1一類非線性系統(tǒng)的反饋鎮(zhèn)定控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)摘要本文研究了一類三階非線性系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)問題。該系統(tǒng)的非線性項(xiàng)中的狀態(tài)變量之間存在復(fù)雜的耦合關(guān)系。通過選擇適當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫函數(shù)，并利用反推控制方法，設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。首先，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，并定義候選李雅普諾夫函數(shù)，然后，再對(duì)相應(yīng)的函數(shù)計(jì)算沿系統(tǒng)方向的導(dǎo)數(shù)，逐步設(shè)計(jì)虛擬控制，最后利用李雅普諾夫判據(jù)證得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)都是有界的，且系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。仿真的結(jié)果檢驗(yàn)了控制方法是有效的。關(guān)鍵詞非線性系統(tǒng)；李雅普諾夫函數(shù)；漸近穩(wěn)定 1預(yù)備知識(shí) 2自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì) 22.1系統(tǒng)及假設(shè) 22.2標(biāo)稱系統(tǒng)狀態(tài)反饋的控制器設(shè)計(jì) 3主要結(jié)果 84仿真結(jié)果 85總結(jié) 引言近些年來，非線性系統(tǒng)的研究獲得了前所未有的快速發(fā)展]。由于非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，所以非線性系統(tǒng)在控制設(shè)計(jì)方面要比線性系統(tǒng)困難復(fù)雜的多。首先，非線性解的存在問題非常繁瑣，并且在實(shí)際工程中的非線性系統(tǒng)往往會(huì)存在時(shí)滯，干擾，死區(qū)和約束等特性，因此非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問題并沒有統(tǒng)一的方法去解決。第二，非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)之間存在很大的差異，難以建立非線性系統(tǒng)研究的統(tǒng)一理論框架，并且從更深的層次來看，非線性系統(tǒng)包含著比線性系統(tǒng)更復(fù)雜的動(dòng)態(tài)性能。而且，這使我們對(duì)非線性系統(tǒng)的探索需要更多、更復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。這些特點(diǎn)導(dǎo)致它所對(duì)應(yīng)的控制理論中會(huì)包含多種截然不同的問題，并且研究也表現(xiàn)出多樣性的面龐。到目前為止，揭示了非線性系統(tǒng)特性的原理、理論不斷走進(jìn)人們的視野，數(shù)不勝數(shù)的控制問題和設(shè)計(jì)方法被學(xué)者發(fā)現(xiàn)與提出，并且它們逐漸成為了一個(gè)廣泛的理論系統(tǒng)。如果系統(tǒng)通過設(shè)計(jì)合適的反饋控制器來實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)可以滿足鎮(zhèn)定的要求。因此，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定控制是一項(xiàng)非常重要的課題。例如，參考文獻(xiàn)5使用狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)來構(gòu)建有限時(shí)間收斂狀態(tài)觀測器，以基于相對(duì)新穎的設(shè)計(jì)方案(即非分離原理)來預(yù)測未知狀態(tài)，它提出了一種基于輸出的有限時(shí)間復(fù)合控制方法來研究一個(gè)具有不確定非線性動(dòng)力學(xué)的未知干擾二次非線性系統(tǒng)的全局有限時(shí)間輸出穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)6基于均質(zhì)理論、Lyapunov理論、動(dòng)態(tài)增益技術(shù)和增加冪次積分方法，證明閉環(huán)系統(tǒng)具有全局漸近穩(wěn)定性。特別地，基于輸出反饋控制系統(tǒng)的討論，參考文獻(xiàn)8不僅發(fā)現(xiàn)在實(shí)際工程中系統(tǒng)狀態(tài)沒有被充分測量，而且研究了一些關(guān)于輸出反饋控制的問題。