第頁四川天地人教育資料出品安徽省部分示范高中2025屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學試卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]已知集合,,若,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.1．答案：D解析：由題意,因為,即集合A是集合B的子集,所以.故選:D.2．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]在復平面內,復數(shù)z與對應的點關于實軸對稱,則()A. B. C. D.2．答案：B解析：由可得,故,故選:B.3．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]函數(shù).若存在,使得為奇函數(shù),則實數(shù)的值可以是()A. B. C. D.3．答案：C解析：函數(shù)的定義域為R,,存在,函數(shù)為奇函數(shù),則或,當時,為奇函數(shù),則函數(shù)是偶函數(shù),于是,,解得,,當時,,C符合,ABD不符合;當時,,,此時或,當且僅當時為奇函數(shù),與矛盾,所以實數(shù)的值可以是.故選:C4．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]現(xiàn)將12個相同的小球全部放入4個不同的盒子里,每個盒子至少放2個小球,則不同的放法共有()A.24種 B.35種 C.56種 D.70種4．答案：B解析：先在每個盒子中分別放入一個小球則剩余8個小球,只需保證4個盒子中分別再放入至少1個小球,則采用隔板法可得有種放法.故選擇:B5．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]已知a,b是正實數(shù),若函數(shù)對任意恒成立,則的最大值為()A. B. C.1 D.e5．答案：C解析：由題意可知,為增函數(shù),為減函數(shù),且零點分別為,,因對任意恒成立,則函數(shù)與有相同的零點,則,即,則,當且僅當,即,時取等號,則的最大值為1.故選:C.6．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]若函數(shù)是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.6．答案：B解析：由題意得,函數(shù)定義域為.,,且,,則,,,解得,當時,,,不合題意,a的取值范圍是.故選:B.7．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]設等差數(shù)列的前n項和為,且,,將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列,則()A. B. C. D.7．答案：A解析：因為,,當時,則,兩式相減得,整理可得,且,則,可得,即,可知等差數(shù)列的公差,當時,則,解得;所以,可知數(shù)列為正奇數(shù)列,對于數(shù)列,當時,可得為偶數(shù);當時,可得為奇數(shù);所以數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列的通項公式為,則,所以.故選:A.8．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]已知拋物線的焦點為F,準線與x軸交于點P,直線l過焦點F且與C交于A,B兩點,若直線的斜率為,則()A.1 B.2 C.4 D.88．答案：C解析：拋物線的焦點,準線,過A作準線的垂線,垂足為,作軸于D,由直線的斜率為,得,而,,則,設點,,令,,于是,解得,同理,因此,當為鈍角時,同理求得,所以.故選:C二、多項選擇題9．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]已知,樣本數(shù)據(jù),,,,,,則()A.的平均數(shù)一定等于的平均數(shù) B.的中位數(shù)一定小于的中位數(shù)C.的極差一定大于的極差 D.的方差一定小于的方差9．答案：AC解析：對,分別求平均數(shù),均為,故A正確;的中位數(shù)為,的中位數(shù)為,大小關系不確定,不妨設原數(shù)據(jù)為:1,2.5,3,中位數(shù)為2.5,則新數(shù)據(jù)為:1.75,2.75,2,中位數(shù)為2,故B錯誤;的極差為,的極差為,故C正確;由,且和的平均數(shù)相等,從而,故D錯誤.故選:AC.10．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]已知函數(shù),則下列說法正確的是()A.的周期為B.的圖象關于對稱C.在上恰有3個零點D.若在上單調遞增,則的最大值為10．答案：BD解析：①當時,,②當時,,③當時,④當時,,因此,,所以函數(shù)的圖象,如圖所示:A選項:因為,故A不正確;B選項:因為,所以的圖象關于對稱,故B正確;C選項:由的函數(shù)解析式以及函數(shù)圖像可知:當時,,當時,,當時,,所以在上有無數(shù)個零點,故C錯誤;D選項:由,,得,因為在上單調遞增,所以由的圖象可知,解得,則的最大值為,故D正確;故選:BD.11．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]設,函數(shù),則()A.有兩個極值點B.若,則當時,C.若有3個零點,則a的取值范圍是D.若存在s,,滿足,則11．答案：BCD解析：對于A選項,,當時,,單調遞增,無極值點;當時,得或,,得,則在和上單調遞增,在上單調遞減,此時有兩個極值點,故A選項錯誤;對于B選項,當,時,由上述知,在上單調遞增,在上單調遞減,則,故B選項正確;對于C選項,當時,單調遞增,至多只有一個零點,不合題意;當時,若有3個零點,則由單調性可知必然有,解得.而當時,,,在區(qū)間,,中分別各有一個零點,故C選項正確;對于D選項,,等價于或,,故D選項正確.故選:BCD三、填空題12．