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第一章：三角形的證明

1.等腰三角形

1.若等腰三角形的腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)分別是5cm和8cm,則它的周長(zhǎng)為

________cm.

正確答案18

2.若一個(gè)等腰三角形的底角為50°,則頂角的度數(shù)為°.

正確答案80

3.如圖，△ABC中，已知AB=AC,ADLBC于點(diǎn)D,若N2=25°,則N

BAC=°.

正確答案50

4.如圖，ZiABC中，已知AB=AC,AD±BC于點(diǎn)D,若BC=6,則

CD=

正確答案3

5.如圖，AABC中，已知AB=AC,點(diǎn)D是底邊BC的中點(diǎn)，若Nl=16°,

則ZBAC=

正確答案32

2.等腰三角形的判定

1.如圖，AABC中，已知NB=NC,則判定AABC為等腰三角形的推理,

下面正確的是（）

A.AB=ACNB=NC（等角對(duì)等邊）

B.ZB=ZCAB=AC（等角對(duì)等邊）

正確答案B

2.4ABC中，ZC=40°,ZB=70°,若AC=15cm,則BC=cm.

正確答案15

3.已知：如圖所示，在4ABC中，AB=AC,ZA=36°,CD是NACB的

角平分線，則圖中的等腰三角形共有個(gè).

BC

正確答案3

3.等邊三角形

1.如圖，AABC為等邊三角形，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AB=AC=BCB.NA=NB=2NCC.ZA=ZB=ZC=60

正確答案B

2.如圖，4ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，則N

ACD=°.

正確答案30

3.如圖，4ABC為等邊三角形，BD是AC邊上的高，已知AB=6,則

CD=.

正確答案3

4.RtZkABC中，ZC=90°，ZA=30°,若AB=8,則BC=.

A

正確答案4

5.RtAABC中，CD是斜邊AB上的高，ZB=30°,AD=3cm,則

AC=cm.

正確答案6

4.等邊三角形的判定

1.下列一定是等邊三角形的是（）

A.有兩個(gè)角等于60°的三角形B.有兩條邊相等的三角形

C.有一個(gè)角等于60°的三角形

正確答案A

2.已知aABC中，BC=AC,ZB=60°,若AB=3cm,則AC=cm.

正確答案3

3.ZXABC是等邊三角形，E為AB邊中點(diǎn)，過E作ED//BC,EF//AC,連接

DF.則圖中等邊三角形的個(gè)數(shù)一共有個(gè).

BC

正確答案5

5.等腰三角形中的分類討論

1.如果等腰三角形的一個(gè)外角為125°,則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為

)

A.7O0或40°B.550或40°C.70°或55°

正確答案C

2.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和10,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為

()

A.20B.25C.25或20

正確答案B

3.在等腰AABC中，AB=AC,一腰上的中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為

12和21兩個(gè)部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為

正確答案5

4.等腰三角形一腰上的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為35°,求這

個(gè)等腰三角形底角的度數(shù).

--狗蛋讀題后畫了三幅草圖，下列所畫圖形不符合題意的是

正確答案③

5.等腰三角形一腰上的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為50°,則這

個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為.

正確答案70°或20°

6.多個(gè)等腰三角形求角度

1.如圖，D、E分另U為AB、AC上的點(diǎn)，AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE.求

ZB的度數(shù)

——設(shè)NECD=a,則ZEDA表示為

正確答案2a

2.如圖，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE.

則NB=

正確答案36

3.在AABC中，AB=AC,點(diǎn)D與點(diǎn)E分別在BC與AC上，且AD=AE,

試說明NBAD與NEDC的數(shù)量關(guān)系.

—-如圖，設(shè)NB=

A

正確答案13-a

4.在4ABC中，AB=AC,點(diǎn)D與點(diǎn)E分別在BC與AC上，且AD=AE,

試說明NBAD與NEDC的數(shù)量關(guān)系.

--已得ZEDC=#一a,則ZBAD表示為

正確答案2j3-2a

5.在4ABC中,AB=AC,點(diǎn)D與點(diǎn)E分別在BC與AC上，且AD=AE,

則NBAD與NEDC的數(shù)量關(guān)系為.

正確答案NBAD=2NEDC

6.如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD,若設(shè)ZBAC=a,ABDC=13,則a

和夕的數(shù)量關(guān)系是

正確答案a=ip

7.等腰三角形綜合應(yīng)用

1.已知，如圖，D為AABC的邊AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF，

AC于F,交BC于E,且BD=BE,求證：ZkABC為等腰三角形。

--由已知，標(biāo)記相等的角，下列正確的是

①②

正確答案①

2.已知，如圖，D為AABC的邊AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF,

AC于F,交BC于E,且BD=BE,求證：Z^ABC為等腰三角形。

--由DFLAC,以及等角的余角相等，下列結(jié)論正確的是（）

A.NC=NDB.NA=NCC.ZA^ZD

正確答案B

3.已知，如圖，A為ABCD的邊DB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF,

CD于F,交BC于E,且BA=BE,求證：Z^BCD為等腰三角形。

E.

