重難點(diǎn)專題05與幾何意義有關(guān)的函數(shù)問(wèn)題

anil

題型1類比斜率..................................................................1

題型2類比兩點(diǎn)間距離............................................................5

題型3類比點(diǎn)到直線距離.........................................................11

題型4類比直線與曲線的位置關(guān)系................................................15

題型5類比和差距離問(wèn)題.........................................................18

題型6絕對(duì)值中的距離問(wèn)題.......................................................18

題型7兩曲線間點(diǎn)的距離.........................................................19

Ckssn

題型1類比斜率

即F期重點(diǎn)

形如'的形式，用幾何意義來(lái)理解，可以類比斜率。

【例題1]（2020秋?上海長(zhǎng)寧?高三上海市延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知/（無(wú)）是定義在R上

的增函數(shù)，函數(shù)y=/Q-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,。）對(duì)稱，若實(shí)數(shù)m,n滿足等式/（幾-3）+/

（V4m—m2—3）=0,貝哈的取值范圍是（）

A.12一竽,2+苧]B.[1,2+喟

C.12—竽,31D.[1,3]

【答案】C

【分析】由函數(shù)f（x）是遞增函數(shù)，且y=/（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱，可得函數(shù)了（比）是

奇函數(shù)，

再結(jié)合/（n—3）+/（V4m—m2-3）=?？傻茫◣住?）+V4m-m2—3=0,進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)

合求出結(jié)果.

【詳解】f(X)是定義在R上的增函數(shù)，且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,

所以函數(shù)八")是奇函數(shù)；

又/(幾—3)+/(V4m—m2—3)=0,

所以(n—3)+74m——2—3=0,且4血—m2—3>0;

((m-2)2+(n—3)2=1

即｛1<m<3,

I2<n<3

畫出不等式組表示的圖形，如圖所示，

所以5表示圓弧上的點(diǎn)(成71)與點(diǎn)(0,0)連線的斜率，

所以結(jié)合圖象可得：5的最大值是直線。4的斜率，為哲=3,

最小值是直線OB的斜率，不妨設(shè)為k,

則Qn-2,二器3尸=1，

消去n,得⑺-2)2+(km-3)2=1,

整理得(/+l)m2-(6k+4)m+12=0,

令4=(6k+4)2-4xl2x(/c2+l)=0,

化簡(jiǎn)得3k2—12k+8=0,

解得k=2土竽,

應(yīng)取k=2—竽為最小值；

所以巳的取值范圍是：［2—竽,31.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想.解

題分兩部分，一部分是由函數(shù)單調(diào)性與奇偶性化(缶-3)+/(V4m-m2-3)=0為(n-3)

+V4m-m2-3=0,第二部分收(科")構(gòu)成點(diǎn)，用幾何意義來(lái)解釋此條件，用幾何意義來(lái)

理解》從而達(dá)到求解的目的.

【變式Ml1.(2023?全國(guó)高三專題練習(xí))函數(shù)/(%)=八,(龍G[0,2捫)的最小值

?vo-ZCOSX-zsinx

是()

A.-乎B.-1C.-V2D.-V3

【答案】B

【分析】對(duì)/(x)變形，得到/(%)=_J1+(鼻)2,當(dāng)sinx力1時(shí)，利用g(x)=三器的幾何意

義求解其取值范圍，進(jìn)而得到-14f(%)<0,當(dāng)sinx=l時(shí)，f(x)=0,從而求出/'(尤)的最小

值.

【詳解】當(dāng)sin尤=1,f(x)=0

-1

.,__1y_sinx-11—sinx廣

當(dāng)sinx*1時(shí)，因?yàn)?(*)=任2H6久=-屈=茅=-Ji+($)2,

令9(x)=三器，9。)的含義是點(diǎn)(L1)與單位圓上的點(diǎn)(sin%,cosx)的連線的斜率，所以

g(x)》0,所以Jl+g(x)2》l

1

所以—Il一Jl+g⑺垓V0，即一14/(%)<0,

綜合得，/(%)￡[—1,0],

故最小值為：-1.

故選：B.

【變式1-112.(2022秋?上城區(qū)校級(jí)期中)函數(shù)/=”的最小值為.

【答案】-f

【分析】令乂=cosa(0<?<n),根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可將函數(shù)解析式化為y=(巖

(0<a<n),再分析其幾何意義，利用直線的斜率公式和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.

【詳解】令X=cosa(0<a

則y=f(x)=妥=3(0WaWn),

它表示半圓/+y2=l(y>0)上的B(cosa,sina)與4(2,0)連線的斜率(如圖所示),

此時(shí)。B=1,OA=2/O4B=30°,

KABtanl50°=—日，

即丫=/(%)=,=式<?<可的最小值為—李

故答案為：-李

【變式1-1】3.(2020?泰州一模)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2+b2=c2,c/0,則高的取

值范圍為.

【答案】［一日，明

bccosx喝4^.

