第=page11頁，共=sectionpages33頁2024-2025學年天津市濱海新區(qū)漢沽一中高一（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復數(shù)2+i的虛部是(

)A.i B.-i C.1 D.2.若|a|=3，|b|=4，a，b的夾角為135°，則aA.-32 B.-623.已知向量a=(-2,3)，b=(x,1)，若a⊥bA.32 B.-32 C.24.蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活.如圖所示的蒙古包由下面圓柱部分和上面圓錐部分組合而成，用毛氈覆蓋其表面(底面除外).其中圓柱的高為2m，底面半徑為4m，圓錐的頂點到底面的距離是5m，則圖中蒙古包所用毛氈的面積為(

)A.15πm2 B.20πm25.如圖，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'=A.22

B.1

C.26.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，對于下列四個命題：

①m?α，n?α，m//β，n//β?α//β②nA.0個 B.1個 C.2個 D.3個7.已知向量a，b的夾角為，且|a|=2，b=(1,1)，則a在b上投影向量的坐標為(

)A.(22,22) B.(，)8.已知非零向量a，b，那么“a、b的夾角為鈍角”是“a?b<0”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.如圖所示，△ABC中，點D是線段BC的中點，E是線段AD的靠近A的三等分點，則BE=(

)A.23BA+16BC

B.110.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sin2BcosA=sinCcosB，則A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形11.一個四面體各棱長都為2，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為(

)A.3π B.4π C.312.如圖，某八角樓空窗的邊框呈正八邊形.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為4，O是線段AE的中點，P為正八邊形內(nèi)的一點(含邊界)，則OP?AB的最大值為(

)A.16+162 B.8+82 C.二、填空題：本題共8小題，每小題5分，共40分。13.i是虛數(shù)單位，則|5-i1+14.已知兩個球的表面積之比為1：9，則這兩個球的體積之比為______．15.已知向量a=(2,0),b=(-3,3)，則16.在△ABC中，AB=1，BC=4，CA=13，則∠B=______；若D為BC邊上一點，且17.側棱長為3，底面邊長為22正四棱柱的表面積為______，外接球體積為______．18.已知某圓錐高h=1，軸截面為等腰直角三角形，則其側面積S=______，體積V=______．19.在邊長為1的正方形ABCD中，點E為線段CD的三等分點，CE=12DE，BE=λBA+μBC，則λ+μ=20.清初著名數(shù)學家孔林宗曾提出一種“蒺藜形多面體”，其可由相同的兩個正交的正四面體組合而成(如圖1)，也可由正方體切割而成(如圖2).在“蒺藜形多面體”中，若正四面體的棱長為2，則該幾何體的體積為______．

三、解答題：本題共4小題，共50分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。21.(本小題10分)

已知a=(2,1)，b=(-3,4)．

(1)設向量a,b的夾角為θ，求cosθ的值；

(2)求向量b在向量a上的投影向量的坐標；

(3)若(a22.(本小題10分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a=6，b=2c，cosA=-14．

(1)求c的值；

(2)23.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中AB=2，M為DD1的中點．

(1)求三棱錐M-ABC的體積；

(2)求證：BD124.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.且滿足3(sinBsinA-cosBcosA)=sinC．

(1)求角C的大小；

(2)若△ABC的面積S=103，內(nèi)切圓的半徑為r=3，求c；

(3)參考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.D

6.A

7.A

8.A

9.A

10.D

11.A

12.B

13.1314.1：27

15.-16.π3

17.242+1618.2π

19.43

-20.221.解：(1)因為a=(2,1)，b=(-3,4)，

所以|a|=4+1=5，|b|=9+16=5，a?b=2×(-3)+1×4=-6+4=-2，

所以cosθ=a?b|a||b|=-255=-2525；

(2)向量b在向量a上的投影向量的坐標為a?b|a|?a|a|=-25×(2,1)5=(-45,-25)；

(3)a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3)，a+kb=(2,1)+k(-3,4)=(2-3k,1+4k)，

因為(a-b)//(a+k23.解：(1)∵正方體ABCD-A1B1C1D1中AB=2，M為DD1的中點，

∴MD⊥底面ABC，

故三棱錐M-ABC的體積VM-ABC=13?S△ABC?MD

=13×12×2×2×1=23；

(2)證明：如圖，連接BD交AC于點O，

∵O是DB的中點，M是DD1的中點，∴MO//BD1，

∵MO?平面AMC，BD1?平面AMC，

∴BD1//24.解：(1)由3(sinBsinA-cosBcosA)=sinC，得-3cos(A+B)=sinC，

在△ABC中，sin(A+B)=-cosC，

所以3cosC=sinC，

即tanC=3，

而0<C<π，所以C=π3；

(2)由等面積法得：S=12absinC=12r(a+b+c)，即10