思路分析：

要證ABCD是等腰三角形

如圖，應(yīng)該是證出BC=BD或NC=ND即可

根據(jù)已知，若設(shè)NA=a

則根據(jù)得NAEB=a

再根據(jù)得NCEF=々

繼續(xù)聯(lián)系已知中的AFLCD

可得NC=ZD=

這里實(shí)際用到的是

最后根據(jù)得至UBC=BD

問題得證

正確答案等邊對(duì)等角，對(duì)頂角相等，90-a,等角的余角相等，等角對(duì)等

邊

4.如圖，已知NEAC是AABC的外角，AD平分NEAC,5.AD//BC,AF

±BC.

求證：BF=FC

--由AD//BC及AD平分NEAC,可以得到

E

正確答案NB=NC

5.如圖，已知NEAB是AABC的外角，AD平分NEAB,<AD//BC,AF

±BC.

求證：BF=FC

思路分析：

要證BF=FC,結(jié)合AFLBC

則只需證△ABC是等腰三角形即可

正確的證明順序可以是

①根據(jù)等量代換一NB=NC

②根據(jù)AD平分NEAB-N1=N2

③根據(jù)NB=NC-AB=AC

④根據(jù)AD//BC-N1=NC,N2=NB

上面步驟③中的推理依據(jù)是

正確答案②④①③，等角對(duì)等邊

8.30。直角三角形性質(zhì)應(yīng)用

1,已知：如圖所示，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,CD±AB,

若DB=3cm,則BC=cm.

正確答案6

2,已知：如圖所示，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,CD±AB,

若DB=2cm,則AB=cm.

正確答案8

3,已知：如圖所示，等邊三角形ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，DE,AC于

E,ZCDE=30°,若CE=4cm,則AE=cm.

正確答案12

4,已知，如圖，在aABC中，AB=AC,ZBAC=120°,D是BC的中點(diǎn),

DEXAB于點(diǎn)E.試判斷EB與EA的數(shù)量關(guān)系.

--連接AD,由AB=AC,D為BC中點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是（)

A

R口C

A.ZBAD=60°B.ADXBCC.AD=BD

正確答案C

5.已知，如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,D是BC的中點(diǎn),

DE±AB于點(diǎn)E.試判斷EB與EA的數(shù)量關(guān)系.

--在Rt^AED中，ZADE=30°，則（）

A

BDC

A.AD=2AEB.DE=2AEC.AD=2DE

正確答案A

6.已知，如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,D是BC的中點(diǎn),

DE±AB于點(diǎn)E.試判斷EB與EA的數(shù)量關(guān)系.

一一在Rt^ABD中，ZB=30°,則

A

BDC

正確答案AB^IAD

7.已知，如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,D是BC的中點(diǎn),

DELAB于E,連接AD.求EB和EA的數(shù)量關(guān)系.

思路分析：

本題求EB和EA的數(shù)量關(guān)系，可能有些想不到怎么做，那就先從已知推理,

易得NB=NC=°,圖中還有直角三角形，

此時(shí)你應(yīng)該可以聯(lián)想到

有一條定理與這個(gè)特殊角度有關(guān)

圖中可用這條定理的直角三角形較多

但對(duì)我們最有幫助的兩個(gè)是

需要連續(xù)使用兩次這條定理，可得EA=AB

最后確定EB=EA

正確答案30,和

9.等邊三角形綜合應(yīng)用

1.如圖，AABC為等邊三角形，Z1=Z2=Z3.

求證：4DEF是等邊三角形。

--由已知，等邊AABC中，由NBCE+N3=60°,Z2=Z3,可得N

DEF=

正確答案60

2.如圖，AABC為等邊三角形，Z1=Z2=Z3.

求證：4DEF是等邊三角形.

…由/DEF=60°同理可得NDFE=60°,由此判定4DEF為等邊三角形的依

據(jù)是（）.

A.有三條邊相等的三角形是等邊三角形

B.有兩個(gè)內(nèi)角等于60°的三角形是等邊三角形

C.有一個(gè)內(nèi)角等于60°的三角形是等邊三角形

正確答案B

3.已知，點(diǎn)D是等邊AABC上任意一點(diǎn)，ZABD=ZACE,BD=CE.

證明：△ADE是等邊三角形。

…-如圖，由等邊4ABC中AB=AC,以及已知條件得到一對(duì)全等三角形為

AE

正確答案AABD=AACE

4.已知，點(diǎn)D是等邊^(qū)ABC上任意一點(diǎn)，ZABD=ZACE,BD=CE.

證明：△ADE是等邊三角形.