【詳解】由a?+b2=c2可設(shè)a=csinx,b=ccosxz。一》=「小丫一%=dk述一詞可以理解

.b

為點(diǎn)（2,0）與單位圓上的點(diǎn)連線的斜率的范圍，而兩條切線的斜率為土？,則二導(dǎo)的取值

題型2類比兩點(diǎn)間距離

中:舉11占

f.豐?、、、

形如（久-砌2+（y—6）2的形式，用幾何意義來(lái)理解，可以類比兩點(diǎn)間距離問(wèn)題。

*/WVWWWWWWWWWWWW\^A/WWWWWWWWW\A/WWVWW\AAA/WWW\A/WWWWWWWWWW\^A/WWWWWWWWX

【例題2】（2023?浙江溫州?樂(lè)清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)a>0,beR,已知函數(shù)/（久）

%

=xe+a（x-3）+b,久6[1,3]有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則a2+。2的最小值為（）

A-<B.fC.亨D.f

【答案】B

【分析】設(shè)函數(shù)/'CT)的零點(diǎn)為t,可得(t—3)a+b+tet=。，由此可得點(diǎn)(a,b)在直線

￡

(t-3)x+y+te=0±,由此可得。2+按2二五，再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.

【詳解】函數(shù)f0)=xex+a(x-3)+b的零點(diǎn)為t,

則lWtW3,且te，+a(t—3)+b=0,即(t一3)a+b+生，=。，

所以點(diǎn)(a,b)在直線(t—3)x+y+te'=。上，

又a2+爐表示點(diǎn)缶力)到原點(diǎn)的距離的平方，

,_________iteH

故Va2+b2>-^===,

所以+

設(shè)g⑷=t2-6t+io'

mil2t2t(l+t)(t2-6t+10)-2(t-3)t2e2{

貝叼⑷=--e------『6t+10)2-----------，

茄""八=2te2U(l+t)(tZ-6t+10)-(t-3)t]=2te2t(t3-6t2+7t+10)

222

口乂y—(t2-6t+10)—(t-6t+10),

設(shè)"t)=t3-Gt2+7t+10(1<t<3),

則〃(t)=3t2-12t+7=3(t—2)2—5,

因?yàn)?WCW3,所以h'(t)<0,

所以函數(shù)僅t)=t3-6t2+7t+10在［1,3］上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)1<t<3時(shí)，h(t)2僅3)=27-54+21+10>0,

故當(dāng)1WCW3時(shí)，g'(t)>0,函數(shù)g(t)在［1,3］上單調(diào)遞增，

所以g(t)2g(i)=得.

2

所以當(dāng)—2a+b+e=0,a=—26時(shí)，a?+廣取最小值，最小值為信

所以當(dāng)a=爭(zhēng)力=一三時(shí)，。2+/的最小值為日

故選：B.

【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的定義，直線方程的定義，點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)

之間的距離，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

【變式2-1】1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)a,與茜足(a+2)2+(8—3)2=2,則

對(duì)任意的正實(shí)數(shù)%,(%-a)2+(In%—匕產(chǎn)的最小值為

【答案】8

【分析】求出圓心1—2,3)到曲線y=Inx上的點(diǎn)的距離最值后可求。-a)2+(In%-6尸的最

小值.

【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)a/滿足(a+2尸+(b—3)2=2,故P(a,b)在圓C：(x+2)2+(y-3)2=2

±.

而C(_2,3),設(shè)g(x)=(x+2)2+(lnx—3)2,

則g(x)表示c到曲線y=inx上的點(diǎn)的距離的平方.

又g'Q)=2x/+2x：nx-3

因?yàn)?(%)=%2+2x+Inx-3在(0,+8)為增函數(shù)，且八⑴=0,

故當(dāng)x6(0,1)時(shí)，"%)<0即1(乃<0；當(dāng)x6(1,+8)時(shí)，/1(盼>0即1(?>0;

故g(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)為增函數(shù)，故g(x)的最小值為g(l)=18.

故C(-2,3)到曲線丫=Inx上的點(diǎn)的距離最小值為3近，

而圓C的半徑為近，故圓C上的點(diǎn)到曲線y=Inx上的點(diǎn)的距離最小值為2四，

故(％-a)2+(Inx-b)2的最小值為(2煙=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，往往需要轉(zhuǎn)化到圓心到幾何對(duì)象的最值問(wèn)題來(lái)處

理，另外注意代數(shù)式對(duì)應(yīng)的幾何意義.

【變式2-112.(2022秋?河南南陽(yáng)?高三統(tǒng)考期中)不等式(e°—b)2+(a—6—l)22ni2―爪

對(duì)任意實(shí)數(shù)a,M亙成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

【答案】[-L2]

【分析】設(shè)P(a,e°),Q(b+1力)，則可得|PQ|2>m2-m,而P,Q分別在曲線f(%)=e，和直線

y=x-1上，將直線y=x-1平移恰好與曲線f(x)=eX相切時(shí)，可求出|PQ|的最小值，從

而可解關(guān)于小的不等式可得答案.

