重難點(diǎn)03集合中的易錯(cuò)題型五大題型匯總

題型解讀

題型1忽略互異性

題型2錯(cuò)誤理解

元素的屬性

滿分技巧/

技巧一.注意元素的互異性的使用

集合元素具有確定性、無(wú)序性和互異性.在求有關(guān)集合問(wèn)題時(shí)，尤其要注意元素的互異性.

技巧二.注意區(qū)分元素的屬性

研究集合問(wèn)題，一定要理解集合的意義，抓住集合的代表元素，

技巧三.注意端點(diǎn)值的取舍

對(duì)于與不等式有關(guān)的集合問(wèn)題，通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來(lái)，以形定

數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無(wú)誤，一般含"="用實(shí)①點(diǎn)表示，不含"="用空心圓圈表示，利用

集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍的時(shí)候，要注意端點(diǎn)值的取舍問(wèn)題.

技巧四.注意討論空集

遇到4nB=0時(shí)，你是否注意到"極端"情況：A=0或B=0;同樣當(dāng)A=B時(shí)，你是否忘記A=0的情形？

要注意到。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

題型提分練

題型1忽略互異性

【例題1]（2023?全國(guó)高一專題練習(xí)）若弁,0,-1]={a,b,0},則（仍產(chǎn)??的值是（）

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】B

【分析】根據(jù)集合相等列出方程組，求出a,6,檢驗(yàn)是否滿足元素互異性，最后代入求解.

【詳解】因?yàn)閧a2,0,-1}={a,b.0},所以①或②{:二]：，

由①得{j=;或{j二,1，其中{與元素互異性矛盾，舍去，

{j二符合題意,

由②得{，二，符合題意，

兩種情況代入（萌）2。22=（一1）2022=1，答案相同.

故選：B

2

【變式1-1]1.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知aeR,beR,若集合{a，1}={a,a-b,0],則+

°2。19的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)集合相等的條件及分式2有意義可知a402=0，進(jìn)而求出b=0，代入集合驗(yàn)證可求出a的值，

aa

進(jìn)一步計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)集合相等的條件及分式2有意義可知a力02=0,

aa

則b=0,

代入集合得{a,0,1]={a2,a,0],

貝，得a=—l

因此。2019+°2。19=（_1）2019+（）2019=_1

故選:B.

【變式1-1]2.（2023秋?全國(guó)?高一專題練習(xí)）由。2,2-a,3組成的一個(gè)集合A,若A中元素個(gè)數(shù)不是

2,則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）

A.-1B.1C.V3D.2

【答案】D

【分析】由題意判斷集合的元素個(gè)數(shù)，根據(jù)集合元素的互異性，可求得a的不可能取值，即得答案.

【詳解】由題意由a?,2-a,3組成的一個(gè)集合A,A中元素個(gè)數(shù)不是2,

因?yàn)閍?=2-a=3無(wú)解，故由a?,2-a,3組成的集合A的元素個(gè)數(shù)為3,

故a2十2—a力3,即a力—2,a.豐1,a片—1,a*+V3,即a可取2,

即A,B,C錯(cuò)誤，D正確，

故選：D

【變式1-1】3.（多選）（2023秋?高一課時(shí)練習(xí)）（多選）若集合力=（1,3,%）,B={%2,1},且8U4,

則滿足條件的實(shí)數(shù)x可以是（）

A.1B.0

C.V3D.-V3

【答案】BCD

【分析】由包含關(guān)系，/e4,按%2的取值分類討論即可.

【詳解】■■BQAx2eA,即e{1,3,%）,

由集合8={%2,1}中元素的互異性知，/力1,即X羊1且無(wú)力一1.

當(dāng)久2=3時(shí)，x=±V3,B={3,1},

驗(yàn)證：當(dāng)％=8時(shí)，A={1,3,V3},BQA；

當(dāng)x=—舊時(shí)，A={1,3,-V3},BQA.

當(dāng)/久時(shí)，x=1（舍），或x=0

驗(yàn)證:當(dāng)X=0時(shí)，4=[1,3,0},B={0,1},BcA.