--如圖，由全等三角形得到下面_______相等關(guān)系，進(jìn)而直接證明“△ADE

是等邊三角形”

正確答案AD=AE,NBAD=NCAE

5.已知，點(diǎn)D是等邊^(qū)ABC上任意一點(diǎn)，ZABD=ZACE,BD=CE.

證明：4ADE是等邊三角形.

——由AD=AE,ZDAE=60°直接判定4ADE是等邊三角形的依據(jù)是

正確答案有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

6.如圖，點(diǎn)P是正AABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6,PB=8,PC=10,若將APAC

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到AfAB,則PP'=

正確答案6

10.等邊三角形組圖-1

1.如圖，分別以AB、AC為邊，向AABC外作正三角形，BE和CD交于

點(diǎn)O.

求證：CD=BE

--如圖，從結(jié)論出發(fā)，若求證CD=BE,可以證明哪對(duì)全等三角形

正確答案ADAC=\BAE

2.如圖，分別以AB、AC為邊，向aABC外作正三角形，BE和CD交于

點(diǎn)O.

求證：CD=BE

思路分析：

要證CD=BE,這里要利用全等

可證ACAD=A

判定定理是

具備的條件有等邊三角形的邊相等

而其中角相等的條件需要用等量代換

根據(jù)60。+公共角來證明相等

分析完成，問題得證

正確答案EAB,SAS,ABAC

3.如圖，分別以AB、AC為邊，向AABC外作正三角形，BE和CD交于

點(diǎn)o.

求證：ZBOD=60°.

—-如圖，由^DAC=ABAE可得下面哪個(gè)結(jié)論，進(jìn)而證明NBOD=60°

正確答案NADC=NABE

4.如圖，分別以AB、AC為邊，向AABC外作正三角形，BE和CD交于

點(diǎn)0.求NCOE的度數(shù).

思路分析：

先證ACAD=A

而為了求NCOE的大小

由此全等只需得到

再結(jié)合正三角形內(nèi)角，

在△COE中可求得NCOE=

正確答案EAB,NACD=NAEB,60

11.等邊三角形組圖-2

1.如圖，點(diǎn)B是線段AD上的一點(diǎn)，AABC和ABDE都為等邊三角形，連

接AE和CD,點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是AE、CD的中點(diǎn)，判斷4PBQ的形狀，并證

明.

--（尋找AE和CD的數(shù)量關(guān)系）通過哪對(duì)全等三角形可以得到AE=CD?

正確答案NABE合ACBD

2.如圖，點(diǎn)B是線段AD上的一點(diǎn)，AABC和ABDE都為等邊三角形，連

接AE和CD,點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是AE、CD的中點(diǎn)，判斷4PBQ的形狀，并證

明.

--（判斷4PBQ中線段的數(shù)量關(guān)系）由AABEMACBD得到結(jié)論，

進(jìn)而使PB和QB所在的\APB=\CQB?

正確答案NEAB=NDCB,AE=CD

3.如圖，點(diǎn)B是線段AD上的一點(diǎn)，^ABC和ABDE都為等邊三角形，連

接AE和CD,點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是AE、CD的中點(diǎn)，判斷APBQ的形狀，并證

明.

--（尋找條件判斷APEQ形狀）由AAP3三ACQB得至U結(jié)論，進(jìn)而

判斷4PBQ形狀?

9E

正確答案NPBA=NQBC,PB=QB

4.如圖，點(diǎn)B是線段AD上的一點(diǎn)，AABC和ABDE都為等邊三角形，連

接AE和CD,點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是AE、CD的中點(diǎn)，判斷4PBQ的形狀，并證

明.

--（判定4PBQ的形狀）由PB=QB和NPBQ=60°直接判定4PBQ形狀的

依據(jù)是________

正確答案有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

12.逆命題與你定理

1.命題“如果兩直線平行，那么同位角相等”的逆命題是

①如果兩直線不平行，那么同位角不相等

②如果同位角相等，那么兩直線平行

正確答案②

2.命題“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”的逆命題是

①到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上

②到一個(gè)角兩邊的距離相等的線是這個(gè)角的平分線

③如果一個(gè)點(diǎn)在角的平分線上，那么它到角兩邊的距離相等

正確答案①

3.勾股定理的逆命題是

①如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么片+^=,2

②如果直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c,且/+〃土2,那么這個(gè)直角三角形的兩條

直角邊長(zhǎng)分別為a,b

③如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足/+Z；2=C2,那么這個(gè)三角形是直角三

角形

正確答案③

4.下列命題中，其逆命題不是真命題的是

①對(duì)頂角相等

②角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

③兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

④直角三角形的兩個(gè)銳角互余

正確答案①

13.勾股定理的逆定理

1.三邊邊長(zhǎng)分別是1,26刀的三角形是

正確答案直角三角形

2.三邊邊長(zhǎng)分別是6,7,8的三角形是

正確答案銳角三角形

3.三邊邊長(zhǎng)分別是的三角形是

346

正確答案鈍角三角形

4.三邊邊長(zhǎng)分別是1一1,2”，1+i（n為正整數(shù)，且21）的三角形是

正確答案直角三角形

14.特殊直角三角形的三邊關(guān)系

1.已知等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為6,則它的底邊長(zhǎng)為

正確答案6點(diǎn)

