數(shù)與式綜合提升卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2024?山東淄博?中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果是正數(shù)的是（）

A.3-1B.-32C.—|—3|D.—V3

【答案】A

【分析】題考查了正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算，絕對值的化簡，乘方，算術(shù)平方根的意義，熟練掌

握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算，絕對值的化簡，乘方，算術(shù)平方根的意義計(jì)算選擇即可.

【詳解】解：A、3-1=9是正數(shù)，符合題意；

B、-3?=-9是負(fù)數(shù)，不符合題意；

C、-1.3|=-3是負(fù)數(shù)，不符合題意；

D、一百是負(fù)數(shù)，不符合題意；

故選：A.

2.（3分）（2024?山東德州?中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

2242

A.a+a=aB.a（a+1）=a+1

C.滔?a，=Q6D.（Q_1）2=02_1

【答案】C

【分析】此題考查了合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、同底數(shù)累乘法、完全平方公式等知識，根據(jù)運(yùn)算法

則進(jìn)行計(jì)算即可作出判斷即可.

【詳解】A.Q2+Q2=2Q2,故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

B.+1）=,+@,故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

C.a2-a4=a6,故選項(xiàng)正確，符合題意；

D.（a-1）2=a2-2a+1,故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

故選：C.

3.（3分）（2024?河北?中考真題）已知/為整式，若計(jì)算;的結(jié)果為稀，貝心=（）

A.xB.yC.x+yD.x-y

【答案】A

【分析】本題考查了分式的加減運(yùn)算，分式的通分，平方差公式，熟練掌握分式的加減運(yùn)算法則是解題的

關(guān)鍵.

由題意得合+于=舟，對木+號進(jìn)行通分化簡即可?

【詳解】解：???島—（的結(jié)果為三，

yx-yA

"x2+xyxy~xy+y2'

.y2（x-y）（x+y）_j_4

■'xy（x+y~）xy（x+y）~xyQx+y'）~~xy+y2~xy+y2'

：.A—x,

故選：A.

4.（3分）（2024?重慶?中考真題）估計(jì)VH（五+百）的值應(yīng)在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

【答案】C

【分析】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，無理數(shù)的估算，先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再估算即可.

【詳解】解：,.Vn（五+百）=2痣+6,

而4<^^=2e<5,

.-.10<2V6+6<11,

故答案為：C

5.（3分）（2024?廣西?中考真題）如果a+6=3,ab=l,那么/b+202啟+助3的值為（）

A.0B.1C.4D.9

【答案】D

【分析】本題考查因式分解，代數(shù)式求值，先將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，利用整體代入法，求值即可.

【詳解】解：<a+b=3,ab=1,

3322

■■-ab+2a2b2+ab=ab（a+2ab+b）

—ab（a+6）2

=1x32

=9；

故選D.

6.（3分）（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1,1,

2,3,5,......,這一列數(shù)滿足：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和.則在這一列數(shù)的前

2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為（）

A.676B.674C.1348D.1350

【答案】D

【分析】將這一列數(shù)繼續(xù)寫下去，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律即可解答.

本題主要考查的是數(shù)字規(guī)律類問題，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】這一列數(shù)為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

可以發(fā)現(xiàn)每3個數(shù)為一組，每一組前2個數(shù)為奇數(shù)，第3個數(shù)為偶數(shù).

由于2024+3=674…2,

即前2024個數(shù)共有674組，且余2個數(shù)，

???奇數(shù)有674X2+2=1350個.

故選：D

7.（3分）（2024?江蘇南通?一模）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式a/+6%+c（a力0），當(dāng)x=a時(shí)，該多項(xiàng)式的值為

c—a,則多項(xiàng)式廬+3的值可以是（）

795

A-4B.2C.-D-2

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，整式的乘法運(yùn)算，通過消元法將代數(shù)式化簡為二次函數(shù)的形式

是解題的關(guān)鍵.由已知得d+c=c—化簡得。2=—b—1,所以a?—M+3=—6―i—廿+3==一

（b+1）2+1,再求出b的取值范圍，最后根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可求出a?-廿+3的取值范圍，由此

可判斷答案.

