陜西省“西中教育聯(lián)合體”2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學試題

第I卷（選擇題）

一、單選題本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)集合4={13層},B=（l,a+2],若貝|。=（）

A.2B.1C.-2D.-1

2.已知i為虛數(shù)單位，若z=則z?萬=（）

A.也B.2C.-2iD.21

3.設(shè)TH,五為非零向量，則“存在負數(shù)九使得血=比1”是“血,九〈0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.若sin忘+仇）=/則cos（2a-等=（）

A.一獲B.一親C.強D.||

5.某省新高考中選考科目采用賦分制，具體轉(zhuǎn)換規(guī)則和步驟如下：第一步，按照考生原始分從高到低按成

績比例劃定爾B、C、D、E共五個等級（見下表）.第二步，將4至E五個等級內(nèi)的考生原始分，依照等比例轉(zhuǎn)

換法則，分別對應轉(zhuǎn)換到100?86、85?71、70?56、55?41和40?30五個分數(shù)段，從而將考生的等級轉(zhuǎn)

換成了等級分.

等級ABCDE

比例15%35%35%13%2%

賦分區(qū)間100-8685-7170-5655-4140-30

（該區(qū)間原始最高分一原始分）_（等級賦分區(qū)間最高分一X）

賦分公式:計算出來的X經(jīng)過四舍五人后即為賦分成

（原始分一該區(qū)間原始最低分）一（X-等級賦分區(qū)間最低分）'

績.

某次考試，化學成績4等級的原始最高分為98分，最低分為63分.學生甲化學原始成績?yōu)?6分，則該學生的

化學賦分分數(shù)為（）

A.85B.88C.91D.95

6.若函數(shù)=區(qū)：￡*4a，X<1是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍為（）

第1頁，共14頁

A.髓B.嗚

C.［1,+8)D.(一8者u［1,+oo)

7.已知直線斕x+y+a=0與OC：/+(y—1尸=4相交于4B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數(shù)a

=()

A.-4或2B.-2或4C.-1±A/3D.—1士水

8.已知函數(shù)/'(久)及其導函數(shù)/''(?定義域均為R,滿足/(］+%)-/(萬一久)=2x,記g(x)=f'(x),其導函數(shù)為

g'(x),且“(3—久)的圖象關(guān)于原點對稱，貝的'(9)+潟)=()

A.0B.3C.4D,1

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數(shù)/(x)=2sin(2x一§,則

A.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點篇,。)對稱

B.函數(shù)/(久)的圖象關(guān)于直線》=將對稱

C.若尤e［。,且，則函數(shù)f(x)的值域為［―避,避］

D.函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為同+瑞,k兀+巖］(keZ)

10.若函數(shù)f(久)=ln(l+x)—ln(l—x)+5則()

A.八久)的圖象關(guān)于(0,0)對稱B.f(久)在(0凈上單調(diào)遞增

CJ(x)的極小值點為#Dj(x)有兩個零點

11.已知拋物線產(chǎn)=8%的焦點為F,準線與x軸的交點為C,過點C的直線/與拋物線交于4B兩點，4點位于B

點右方，若乙4FB=NCF8,則下列結(jié)論一定正確的有()

A.\AF\=8B.明=竽

C?齦源都三堂迤D.直線4F的斜率為避

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率

是_____

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13.在等差數(shù)列｛a九｝中，a1+3a8+。15=120,則3a9—的值為-

14.三棱錐P—ABC中，AB=AC=*,AB1AC,平面P8C1平面ABC,且P8=PC.記P—ABC的體積為匕

內(nèi)切球半徑為r,貝嶺Y的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

/ABC中,sin2y4—sin25—sin2C=sinBsinC.

(1)求A

(2)若8c=3,求2L48C周長的最大值.

16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面四邊形4BCD的邊長均為2,且NB4D=60。，PDLDC,PB1AC,棱PD

的中點為M.

AB

(1)求證：PD1平面4BCD;

⑵若△PDB的面積是2逆，求點P到平面BCM的距離.

17.(本小題15分)

已知橢圓C:胃+噲=l(a>b>0)的離心率為字，且短軸長2,。為坐標原點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)過點4(0,2)的直線I與橢圓C交于M,N兩點，當AOMN的面積最大時，求直線1的方程.