2.如圖，已知Rt^ABC中，NC=90°,NB=60°,若AC=6,則BC=

正確答案2小

3.如圖，已知AABC中，AD±BC于D,ZBAD=60°,NCAD=30°.若

CD=",則BD=

B

正確答案3底

4.如圖，已知4ABC中，ADLBC于D,ZBAD=60°,NCAD=45°.若

AC=2&,貝UBD=

BDC

正確答案6

15.判定定理HL

1.分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)稱HL定理

正確答案斜邊和一條直角邊

2.兩個(gè)直角三角形如圖放置，已知AB=DE=12,AC=DF=13,則判定

RtNABC^RbDE的依據(jù)是

A

BC

正確答案HL

3.如圖，AC±BC,DB±BC,垂足分別是C,B,若要用“HL”定理判定

AABC=ADCB,需要添加下列哪個(gè)條件1_______

正確答案AB=DC

4.如圖，已知NAEC=NABD=90°,AC=AD,要用定理“HL”判定

RtAAEC^RAAB,則還應(yīng)添加條件

D

正確答案CE=BD

16.證明直角三角形

1.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C在網(wǎng)格的交點(diǎn)上，判斷△

ABC的形狀.

一—由網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1,可求出AB、AC、BC的長(zhǎng)度分別為

正確答案2MM5應(yīng)

2.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C在網(wǎng)格的交點(diǎn)上，判斷△

ABC的形狀.

--一由=AC=AM，BC=5也,可得,從而判斷4ABC為

正確答案AC2+AB2=BC2.直角三角形

3.如圖，在四邊形ABCD中，ZB=90°,AB=BC=4,CD=6,DA=2,求N

DAB的度數(shù).

——RtZiABC中，AB=BC=4,可得AC=,NBAC=

正確答案40；45

4.如圖，在四邊形ABCD中，ZB=90°，AB=BC=4,CD=6,DA=2,求N

DAB的度數(shù).

——AADC中，AC=40,CD=6,DA=2,可得NDAC=°,從而

求出NDAB=°.

正確答案90；135

5.如圖，在四邊形ABCD中，NB=90°,AB=BC=3,CD=友，DA=2后,

則ZBCD=

BC

正確答案135

17.勾股定理與面積法，

1.已知直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為30,40,則斜邊上的高為

正確答案24

2.已知直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)的比為5：12,斜邊長(zhǎng)為52,則斜邊上

的高為________

正確答案—

13

3.已知直角三角形的一條直角邊與斜邊的長(zhǎng)度之比為3：5,另一條直角邊

長(zhǎng)為60,則斜邊上的高為

正確答案36

18.勾股定理與面積法-2

1.已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為13,底邊長(zhǎng)為10,則其底邊上的高為.

正確答案12

2.已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為25,底邊長(zhǎng)為30,則其腰上的高為..

正確答案24

3.已知等腰三角形的面積為12,底邊上的高為4,則其腰長(zhǎng)為..

正確答案5

4.已知AABC中，AB=13,AC=15,BC邊上的高為12,則AABC的面積

為________

正確答案24或84

19.立體圖形中的最短路徑

1.如圖所示，ABFE與BCGF均為邊長(zhǎng)為4的正方形，M為EF的中點(diǎn)，則

M點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為

ABC

EMFG

正確答案2713

2.如圖所示正方體盒子，EF=4,點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，則沿正方體表面從M

點(diǎn)到C點(diǎn)的最短距離為

正確答案2屈

3.如圖所示長(zhǎng)方體盒子，GF=6,BF=8,EF=10,點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，則沿

長(zhǎng)方體表面從M點(diǎn)到C點(diǎn)的最短距離為

正確答案V185

20.利用勾股定理列方程-1

1.某直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)為5右，斜邊長(zhǎng)與另一條直角邊長(zhǎng)的和為

15,求這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng).

--由題意，設(shè)這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為x,根據(jù)勾股定理列方程為

正確答案(5^3)2+(15-X)2=X2

2.某直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)為46,斜邊與另一條直角邊的和為12,

則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為.

正確答案8

3.如圖，Z^ABC中，NA=90°,AC=8,AB=4,延長(zhǎng)AB到D,使CD+BD=12,

則BD=.

正確答案2

4.若一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,且滿足a+b=17,ab=60,

可得/+/,即斜邊長(zhǎng)為.

正確答案169；13

5.若一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,且滿足a+b=14,ab=48,

則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為.