【詳解】由題意設(shè)P(a,ea),Q(b+l力)，則|PQ『=ga—b)2+(a—b—1)2,所以|PQ|2NM2

—m,

因?yàn)镻,Q分別在曲線-x)=e，和直線y=%-1±,

所以將直線y=%-1平移恰好與曲線f0)=e"相切時(shí)，切點(diǎn)到直線y=%-1的距離最小,

此時(shí)|PQ|最小，

設(shè)切線為y=x+m,切點(diǎn)為Oo,yo),則/'(WMeX,得/0)=e久，

所以e"°=1,得%o=0,則yo=1,

所以|PQ舊勺最小值為點(diǎn)(0,1)到直線y=%—1的距離d,d=匕甘=V2,

即|PQ|的最小值為我，

所以22nl2—小，即爪2—巾—2W0,解得一lWmW2,

所以實(shí)數(shù)小的取值范圍是[-U],

故答案為：[—1,2]

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查不等式恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是將

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為P(a,e°),Q(b+1,6),|PQ|2>m2-m,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為曲線f(x)=/上的點(diǎn)和直線

丫=久-1的點(diǎn)的距離最小問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

【變式2-1】3.(2021?南京一模)若實(shí)數(shù)%、y滿足％—4日=2后另，則x的取值范圍

是?

【答案】{0}U[4,20]

【詳解】令"廳=%'x-y=b(a、h>0),此時(shí)，x=p+(x—y)=a2+b2,

且題設(shè)等式化為a?+b2-4a=2b.

于是，a、b滿足方程(a—2)2+(b-1)2=5(%b>0).

如圖，在a。。平面內(nèi)，點(diǎn)(a,6)的軌跡是以D(l,2)為圓心、遙為半徑的圓在a、b20的部分,

即點(diǎn)。與弧菽并集.

故+b2￡{0}U[2,2聞

從而，%=a2+b2e{0}U[4,20].

【變式2-1】4.記Z=(x-y)2+(|+楙)2。4o,x,"/?),貝!］Z的最小值是.

【答案】Y

【分析】根據(jù)題意，可知Z=(%-4+(|+丁表示點(diǎn)力(招|),B(y,—為兩點(diǎn)之間距離的平

方，得出點(diǎn)4的軌跡方程是y=|,點(diǎn)B的軌跡方程是y=-［設(shè)平行于片-阻與y=|相切

的直線方程為y=-5+6,聯(lián)立方程組并結(jié)合A=0求出6的值，得出切線方程為y=-5+2

或y=4-2,從而可知4(x,|),B(y,J)兩點(diǎn)之間距離的最小值即為兩平行直線'=一5與

y=-方+2間的距離，最后利用兩平行線間的距離即可得出結(jié)果.

【詳解】解：Z=(尤_y)2+("行表示點(diǎn)4忌)，B(y,-令兩點(diǎn)之間距離的平方，

點(diǎn)4的軌跡方程是y=|,點(diǎn)B的軌跡方程是y=工，

設(shè)平行于y=-阻與y=|相切的直線方程為y=-f+fo,

r_2

聯(lián)立］yXx,,,得久2—26久+4=0,

(7=_萬(wàn)+6

由△=(—2b)2—4x1x4=0,解得：b=±2,

所以與y=I相切的直線方程為y=-f+2或y=-f-2,

???4(x,|),B(y,—為兩點(diǎn)之間距離的最小值，

即為兩平行直線y=—5與y=—5+2間的距離，為酋=而，

??.Z的最小值是篇)2=1

故答案為：Y.

【變式2-1】5.(2020?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考三模)已知y=f(x)是定義在R上的增

函數(shù)，且y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(6,0)對(duì)稱.若實(shí)數(shù)滿足不等式6x)+f(y2

—8y+36)<0,則久2+必的取值范圍是

【答案】[16,36]

【分析】根據(jù)函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(6,0)對(duì)稱，得到/'(X+6)=-/(6-x),從而將f(尤2

-6%)+/(y2-8y+36)<。轉(zhuǎn)化為f(/—6x)<f(6-y2+8y-30),利用函數(shù)y=f(%)的單

調(diào)性得到(x-3/+(y_4/W1,再利用圓的性質(zhì)即可得到/+外的取值范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(6,0)對(duì)稱，

所以f(X+6)=-f(6-x).

因?yàn)閒(/—6x)+f(y2-By+36)<0,

所以/—6x)<-f(y2-8y+36).

-f(y2-8y+36)=-f(y2-8y+30+6)=f(6-y2+8y-30).

所以/'(/—6x)<f(6-y2+8y-30).

又因?yàn)楹瘮?shù)y=八久)是定義在R上的增函數(shù)，

所以/—6%<6—y2+8y—30.

