1.4角平分線第一章三角形的證明第1課時角平分線新課導(dǎo)入什么叫角平分線？如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫角的平分線.你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎？

情境引入

如圖，要在

S

區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處

500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處？(比例尺為

1︰20000)DCS解：作夾角的角平分線

OC，截取

OD＝2.5cm，D即為所求.O1.操作測量：取點(diǎn)

P

的三個不同的位置，分別過點(diǎn)

P

作

PD⊥OA，PE⊥OB，點(diǎn)

D、E

為垂足，測量

PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果，猜想線段

PD

與

PE

的大小關(guān)系：____PDPE第一次第二次第三次PD=PECOBAPDE實(shí)驗：OC是∠AOB

的平分線，點(diǎn)

P

是射線

OC

上的任

意一點(diǎn).角平分線的性質(zhì)驗證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)

P在

OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為

D，E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在

△PDO和

△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：(1)角的平分線；(2)點(diǎn)在該平分線上；(3)垂直距離.定理的作用：證明線段相等.知識要點(diǎn)BADOPEC應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB，推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.(角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等).判一判：(1)∵

如下左圖，AD平分∠BAC(已知)，∴

＝_____(

).

角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵如上右圖，DC⊥AC，DB⊥AB(已知).

∴

=_____().

角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC例1

已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且

BD=CD，

DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分別為

E，F(xiàn).求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵

AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴

DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.例2如圖，AM

是∠BAC

的平分線，點(diǎn)

P

在

AM

上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是

D、E，PD

=

4

cm，則

PE

=

______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應(yīng)用變式：如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，AP

平分∠BAC

交

BC

于點(diǎn)

P，若

PC

＝

4，

AB=14.(1)則點(diǎn)

P

到

AB

的距離為______；(2)求△APB的面積.ABCPD4溫馨提示：存在一條垂線段——構(gòu)造應(yīng)用故

AB·PD

=28.解：由角平分線的性質(zhì)知

PD=PC=4，1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長條件知識與方法利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.思考：交換角平分線的性質(zhì)定理中的已知和結(jié)論，你能得到什么命題？它是真命題嗎？角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.思考：這個結(jié)論正確嗎？逆命題角平分線的判定

已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是

D、E，PD=PE.求證：點(diǎn)

P在∠AOB的平分線上.證明：作射線

OP.即點(diǎn)

P在∠AOB

的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，(全等三角形的對應(yīng)角相等)，OP=OP(公共邊)，PD=PE(已知

)，BADOPE∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).∴∠AOP=∠BOP驗證猜想判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：(1)位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；(2)數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點(diǎn)

P在∠AOB的平分線上.知識總結(jié)例3

如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)

F.求證：點(diǎn)

F在∠DAE的平分線上．

證明：過點(diǎn)

F作

FG⊥AE于

G，F(xiàn)H⊥AD于

H，F(xiàn)M⊥BC于

M.∵

點(diǎn)

F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC，∴

FG＝FM.又∵點(diǎn)

F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC，∴FM＝FH.∴FG＝FH.∴點(diǎn)

F在∠DAE的平分線上.

GHMABCFED┑┑┑例4如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)

M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫

P應(yīng)該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設(shè)計．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)ONMABONMAB方法總結(jié)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.解：如圖所示.P.歸納總結(jié)圖形已知條件結(jié)論P(yáng)CPCOP

平分∠AOBPD⊥OA

于DPE⊥OB

于

EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于

DPE⊥OB

于

E角的平分線的判定角的平分線的性質(zhì)練習(xí)如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D.下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=POD2.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，則點(diǎn)D到

AB的距離是

.ABCD31.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是

E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB

=60°，則∠EBF

=

°，BE=

.60BFEBDFACG3.已知用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知∠AOB的兩邊上，分別取

OM=ON，再分別過點(diǎn)

M，N作

OA，OB的垂線，交點(diǎn)為

P，畫射線

OP，則

OP平分∠AOB.為什么？AOBMNP解：在Rt△MOP和Rt△NOP中，

OM=ON，

OP=OP，∴Rt△MOP≌Rt△NOP(HL).∴∠MOP=∠NOP，即

OP平分∠AOB.例1在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.ABCDEFABCDEF解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，∴AD平分∠ABC（在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上）.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.∴在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴

DE=AD=×10=5（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）.1212練習(xí)判斷下列推理是否正確ABCDEFP（1）如圖，∵AD平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE=PF（角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等）.√ABCDEFP（2）如圖，∵PE=PF，∴AD平分∠BAC

（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上）.×ABCDEFP（3）如圖，∵點(diǎn)P在∠BAC

的平分線上，

∴PE=PF（角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等）.×（4）如圖，∵PE⊥AB，PF⊥AC，

∴AD平分∠BAC（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上）.ABCDEFP×ABCDEFP（5）如圖，∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF，∴點(diǎn)P在∠BAC

的平分線上（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上）.√隨堂演練1.

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，則下列四個結(jié)論：①AD

上任意一點(diǎn)到點(diǎn)C、點(diǎn)B的距離相等；②AD上任意一點(diǎn)到AB，AC的距離相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF.其中，正確的個數(shù)是（）A.1個 B.2個C.3個D.4個D2.如圖，△ABC

中，AD

是∠BAC

的平分線，

BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).求證：EB=FC.證明：∵AD是