正確答案10

21.利用勾股定理列方程-2

1.如圖，AABC中，CDLAB于點(diǎn)D,已知AC=2而，BC=10,若BD=2AD,

求AD長(zhǎng).

--由已知，設(shè)AD=x,則BD=2x,結(jié)合勾股定理，列方程正確的是（）

A.（2713）2-X2=102-（2X）2B,2A/13-2x=10-x

2

C.（2岳）-（2尤）2=1。2_尤2

正確答案A

2.如圖，ZXABC中，CDLAB于點(diǎn)D,已知AC=2而，BC=10,若BD=2AD,

則AD=

正確答案4

3.如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,AD、BE分別是BC、AC邊上的中線,

AD=6,BE=276,求AB長(zhǎng).

--由AACD與aBCE都是直角三角形，設(shè)AE=CE=x,BD=CD=y,則可列

式________

正確答案］“+＞；=36

x2+4y2=24

4.如圖，RtZXABC中，ZC=90°,AD、BE分別是BC、AC邊上的中線,

AD=8,BE=6,求AB長(zhǎng).

正確答案A

22.兩類特殊三角形的面積

1.已知等腰直角三角形的斜邊為8,則它的面積為

正確答案16

2.已知等腰直角三角形的面積為15,則它的斜邊長(zhǎng)為

正確答案2后

3.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為12,則它的面積為

正確答案36出

4.已知等邊三角形的面積為孚，則它的邊長(zhǎng)為

正確答案A/6

5.如圖，由兩個(gè)等腰直角三角形拼成的四邊形，已知CZ)=2夜，則四邊形

ABCD的面積即⑺為.

AB

正確答案3

23.判斷全等三角形

1.如圖，已知AC=BD,ZA=ZD,貝U能判定AA8C三AOCB嗎？

正確答案不能

2.如圖，已知AB=CD,ZABC=ZDCB=90°,則判定AA8C=ADC2的依據(jù)

是________

正確答案SAS

3.如圖，已知NABC=NDCB,補(bǔ)充一個(gè)條件，使得AA8C三ADC8,則下列

錯(cuò)誤的是（）

BC

正確答案AC=BD

24.證明全等三角形

1.已知，如圖，點(diǎn)D在BC上，AC=AE,且N1=N2,ZC=ZE,求證AB=AD.

--為了求證AB=AD,應(yīng)該判斷哪兩個(gè)三角形的全等關(guān)系

正確答案AABC=AADE

2.已知，如圖，點(diǎn)D在BC上，AC=AE,且N1=N2,ZC=ZE,求證AB=AD.

--根據(jù)已知AC=AE,且N1=N2,ZC=ZE,能直接判定AABC￡AADE嗎

正確答案不能

3.已知，如圖，點(diǎn)D在BC上，AC=AE,且N1=N2,ZC=ZE,求證AB=AD

--由N1=N2,下列結(jié)論正確的是（）

A.ABAC=ZDAEB.NB=/C

正確答案A

4.已知，如圖，點(diǎn)D在BC上，AB=AE,且N1=N2,ZB=ZE,求證AC=AD

B

思路分析：

本題求證AC=AD,

如果能證明AABCnAAED就可以了吧？

而要證全等，看已知條件

然后________

此時(shí)直接證明全等的判定依據(jù)是

正確答案需要轉(zhuǎn)化一下再判定全等，根據(jù)N1=N2得到NCAB=NDAE,

ASA

25.雙垂圖與全等

1.如圖：在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,過點(diǎn)C在AABC內(nèi)作直線

MN,AMLMN于M,BNLMN于N,求證：CM=BN

---證明下列哪對(duì)三角形全等，可得CM=BN

正確答案AAMC=\CNB

2.如圖：在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,過點(diǎn)C在AABC內(nèi)作直線

MN,AMLMN于M,BNLMN于N,求證：CM=BN

--由Nl+N2=90°,Z2+Z3=90°可得

正確答案Z1=Z3

3.如圖：在^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,過點(diǎn)C在AABC內(nèi)作直線

MN,AMLMN于M,BNLMN于N,求證：CM=BN

--由N1=N3,AM±CM,BN±CN,AC=BC證明=ACNB的依據(jù)是:

正確答案AAS

4.如圖：在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,過點(diǎn)C在AABC內(nèi)作直線

MN,BMLMN于M,ANLMN于N,求證：CM=AN.

思路分析：

要證CM=AN可以通過證明這兩條邊

所在的三角形全等來得到

即ACAJV=A

這兩個(gè)三角形已有一組邊相等，一組直角相等,

還可先求出________

然后直接根據(jù)________證明三角形全等

從而得到CM=AN

正確答案BCM,ZCAN=ZBCM,AAS

26.全等與倒角

1.已知，在AABC中，D為BC上一點(diǎn)，E,F兩點(diǎn)分別在AC,AB邊上.

若NB=NC,BD=CE,CD=BF,試說明NEDF與NA的關(guān)系.