綜上,x=0,或久=±V3.

故選：BCD.

【變式1-U4.（2023秋?甘肅武威?高一天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合4={a,4},B=

{1,a?一3a},且AnB={4},則實(shí)數(shù)a=

【答案】-1

【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算以及集合元素的互異性，即可確定a的取值.

【詳解】因?yàn)閍CB={4},所以4eB,則a2一3a=4,解得a=4或a=-1,

根據(jù)集合元素的互異性，可知a豐4,所以a=-1.

故答案為：-1

【變式1-1]5.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）數(shù)集{1,a,a2-a}中的元素a不能取的值是

【答案】0,1,2,萼

【分析】根據(jù)集合中的元素滿足互異性即可列不等式求解.

a=A1r

【詳解】由集合中的元素滿足互異性可知a?一a41,解得a豐1且a豐等且a豐2且aH0,

—Q。。

故答案為：0,1,2,萼

題型2錯(cuò)誤理解元素的屬性

【例題2]（2023秋?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知集合4=[x\y=V7+1],B={y|y=-x2-1}，全集U=R,

則以下集合（）是空集

A.2nBB.（CM）nBC.力n（C?D.（CMn（"）

【答案】D

【分析】求出A和B,再根據(jù)集合的交并補(bǔ)計(jì)算即可判斷.

【詳解】由X+120得A={x\x>-1},=-x2-1<-1得B=（x\x<-1},

故An8={-1],（CiM）CB=（x\x<-1},XngB）={x|x>-1},（品⑷n（CyB）=0,

僅D選項(xiàng)符合題意.

故選：D

【變式2-1]1.（2023秋?重慶沙坪壩?高一重慶八中校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（）

①0.333eQ；②。e0；③0U{0}；@{0}￡{0}；⑤0={0}；⑥{1}G{1,2,3）；⑦3久22}={m|m>2]；

⑧{x|y=%2+1]={y\y=x2+1}

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由集合與集合，元素與集合以及空集的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】對(duì)于①，0.333eQ正確；

對(duì)于②，0是元素，。是沒(méi)有元素的集合，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③⑤，0={0}正確，即③對(duì)，0={0}錯(cuò)誤，即⑤錯(cuò)；

對(duì)于④，{0}表示集合中有一個(gè)元素0,{。}表示集合中有一-^元素。，研究對(duì)象不同，故④錯(cuò)誤；

對(duì)于⑥,1e[1,2,3},{1}C{1,2,3},故⑥錯(cuò)誤；

對(duì)于⑦，（x}x22}={m\m>2}正確；

對(duì)于⑧，{幻y=/+1}=R,{y|y=%2+1]=（y\y>1}表示不同的集合，錯(cuò)誤.

①③⑦正確.

故選：B

【變式2-1]2.（2023秋?四川南充?高一畫(huà)中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）給出下列關(guān)系式：①0e0;②-3eZ;

③{0}￡{x|x2=x}；④{0}￡N*;⑤{1}U上,叫《二；二；};⑥{1}G{1,2,3}，其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系逐一判斷.

22

【詳解】0不屬于空集，故①錯(cuò)誤，一3是整數(shù)，故②正確，{%|%=%}={0,1},故{0}c{X|x=x},③正

確，

N*是正整數(shù)集，{0}不是其子集，故④錯(cuò)誤，

2%—y=1

是點(diǎn)集，{1}不是其子集，故⑤錯(cuò)誤,{1}￡{1,2,3},故⑥錯(cuò)誤,

%+4y=5

故選：B

【變式2-1]3.(2023秋?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知集合M={1,0},則與集合M相等的集合為()

A.{(居y)+y~=/jB.{(x,y)|y=Vx-1+Vl-x}

C.卜*=--,neNjD.{x|—1<x<2,xeN)

【答案】D

【分析】求出每個(gè)選項(xiàng)的集合，即可比較得出.