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]已知具有線性相關性的變量x,y,設其樣本點為,經驗回歸方程為,若,,則________.12．答案：8解析：由題意可得:,,可知經驗回歸方程為過樣本中心點,則,可得.故答案為:8.13．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]在三棱錐中,平面,若,且,則三棱錐的體積的最大值為________.13．答案：/解析：在三棱錐中,平面,,設,,則,以線段的中點O為原點,直線為x軸建立平面直角坐標系,則,,設,由,得,整理得,點C在以為圓心,為半徑的圓上,則點C到直線距離的最大值為,面積的最大值為,三棱錐體積的最大值為,設,,求導得,當時,;當時,,函數(shù)在上遞增,在上遞減,因此,所以三棱錐體積的最大值為.故答案為:14．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]已知,分別為雙曲線（,）的左、右焦點,過的直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點（其中A在第一象限）,的內切圓半徑為,的內切圓半徑為,若,則直線l的斜率為________.14．答案：解析：設的內切圓的圓心為,的內切圓的圓心為,記邊,,上的切點分別為P,M,,由切線的性質可得:,,,由雙曲線定義可得:,即,則,又.則,又,則,即.同理可得,的內切圓也與軸相切于點.連接,則與x軸垂直,設圓與l相切于點N,連接,,過點作,記垂足為R,則,.設直線傾斜角為,則.在四邊形中,注意到,又四邊形內角和為,則,在中,,,則,則直線斜率,即.故答案為:.四、解答題15．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]兩個箱子里面各有除顏色外完全相同的黑球和白球若干個,現(xiàn)設計一個抽球游戲,規(guī)則如下:先從第一個箱子中隨機抽一個小球,抽后放回,記抽中黑球得4分,抽中白球得分,且抽中黑球的概率為;再從第二個箱子中隨機抽一個小球,抽后放回,記抽中黑球得1分,抽中白球得3分,且抽中黑球的概率為.記一次游戲后,得分總和為X分.（1）求X的分布列和數(shù)學期望;（2）若有3人玩該游戲各一次,求恰有2人游戲得分不低于4分的概率.15．答案：（1）分布列見解析,（2）解析：（1）由題知,X可能取的值為2,4,5,7.,,,,X的分布列為:X2457P故.（2）由（1）知,得分不低于4分和低于4分的概率均為故3人玩該游戲各一次恰有2人游戲得分不低于4分的概率為.16．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]已知函數(shù).（1）當時,求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;（2）若不等式恒成立,求a的取值范圍.16．答案：（1）（2）解析：（1）,,.,∴切點坐標為,函數(shù)在點(1,f（1）處的切線方程為,即,切線與坐標軸交點坐標分別為,,所求三角形面積為.（2）［方法一］:通性通法,,且.設,則在上單調遞增,即在上單調遞增,當時,,,成立.當時,,,,存在唯一,使得,且當時,當時,,,因此>1,,恒成立;當時,,,不是恒成立.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】:同構由得,即,而,所以.令,則,所以在R上單調遞增.由,可知,所以,所以.令,則.所以當時,,單調遞增;當時,,單調遞減.所以,則,即.所以a的取值范圍為.［方法三］:換元同構由題意知,,令,所以,所以.于是.由于,,而在時為增函數(shù),故,即,分離參數(shù)后有.令,所以.當時,,單調遞增;當時,單調遞減.所以當時,取得最大值為.所以.［方法四］:因為定義域為,且,所以,即.令,則,所以在區(qū)間內單調遞增.因為,所以時,有,即.下面證明當時,恒成立.令,只需證當時,恒成立.因為,所以在區(qū)間內單調遞增,則.因此要證明時,恒成立,只需證明即可.由,得.上面兩個不等式兩邊相加可得,故時,恒成立.當時,因為,顯然不滿足恒成立.所以a的取值范圍為.17．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]如圖,在四棱錐中,底面,,,,側棱與底面所成的角為,且,.（1）求;（2）求平面與平面夾角的余弦值.17．答案：（1）2（2）解析：（1）因為平面,平面所以,又,,,平面,所以平面,又平面,所以,因為平面,所以在平面上的射影為,所以為直線與底面所成的角,因為與底面所成的角為,所以,又,所以,設,因為,,,所以,,又,故,則,因為因為平面,平面所以,所以,所以,解得或（舍去）,故.（2）以C為坐標原點,、分別為x、y軸的正方向,過C作垂直于平面的直線為z軸,如圖建立空間直角坐標系,則,,,,則,,設平面的法向量為,,令,得,,則為平面的一個法向量,設平面的法向量為,,令,可得,,得為平面的一個法向量,設平面與平面的夾角為,則.所以平面與平面夾角的余弦值為.18．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]在平面直角坐標系中,點和是中心為坐標原點,焦點在坐標軸上的橢圓E上的兩點.（1）求橢圓E的標準方程;（2）若P為橢圓E上任意一點,以點P為圓心,為半徑的圓與圓的公共弦為.證明:的面積為定值,并求出該定值.18．答案：（1）（2）證明見解析,定值為2解析：（1）設橢圓E的方程為,由題意知:,,解得,所以橢圓E的方程為.（2）設,則,且圓P的方程為,即圓P的方程為.因為圓C的方程為,將圓P的方程與圓C的方程作差得,所以的方程為,點到直線的距離,又因為,所以的面積為為定值.19．[2025屆·安徽·三模聯(lián)考]已知無窮數(shù)列滿足以下條件:①,當時,;②若存在某項,則必有,使得（且）.（1）若,寫出所有滿足條件的;（2）若,證明:數(shù)列為等差數(shù)列;（3）設,求正整數(shù)k的最小值.19．答案：（1）滿足條件的可能為2,0,4,（2）證明見解析（3）3035解析：（1）由題意,當時,,,或,或,,,①若,則或;②若,則或;綜上所述,滿足條件的可能為;（2）先證當正整數(shù)時,,,,…,是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列,且,①由（1）得,或,又,,當時,,是以