整理得：(x—37+(y—4)2W1.

因?yàn)?+必表示以(3,4)為圓心，r=1的圓上或圓內(nèi)的點(diǎn)到(0,0)距離的平方.

_________________2

2

所以3+y)min=(7(3-0)2+(4-0)2-1)=16,

_2

(/+y2)max=(J(3_0)2+(4—0)2+1)=36.

所以%2+y2的取值范圍是[16,36].

故答案為：[16,36]

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，同時(shí)考查了圓的性質(zhì)，利用好+丫2的幾何

意義為解題的關(guān)鍵，屬于難題.

題型3類比點(diǎn)到直線距離

【例題3]（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)y=坪等些絲0GGR,0<a<?的最大值

Vt2-2V2tcosa+2'2/

是（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】B

|（cosa+V2sina）t-V2|

【分析】分析可知函數(shù)y=Jg缶二;；；（缶強(qiáng)）2的幾何意義為點(diǎn)（°，°）到直線站-^COSa）%+

V2sina-y+（coset+V2sincr）t—V2=0的距離，求出直線（t—V2cos<z）x+Vasina-y+

（cosa+魚sina）t-V2=。所過(guò)定點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得出所求函數(shù)的最大值為|OP|,即可得解.

|(cosa+V2sina)t—\/21|(cosa+Vasina)

【詳解】解：函數(shù)J(t—V2cosa)2+(V2sina)2

y=Jt2-2V^tcosa+2

的幾何意義為點(diǎn)(0,0)到直線(t—V2coscr)x+V2sina-y+(cosa+V2sina)t—V2=。的距

離,

由直線(t—V2cosa)x+Vasina-y+(cosa+V2sina)t—V2=0,

即為+cosa+Vasina)+(V2ysina—V2xcosa—V2)=0,

中［x+cosa+Vasina=0丁日Ix=-cosa—Vasina

lV2ysincr—V2xcosa—V2=0'口彳可.y=sina—V2coscr'

則直線恒過(guò)定點(diǎn)”—cosa—Vasina,sina—V2cosa),

由題意可得原點(diǎn)到定點(diǎn)P的距離即為所求最大值,

可得|0P|=、(—cosa—V2sincr)2+(sina—V2cosa)2=V3,

故選：B.

"T四一三/=則）（%—功）的最小

【變式3-1】1.（2022?新疆模擬）-fa1,Ol—x22+2

yi

值是()

A.|B.?C.V2D.2

【答案】D

【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線y=/-Inx上的點(diǎn)P到x-y-2=0的距離平方的最小值，需滿足

函數(shù)f(幻=/-Inx在點(diǎn)P處的切線與直線x-y-2=。平行，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得點(diǎn)

P的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果.

【詳解】解：由已知可得力=君一1皿，及=X2-2,

2

則01-x2)+(%-及)2的最小值即為曲線y=/-Inx的點(diǎn)到直線x-y-2=。的距離最

小值的平方，

設(shè)f(x)="一lnx(x>0),則［(%)=2%—占令2x-}=l,解得x=l,

/⑴=1，

曲線y=/-Inx與x一y—2=。平行的切線相切于P(l,l),

則所求距離的最小值為點(diǎn)P(L1)到直線％-7-2=0的距離的平方，即(言丫=2.

故選：D.

【變式3-1J2.(2023?河南河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))設(shè)點(diǎn)P在曲線y=卻一)

上，點(diǎn)Q在曲線y=ln(2x—2)上，則|PQ|的最小值為()

A.l-ln2B.V2(l-ln2)

C.1+ln2D.V2(l+ln2)

【答案】B

【分析】根據(jù)互為反函數(shù)的對(duì)稱性，把所求的點(diǎn)點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離，構(gòu)造函數(shù)求最小值

即可.

【詳解】令t=x—l,則>=%\y=In2t這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=%對(duì)稱.

所以y=全(1)與y=ln(2x-2)的圖象可以看成是由y=|e￡,y=In2t這兩個(gè)函數(shù)圖象向右

平移一個(gè)單位得到的.

所以IPQI的最小值即為曲線y=與y=In2t上兩點(diǎn)的最小值.

曲線y=上的點(diǎn)M(t,|/)到直線y=久的距離為d=吧

設(shè)f⑷=>0),則/(t)=|ef-i.

由r(t)=|ef-l>?？傻胻>ln2,由r(t)=|ef-l<o可得。<t<ln2

所以f(t)=|ef-t(t>0)在(0,ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2,+s)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)t=ln2時(shí)，函數(shù)=l—皿2,所以日?^=詈

由圖象關(guān)于y=%對(duì)稱得：|PQ|的最小值為2dmin=2X=V2(l—ln2).

故選：B

【變式3-1】3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足|ln

(a—1)—b|+|c—d+2|=0,則(a—c)2+(b—d)2的最小值為()

A.2V2B.8C.4D.16

【答案】B

【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)及兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線的距離公

式即可求解.