18.(本小題17分)

高性能計算芯片是一切人工智能的基礎(chǔ).國內(nèi)某企業(yè)已快速啟動4/芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期需進行產(chǎn)品檢測，檢

測包括智能檢測和人工檢測.智能檢測在生產(chǎn)線上自動完成，包括安全檢測、蓄能檢測、性能檢測等三項指

標，且智能檢測三項指標達標的概率分別為繇嘉，賽人工檢測僅對智能檢測達標(即三項指標均達標)的

3U4-774,0

產(chǎn)品進行抽樣檢測，且僅設(shè)置一個綜合指標.人工檢測綜合指標不達標的概率為P(0<P<1).

(1)求每個4芯片智能檢測不達標的概率；

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(2)人工檢測抽檢50個4/芯片，記恰有1個不達標的概率為f(p),當「=「。時，f(p)取得最大值，求po；

(3)若4芯片的合格率不超過93%,則需對生產(chǎn)工序進行改良.以(2)中確定的po作為p的值，試判斷該企業(yè)是

否需對生產(chǎn)工序進行改良.

19.(本小題17分)

若數(shù)列｛“｝滿足4：+1=2?2,則稱數(shù)列那?｝為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列5｝中，的=9,點(冊&+1)在函

數(shù)/'(久)=/+2%的圖象上，其中為正整數(shù).

(1)證明數(shù)列｛斯+1｝是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列｛恒(即+1)｝為等比數(shù)列；

(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項積為T”即7?=(西+1)92+1>“斯+1)，求lg「n；

(3)在(2)的條件下，記6n=電(黑1),求數(shù)列｛g｝的前幾項和S”并求使Sn>4026的門的最小值.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

因為8

貝ija+2=3或a+2=a2,

解得Q=1或-1或2,

當。=1時，A={1,3,1},不合題意，舍去；

當a=-1時，A={1,3,1},不合題意，舍去；

當a=2時，A={1,3,4},8={1,4},滿足題意,

???a=2.

故選/.

2.【答案】B

【解析】

因為Z_且__陽1一。__2f(l-Q_

所以z=1—i,

所以z?萬=(1+i)?(1—i)=2.

故選：B.

3.【答案】A

【解析】

根據(jù)題意，存在負數(shù)九使得非零向量而=入云則表示非零向量二和「共線反向,

m-n=|m|-|n|cosl80°=—|m|-|n|<0恒成立;

—?—>—>—>

而反過來小力<0,并不能得到小和打共線，可能是兩向量夾角為鈍角,

故“存在負數(shù)人使機=4n”是“小上<0”的充分而不必要條件,

故選/.

4.【答案】C

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【解析】因為血巖?域三顏薩底Fl斯造一q曰砌畬一菁！三

所以eo?(2c-y)=eo?2(c-1)]=2eos2(n-_I=(.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查頻率分布表，屬于一般題.

100-X98-76

設(shè)該學生的化學賦分分數(shù)為X,根據(jù)賦分公式有即可求該生的化學賦分分數(shù).

X—86-76-63,

【解答】

設(shè)該學生的化學賦分分數(shù)為X,則野f=

所以35X=13x100+86X220X-91分.

故選：C.

6.【答案】A

【解析】

-a%x>XL+4a，X<1是R上的減函數(shù),

根據(jù)題意，函數(shù)/0)=IzVa/V

,3ct—1<0

貝小一a<0，解可得

(3a—1)+4a之一a

即a的取值范圍為的)，

故選：A.

7.【答案】4

【解析】

由直線湘x+y+a-0與OC:x2+(y—l)2=4相交于2、B兩點,

且△ABC為等邊三角形，

C到直線4B的距離為岑X2=?

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.Il+G_R

-73一"

a=2或一4,

故選4.

8.【答案】D

【解析】

因為/弓+X)—/(1—x)=2x,

兩邊同時求導可得：f(|+x)+f(|-x)=2,即g《+x)+g需一x)=2,①

令x=。，可得g(R=l

①兩邊同時求導：g'(|+x)-g'(|-x)=0,整理得：g'弓+刀)=。'(|一久)，

因為g'(3—幻的圖象關(guān)于原點對稱，

所以g'(3+久)=-g'(3一久)，g(3+x)=g(3—x),g'(3)=0

所以

g'(9)=g'(6+3)="(3)=0,

潟)=g(|)=1，

故"(9)+湍)=i.

