不等式、推理與證明第七章第4講合情推理與演繹推理【考綱導(dǎo)學(xué)】1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理．3．了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．欄目導(dǎo)航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點(diǎn)突破04配套訓(xùn)練課前基礎(chǔ)診斷11．合情推理類型定義特點(diǎn)歸納推理根據(jù)一類事物的______對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的______對象都具有這種性質(zhì)的推理由______到______、由______到______類比推理根據(jù)兩類事物之間具有某些類似(一致)性，推測一類事物具有另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理由______到______部分全部部分整體個別一般特殊特殊2．演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到______的推理．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷．特殊1．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于(

)A．28

B．76

C．123

D．199【答案】C2．命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是(

)A．使用了歸納推理B．使用了類比推理C．使用了“三段論”，但推理形式錯誤D．使用了“三段論”，但小前提錯誤【答案】C3．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三個關(guān)系：①a≠2，②b＝2，③c≠0有且只有一個正確，則100a＋10b＋c＝________.【答案】2014．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可得出空間內(nèi)的下列結(jié)論：①垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③垂直于同一個平面的兩個平面互相平行；④垂直于同一條直線的兩個平面互相平行．則正確的結(jié)論是(

)A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D5．(教材習(xí)題改編)在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則b1b2b3b4…bn＝____________.【答案】b1b2b3b4…b17－n(n<17，n∈N*)1．合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進(jìn)一步嚴(yán)格證明．2．演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題．注意推理過程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性．3．合情推理中運(yùn)用猜想不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù)．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?：(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．(

)(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．(

)(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．(

)(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這個三段論推理的錯誤原因是大前提錯誤．(

)(5)一個數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3，那么這個數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝n(n∈N*)．(

)(6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

(5)×

(6)×課堂考點(diǎn)突破2類比推理【規(guī)律方法】在進(jìn)行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：(1)找兩類對象的對應(yīng)元素，如三角形對應(yīng)三棱錐，圓對應(yīng)球，面積對應(yīng)體積等等；(2)找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，如兩條邊(直線)垂直對應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對應(yīng)面積相等．歸納推理【考向分析】歸納推理是每年高考的?？純?nèi)容，題型多為選擇題和填空題，難度稍大，屬中、高檔題．常見的考向有：(1)與數(shù)字有關(guān)的推理；(2)與式子有關(guān)的推理；(3)與數(shù)列有關(guān)的推理；(4)與圖形有關(guān)的推理．

(2017年陜西模擬)觀察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上式子的結(jié)果可推測出一個一般性結(jié)論：對于n∈N*，1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.【答案】n2

【解析】∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴歸納可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.與數(shù)字有關(guān)的推理與式子有關(guān)的推理與數(shù)列有關(guān)的推理與圖形有關(guān)的推理

下面圖形由小正方形組成，請觀察圖1至圖4的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個圖形中小正方形的個數(shù)是________．【規(guī)律方法】歸納推理問題的常見類型及解題策略：常見類型解題策略與數(shù)字有關(guān)的等式的推理觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解與式子有關(guān)的推理觀察每個式子的特點(diǎn)，找到規(guī)律后可解與圖形變化有關(guān)的推理合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡匝堇[推理【規(guī)律方法】演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時要找準(zhǔn)正確的大前提．一般地，若大前提不明確時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．【跟蹤訓(xùn)練】2．某國家流傳這樣的一個政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝．”結(jié)論顯然是錯誤的，是因?yàn)?

)A．大前提錯誤

B．小前提錯誤C．推理形式錯誤

D．非以上錯誤【答案】C

【解析】因?yàn)榇笄疤帷谤Z吃白菜”本身正確，小前提“參議員先生也吃白菜”本身也正確，但不是大前提下的特殊情況，所以不符合三段論推理形式，所以推理形式錯誤．課后感悟提升31個區(qū)別——合情推理與演繹推理的區(qū)別(1)歸納推理是由特殊到一般的推理．(2)類比推理是由特殊到特殊的推理．(3)演繹推理是由一般到特殊的推理．(4)從推理的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待證明；若大前提、小前提和推理形式都正確，則演繹推理得到的結(jié)論一定正確．3個注意點(diǎn)——應(yīng)用合情推理與演繹推理應(yīng)注意的問題(1)在進(jìn)行類比推理時要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，如果只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象的相似甚至假象就去類比，那么就會犯機(jī)械類比的錯誤．(2)合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進(jìn)一步嚴(yán)格證明．(3)演繹推理是由一般到特殊的推理，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)的問題，注意推理過程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性．1．(201