【詳解】由|ln(a—1)—b|+|c—d+2|=。得，ln(a—1)—b=。，c—d+2=0,即b=In

(a—1),d=c+2,

(a-c)2+(b—d)2的幾何意義為曲線b=ln(a-1)上的點(diǎn)(a,6)到直線d=c+2上的點(diǎn)(c,d)

連線的距離的平方，

不妨設(shè)曲線y=ln(x-1),直線y=x+2,設(shè)與直線y=x+2平行且與曲線y=ln(x-1)相

切的直線方程為丫=久+小，

顯然直線y=x+2與直線y=%+巾的距離的平方即為所求，

由y=ln(x—l),得曠=±,設(shè)切點(diǎn)為(孫，火)，

(7^1=1(祀=2

則(yo=xo+m,解得'm匚，,

lyo=in(%0-1)(y。=o

直線y=x+2與直線y=x+m的距離為器^=2魚，

???(a-c)2+(b-d)2的最小值為8.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求曲線b=ln(a-1)上的點(diǎn)(a,b)到直線

d=c+2上的點(diǎn)(c,d)連線的距離的平方，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為求曲線y=ln(x-1)上的點(diǎn)到直線

y=%+2上點(diǎn)的距離的平方，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線的距離公式即可.

【變式3-1】4.(2021春?北海期末)實(shí)數(shù)a,瓦c,d滿足彳=等=1,則(a—c)2+(b_砌?

的最小值為()

A.2B.2V2C.4D.8

【答案】D

【分析】由題知b=ea+\d=c-2,進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線y=聲1上一點(diǎn)(附)與直線

y=x-2上一點(diǎn)(c,d)間的距離的平方，故只需求解y=產(chǎn)】上與直線y=%-2平行的切線的

切點(diǎn)，進(jìn)而得答案.

【詳解】由寧?=7=1，可得b=ea+i,d=c-2,

故(a一c)2+(6—d)2幾何意義為曲線y=e，+i上一點(diǎn)(a力)與直線y=x-2上一點(diǎn)(c,d)間的

距離的平方.

對(duì)于函數(shù)y=ex+1,令y'=ex+1=1,解得％=—1,

所以函數(shù)y=戶1在(-1,1)處的切線方程為％-y+2=0,切線方程與直線y=%-2平行,

則函數(shù)y=尸1在(-1,1)處的切線方程與直線y=x—2之間的距離d=，辿=2V2,故

(a—c)2+(b_d)2的最小值為d2=8.

故選:D

【變式3-1】5.(2021?山東模擬)若無(wú)，y&R,x>0,求。一y)2+(41n久一好一2y一ip

的最小值為()

A.V5B.普C.yD.華

【答案】C

【分析】根據(jù)Q-yT+(41nx-%2-2y-1甘的幾何意義構(gòu)造函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的

距離問(wèn)題即可.

【詳解】問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：力(x,41n久一/)是函數(shù)y=41nx—/圖象上的點(diǎn)，

B(y,2y+1)是函數(shù)y=2x+1上的點(diǎn)，|48產(chǎn)=(%-y)2+(41nx-x2-2y-1)；

當(dāng)與直線y=2x+1平行且與f(x)的圖象相切時(shí)，切點(diǎn)到直線y=2久+1的距離為|力切的最小

值.

f'(x}=j—2%=2,x2+x—2=0,x=1,舍去負(fù)值,

又f(l)=-1,所以M(l,—1)到直線y=2x+1的距離即為|4B|的最小值.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是理解(％—y)2+(41nx—/—2y—Ip的幾何意義.

題型4類比直線與曲線的位置關(guān)系

利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，可以將方程解的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成直線與曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)形

結(jié)合思想，進(jìn)行求解.

【例題4】(2021秋?運(yùn)城期中)直線y=kx—1與曲線y=———2"有兩個(gè)不同的公

共點(diǎn)，貝此的取值范圍是

【答案】fcG(0,1]

【詳解】作直線y=kx—1與曲線y=-Jl—(x—2產(chǎn)的圖象如下,

結(jié)合圖象可以知道,k的取值范圍是(0幣.故答案是:(0百.

點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形

結(jié)合求解.

【變式4-1】1.若關(guān)于比的方程久+6=3-國(guó)中有解,則實(shí)數(shù)6的取值范圍是.

【答案】3血5+2近

【分析】將方程變形，可得-刀2=r+3-b,等價(jià)于y=74X一/與y=—x+3-b的

圖象有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為半圓與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合求出b的范圍.