【詳解】對(duì)A,1(x,y)={(0,1)}力M,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,{(x,y)|y=Vx-1+71-%}中{；1；]；，解得％=1，故{(x,y)|y=V%-1+V1-%}={(1,0)}豐M,

故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,{x'=(-^~1,neNj={-1,0}于M,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D，{劃一1<%<2,%eN}={0,1]=M，故D正確.

故選：D.

【變式2-1]4.(多選)(2022秋?全國(guó)?高一階段練習(xí))下列集合中，與{1,2}相等的是()

A.(xGJV||x|<2}B.{V4,(-2)°)

2

C.{x\x-3x+2=0}D.f(x,y){3r刀]

【答案】BC

【分析】化簡(jiǎn)各選項(xiàng)中的集合，利用集合相等的定義直接判斷.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，[%6N\\x\<2｝=｛%GN|—2<%<2｝=｛0,1,2｝,A不滿足條件；

對(duì)于B選項(xiàng)，｛〃,（一2）。｝=｛2,1｝,B滿足條件；

對(duì)于C選項(xiàng)，-3x+2=0｝=｛1,2｝,C滿足條件；

對(duì)于D選項(xiàng)，卜,y）[/[失｝=KIN）｝,D不滿足條件.

故選：BC.

【變式2-1]5.（多選）（2022秋廣東深圳?高一?？计谥校┫铝嘘P(guān)于集合的說(shuō)法，正確的是（）

A.集合｛1,2,3｝與｛是6的正因數(shù)｝相等

B.集合｛久=2fc-1,fceZ｝與=2fc+1,fceZ｝相等

C.集合｛幻x是長(zhǎng)方形｝與｛久|x是兩條對(duì)角線相等的平行四邊形｝相等

口.集合｛幻〉=3與｛37|〉=|｝相等

【答案】BCD

【分析】根據(jù)兩集合相等的定義，逐一判斷即可.

【詳解】解：因?yàn)椋?是6的正因數(shù)｝=｛1,2,3,6｝豐（1,2,3｝,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)椋?|x=2k-l,keZ｝=｛x|x是奇數(shù)｝,｛x\x=2k+l,kEZ｝=｛x|x是奇數(shù)｝,

所以｛x|x-2k—l,keZ]-｛x\x-2k+l,keZ],故B正確；

因?yàn)椋鸐x是兩條對(duì)角線相等的平行四邊形｝=｛%反是長(zhǎng)方形｝,故C正確；

因?yàn)椋鹸|y=|｝=｛x|x力0｝,（y\y=|｝=｛y|y豐0],所以｛x|y=：｝=｛y|y=|｝.

故選:BCD.

【變式2-1】6.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是

①｛久eyv|%（%2-4）=0｝與集合｛0,-2,2｝相等

②方程0-a）（x+a）=。的所有實(shí)數(shù)根組成的集合可記為｛-a,a]

③全體偶數(shù)組成的集合為｛xIX=2k,xEZ｝

④集合｛O,y)|y=x｝表示一條過(guò)原點(diǎn)的直線

【答案】④

【分析】解方程久(/-4)=?；?jiǎn)集合漢GN|x(/-4)=0｝,可判斷①錯(cuò)；討論a的取值，可判斷②錯(cuò)；

用集合表示偶數(shù)集，可判斷③錯(cuò)；根據(jù)點(diǎn)集的集合表示，可判斷④正確.

【詳解】①由-4)=。得比=0或x=±2,因此｛xeN|x(x2-4)=0｝=｛0,洋與集合｛0,-2,2｝不相等,

即①錯(cuò)；

②當(dāng)a=0時(shí)，方程。-a)(x+a)=。的解為比=0，方程(％-a)(x+a)=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為｛0｝,

不能表示為｛-a,a｝,即②錯(cuò)；

③全體偶數(shù)組成的集合為Wx=2fc,fceZ),即③錯(cuò)；

④集合｛(x,y)|y=X｝表示直線y=%上的所有點(diǎn)，即集合｛O,y)|y=x｝表示一條過(guò)原點(diǎn)的直線，即④正確.

故答案為：④.