它研究了幾種不同類型的非線性系統(tǒng)，采用Lyapunov法、均勻法、抑制法和采樣控制法來設(shè)計(jì)輸出反饋控制器和采樣控制器，并研究了輸出反饋穩(wěn)定的跟蹤問題。與此同時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)包含有不確定因素時(shí)，自適應(yīng)鎮(zhèn)定展現(xiàn)出了它自身的優(yōu)點(diǎn)。例如，參考文獻(xiàn)9描述了不確定非線性系統(tǒng)的全局魯棒輸出調(diào)整問題。它通過假設(shè)調(diào)節(jié)器的擴(kuò)展方程的可解性，建立了非線性內(nèi)部模型來預(yù)測非線性未知的干擾系統(tǒng)輸入同時(shí)通過2結(jié)合李雅普諾夫函數(shù)和自適應(yīng)原理來解決非線性輸出反饋系統(tǒng)類的輸出調(diào)整問題。參考文獻(xiàn)10通過Lyapunov理論提出了一種非線性系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)實(shí)時(shí)反饋跟蹤控制方案，解決了非線性項(xiàng)的模糊自適應(yīng)實(shí)時(shí)反饋控制問題。該方案使系統(tǒng)的輸出誤差在一段時(shí)間內(nèi)滿足穩(wěn)定的要求，并且確保了閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)的任何信號(hào)都是有界的。最后，列舉了一個(gè)具體的數(shù)值例子證明了設(shè)計(jì)示例是有效的。參考文獻(xiàn)1解釋了二次非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間狀態(tài)反饋穩(wěn)定的情況，并提出了兩種不同的基于全局有限時(shí)間狀態(tài)反饋穩(wěn)定的方法。首先，利用非線性均質(zhì)系統(tǒng)的特性與有限時(shí)間Lyapunov函數(shù)的反步設(shè)計(jì)法，提出了一種狀態(tài)反饋控制器，所述狀態(tài)反饋控制器需要閉合環(huán)路系統(tǒng)漸近穩(wěn)定和負(fù)均勻量。最后，利用具有非特異端子的滑模控制，得到了一個(gè)反饋控制器，該反饋控制器使得系統(tǒng)滿足鎮(zhèn)定的要求。仿真結(jié)果顯示了上述方案的有效性。這些系統(tǒng)都是用設(shè)計(jì)合適的控制器的方法來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的要求?，F(xiàn)如今，對(duì)于多種多樣的非線性系統(tǒng)控制而言，雖然學(xué)者們已提出了很多控制方法[14],這些控制方法在非線性控制中起著重要的作用。其中包含了滑?？刂?-21、反推控制法13.41、根據(jù)無源的方法和連續(xù)反饋控制法以及一些經(jīng)常運(yùn)用到的非線性控制方法。特別地，參考文獻(xiàn)7采用模糊邏輯系統(tǒng)有效的近似估計(jì)非線性系統(tǒng)中的不確定非線性項(xiàng)，采用模糊自適應(yīng)反推滑膜控制來進(jìn)行穩(wěn)定分析和跟蹤控制問題，并引入低階濾波器來抑制由于反推法中的虛擬控制的迭代導(dǎo)出而引起的“微分爆炸”現(xiàn)象。最后，設(shè)計(jì)了積分端子滑動(dòng)模式控制，解決了系統(tǒng)中存在的問題。當(dāng)在有限時(shí)間內(nèi)，參考文獻(xiàn)[12設(shè)計(jì)了一種全局狀態(tài)反饋有限時(shí)間控制器解決了一類具有未知外部擾動(dòng)的二階非線性系統(tǒng)的全局輸出鎮(zhèn)定問題。在參考文獻(xiàn)13研究了非線性系統(tǒng)中具有參數(shù)不確定性和多種擾動(dòng)的問題，通過反步法和改進(jìn)的自適應(yīng)定律來設(shè)計(jì)控制器使非線性系統(tǒng)穩(wěn)定，并且加入了虛擬控制器，來進(jìn)行系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及驗(yàn)證。參考文獻(xiàn)15研究了一類高階隨機(jī)非線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制問題。它通過選取候選的Lyapunov函數(shù)，并根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)出了一個(gè)可以使系統(tǒng)滿足穩(wěn)定要求的狀態(tài)反饋控制器。最后根據(jù)具體的數(shù)值仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器的有效性。然而，現(xiàn)存的諸多方法仍存在一些問題。