【詳解】?,?當(dāng)x=a時(shí)，該多項(xiàng)式的值為c-a,

a3+ab+c=c—a,

整理得a（a2+6+1）=0,

???aH0,

a?+匕+1=0,

即=-b-1,

???a2—Z）2+3=—b—l—b2+3

=—b2—b+2

129

=-（fe+2）+“

2

???a=-b-lfQW0,

**?-b—1>0,

b—1,

12Q

?.?當(dāng)5=一1時(shí)，a2-/72+3=-（b）

、+T乙，+Z4=2,

根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)6<-1時(shí)，c^-b2+3<2.

故選A.

Ill

8.（3分）（2024?山東濟(jì)南,一模）設(shè)比WO,y<0,z<0,則三數(shù)x+jy+~,z+1中（）

A.都不大于一2B.都不小于一2

C.至少有一個不大于一2D.至少有一個不小于一2

【答案】C

【分析】首先把三個數(shù)相加，得到Q+3+（y+3+（z+2，由已知可知x+?W—2,y+i<-2,z+j

111,

W—2,可得/+j+y+1+z+】W—6,據(jù)此即可判定.

【詳解1解：，+亍+y+：+z+:=（%+3+（y+5+（Z+3，

x<0,y<0,z<0,

?<?x+-<-2,y+-<-2,z+-<-2,當(dāng)且僅當(dāng)％=y=z=—1時(shí)，取等號

1li,

%-+yH---Fz+-<—6,

yyzx

當(dāng)這三個數(shù)都大于-2時(shí)，這三個數(shù)的和一定大于-6,這與*+1+'+；+2+54-6矛盾，

這三個數(shù)中至少有一個不大于-2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用不等式的取值及反證法，判定命題的真假，難度比較大.

9.（3分）（2024?重慶開州?模擬預(yù)測）有一臺特殊功能計(jì)算器，對任意兩個整數(shù)只能完成求差后再取絕對

值的運(yùn)算，其運(yùn)算過程是：輸入第一個整數(shù)勺，只顯示不運(yùn)算，接著再輸入整數(shù)g，則顯示|當(dāng)-久21的結(jié)果，

如依次輸入1,2,則輸出的結(jié)果是|1-2|=1.此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差后再取

絕對值的運(yùn)算.

下列說法：

①依次輸入1，2,3,4,則最后輸出的結(jié)果是2；

②若將2,3,6這3個整數(shù)任意地一個一個輸入，全部輸入完畢后顯示的結(jié)果的最大值是5；

③若隨意地一個一個地輸入三個互不相等的正整數(shù)。，2,b,全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果為上若左的

最大值為2024,貝的最小值為2020.

其中正確的個數(shù)有（）個

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題考查了絕對值，絕對值方程.理解題意并分情況求解是解題的關(guān)鍵.

依次輸入1,2,3,4,運(yùn)算結(jié)果依次為|1-2|=1，|1-3|=2,|2—4|=2,即最后輸出的結(jié)果是2,可判斷

①的正誤；將2,3,6這3個整數(shù)任意地一個一個輸入，當(dāng)?shù)谝缓偷诙屋斎霝?或3,第三次輸入為6

時(shí)，全部輸入完畢后顯示的結(jié)果最大，最大值為||2-3|-6|=5,可判斷②的正誤；令b為最大的正整數(shù)，

當(dāng)a=l時(shí)，片的最大值為仍-|1-2||=2024,可求滿足要求的解b=2025,此時(shí)人的最小值為

|1—|2025—2||=2022；當(dāng)b>a>2020時(shí),左的最大值為|b—|a—2||=|b-a+2|=2024,可求滿足要求的

解為6-a=2022,此時(shí)人的最小值為|a-|6-2||=|a-b+2|=2020；綜上所述，人的最小值為2020,進(jìn)而

可判斷③的正誤.

【詳解】解：依次輸入1,2,3,4,運(yùn)算結(jié)果依次為2|=1，|1-3|=2,|2-4|=2,.,.最后輸出的結(jié)果

是2,①正確，故符合要求；

將2,3,6這3個整數(shù)任意地一個一個輸入，當(dāng)?shù)谝缓偷诙屋斎霝?或3,第三次輸入為6時(shí)，全部輸入

完畢后顯示的結(jié)果最大，最大值為||2-3|-6|=5,②正確，故符合要求；

令b為最大的正整數(shù)，當(dāng)a=l時(shí)，左的最大值為由—|1—2||=2024,

解得，6=2025或6=-2023（舍去），

此時(shí)k的最小值為|1-|2025-2||=2022；

當(dāng)b>a>2020時(shí)，1的最大值為出―|a—2||=|b—a+2|=2024,

解得，b-a=2022^b-a=-2026（舍去）,

此時(shí)k的最小值為|a—|b—2||=\a-b+2\=2020；

綜上所述，發(fā)的最小值為2020,

.??③正確，故符合要求；

故選：D.