9.【答案】AD

【解析】

TT

已知函數(shù)f(%)=2s譏(2%—5)，

對于4當久=專時，7(f)=0,故/正確；

對于8：當久=與時，/(爭=2s譏(與一$=0,故5錯誤；

對于C：由于久W[由故2「等,故sin(2%—$W[—宰1].

故/(%)的值域為[—而,2],故C錯誤；

對于。：令5+2/CTT<2x—§<2/CTT+整理得％6\kn+普，々兀+€Z),

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函數(shù)/⑴的單調(diào)遞減區(qū)間為即+居,而+與為(keZ)故。正確.

故選：AD.

10.【答案】AC

【解析】

對于4函數(shù)/(X)的定義域為(一1,0)U(0,1),關(guān)于原點對稱，

/(-x)=ln(l-x)-ln(l+x)-|=-/(%),所以/(x)是奇函數(shù)，故/(%)的圖象關(guān)于(0,0)對稱,N正確;

對于B，因為廣(乃=已+±_>嘉e昌

令尸0)=需二］)>0,則孝<乂<1或一1<%<—孝；令，(x)<0,則一孝<%<?；?<^<孝-

故/(%)在(T—字)和信，1)上單調(diào)遞增；在(—岑,0)和(0,考)上單調(diào)遞減，3錯誤；

當故/(%)的極小值點為孝，極大值點為一岑，C正確.

因為/(宇)=ln(l+孝)—ln(l—芋)+2^/2=ln(3+2避)+2M>0,所以/(x)在(0,1)上無零點，故/(幻

在定義域內(nèi)無零點，。錯誤.

故選/C.

11.【答案】ABC

【解析】由題意得,F(2,0),C(—2,0),

當直線［的斜率為0時，與拋物線只有1個交點，不合要求，

故設(shè)直線/的方程為x=my—2,不妨設(shè)m>0,

聯(lián)立y2=8x,可得y2—8my+16=0,易得/>0,

設(shè)a(%i,*2)，B(久2)2)，則yi>o,y-i>o,

則yi+V2=8m,7172=16.

222

則|AB|=^1+m-\y1-y2\，\BC\=yjl+m-\y2\=+m-y2,

由正弦定理得一%=制方制布=—%，

smZ-CBFsmz.CFBsmz.ABFsmZ.AFB

因為乙4FB=NCFB,4CBF+4ABF=TT,

所以為>V2,=需，

加4=，1+病.-2|=-21

\AF\~y/l+m2?|yi—y2|-lyi一丫2|?

又由焦半徑公式可知|/尸|=%i+2=myr—2+2=mylf

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,771

貝“^7=y1-y2即yly2=4yl-4y2=4A/（%+、2）2—4yiy2,

即167n=4,647n2—64,解得m^

則yi+。2=1乎^,丫1丫2=16，解得yi=44，丫2=^^，

故|AF|=my[=X4^3=8,

當mV0時，同理可得到|49|=8,故Z正確；

2

\AB\—,1+=2.|y1—y2|=^1+m.1647n2-64

=QIX/PM=/X^=苧,故2正確；

1

^^AFB-S^ACF-S^BCF=]、\CF\x\y±—y2\—^\yi—yi\

=21647n2-64=2xJ64x^-64=i^?,故C正確；

當相＞0時，月=4避，則％1=（4弗）2=6,即4（6,4平），

8

此時膜F=￥U=^.

6—2

由對稱性可得，當771＜。時，k^p=—

故直線AF的斜率為土依，故。錯誤.

12.【答案】1

【解析】從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務(wù),

基本事件總數(shù)n=Cl=10,

選出的2名同學中至少有1名女同學包含的基本事件個數(shù)：

m=C3C2+C2=7,

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選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是p=￡=看.

故答案為看.

13.【答案】48

【解析】

+3。8+。15=5a8=120,

他=24,即臼+7d=24,

*'.3a9—=2al+14d—48,

故答案為48.

14.【答案】m+2

【解析】

取BC的中點0,連接。力，OP,

因為4B=4C=湄，ABLAC,所以BC=2.

