常州市聯(lián)盟學(xué)校2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期學(xué)情調(diào)研高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷本試卷共19大題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量的坐標(biāo)表示即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)，由向量的坐標(biāo)表示可知，，所以，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接由二倍角的余弦公式即可算出答案.【詳解】由二倍角的余弦公式可得.故選：D.3.已知，，，若，，三點(diǎn)共線，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)向量加法求出，再利用向量共線的性質(zhì)列出等式，最后求解.【詳解】已知，，則.因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以與共線.可得.即.等式兩邊同時(shí)除以（因?yàn)?，若，則，此時(shí)），得到.故選：B.4.在平面直角坐標(biāo)系中，角與的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊均為x軸的非負(fù)半軸．若角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將OP繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得，，再利用兩角和的余弦公式求解．【詳解】由題意可得，，由于，所以．故選：A．5.在平行四邊形中，，，，，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】利用向量的加法運(yùn)算及平行四邊形的性質(zhì)先把用表示，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律即可得出答案.【詳解】由向量的加法運(yùn)算及題干條件可知，，所以.故選：C.6.若函數(shù)取最小值時(shí)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)整理，得到輔助角與的關(guān)系，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析函數(shù)的最值，計(jì)算正弦值即可.【詳解】，其中，因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最小值，所以，故.故選：B.7.已知，則（）A.5 B. C.-5 D.【答案】D【解析】【分析】由角的變換，利用余弦的和，差角公式和展開，從而可得答案.【詳解】，則則，即，所以，∴，故選：D8.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得兩次最大值1，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則有，在區(qū)間上恰好取得兩次最大值1，得，即可求解.【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則有，由可得，所以，又函數(shù)在區(qū)間上恰好取得兩次最大值1，得，所以ω>0ω≤352故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列式子化簡(jiǎn)正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，由誘導(dǎo)公式和逆用兩角和的余弦公式可得結(jié)果；對(duì)于B，由誘導(dǎo)公式和逆用二倍角的正弦公式可得結(jié)果；對(duì)于C，由輔助角公式可得結(jié)果；對(duì)于D，逆用兩角和正切公式可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，由誘導(dǎo)公式可知，逆用兩角和的余弦公式可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由誘導(dǎo)公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得，故B正確；對(duì)于C，由輔助角公式可知，故C正確；對(duì)于D，逆用兩角和的正切公式可得，故D正確.故選：BCD.10.已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)非零向量，下列命題中正確的是（）A.B.若，則C.若，滿足，則與的夾角為D.與向量垂直【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算推導(dǎo)即可；對(duì)B，舉反例推導(dǎo)即可；對(duì)C，根據(jù)畫圖分析即可；對(duì)D，根據(jù)兩向量垂直的數(shù)量積關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求解判斷.【詳解】對(duì)于A，，又，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)為零向量時(shí)，可以不為相等向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以圍成的是正三角形，如圖，由平行四邊形法則可知與的夾角為，故C正確；對(duì)于D，，與垂直，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是的一個(gè)最小正周期 B.是偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.是圖象的一條對(duì)稱軸【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)周期性定義，奇偶性定義，對(duì)稱性定義，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算，二倍角公式化簡(jiǎn)，逐個(gè)判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得：，所以是的一個(gè)周期.下面判斷是否為最小正周期：.，所以是的最小正周期，則不是的一個(gè)最小正周期，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.可得：所以是偶函數(shù)，B選項(xiàng)正確.

已知,當(dāng)時(shí)，，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，知道在單調(diào)遞減，故C選項(xiàng)正確.

由于，當(dāng)，即為圖象對(duì)稱軸，所以不是圖象一條對(duì)稱軸，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的值為__________．【答案】2【解析】【分析】利用正切的和角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.【詳解】已知，故，所以故答案為：213.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為________．【答案】##【解析】【分析】求出平移后所得函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于的表達(dá)式，即可得出正數(shù)的最小值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，由于函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，取最小值.故答案為：.14.已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，且，則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】先求出的值，再根據(jù)向量模的性質(zhì)，求出的最大值.【詳解】由于，因?yàn)槭菃挝幌蛄浚?，則，.已知，代入上式可得：，則.根據(jù)向量模的性質(zhì)，可得：因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以，可得：?dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知角（1）求的值；（2）若求的值．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系與兩角和的正切公式求解，（2）由兩角差的余弦公式求解．【小問1詳解】因?yàn)樗运?所以【小問2詳解】由（1）知，因?yàn)椋?，所以所以的值為?6.已知向量，滿足，，．（1）求向量與的夾角；（2）若，求的值；（3）若向量在方向上的投影向量為，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）通過向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再利用向量夾角公式求出夾角；（2）根據(jù)向量垂直的性質(zhì)列出方程求解；（3）先求出投影向量，再計(jì)算.【小問1詳解】已知，根據(jù)向量數(shù)量積的分配律展開可得：,因?yàn)椋?；，所?代入上式可得，即，解得.設(shè)向量與的夾角為，，根據(jù)向量夾角公式可得：，因?yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)?，可?同樣根據(jù)向量數(shù)量積的分配律展開可得：將，，代入上式可得：，解得.【小問3詳解】向量在方向上的投影向量.則.將，代入可得：.17.函數(shù)的部分圖像如圖所示．（1）求的解析式；（2）已知函數(shù)，，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖象可得到，再分別利用點(diǎn)和求得和即得的解析式；（2）先利用三角恒等變換知識(shí)求出的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值.【小問1詳解】由圖象可知的最大值是，所以，當(dāng)時(shí)，，可得，又，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，解得，所以；【小問2詳解】，可得所以，即時(shí)，取得最大值為.18.在中，滿足：，是的中點(diǎn)．（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若是線段上任意一點(diǎn)，且，求的最小值；（3）若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，，，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律分別求出，然后利用向量的夾角公式求解即可；（2）由已知可得，設(shè)，則，然后化簡(jiǎn)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最小值；（3）根據(jù)題意設(shè)，，則由，，可得，，然后化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，，所以；【小?詳解】因?yàn)?，，是中點(diǎn)，所以，設(shè)，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值是．【小問3詳解】設(shè)，，則，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，，所以，所以19.閱讀下面材料：，解答下列問題：（1）用表示；（2）利用（1）的結(jié)論，求的值；