10.（3分）（2024?安徽安慶?一模）生物學(xué)指出，在生物鏈中大約只有10%的能量能夠流動到下一個營養(yǎng)

級，在H1TH2TH3TH4TH5fH6這條生物鏈中（/表示第九個營養(yǎng)級，71=1,2,…,6）,要使“6獲得785千

焦的能量，那么需要Hi提供的能量約為（用科學(xué)記數(shù)法表示）（）.

A.785X1（）5千焦B.7.85XIO7千焦

C.78.5X1（）6千焦D.7.85X108千焦

【答案】B

【分析】根據(jù)10%的能量能夠流動到下一個營養(yǎng)級可知：要使“6獲得785千焦的能量，那么需要“5提供的

能量約為785X10千焦，以此類推.設(shè)需要小提供的能量約為x千焦.根據(jù)題意列方程0.15%=785計(jì)算，

即得.

本題主要考查了乘方的應(yīng)用.熟練掌握乘方的意義及運(yùn)算法則，是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】設(shè)需要Hi提供的能量約為x千焦.

根據(jù)題意得：0.15X=785,

??-10-5x=785,

解得，x=7.85X107,

二需要％提供的能量約為7.85xIO?千焦.

故選：B.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（2024?江西南昌，中考真題）分解因式：2a2-4a+2=.

2

【答案】2（a-l）

【詳解】解：先提取公因式2后繼續(xù)應(yīng)用完全平方公式分解即可：

原式=2（a2—2a+1）=2（a-l）2,

故答案為：2（a—1）2.

12.（3分）（2024?四川內(nèi)江?中考真題）已知實(shí)數(shù)a,6滿足ab=l,那么小+念的值為

【答案】1

【分析】先根據(jù)異分母的分式相加減的法則把原式化簡，再把。6=1代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：W+之

h2+1+a2+1

=（七+1）（爐+1）

02+-2+2

a2b2+a2+b2+1

a2+h2+2

（ah）2+a24-fo2+1

vafo=1

?盾#一。2+/+2_。2+.：+2一1

“原工'_l2+a2+b2+l_a2+&2+2-L

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，分式求值題中比較多的題型主要有三種：轉(zhuǎn)化已知條件后整體代入

求值；轉(zhuǎn)化所求問題后將條件整體代入求值；既要轉(zhuǎn)化條件，也要轉(zhuǎn)化問題，然后再代入求值.

13.(3分)(2024?四川內(nèi)江?中考真題)一個四位數(shù)，如果它的千位與十位上的數(shù)字之和為9,百位與個

位上的數(shù)字之和也為9,則稱該數(shù)為"極數(shù)若偶數(shù)機(jī)為"極數(shù)"，且皆是完全平方數(shù)，則巾=；

【答案】1188或4752

【分析】此題考查列代數(shù)式解決問題，設(shè)出m的代數(shù)式后根據(jù)題意得到代數(shù)式的取值范圍是解題的關(guān)鍵，

根據(jù)取值范圍確定可能的值即可解答問題.設(shè)四位數(shù)〃?的個位數(shù)字為x,十位數(shù)字為外將加表示出來，根

據(jù)費(fèi)是完全平方數(shù)，得到可能的值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)四位數(shù)加的個位數(shù)字為x,十位數(shù)字為乃(x是0到9的整數(shù)，y是0到8的整數(shù))，

',-ITT-=1000(9—y)+10。(9—x)+y+x=99(100—10y—x)>

■?m是四位數(shù)，

???99(ioo-ioy-x)是四位數(shù)，

即1000<99(i00-10y-x)<10000,

m_

■.■^=3(100-10y-x)，

??-3o1^<3(i00-10y-x)<303擊，

???費(fèi)是完全平方數(shù)，

???3(100-10y-x)既是3的倍數(shù)也是完全平方數(shù)，

???3(100-10y-x)只有36,81,144,225這四種可能，

.?費(fèi)是完全平方數(shù)的所有m值為1188或2673或4752或7425,

又m是偶數(shù)，

.-.m—1188或4752

故答案為：1188或4752.