【詳解】解：關(guān)于%的方程％+6=3—V4x—N有解等價(jià)于〃=—%+3—隋解,

等價(jià)于y=V4x-x2與V=—X+3-b的圖象有公共點(diǎn)，

y=k至等價(jià)于｛y==。―/,等價(jià)于產(chǎn)-=4

其圖象為(2,0)為圓心2為半徑的圓的上半部分，

作圖可得當(dāng)平行直線y=-X+3-b介于兩直線之間時(shí)滿足題意，

易得直線小的截距為0,設(shè)直線九的截距為t,

由直線與圓相切可得直線X+y-t=。到點(diǎn)(2,0)的距離為2,

可得號(hào)=2,解得t=2+2&,或"2—2企(舍去)，

Q4b-342+2V2,解得3<b45+2也

故答案為：+2V2.

【變式4-1】2.(2022秋?吉州區(qū)校級(jí)期中)若方程1=。僅有一解，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是

【答案】—1<a<l^ca=V2

【詳解】試題分析：等—1=0即日二衰=x+a,所以，方程4一1=。僅有一解，即,

x+ax+a

半圓y=71—%2與直線y=久+a只有一個(gè)交點(diǎn),如圖所示，可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是｛魚

A

X

考點(diǎn)：本題主要考查方程解的概念，直線與圓的位置關(guān)系.

點(diǎn)評(píng)：典型題，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將方程解的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題,

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，使問(wèn)題得解.難度不大，貴在轉(zhuǎn)化.

題型5類比和差距離問(wèn)題

雙根號(hào)問(wèn)題，可以通過(guò)配方，轉(zhuǎn)化成距離之和問(wèn)題。

【例題5］(2021?安徽開(kāi)學(xué))求函數(shù)y=-8%+17+的最小值為.

【答案】5

【分析】將函數(shù)式表示為點(diǎn)點(diǎn)距的形式，可轉(zhuǎn)化為求距離之和的最小值，從而求出答案.

【詳解】解：函數(shù)

y=V%2—8%+17+V%2+4-個(gè)(x—4)2+1+V%2+4=—4)2+(0—I)2+

J(x—0)2+(0+2)2表小x軸上動(dòng)點(diǎn)P(x,0)到4(4,1)和B(0,—2)的距后和，當(dāng)

P為48與璉由的交點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取最小值=7(4-0)2+(1+2)2=5,

故答案為：5

題型6絕對(duì)值中的距離問(wèn)題

【例題6】(2021?杭州模擬)已知函數(shù)1為=|/+小+以在區(qū)間［0,4］上的最大值為此

當(dāng)實(shí)數(shù)a,b變化時(shí)，M最小值為，當(dāng)M取到最小值時(shí)，a+6=

【答案】2-2

【解析】f(x)=|x2-4x-[-(a+4)x-6]|,則M即為函數(shù)g(x)=/-4x與函數(shù)

h(久)=-(a+4)x-%圖象上點(diǎn)的縱向距離的最大值中的最小值，作出圖象，由圖象觀察即

可得出答案.

【詳解】解：/(x)=|%2—4x+(a+4)x+&|=|xz—4x—[—(a+4)x—b]\,

上述函數(shù)可理解為當(dāng)橫坐標(biāo)相同時(shí)，函數(shù)g(%)=/-4x,xe[O,4]與函數(shù)

/i(x)=-(a+4)x-fo,久6[0,4]圖象上點(diǎn)的縱向距離，

則”即為函數(shù)g(x)=K2—4x與函數(shù)h(x)=-(a+4)%-6圖象上點(diǎn)的縱向距離的最大值中的

最小值，

由圖象可知，當(dāng)函數(shù)%0)的圖象剛好為y=—2時(shí)，”取得最小值為2,此時(shí)一(a+4)=0,

且一b=—2,即a=—4,b=2,

故a+6=—2.

故答案為：2,-2.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值函數(shù)中的最值問(wèn)題，考查"平口單峰”函數(shù)的構(gòu)造，考查數(shù)形結(jié)合

思想，屬于中檔題.

題型7兩曲線間點(diǎn)的距離

【例題7】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若x、a、b為任意實(shí)數(shù),若(a+1尸+(b—2/=1,

則(x-a)2+(Inx-6)2最小值為()

A.2V2B.9C.9-4V2D.2V2-1

【答案】C

【分析】由題可知，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為圓。+I)2+(y—2)2=1上動(dòng)點(diǎn)到函數(shù)y=Inx圖像上動(dòng)

點(diǎn)距離的最小值,即求函數(shù)y=Inx上動(dòng)點(diǎn)到圓心(-1,2)距離的最小值，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)y=

Inx在(犯Inm)處的切線與(m,lnm)和(-1,2)連線垂直時(shí)為最小值，據(jù)此求出m的值，即可

得到答案.

【詳解】由(a+I)2+(b—2尸=1可得(a力)在以(—1,2)為圓心，1為半徑的圓上,

2

(%-a)4-(|nx-匕尸表示點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)。,Inx)的距離的平方，

即表示圓(％+I)2+(y-2)2=1上動(dòng)點(diǎn)到函數(shù)y=Inx圖像上動(dòng)點(diǎn)距離的平方.