--由已知條件可以得到一對(duì)全等三角形

BD

正確答案ABFD=ACDE

2.已知，在AABC中，D為BC上一點(diǎn)，E,F兩點(diǎn)分別在AC,AB邊上若

ZB=ZC,BD=CE,CD=BF,試說明NEDF與NA的關(guān)系.

--由ABFDSACDE得_______

/2/V<3\

BDC

正確答案N1=N3

3.已知，在AABC中，D為BC上一點(diǎn)，E,F兩點(diǎn)分別在AC,AB邊上若

ZB=ZC,BD=CE,CD=BF,試說明NEDF與NA的關(guān)系.

21=Z3

--由，/2+/3+ZEDF=180可得

Z2+Z1+ZB=18O

A

正確答案ZEDF^ZB

4.已知，在AABC中，D為BC上一點(diǎn)，E,F兩點(diǎn)分別在AC,AB邊上,

若NB=NC,BD=CE,CD=BF,試說明NEDF與NA的關(guān)系.

思路分析：

根據(jù)題干已知可先直接得到一對(duì)全等三角形

即ABEF=A

由全等得到一些對(duì)應(yīng)角相等

可繼續(xù)倒出________

從而得到結(jié)論

正確答案CED,ZEDF=ZB,ZEDF=90--ZA

2

27.垂直平分線的性質(zhì)

1.如圖，AABC中，MN是AC的垂直平分線，即

正確答案MN±ACAN=CN

2.如圖，^ABC中，DE是AB的垂直平分線，由垂直平分線的性質(zhì)可得

正確答案AD=BD

3.已知：如圖所示，4ABC中，AC的垂直平分線MN交BC于M,垂足

為N,若BC=12cm,則AM+BM的長(zhǎng)度為cm.

正確答案12

4.已知：如圖所示，AABC中，AB的垂直平分線DE交AC于E,垂足為

D,若ABCE的周長(zhǎng)為13cm,則AC+CB=cm.

正確答案13

28.證明點(diǎn)在垂直平分線上

1.如圖，已知在四邊形ABDC中，AD同時(shí)平分NBAC和NBDC,則可以

判斷AD是BC的垂直平分線嗎？

如圖，由AD同時(shí)平分NBAC和NBDC,可以由“ASA”判斷

正確答案AABD=AACD

2.如圖，已知在四邊形ABDC中，AD同時(shí)平分NBAC和NBDC,則可以

判斷AD是BC的垂直平分線嗎？

----由AABD三AAC。，可得

正確答案AB=AC,BD=DC

3.如圖，已知在四邊形ABDC中，AD同時(shí)平分NBAC和NBDC,則可以

判斷AD是BC的垂直平分線嗎？

--由“AB=AC,BD=DC”得至U“AD是BC的垂直平分線”的依據(jù)是

正確答案與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確

定一條直線

29.線段垂直平分線作圖

1.作線段AB的垂直平分線.

??

AB

一一步驟一：分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于LAB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于

2

M、N兩點(diǎn)；

--步驟二：連接MN,則直線MN為所求作的線段AB的垂直平分線.

則下列作圖正確的是

正確答案①

2.如圖，A、B表示兩個(gè)住宅區(qū)，直線/為附近的公路,

A?

?B

為了方便大家出行，公路部門要在公路邊建一座公交站P，到兩個(gè)住宅區(qū)的

距離相等，那么下面作圖正確的是________

4..B4?.…一?B

—多—1

米

?②

正確答案①

3.如圖，A、B、C三點(diǎn)分別表示狗蛋、小錘、田豆包所在的位置，游戲中

需要找到一個(gè)點(diǎn)，到三名同學(xué)的距離相等，則該點(diǎn)為________

A

??

，''、、

，???

/

;..................:、

BC

正確答案AB、AC垂直平分線的交點(diǎn)

30.垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用

1.如圖，在aABC中，AB=AC,AC邊的垂直平分線交AB于E,垂足為

D,若AC+BC=8,則ABEC的周長(zhǎng)為.

正確答案8

2.如圖，在aABC中，AB=AC,AC邊的垂直平分線交AB于E,垂足為

D,若AABC周長(zhǎng)為12,AB=5,則ABEC的周長(zhǎng)為.

正確答案7

3.如圖，在AABC中，AB=AC,AC邊的垂直平分線交AB于E,垂足為

D,若AABC的周長(zhǎng)為12,AB-BC=3,則ABEC的周長(zhǎng)為.