題型3忽略端點(diǎn)值的取舍

【例題3](2022秋河南商丘?高一?？茧A段練習(xí))若無(wú)<爪-1或%>爪+1是久<-1或x>3的必要不充

分條件，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是

【答案】0W6W2

【分析】不妨設(shè)A=(x\x<m-l或x>m+l｝,B=(x\x<-1或x>3],由題意可得BA,由此即可得

解.

【詳解】不妨設(shè)4=｛x\x<m—1或x>m+1],B=｛x\x<-1或x>3｝,

若x<m-1或x>m+1是x<-1或久>3的必要不充分條件，則有BA,

所以有廠1f丁二1(等號(hào)不同時(shí)成立)，解得。<m<2.

<m+1<3

故答案為：0W6W2.

【變式3-1]1.（2023秋?河南鄭州?高一中牟縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合4={%|%>11},

B={x|2比-m>0},若A￡B,則實(shí)數(shù)?n的取值范圍是

【答案】m<22

【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式求參數(shù)范圍.

【詳解】由題設(shè)B={x\x>y},又4={x\x>11}且力cB,

所以晟<11,則m<22.

故答案為：巾<22

【變式3-1]2.（2022秋?河南商丘?高一?？茧A段練習(xí)）已知集合4={x[l<x<4},集合B=

{x\2m<x<1—m].

Q）當(dāng)爪=一1時(shí)，求71uB；

（2）若4cB,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴3—2<x<4}

（2）m<—3

【分析】（1）利用集合的并集運(yùn)算即可得解；

（2）由4U8,利用數(shù)軸法建立關(guān)于血的不等式組求解即可.

【詳解】（1）當(dāng)血=-1時(shí)，8={%]-2V汽<2},已知4={%|1<%<4},

由4U={x|-2<%<4}.

（2）8=（x\2m<x<1—m],

若aUB,則{，小“解得巾w—3.

【變式3-1J3.（2023秋河南鄭州?高一中牟縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合2={x|-l<x<|],

非空集合B={x|l—m<x<3m+1].

(1)當(dāng)m=1時(shí),求2nB；

(2)若xe4是％eB的必要條件，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【答案】(1)4nB={%|0<x<|}

(2)m<-6

【分析】(1)應(yīng)用集合的交運(yùn)算求集合；

(2)由必要關(guān)系得B￡4,討論B是否為空列不等式求參數(shù)范圍.

【詳解】(1)由題設(shè)B={x|0<x<4],而4=[x|-l<x<|],

所以4nB={x|0<%<|].

(2)由xC4是xeB的必要條件，則BU2,

當(dāng)B為空集，貝!|1-巾23m+1,得m<0,滿足題設(shè)；

'3m+1>1—m

當(dāng)B不為空集，則[3m+l<|，得0<爪W：,此時(shí)滿足BcA；

26

、1—m>—1

綜上,MW6

【變式3-1J4.(2022秋?廣東東莞?高一校聯(lián)考期中)已知集合4={x|l<x<3},B={x|ax-l>0,a^

°}：

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求4nB與4UB；

(2)若acB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)4nB=[x\l<X<3},A\JB={x[x>|]

⑵[l,+8)

【分析】(1)直接代入a值，根據(jù)交并集含義即可得到答案；

(2)分a>0和a<0討論即可.

【詳解】(1)當(dāng)a=2時(shí)，8={x|2x-1>0]=\x\x>|],

則AnB={x|l<x<3},AkJB={x\x>

(2)若a>0,則8=\x\x>i),因?yàn)?￡B,所以！<1,解得a>1,

若a<0,則B=\x\x<5},因?yàn)閉<0不滿足4UB,

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍[1,+8).

題型4漏掉空集的情況

【例題4](2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知集合4={x\2a+l<x<3a-5],B=\x\x<0或x>19}.

若2U(AC8),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】{a|a<6或a>9}

【分析】根據(jù)題意，若aa(4n8),貝必aB,分情況討論，進(jìn)而求解，得出答案.

【詳解】已知集合A={x\2a+1<x<3a-5},B={x\x<0或x>19}.