例如，如何估計(jì)控制設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析中的Lyapunov函數(shù)的選擇，該采用什么方法來估計(jì)復(fù)雜的非線性項(xiàng)，以及如何考慮非線性系統(tǒng)的一些定性問題，如解的存在，唯一性，擴(kuò)展，穩(wěn)定性，被動(dòng)性，分支等一些問題，隨著對(duì)非線性系統(tǒng)的研究更為深入，非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度越來越高，那么該采用那種合適的方法可以有效的對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行控制設(shè)計(jì)這一話題具有重要的作用及意義。本文的目標(biāo)是考慮并解決一類三階非線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題。我們的目的是對(duì)滿足非線性增長條件的一類非線性系統(tǒng)的控制問題，提供了一個(gè)狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制方案。在控制設(shè)計(jì)中，我們選擇了一種適當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫函數(shù)。利用一些靈活的楊氏不等式變換與一些常見不等式變換，對(duì)一些非線性進(jìn)行適合的預(yù)估。接下來，再對(duì)相應(yīng)的函數(shù)計(jì)算沿系統(tǒng)方向的一階導(dǎo)數(shù)，然后引入了遞歸設(shè)計(jì)方法，從而我們得到了我們想要的每一次設(shè)計(jì)的李雅普諾夫函數(shù)的方向?qū)?shù)，再利用李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷。最后，結(jié)合一個(gè)具體數(shù)值例子進(jìn)行仿真探究，從而驗(yàn)證控制方案是有效的。1預(yù)備知識(shí)下面要介紹的引理貫穿全文。引理1:設(shè)對(duì)于x∈R,y∈R,p≥1是常數(shù)，下列不等式成立如果p≥1是奇數(shù)則此不等式成立：引理2:設(shè)c,d為正常數(shù)。且給定任意正數(shù)μ>0,則有下列不等式：3引理3:對(duì)于x∈R,y∈R且有正實(shí)數(shù)a,m,n和b,則有：引理4:李雅普諾夫第二法16]:選取能量方程V,當(dāng)x≠0時(shí)，V>0。當(dāng)x=0時(shí)，V=0。計(jì)算求V趨近于0,則稱為大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。2自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)2.1系統(tǒng)及假設(shè)本文將研究非線性系統(tǒng)其中，z(t)=(z?,z?,Z?)∈R3為狀態(tài)向量，uER是控制輸入。系統(tǒng)初始條件為z(0)=z?,h,()為給定的連續(xù)函數(shù)。在本節(jié)中，我們給出以下假設(shè)：假設(shè)1:對(duì)于非線性項(xiàng)h(),i=1,2,3,存在一個(gè)已知的光滑函數(shù)C;(x,)>0,使得注釋1:我們可以看出假設(shè)1與給出的系統(tǒng)是具有復(fù)雜的耦合關(guān)系的，我們需要選取適合的能量函數(shù)與設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的虛擬控制器來使得系統(tǒng)穩(wěn)定。2.2系統(tǒng)狀態(tài)反饋的控制器的設(shè)計(jì)在本節(jié)中，在假設(shè)1的條件下，將針對(duì)系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器。控制設(shè)計(jì)過程包括三步，第一步是在假設(shè)1中選擇已經(jīng)選取的的李雅普諾夫能量函數(shù)，并計(jì)算出對(duì)應(yīng)的方向的導(dǎo)數(shù)，求取非線性項(xiàng)的上界。并設(shè)計(jì)虛擬控制。第二步至第三步與第一步類似，最后求得狀態(tài)反饋控制器，最后在利用李亞普多夫方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析。步驟一：選擇候選函數(shù),其中η=z。對(duì)V?計(jì)算(1)方向的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得到：4由假設(shè)1得；利用由引理1與假設(shè)1,可得：接著選擇虛擬控制計(jì)算V?沿系統(tǒng)(1)方向的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得：我們根據(jù)引理3可得：根據(jù)假設(shè)1得：另外，可以計(jì)算：5則可以得到：另外可計(jì)算得：類似地可以得到：不難得到：由(15)-(18)利用引理2可得：將(9)、(20)和(21)帶入(8)中得：6選擇虛擬控制：并代入(22)中得其中計(jì)算V?