14.(3分)(2024?廣東廣州,中考真題)如圖，把飛,Z?2，R3三個電阻串聯(lián)起來，線路AB上的電流為/,

?

電壓為U,貝UU=/RI+/R2+/R3當(dāng)RI=20.3,/?2=31.9,ff3=47.8,/=2.2時(shí)，U的值為.

A*1____________IB

4

【答案】220

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，乘法運(yùn)算律，掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確計(jì)算是解題關(guān)鍵.根據(jù)〃=/%+/

R2+IR3,將數(shù)值代入計(jì)算即可.

【詳解】解：U=/Ri+//?2+/R3，

當(dāng)心=20.3,R2=31.9,R3=47.8,/=2.2時(shí)，

U=20.3x2.2+31.9x2.2+47.8x2.2=（20,3+31.9+47.8）x2.2=220,

故答案為：220.

15.（3分）（2024?重慶?中考真題）一個各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)時(shí)=適次，若滿足

a+d=b+c=9,則稱這個四位數(shù)為“友誼數(shù)”.例如：四位數(shù)1278,,??1+8=2+7=9,1278是"友誼

數(shù)”.若麗3是一個"友誼數(shù)"，且b-a=c-6=l,則這個數(shù)為；若時(shí)=赤3是一個"友誼數(shù)"，設(shè)F（M）

=%且型嚕陋是整數(shù)，則滿足條件的M的最大值是.

【答案】34566273

【分析】本題主要考查了新定義，根據(jù)新定義得到。+d=b+c=9,再由匕一。=c-b=1可求出。、b、c、

d的值，進(jìn)而可得答案；先求出M=999a+906+99,進(jìn)而得到型噌t(yī)里=9a+8+四株,根據(jù)型譬±空

是整數(shù)，得到9a+8+小薩是整數(shù)，即也常是整數(shù)，貝。3a+b+6是13的倍數(shù)，求出aW8,再按照。從

大到小的范圍討論求解即可.

【詳解】解：rabcd是一個"友誼數(shù)",

.,.a+d=b+c=9,

又,?,b—a=c—b=1,

.,.b=4,c=5,

/.a=3,d=6,

??.這個數(shù)為3456；

?.,M=訪FH是一個"友誼數(shù)"，

.,.M=1000a+100/j+10c+d

=1000a+100b+10（9—瓦）+9-a

=999a+90b+99,

=9=111。+10b+11,

.尸(M)+ab+cd

13

lll(z+10b+11+10a+b+10c+d

二13

Illa+10b+11+10a+b+10(9—b)+9-a

二13

120a+6+110

二13

117a+3a+Z?+104+6

=13

=9a+8+^^,

F(M)+ab+cd

t:是整數(shù),

13

...9a+8+也薩是整數(shù)，即至三是整數(shù),

??-3a+b+6是13的倍數(shù),

,?&、b、c、d都是不為0的正整數(shù)，且a+d=b+c=9,

.-.a<8,

.?.當(dāng)a=8時(shí)，31<3a+fo+6<38,此時(shí)不滿足3a+b+6是13的倍數(shù)，不符合題意;

當(dāng)a=7時(shí)，28W3a+b+6W35,此時(shí)不滿足3a+b+6是13的倍數(shù)，不符合題意；

當(dāng)a=6時(shí)，25W3a+b+6W32,此時(shí)可以滿足3a+6+6是13的倍數(shù)，即此時(shí)b=2,則此時(shí)d=3,

c=7,

:要使M■最大，則一定要滿足a最大,

.??滿足題意的”的最大值即為6273；

故答案為：3456；6273.

16.（3分）（2024?北京?中考真題）聯(lián)歡會有B,C,。四個節(jié)目需要彩排.所有演員到場后節(jié)目彩排開

始。一個節(jié)目彩排完畢，下一個節(jié)目彩排立即開始.每個節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時(shí)長（單位：min）如下：

節(jié)目ABCD

演員人數(shù)102101

彩排時(shí)長30102010

已知每位演員只參演一個節(jié)目.一位演員的候場時(shí)間是指從第一個彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)

目彩排開始的時(shí)間間隔（不考慮換場時(shí)間等其他因素）。

若節(jié)目按"4-B-C-D”的先后順序彩排，則節(jié)目。的演員的候場時(shí)間為min；

若使這23位演員的候場時(shí)間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按的先后順序彩排

【答案】60C—A—B—D

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解題意，熟練計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

①節(jié)目D的演員的候場時(shí)間為30+10+20=60min；②先確定C在N的前面，8在。前面，然后分類討

論計(jì)算出每一種情況下，所有演員候場時(shí)間，比較即可.