A

BC

正確答案7

31.將軍飲馬問題

1.如圖，直線為一條水渠，水渠兩側(cè)各有一個(gè)魚塘A、B,若想挖水渠引水

到兩個(gè)魚塘，下列哪種作圖方式才能使挖的水渠長(zhǎng)度最短？

4

正確答案②

2.如圖，直線為一條水渠，水渠同側(cè)有兩個(gè)魚塘A、B,若想挖水渠引水到

兩個(gè)魚塘，下列哪種作圖方式才能使挖的水渠長(zhǎng)度最短？

'B

----------------------------------------------1

--如圖，過點(diǎn)作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A,連接A2,這樣做的依據(jù)是

正確答案兩點(diǎn)之間，線段最短

3.如圖，直線/為一條水渠，水渠同側(cè)有兩個(gè)魚塘A、B,若想挖水渠引水

到兩個(gè)魚塘，下列哪種作圖方式才能使挖的水渠長(zhǎng)度最短？

?B

正確答案②

4.已知，如圖，直線m、n分別代表一片草地的邊緣與一條河，點(diǎn)P是將軍

的軍營(yíng)，每天將軍要從軍營(yíng)出發(fā)，先給馬飲水，然后牽馬到草地吃草，他要走怎

樣的路線才能使所走的路線最短？

---作點(diǎn)P關(guān)于直線m、n的對(duì)稱點(diǎn)勺、P2,連接8、1的依據(jù)是()

正確答案兩點(diǎn)之間，線段最短

5.已知，如圖，直線m、n分別代表一條河與一片草地的邊緣，點(diǎn)P是將軍

的軍營(yíng)，每天將軍要從軍營(yíng)出發(fā)，先給馬飲水，然后牽馬到草地吃草，最后回到

軍營(yíng)，他要走怎樣的路線才能使所走路線最短？

正確答案②

32.坐標(biāo)系中的將軍飲馬-1

1.已知A(-1,4),B(1,1),在x軸上找一點(diǎn)C,使AC+BC最小，則

點(diǎn)C的位置應(yīng)在________

正確答案③

2,已知A(-1,4),B(1,1),在x軸上找一點(diǎn)C,使AC+BC最小，則

點(diǎn)C的坐標(biāo)為,AC+BC的最小值為

?y

4?4

2

?B

--20~^~2-x

正確答案弓，。)，回

3,已知A(-1,3),B(-3,1),M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是y軸上一動(dòng)點(diǎn),

則當(dāng)AN+NM+MB最小時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)N的位置應(yīng)在________

正確答案②

4.已知A(-1,3),B(-3,1),M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，

則當(dāng)AN+NM+MB最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)，點(diǎn)N的坐

標(biāo)為(，)

正確答案-2,0,0,2

5.已知A(-1,3),B(-3,1),M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是y軸上一動(dòng)點(diǎn),

則AN+NM+MB最小值是

■y

4

a?

2

B-

-4-20,2x

正確答案4點(diǎn)

33.坐標(biāo)系中的將軍飲馬-2

1.已知A(-4,4),B(-1,-3),M(0,m),N(0,m+1),當(dāng)BM+MN+AN

最小時(shí)，則點(diǎn)M的位置應(yīng)在________

正確答案①

2,已知A(-4,4),B(-1,-3),M(0,m),N(0,m+1),當(dāng)AN+MN+BM

最小時(shí)，最小值為

正確答案V61+1

3,已知A(-4,4),B(-1,-3),M(0,m),N(0,m+1)，當(dāng)AN+MN+BM

最小時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為

正確答案-m-

4,已知A(-4,5),B(2,-2),在x軸上找一點(diǎn)C,則當(dāng)|AC-BC|最大時(shí),

點(diǎn)C的位置應(yīng)在.

正確答案③

5.已知A(-4,5),B(2,-2),在x軸上找一點(diǎn)C,當(dāng)IAC-BCI最大時(shí),

最大值為

正確答案36

6.己知A(-4,5),B(2,-2),在x軸上找一點(diǎn)C,當(dāng)IACBCI最大時(shí),

點(diǎn)C的坐標(biāo)為

正確答案(6,0)

34.角平分線的性質(zhì)與判定

1.如圖，OP平分NAOB,PELOA于點(diǎn)E,PFLOB于點(diǎn)F,則下列說法

正確的是（）

A.PE=PFB.OE=OP

正確答案A

2.如圖，在4ABC中，ZC=90°,AD是NBAC的平分線，DC=2,則D

到AB邊的距離DE=

正確答案2

3.如圖，在AABC中，ZC=90°,BC=10,AD平分NCAB交BC于點(diǎn)D,

DE±AB于點(diǎn)E,已知ABDE的周長(zhǎng)為14,則BE=.

正確答案4

4.已知如圖，PELOA于點(diǎn)E,PFLOB于點(diǎn)F,PE=PF,則點(diǎn)P在

A

E.

正確答案ZAOB的角平分線上

5,已知如圖，PELOA于點(diǎn)E,PFLOB于點(diǎn)F,PE=PF=4,ZAOB=70°,

則ZAOP=

正確答案35

35.角平分線性質(zhì)的應(yīng)用

1,已知NCDA與NDAB的角平分線交于點(diǎn)M,MC，CD,MB，AB,MC=3,

求MB

——如圖，過點(diǎn)M作MNLAD于點(diǎn)N,由DM平分NADC,MCJ_DC可得

正確答案MN=MC

2.已知NCDA與NDAB的角平分線交于點(diǎn)M,MC，CD,MB，AB,MC=3,

求MB.

