】【分析】將遞推式兩邊同時(shí)平方可將得的通項(xiàng)公式，從而求出的通項(xiàng)公式，利用累乘對(duì)不等式進(jìn)行化簡，得到不等關(guān)系，再結(jié)合恒成立問題求出正整數(shù)的最大值.【詳解】由得，兩邊平方得，則是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即，由得，.因?yàn)?，所以，則，可得，則正整數(shù)的最大值為24.故答案為：24.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在數(shù)列中，（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)列的遞推公式求解；（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以，所以.16.等差數(shù)列不是常數(shù)列，且，若構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求；（2）求數(shù)列前n項(xiàng)和【答案】（1【解析】【詳解】分析：（1）由題可得，然后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)求出d；（2）采用錯(cuò)位相減法即可求和.詳解：（1）點(diǎn)睛：考查等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)、等差的通項(xiàng)和錯(cuò)位相減法求和.屬于基礎(chǔ)題17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面，，，求：（1）點(diǎn)到平面的距離；（2）二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求距離即可求解；（2）利用向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】由平面，且，平面，則，，又，則，，兩兩互相垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，即，令可得，即，記點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離.【小問2詳解】結(jié)合（1）可知平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角平面角為，由圖可知，則.18.已知數(shù)列滿足．（1）求；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用給定的遞推公式求出指定項(xiàng).（2）利用數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系求出通項(xiàng)公式.（3）由（2）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【小問1詳解】在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，所以.【小問2詳解】，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，則，而滿足上式，所以的通項(xiàng)公式是.【小問3詳解】由（2）知，，所以.19.已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與直線相交于點(diǎn)．（1）求的方程；（2）證明：點(diǎn)在定直線上；（3）延長交（2）中的直線于點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得出該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，將直線、的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論成立；（3）將直線的方程與直線的方程聯(lián)立，可知，然后利用梯形的面積公式、韋達(dá)定理以及基本不等式可求得的最小值.【小問1詳解】由題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】若