【詳解】解：①節(jié)目。的演員的候場時(shí)間為30+10+20=60min,

故答案為：60；

②由題意得節(jié)目4和C演員人數(shù)一樣，彩排時(shí)長不一樣，那么時(shí)長長的節(jié)目應(yīng)該放在后面，那么C在/的

前面，8和。彩排時(shí)長一樣，人數(shù)不一樣，那么人數(shù)少的應(yīng)該往后排，這樣等待時(shí)長會短一些，那么8在

D前面,

二①按照C—4-D順序，則候場時(shí)間為：(10+2+1)x20+(io+1)x10+1x30=400分鐘;

②按照C-B-D-4順序,則候場時(shí)間為:(10+2+1)X20+(io+1)x10+10x10=470分鐘;

③按照C-4-8-D順序,則候場時(shí)間為:(10+2+1)x20+(2+1)x30+1x10=360分鐘；

④按照B—C—4—D順序,則候場時(shí)間為:(10+10+1)x10+(io+1)x20+1x30=460分鐘；

⑤按照B-C-D-4順序,則候場時(shí)間為:(10+10+1)x10+(io+1)x20+10x10=530分鐘；

⑥按照B—D—C—⑷順序,則候場時(shí)間為:(10+10+1)x10+(10+10)x10+10x20=610分鐘.

??.按照C-a-B-D順序彩排,候場時(shí)間之和最小,

故答案為：C-A-B-D.

三.解答題(共9小題，滿分72分)

17.(6分)(2024?山西?中考真題)⑴計(jì)算：(-6)+[(-3)+(-1)]；

⑵化簡：3+左)十巖?

【答案】(1)-10；(2)備

【分析】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，熟知運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先算括號里面的，再算乘法，負(fù)整數(shù)指數(shù)暴，最后算加減即可；

(2)先算括號里面的，再把除法化為乘法，最后約分即可.

【詳解】解：(1)(—6)X?G)+[(-3)4-(-1)]

=(-6)x|-(|)-2

+(-3-1)

=-2—4—4

=—10；

⑵島+三)+含

%+1+x—1(X+1)(X—1)

(x+1)(%—1)%+2

2x(x+1)(%—1)

(x+1)(%—1)x+2

_2x

~x+2*

18.(6分)(2024?福建?中考真題)已知實(shí)數(shù)見仇cjn刀滿足3m+n=2M幾=]

aa

⑴求證：臣一12四為非負(fù)數(shù)；

(2)若a,6,c均為奇數(shù)，小刀是否可以都為整數(shù)？說明你的理由.

【答案】⑴證明見解析；

⑵m,n不可能都為整數(shù)，理由見解析.

【分析】本小題考查整式的運(yùn)算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識：考查運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意

識等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識分析、解決問題的能力.

(1)根據(jù)題意得出b=a(3zn+n),c=cwm,進(jìn)而計(jì)算M-lZac,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

(2)分情況討論，①小刀都為奇數(shù)；②m,n為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已

知條件分析即可.

【詳解】(1)解：因?yàn)?m+n=g,nm=￡,

所以b=a(3m+n).c=amn.

貝！|62_i2ac=[a(3m+n)]2-12a2mn

—a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn

=a2(9m2—6mn+n2)

=6(2(301—

因?yàn)閍,犯n是實(shí)數(shù)，所以a2(3m-n)220,

所以信―"ac為非負(fù)數(shù).

(2)犯兀不可能都為整數(shù).

理由如下：若nui都為整數(shù)，其可能情況有：①nui都為奇數(shù)；②小刀為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù).

①當(dāng)都為奇數(shù)時(shí)，貝！]3巾+n必為偶數(shù).

又3m+n=g,所以b=a(3m+n).

因?yàn)閍為奇數(shù)，所以a(3m+n)必為偶數(shù)，這與b為奇數(shù)矛盾.

②當(dāng)m,n為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)時(shí)，則nm必為偶數(shù).

_c

又因?yàn)?1所以c=anm.