-一如圖，過點(diǎn)M作MNLAD于點(diǎn)N,由AM平分NDAB,MBXAB,可

得________

正確答案MN=MB

3.如圖，已知NCDA與NDAB的角平分線交于點(diǎn)M,MCLCD,MBLAB,

MC=5,貝"MB=.

正確答案5

36.角平分線判定的應(yīng)用

1.如圖，在AABC中，D是BC的中點(diǎn)，DELAB于E,DFLAC于F,且

BE=CF,求證：AD平分NBAC.

——由D是BC的中點(diǎn)，可得

正確答案BD=DC

2.如圖，在AABC中，D是BC的中點(diǎn)，DELAB于E,DFLAC于F,且

BE=CF,求證：AD平分NBAC.

--由BD=CD,BE=CF,DELAB,DF±AC,可得

正確答案Rt^BDE=RtACDF

3.如圖，在AABC中，D是BC的中點(diǎn)，DELAB于E,DFLAC于F,且

BE=CF,求證：AD平分NBAC.

——由ABDE24CDF可得,即D到AB,AC的距離相等.

正確答案DE=DF

4.如圖，在AABC中，D是AB的中點(diǎn)，DELAC于E,DFL4BC于F,

且AE=BF,求證：CD平分NACB.

思路分析：

要證CD平分NACB

結(jié)合已知，想到最簡(jiǎn)單的證法是

可以通過證明來判定

具體思路是證明

這個(gè)全等的判定定理是

正確答案DE=DF,AADE=ABDF,HL

37.含15。角的直角三角形

1.已知Rt^ABC中，ZC=90°,ZBAC=15°,若BC=1,求AC與AB的

長(zhǎng).

--如圖，過點(diǎn)A作NBAD=NBAC=15°,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,過點(diǎn)B

作BELAD于E,則可得BE=,ZD=°.

正確答案1；60

2.已知Rt^ABC中，ZC=90°,ZBAC=15°,若BC=1,求AC與AB的

長(zhǎng).

——RtZXBDE中，ZD=60°,BE=1,可得BD=.

3.已知RtZkABC中，ZC=90°,ZBAC=15°,若BC=1,求AC與AB的

長(zhǎng).

--在Rt^ADC中，CD=M+1,ZCAD=30°,求出AC=.

3

D

正確答案A/3+2

4.已知RtZ\ABC中，ZC=90°,ZBAC=15°,若BC=1,求AC與AB的

長(zhǎng).

一一在Rt^ABC中，BC=1,AC=2+百，求出AB=

正確答案通+企

5.已知Rt^ABC中，ZC=90°,ZBAC=15°,若AB=3應(yīng)+n，按照如

下圖的輔助線提示，求出BC與AC的長(zhǎng)分別為

正確答案6；3+2G

38.特殊角在計(jì)算中的應(yīng)用

1.如圖，已知AABC中，ZB=30°,ZC=45°,BC=2,則AB=()

過點(diǎn)A作ADLBC于D,設(shè)AD=x,則BD=,CD=.

正確答案瓜,尤

2.如圖，已知AABC中，ZB=30°,ZC=45°,BC=2,則AB=()

----設(shè)AD=x,由BC=2,可解得x=,則AB=.

正確答案百-1,2百-2

3.如圖，已知AABC中，ZB=60°,ZC=45°,BC=6,貝UAB=

正確答案6G-6

4.如圖，已知AABC中，NA為鈍角，ZB=45°,BC=10,AC=8,貝IAB=

BC

過點(diǎn)C作CD±BA,交BA的延長(zhǎng)線于D,由BC=10,ZB=45°可得

CD=BD=.

正確答案5夜

5.如圖，已知aABC中，NA為鈍角，ZB=45°,BC=10,AC=8,貝|AB=

()

——由CD=BD=5v2,結(jié)合已知可求得AD=,AB=.

正確答案714,572-AM

6.如圖，已知AABC中，ZB=30°,ZC=15°,AC=10,貝UAB=

BC

正確答案5底-5叵

39.已知三角形兩邊及夾角求第三邊

1.如圖，已知AABC中，ZB=60°,AB=8,BC=10,則AC=(

――如圖，過點(diǎn)A作ADLBC于D,在RtZXABD中可解得BD=

AD=.

正確答案4,4上

2.如圖，已知aABC中，ZB=60°,AB=8,BC=10,貝UAC=(

——由BD=4,AD=4若，結(jié)合已知可求得CD=,則AC=

正確答案6,2向

3.如圖，已知AABC中，ZB=45°,AB=32,BC=9,則AC=

正確答案3加