則。4=0B=0C=l,△48。的面積為豺仆8。=1,

因為PB=PC,。是BC的中點，所以PO1BC,

又平面PBC1平面ABC,平面PBCC平面4BC=8C,P。u平面PBC,所以P。！平面ABC,

設(shè)三棱錐P—4BC的高為h,貝|OP=/i,

貝IAPBC的面積為9?BC=h,

PA=PB=PC=y/h2+1,

可得APB4△PAC的面積均為汽王I,

于是三棱錐P-ABC的表面積為避廬下I+h+l,

由等體積可知(J2F+1+h+1)《=lxj,

J3

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所以2=2九+2+2,2九2+1_2，2九2+1+2+2

“V-h~h'

故2_工_2,2層+1+2+2_g_2，2九2+1—1

XrVhhh

設(shè)函數(shù)〃>)=獨f+2,且久>0,

，2汽2+1_2____________2N_3__________

x2yj2x2+1x2J2%2+1（^2x2+1+2）'

當x<4時,尸(為<。，/⑺單調(diào)遞減，x>J|時，f'(x)>0,/⑺單調(diào)遞增,

所以/（X）2fd|）=m+2,

所以拉=乎時，芻一§取得最小值述+2,

故答案為述+2.

15.【答案】（1）設(shè)△ABC的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,

因為sin?/—sin25—sin2c=sinBsinC,

由正弦定理可得Q2-b2-c2=be,

即為扶+c2-a2=—be,

由余弦定理可得cosZ="=一悠=-i

2bc2bc2.

2TT

由0<AVTT,可得/=F~；

（2）由題意可得a=3,

又8+0=全可設(shè)8=*—d,C=^+d,—專<d<*

由正弦定理可得自=磊=肅=2道，

可得b=2y/3sin（^—d）,c=2和sin（專+d）,

則△4BC周長為a+b+c=3+2避［sin（卷一d）+sin（卷+d）］=3+2避弓cosd—^-sind+^cosd+號sind

），

=3+2避cosd,

當d=0,即B=C=飄*,△/BC的周長取得最大值3+24.

16.【答案】（1）證明:由已知/BCD為菱形,

所以

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又因為2C1PB,PBCBD=B,PB、BDu平面PBD,

所以4c1平面PBD,

因為PDu平面PBD,

所以PD14C,

又由已知PC_LDC,ACdDC=C,AC,DCu平面4BCD,

所以PD1平面4BCD;

(2)因為M為PD的中點，所以點P到平面MC8的距離等于點。到平面MC8的距離.

所以為-BCD=yD-BCM-

由(1)知，PDl^^ABCD,

所以SAPBD=?BD-PD=2V^

又因為NB4D=60°,所以B￡)=2,

所以「。=2m，

設(shè)點。到平面BCM的距離為d,

因為S^BCO=F，所以VM-BCZ)=BCD,MD=M，

計算可得54BCM=3,所以匕)-BCM=，?$△BCM,d=

所以d=".

17.【答案】(1)

f2b=2

由題意得：，e=￡=學，解得a2=4力2=I,C2=3,

b2=a2—c2

2

所以橢圓c的方程為a+y2=i；

(2)由題意得直線［的斜率存在且不為零，

設(shè)直線1的方程：y=kx+2,M(x1,y1),N(<x2,y2)>

(y=kx+2

悍+y2=i,消去y整理得(1+妹2)/+16依+12=0,

O

則4=(16k)2-4x12x(1+4k2)>o,得M>J,

所以久1+力2=一］黑2,.久2=］二心

則|MN|=6+N-{(四+冷)2—4支62=+Mj(遙=4^1+fc2-

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2

原點。到直線1的距離d=下區(qū)良，

所以5.。堀=抑用^=*1樂-4尸京普奈=喑羊,

令1=，嫡―3(t>0),所以4k2=嚴+3,

4/-44

則SA0MN=4^=E<q^=l，當且僅當t=2時等號成立，

則/=)謁，解得k=±g'滿足條件,

所以直線/的方程為>=冬+2或丫=—冬+2.

18.【答案】(1)記事件a=”每個粗芯片智能檢測不達標”，則

n,八n/