因?yàn)閍為奇數(shù)，所以anm必為偶數(shù)，這與c為奇數(shù)矛盾.

綜上所述，加刀不可能都為整數(shù).

19.(6分)(2024?河北?中考真題)如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸.甲數(shù)軸上的三點(diǎn)，，B,C所對應(yīng)的數(shù)依次

為一4,2,32,乙數(shù)軸上的三點(diǎn)。，E,尸所對應(yīng)的數(shù)依次為0,x,12.

DEF

乙0x12

⑴計(jì)算B,C三點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)的和，并求黑的值；

(2)當(dāng)點(diǎn)/與點(diǎn)。上下對齊時(shí)，點(diǎn)2,C恰好分別與點(diǎn)E,尸上下對齊，求尤的值.

【答案】⑴30,1

⑵久=2

【分析】本題考查的是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的含義，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意是解本題的關(guān)鍵;

(1)直接列式求解三個數(shù)的和即可，再分別計(jì)算48/C,從而可得答案；

(2)由題意可得，對應(yīng)線段是成比例的，再建立方程求解即可.

【詳解】(1)解：,?,甲數(shù)軸上的三點(diǎn)4,B,C所對應(yīng)的數(shù)依次為-4,2,32,

.?.—4+2+32=30,AB=2—(—4)=2+4=6,AC=32—(—4)=32+4=36,

AB_6

"Tc-36-6；

(2)解：???點(diǎn)Z與點(diǎn)。上下對齊時(shí)，點(diǎn)8,。恰好分別與點(diǎn)與方上下對齊，

DE_DF

??屈一就'

x12

**'6=36>

解得：x=2.

20.(8分)(2024?山東威海?中考真題)定義

我們把數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)°的絕對值.數(shù)軸上表示數(shù)a,6的點(diǎn)2之間的距離

AB=a-b^a>/,).特別的，當(dāng)aNO時(shí)，表示數(shù)。的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于a-0.當(dāng)a<0時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與

原點(diǎn)的距離等于0-a.

應(yīng)用

如圖，在數(shù)軸上，動點(diǎn)/從表示-3的點(diǎn)出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動.同時(shí)，動點(diǎn)8

從表示12的點(diǎn)出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動.

AB

—?----------1------------------------------------------1——>

-3O12

⑴經(jīng)過多長時(shí)間，點(diǎn)42之間的距離等于3個單位長度？

(2)求點(diǎn)/,8到原點(diǎn)距離之和的最小值.

【答案】⑴過4秒或6秒

(2)3

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，絕對值的意義等知識，解題的關(guān)鍵是：

(1)設(shè)經(jīng)過x秒，則/表示的數(shù)為-3+X,2表示的數(shù)為12-2x,根據(jù)"點(diǎn)8之間的距離等于3個單位

長度"列方程求解即可；

(2)先求出點(diǎn)48到原點(diǎn)距離之和為|—3+刈+|12—2久|，然后分x<3,3<%<6,x>6三種情況討論,

利用絕對值的意義，不等式的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)經(jīng)過x秒，則/表示的數(shù)為-3+刈2表示的數(shù)為12-2%,

根據(jù)題意，得|12-2萬一(一3+x)|=3,

解得x=4或6,

答，經(jīng)過4秒或6秒，點(diǎn)48之間的距離等于3個單位長度；

(2)解：由(1)知：點(diǎn)8到原點(diǎn)距離之和為3+久|+|12—2久|,

當(dāng)x<3時(shí),3+x|+|12—2x|=3—x+12-2%=15—3%,

-：x<3,

??,15-3x>6,即|一3+x|+|12—2式|>6,

當(dāng)3W%W6時(shí)，|—3+x|+|12—2x|=x—3+12—2%=9—x,

?■-3<x<6,

??3<9-x<6,即3<|-3+x\+\12-2x\<6,

當(dāng)x>6時(shí),|—3+%|+|12—2x|=x—3+2x—12=3x—15,

vx>6,

.-.3x-15>3,即|-3+x|+|12—2”|>3,

綜上,|—3+x|+112—2x|-3,

.??點(diǎn)A,B到原點(diǎn)距離之和的最小值為3.

21.（8分）（2024?四川涼山?中考真題）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：

下圖是一個三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點(diǎn)，第二行有2個點(diǎn)……第n行有n個點(diǎn)

容易發(fā)現(xiàn)，三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)之和為10.