設(shè)Qn,lnm)為y=Inx上一點(diǎn)，且在處的y=Inx的切線與⑺Jnm)和(-1,2)連線垂直,

可彳喑t=T，

即有Inm+m2+m=2,

由/(血)=/血+7712+血在血＞。時(shí)遞增，且/(i)=2,可得m=1,即切點(diǎn)為(1,0),

圓心與切點(diǎn)的距離為d=J(1+1)2+(0—2)2=2ypi]

由此可得(X-a)2+(Inx-b)2的最小值為(2在-1)=9—472.

故選：C.

【變式7-1】1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)a,hc,d滿足。=於-1,c=ln(d-l),

則(a—c)2+(b—d)2的最小值為()

A.1B.1C.V2D.2

【答案】D

【分析】理解原代數(shù)式的含義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，再分析其幾何意義，構(gòu)造函數(shù)即可求解.

【詳解】"a=e6-1^=ln(d—1),(a—c)2+(b—d)2=[e6-1—ln(d—l)]2+

DP,

22122

令b—1=—1=x2,則(a—c)+(b—d)=(e*—lnx2)+(久i—x2),

其幾何意義為點(diǎn)A(%i，e，i)與點(diǎn)B(>2，lnx2)之間距離的平方，

設(shè)f(X)=e5g(x)=Inx,則點(diǎn)A和B分別在f(x)和g(x)的圖像上，如下圖，

顯然f(x)和9(%)互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，

則A與B的最短距離必然在直線y=x的垂線上，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y=x對(duì)稱,

不妨設(shè)B(%,In久),則4(lnx,比),

-IY-1

AB2=2(%—In%)2,設(shè)h(x)=x—In久,h.'(x)=1—-=—,

當(dāng)x>>0,0<%<Lh'(x)<0,在X=1處取得最小值%⑴=1,

即八(x)21>0,.?.當(dāng)h(x)取最小值時(shí)，即是4爐取得最小值，

AB2的最小值為2XI2=2;

故選：D.

【變式7-1】2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=的”的

圖象關(guān)于某一條直線I對(duì)稱，若P,Q分別為它們圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的

最小值為()

A.粵B.粵C.頌4丁吟D衣(4+ln2)

【答案】A

【分析】由于P(a,b)為函數(shù)y=e2，+i圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于直線y=x+l的對(duì)稱點(diǎn)為Q

(b-l,a+1)在y=*出的圖象上，所以函數(shù)y=e?'>】的圖象與丫=%"的圖象關(guān)于

直線y=x+1對(duì)稱，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這兩點(diǎn)之間距離的最小值等于P到直線y=久+1距

離最小值的2倍，然后利用導(dǎo)求出與直線y=x+l平行，且與曲線y=e2，+i相切的直線，

從而可求得答案

【詳解】設(shè)P(a,b)為函數(shù)y=e2"+i圖象上任意一點(diǎn)，則b=e2a+L2(。力)關(guān)于直線丫=%+1

的對(duì)稱點(diǎn)為Q(b—l,a+l),

設(shè)a=%—1,v=a+1,貝|]a=u—1,b=u+1,所以a+1=e?"-D+L

所以"=幽"，即函數(shù)y=e2，+i的圖象與y=%3的圖象關(guān)于直線y=%+1對(duì)稱，

所以這兩點(diǎn)之間距離的最小值等于P到直線y=%+1距離最小值的2倍.

2+12+1

函數(shù)y=e2'+i在點(diǎn)P(xo,y0)處的切線斜率為卜=2e"<>,令k=2e^=1得—?dú)q,

1

加=5，

所以點(diǎn)P到直線y=%+1距離的最小值為d==半，

V24

所以這兩點(diǎn)之間距離的最小值為2d=萼.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查函數(shù)圖象的對(duì)稱問(wèn)題，考查數(shù)

學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是得到函數(shù)y=e2，+i的圖象與y=的產(chǎn)的圖象關(guān)于

直線y=x+1對(duì)稱，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這兩點(diǎn)之間距離的最小值等于P到直線y=久+1距

離最小值的2倍，屬于較難題

1.(2022?浙江模擬)已知—g,V3],y&R+,貝!IQ—+(標(biāo)定—:二的最小值

為.

【答案】21—6V^##—6V6+21

【分析】分別作y=V3—y=g的圖象，取點(diǎn)(孫/3—/),(x,5,則原式可看為兩圖象

上各取一點(diǎn)的距離的平方，可轉(zhuǎn)化為圖象上點(diǎn)到圓心的距離減半徑的平方.計(jì)算結(jié)果即可.

【詳解】解：分別作y=三洛y蕓的圖象，

分別取點(diǎn)(X,V3-%2),(%(),原式視為兩圖象上各取一點(diǎn)的距離的平方，

Q

設(shè)P為y=x與y=涓勺交點(diǎn)，

0-1

???P02=x2+—>2V81=18,即P0=3位.

當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，取等號(hào).

