導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第三章第3講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【考綱導(dǎo)學(xué)】1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值，并會解決與之有關(guān)的方程(不等式)問題．2．會利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡單的實(shí)際問題．欄目導(dǎo)航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點(diǎn)突破04配套訓(xùn)練課前基礎(chǔ)診斷11．生活中的優(yōu)化問題通常求利潤最大、用料最省、效率最高等問題稱為________問題．一般地，對于實(shí)際問題，若函數(shù)在給定的定義域內(nèi)只有一個極值點(diǎn)，那么該點(diǎn)也是最值點(diǎn)．優(yōu)化2．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的基本思路3．導(dǎo)數(shù)在研究方程(不等式)中的應(yīng)用研究函數(shù)的單調(diào)性和極(最)值等離不開方程與不等式；反過來方程根的個數(shù)、不等式的證明、不等式恒成立求參數(shù)等，又可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的問題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究．4．導(dǎo)數(shù)在綜合應(yīng)用中轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型(1)把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；(2)把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題；(3)把方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題．2．已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則(

)A．當(dāng)k＝1時，f(x)在x＝1處取到極小值B．當(dāng)k＝1時，f(x)在x＝1處取到極大值C．當(dāng)k＝2時，f(x)在x＝1處取到極小值D．當(dāng)k＝2時，f(x)在x＝1處取到極大值【答案】C【解析】當(dāng)k＝1時，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是f(x)的極值點(diǎn)．當(dāng)k＝2時，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，顯然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左側(cè)，f′(x)<0，在x＝1附近的右側(cè)，f′(x)>0，∴f(x)在x＝1處取到極小值．故選C．3．已知定義在實(shí)數(shù)集R內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝3，且f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)在R內(nèi)恒有f′(x)<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為(

)A．(1，＋∞)

B．(－∞，－1)C．(－1,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】A【解析】令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－2<0.∴g(x)在R內(nèi)為減函數(shù)，且g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)<0＝g(1)，得x>1.故選A．4．若函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有3個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(－2,2)【解析】由于函數(shù)f(x)是連續(xù)的，故只需要兩個極值異號即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)＜0，即(a＋2)(a－2)＜0，故a∈(－2,2)．1．利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題時，若分離參數(shù)后得到“a<f(x)恒成立”，要根據(jù)f(x)的值確定a的范圍中端點(diǎn)能否取到．2.實(shí)際問題中的函數(shù)定義域一般受實(shí)際問題的制約，不可盲目地確定函數(shù)的定義域；在解題時要注意單位的一致性；把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題后，要根據(jù)數(shù)學(xué)問題中求得的結(jié)果對實(shí)際問題作出解釋.

課堂考點(diǎn)突破2利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題

某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為rm，高為hm，體積為Vm3.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/m2，底面的建造成本為160元/m2，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率)．(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．【規(guī)律方法】在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時：(1)既要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示，還要注意確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍．(2)要注意求得結(jié)果的實(shí)際意義，不符合實(shí)際的值應(yīng)舍去．(3)如果目標(biāo)函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極值點(diǎn)，那么根據(jù)實(shí)際意義該極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根【規(guī)律方法】研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷函數(shù)零點(diǎn)或方程根的情況，這是導(dǎo)數(shù)這一工具在研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根中的重要應(yīng)用．利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題【考向分析】導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用問題是每年高考的必考內(nèi)容，且以解答題的形式考查，難度較大，屬中、高檔題．常見的考向有：(1)證明不等式；(2)不等式恒成立問題；(3)存在型不等式成立問題．而φ(x0)＝0，∴當(dāng)x＜x0時，φ(x)＞0，當(dāng)x＞x0時，φ(x)＜0.∴當(dāng)x＜x0時，h′(x)＞0，當(dāng)x＞x0時，h′(x)＜0.∴h(x)在區(qū)間(－∞，x0)內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間(x0，＋∞)內(nèi)為減函數(shù)．∴x∈R時，h(x)≤h(x0)＝0.∴f(x)≤g(x)．【解析】(1)當(dāng)m＝－1時，f(x)＝(1－x)ex＋x2，則f′(x)＝x(2－ex)，由f′(x)＞0，得0＜x＜ln2，由f′(x)＜0，得x＜0或x＞ln2，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，ln2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，(ln2，＋∞)．【規(guī)律方法】導(dǎo)數(shù)在不等式問題中的應(yīng)用問題兩大解題策略：(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式：若證明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，則F(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù)，同時若F(a)≤0，由減函數(shù)的定義可知，x∈(a，b)時，有F(x)＜0，即證明了f(x)＜g(x)．(2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．課后感悟提升31個構(gòu)造——構(gòu)造函數(shù)解決問題把所求問題通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為可用導(dǎo)數(shù)解決的問題，這是用導(dǎo)數(shù)解決問題時常用的方法．2個轉(zhuǎn)化——不等式問題中的兩個轉(zhuǎn)化(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題，可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．(2)將不等式的證明、方程根的個數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題處理．3個注意點(diǎn)——利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題應(yīng)注意的三點(diǎn)(1)既要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式表示，還要注意確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍．(2)一定要注意求得函數(shù)結(jié)果的實(shí)際意義，不符合實(shí)際的值應(yīng)舍去．(3)如果目標(biāo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個極值點(diǎn)，那么根據(jù)實(shí)際意義該極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)．1．(2016年新課標(biāo)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍．【解析】(1)由f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2，可得f′(x)＝(x－2)ex＋ex＋a(2x－2)＝(x－1)(ex＋2a)．①當(dāng)a≥0時，由f′(x)＞0，可得x＞1；由f′(x)＜0，可得x＜1，所以f(x)在(－∞，1