⑴探索：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為,前15行的點(diǎn)數(shù)之和為,那么，前而亍的點(diǎn)數(shù)之和為

⑵體驗(yàn)：三角點(diǎn)陣中前幾行的點(diǎn)數(shù)之和（填"能"或"不能"）為500.

⑶運(yùn)用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第

二排4盆，第三排6盆.…第幾排2"盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？

【答案】（1）36；120；+1）

（2）不能

⑶一共能擺放20排.

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)圖形，總結(jié)規(guī)律，列式計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)前〃行的點(diǎn)數(shù)和是500,即可得出關(guān)于”的一元二次方程，解之即可判斷；

（2）先得到前〃行的點(diǎn)數(shù)和是n（n+l）,再根據(jù)題意得出關(guān)于〃的一元二次方程，解之即可得出"的值.

1

【詳解】（1）解：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+4+5+6+7+8=5（1+8）X8=36,

前15行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+-+14+15=|（1+15）x15=120,

11

那么，前71行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+…+71=式1+冗）xn=-n（n+1）;

故答案為：36；120；

（2）解：不能,

理由如下:

1

由題意得/(n+1)=500,

得川+九—iooo=o,

4=I2-4x(-1000)=4001,

.??此方程無正整數(shù)解，

所以三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和不能是500；

故答案為：不能；

(3)解：同理，前兀行的點(diǎn)數(shù)之和為2+4+6+…+2踐=2x：(i+n)X71=7101+1),

由題意得幾(幾+1)=420,

得/+?1—420=0,即(n+21)(?i—20)=0，

解得n=20或ri=-21(舍去),

???一共能擺放20排.

22.(9分)(2024?江蘇無錫?一模)閱讀下面材料：

一個含有多個字母的式子中，如果任意交換兩個字母的位置，式子的值都不變，這樣的式子就叫做對稱

式.例如：a+b+c,abe,a2+b2,...

含有兩個字母a,b的對稱式的基本對稱式是a+b和ab,像a2+b2,(a+2)(b+2)等對稱式都可以用a+b,

ab表示，例如：a2+b2=(a+b)2-2ab.請根據(jù)以上材料解決下列問題：

(1)式子①a2b2②a2-b2③5+：中，屬于對稱式的是(填序號)；

(2)已知(x+a)(x+b)=x2+mx+n.

①若m=—2,71=9，求對稱式g+?的值；

②若n=-4,直接寫出對稱式與+嘿的最小值.

【答案】(1)①③；(2)①，+石=6；②+勺?的最小值為*

【分析】(1)根據(jù)對稱式的定義進(jìn)行判斷；

(2)①先得到a+b=-2,ab=；,再變形得到勺+￡=邛=婦*叱然后利用整體代入的方法計(jì)算；

②根據(jù)分式的性質(zhì)變形得到耍+喂=02+*+■+/,再利用完全平方公式變形得到(a+b)2-2ab+

吟泮，所以原式4m2#,然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可確定駕i+槳的最小值.

【詳解】解：(1)式子①a2b2②a2-b2③5+：中，屬于對稱式的是①③.

故答案為①③；

(2)vx2+(a+b)x+ab=x2+mx+n

，a+b=m,ab=n.

①a+b=-2,ab=1,

o1

bga2+,2(a+b)22ab=(2)-2丐.

ababab-'

2

/i、2rci(a+b)—2ab

=(a+b)-2ab-Pa2b-2—

=m2+8+^

??,T7m2>0,

.??喂+產(chǎn)的最小值為9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，關(guān)鍵是根據(jù)題目所給的定義及完全平方公式進(jìn)行求解即可.

23.（9分）（2024?江蘇鹽城?中考真題）發(fā)現(xiàn)問題

小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？

圖1

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成

點(diǎn)，每個點(diǎn)表示不同的籽.該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有〃個籽，每列有人個籽，

行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（",人均為正整數(shù)，n>k>3,d>0）,如圖1所示.

小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案.

方案1:圖1是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為,共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長

為;

方案2：圖2是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為；

方案3：圖3是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.

解決問題

在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進(jìn)行評價(jià).