故得的最小值為(0P-8)=21-676.

2.(2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知兩曲線y=e"與y=ln無(wú)+a,則下列結(jié)論正確的是

()

A.若兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則這個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)久e(1,2)

B.若a=3,則兩曲線只有一條公切線

C.若a=2,則兩曲線有兩條公切線，且兩條公切線的斜率之積為e

D.若a=l,P,Q分別是兩曲線上的點(diǎn)，貝UP,Q兩點(diǎn)距離的最小值為1

【答案】C

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,由公切線斜率相等，可得關(guān)系孫^。=1,借助導(dǎo)數(shù)求出%范圍;

對(duì)于選項(xiàng)B,由h(x)=/-Inx-3有兩個(gè)零點(diǎn)可判斷為錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示出切線方程，解方程組可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)D,由圖象，或找到兩曲線斜率相等的切線，求出切線間的距離，可判斷.

【詳解】若兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，記交點(diǎn)為力(跖0)，貝儲(chǔ)。=I*+a,

1

且在此處的切線為公切線，所以/。=^,即右滿足皿/。=1.

x0

設(shè)/。)=衣￡,則xe(—i,+8)時(shí)單調(diào)遞增，/■(i)=e>l,所以A錯(cuò)誤.

外於)予

如上圖，a=3時(shí)，設(shè)八(%)=/-In%-3,

貝m(x)=e*—1由于〃⑴=e—1>0,〃弓)=五一2<0,

所以存在比661),使得〃(x)=0,

那么當(dāng)久€(0,尤0)時(shí)，h.'(x)<o,h(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，

當(dāng)xe(%0,+8)時(shí),h'(x)>0,h(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

且八6)=Ve+ln2-3<0,所以h(x)=0有兩個(gè)零點(diǎn)，

則兩曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，故沒(méi)有公切線，所以B錯(cuò)誤.

a=2時(shí)，設(shè)(t,eD是曲線y=e"上的一點(diǎn)，y'=ex,

所以在點(diǎn)（t,e「）處的曲線y=e，切線方程為y—3=ef（x-t），即y=e"+（1—t）e，①,

1

設(shè)(s,|ns+2)是曲線y=In*+a上的一點(diǎn)，y1=~,

[1

所以在點(diǎn)(s,Ins+2)處的切線方程為y-(|ns+2)=-(x-s),即、=p+Ins+1

所以（1-比:認(rèn)+1,解得"?；?1

所以所以兩斜率分別是1和e,所以C正確.

a=l時(shí)，曲線y=e"的一條切線為y=*+l,y=ln*+a的一條切線y=%

兩切線間的距離為最小值乎，所以D錯(cuò)誤.

故選：C

3.（2022?成都模擬）已知ln%i一5_yi+2=0,久2+2%-4-21n2=0,則

J01-％2）2+（yi—丫2）2的最小值為（）

△V10D2V502Vm2后

TD-TJ丁5n—

【答案】B

【分析】J01-%2）2+（%-丫2）2的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=Inx-%+2圖像上的點(diǎn)（%i，yD

與直線x+2y-4-21n2=0上的點(diǎn)（電,鼓）的距離的最小值.

【詳解】設(shè)力（孫％）力（久242），

點(diǎn)力（%1，%）在函數(shù)y=lnx-x+2上，點(diǎn)B（＞2，y2）在函數(shù)x+2y-4-21n2=0±,

???-%2）2++1-及）2表示曲線y=Inx-%+2上點(diǎn)4（X1，yD到直線x+2y-4-21n

2=。的點(diǎn)B（X2，y2）距離.

由y=lnx-x+2,可得/=:一1,與直線x+2y-4-21n2=0平行的直線的斜率為一支

令2—1=一：，得％=2,所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,ln2),

|2+2Zn2-4-21n2|

切點(diǎn)至I」直線％+2y—4—21n2=。白勺任巨晶d=2V5

Vl+4"s-'

???J(%1-%2)2+(yi—y2)2的最小值為^

故選：B

4.(2023?全國(guó)高三專題練習(xí))已知點(diǎn)尸為函數(shù)/(%)=欣+式%>2)圖像上任意一點(diǎn)，點(diǎn)、

為圓卜—[+；+1)『+*=1上任意一點(diǎn)，則線段PQ的長(zhǎng)度的最小值為()

AJl+e2(l+e)-egJ2e2+l-e

e.e

CJM+1e口e7e2—l

ee

【答案】A

【分析】先求P點(diǎn)到圓心的最小距離PM,令。(%)=尸"2,利用導(dǎo)數(shù)求最小值，線段PQ的

長(zhǎng)度的最小值為PM的最小值減去圓的半徑.

【詳解】解：設(shè)P(*,lnx+e),又圓卜—(e+：+l)]+必=1的圓心為用[+!+1,0),

令g(x)—PM2=(%—e—-—1)+(Inx+e)2(x>2),

e

“(x)=2