沿系統(tǒng)(1)方向的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得根據(jù)引理1和假設(shè)1可知：我們?nèi)钥捎?jì)算得出：利用變換7?=Z?-z?,η?=z?-z?,η?=z?可得到：7由此可得到：由定理3可得：另外，可計(jì)算得：類似地可以得到：不難得到：由以上公式可得：8利用引理1可得：將(35)-(37)帶入(8)中得：又對(duì)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)使得：注釋二：由上述的公式分別列出了三種情況下的李雅普諾夫能量函數(shù)的具體公式，我們根據(jù)Lyapunov判斷穩(wěn)定的方法來進(jìn)行判定，并以此結(jié)果來判別系統(tǒng)的狀態(tài)是否滿足我們的要求。在經(jīng)過上述計(jì)算與設(shè)定相應(yīng)的函數(shù)與控制器之后，經(jīng)過判斷由于李雅普諾夫函數(shù)V?的定義知V?連續(xù)可微且有界，由(40)知V?≤0,所以V?(t)≤V(O),又因可得7?,n?,T?有界。又由于η?=z?且知z,有界，結(jié)合η?=Z?-z?(η?),可推出z?有界，類似可得也有界。根據(jù)(1)中之，之2,之3都有界，進(jìn)而可得η?,η2,73也有界。另外由(40)可得：,η;∈LP,p≥1。根據(jù)BaBarlate引理知,又由于7=z,n?=Z?-z?(7?),n?=z?-z?(n?,r?),推理可得9系統(tǒng)(1)在假設(shè)1滿足的情況下，存在著一個(gè)連續(xù)控制器能夠使得系統(tǒng)所有的狀態(tài)有界，且4仿真結(jié)果本節(jié)中，我們考慮下面這個(gè)系統(tǒng)該系統(tǒng)狀態(tài)變量之間具有復(fù)雜的耦合性，我們?cè)趍atlab2021b中用simulink模塊構(gòu)建系統(tǒng)的仿真圖，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行仿真，并且設(shè),其中γ=38(z?+0.4z?),其中z?t)和z?t)是狀態(tài)變量，u是系統(tǒng)輸入，系統(tǒng)方程中的系數(shù)已進(jìn)行確認(rèn)。我們可以得到z,Z?,u各自的軌跡圖線。圖一z?的軌跡曲線圖二z?的軌跡曲線我們根據(jù)simulink仿真圖進(jìn)行運(yùn)行，并根據(jù)示波器的圖像畫出系統(tǒng)各個(gè)變量的狀態(tài)圖像，其中圖一、圖二和圖三分別展示了z,Z?,u的軌跡曲線，軌跡曲線表明了整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)是有界的，系統(tǒng)狀態(tài)是符合漸近穩(wěn)定的規(guī)定的，從而驗(yàn)證了我們所采用控制方法是有效的。本文研究一類非線性控制系統(tǒng)。在控制設(shè)計(jì)中，因?yàn)橄到y(tǒng)的狀態(tài)變量之間有復(fù)雜的耦合性，我們需要選取相適應(yīng)的李雅普諾夫函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行求一階微分，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，根據(jù)李亞普諾夫方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行判穩(wěn)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定。具體的步驟是：第一步：進(jìn)行相適應(yīng)的坐標(biāo)變換，并定義相適應(yīng)的李雅普諾夫函數(shù)，接下來，再對(duì)相應(yīng)的函數(shù)計(jì)算沿系統(tǒng)方向的一階導(dǎo)數(shù)，然后引入了遞歸設(shè)計(jì)方法，從而，我們可以得到我們想要的李雅普諾夫的方向?qū)?shù)，再利用李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷。最后，結(jié)合一個(gè)具體數(shù)值例子進(jìn)行仿真探究，驗(yàn)證控制方案是有效的。參考文獻(xiàn)[3]MatsumotoT.AChaoticattractorfromchua'scircuit[J].IEEETra[4]YassenMT.ChaoscontrolofchaoticdynamicalsystFractals,2006,27(2):5DOI:10.3969/j.issn.1002-0640.2019.05.010.[10]王煥清，陳明，劉曉平.一類非線性系統(tǒng)模糊自適應(yīng)固定時(shí)間量化反饋控制[J].自動(dòng)化學(xué)[11]李世華，丁世宏