^^：：：三小曲內(nèi)…弋

圖1圖2圖3

【答案】分析問題：方案1：(n-l)d；2k-2(n-l)dfc；方案2：2(k-l)d七方案3：苧x(2k-l)nd；解決

問題：方案3路徑最短，理由見解析

【分析】分析問題：方案1：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案2：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案

3：根據(jù)圖得出斜著鏟每兩個點(diǎn)之間的距離為與2=苧，根據(jù)題意得一共有2n列，2k行,斜著鏟相當(dāng)于

有“條線段長，同時(shí)有2k-1個，即可得出總路徑長；

解決問題：利用作差法比較三種方案即可.

題目主要考查列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算，二次根式的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：方案1：根據(jù)題意每行有"個籽，行上相鄰兩籽的間距為d,

??.每行鏟的路徑長為(n-l)d,

???每列有k個籽，呈交錯規(guī)律排列，

???相當(dāng)于有2k行,

???鏟除全部籽的路徑總長為2(n—l)dk,

故答案為：(n—l)d；2k；2(n—l')dk；

方案2：根據(jù)題意每列有k個籽，列上相鄰兩籽的間距為d,

二每列鏟的路徑長為(k-l)d,

?.?每行有"個籽，呈交錯規(guī)律排列，，

???相當(dāng)于有2n列,

???鏟除全部籽的路徑總長為2(k-1)由I,

故答案為:2(fc-l)dn;

方案3：由圖得斜著鏟每兩個點(diǎn)之間的距離為號?=苧，

根據(jù)題意得一共有2n列，2k行,

斜著鏟相當(dāng)于有。條線段長，同時(shí)有2卜-1個，

???鏟除全部籽的路徑總長為：(2fc-l)nd；

解決問題

由上得：2(n—l)dfc—2(fc—i)dn=2ndk-2dk—2ndk+2dn=2d(n—fc)>0,

??.方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；

2(fc-i)dn-^x(2k-l)dn=[(2-偽k-2+苧dn,

vn>fc>3,

當(dāng)k=3時(shí)，

(2-V2)x3-2+孝=4-亭>0，

2(k-l)d?i一孝x(2/c-l)dn>0,

方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對菠蘿的損耗.

24.(10分)(2024?廣東肇慶?一模)【發(fā)現(xiàn)問題】

由缶一匕)220得，a2+b2>2ab；如果兩個正數(shù)a,b,即a>0,fa>0,則有下面的不等式：

a+b>2^ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號.

【提出問題】若6>0,利用配方能否求出a+b的最小值呢？

【分析問題】例如：已知x>0,求式子x+：的最小值.

解:令。=久”=：則由a+622V^K，得x+2/,：=4,當(dāng)且僅當(dāng)久=：時(shí)，即x=2時(shí)，式子有最小

值，最小值為4.

【解決問題】

請根據(jù)上面材料回答下列問題：

(1)2+32VI73(用"=<"填空)；當(dāng)X〉。，式子x+i的最小值為；

【能力提升】

(2)用籬笆圍一個面積為32平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻(墻長20米)，問這個

長方形的長、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？

(3)如圖，四邊形4BCD的對角線相交于點(diǎn)。，AAOB、△C。。的面積分另是8和14,求四邊形4BCD

面積的最小值.

【答案】(1)>,2；(2)當(dāng)長、寬分別為8米，4米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是16米；(3)

四邊形48CD面積的最小值為22+8V7

【分析】本題考查了配方法在最值問題中的應(yīng)用，同時(shí)本題還考查了等高三角形的在面積計(jì)算中的應(yīng)用.

(1)當(dāng)x>0時(shí)，按照公式a+(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號)來計(jì)算即可；當(dāng)x<0時(shí)，一4刀>0,

—>0,則也可以按公式a+622疝(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號)來計(jì)算；

(2)設(shè)這個長方形花園靠墻的一邊的長為x米，另一邊為y米，貝by=32,可得y=?,推出籬笆長=?

+居利用題中結(jié)論解決問題即可

=

(3)設(shè)SABOC=久，已知SA4OB=8,SAC0D=14,則由等IWJ二角形可知：S^B0C-SAC0DS^A0B-SAA0D,用

含x的式子表示出來，再按照題中所給公式求得最小值，加上常數(shù)即可.

【詳解】解：⑴蜷>。,？〉。，且273,

?,-2+3>2V2X3;

當(dāng)x>0時(shí)，”+/2、晨1=2,

xyx

故答案為：>,2；

(2)設(shè)這個長方形花園靠墻