若力￡(xnB),則A￡B,

當(dāng)2a+1>3a-5,即a<6時(shí)，A=。滿足條件；

當(dāng)2a+1W3a—5時(shí)，即當(dāng)a26時(shí)，若4UB,則3a-5<?；?a+1>19,

解得a<|(舍)或a>9,

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a<6或a>9}.

故答案為:{a\a<6或a>9}.

【變式4-1]1.(2023秋?重慶合川?高一重慶市合川瑞山中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知集合A={x|x<-1或

x>l],B=(x\2a<x<a+l),BQA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(-8,-2)U^,+8).

【分析】討論集合B是否為空集，根據(jù)Bc4列出不等關(guān)系求解.

【詳解】①當(dāng)8=0,2a2a+1,即a21,滿足題設(shè)；

②當(dāng)B豐。時(shí)，2a<a+1即a<1,畫(huà)數(shù)軸如圖所示.，

AA

JLsB

2aa+1-02aa+1x

由B￡4知，a+1<—1或2a>1,即a<-2或a>

又a<1,所以a<-2或|<a<1.

綜上，所求a的取值范圍是(-8,-2)U[|,+8).

【變式4-1]2.(2022秋?浙江杭州?高一校聯(lián)考期中)已知集合4={x\-l<x<3},B=(x\l-m<x<

1+m}.

(1)若m=1,求4n(CRB)；

(2)若AnB=A,求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【答案】Q)4n(CRB)={%I-1<%<0或2<x<3]

(2)m>2

【分析】(1)當(dāng)爪=1時(shí)，先求出集合B,再求出集合CRB,然后求出交集得出答案.

(2)根據(jù)4nB=A,得出2cB,然后由集合的包含關(guān)系得出端點(diǎn)的大小關(guān)系，得出答案.

【詳解】(1)當(dāng)血=1時(shí)，B={%|0V%<2},

CRB={%|%<0或%>2}

故/A(CRB)={x\-1<x<?；?<%<3]；

(2)若4nB=4,貝!Mq8,則8w0,故血>o

故解得山“，

【變式4-1J3.(2023秋?山東德州?高一?？茧A段練習(xí))已知集合A=[x\-3<x<2]fB={x\m-1<%<

2m+1).

(1)若m=2,求/UB

(2)若ACB=B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】QMUB={x|-3<%<5]

⑵{m[m<|)

【分析】(1)將巾=2直接代入求并集即可；

(2)4CB=B今BU2,分別討論8=0與B牛。的兩種情況，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出相應(yīng)不等式即可

求出范圍.

【詳解】(1)由題意力={%|-3<x<2},

'.'m=2,

..B={%|1<%<5],

.,.AUB={%|-3<%V5}

(2)//CB=BI

：.BcA,

:當(dāng)B=0,即zn-1>2m+1,即m<一2時(shí)滿足題意；

當(dāng)B*0,即m>一2時(shí)，]:，即一2<m<|.

izm+1<z2

綜上,實(shí)數(shù)小的取值范圍為{巾加<

【變式4-114.(2023?江蘇?高一專題練習(xí))已知集合P={x|a+1<x<2a+1],Q={%|-2<%<5].

(1)若a=3,求(CRP)nQ；

⑵若"xeP"是"xeQ"充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1){幻-2wx<4}

(2)(—8,2]

【分析】(1)當(dāng)a=3時(shí)，求得CRP={x|x<4或x>7},結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解；

(2)根據(jù)題意得到P0Q,分2=。和P豐0,兩種情況討論，列出不等式組，即可求解.

【詳解】(1)解：當(dāng)a=3時(shí)，集合P={x|4<x<7},可得CRP={x\x<4或乂>7),

因?yàn)镼={x|-2<%<5},所以（CRP）nQ={x|-2<%<4}.

（2）解：若"xeP"是"xeQ”的充分不必要條件，即P室Q,

當(dāng)a+1>2a+1時(shí),即a<0時(shí),此時(shí)P=0,滿足PcQ,

2a+1>a+1

當(dāng)P牛。時(shí)，則滿足2a+1<5且不能同時(shí)取等號(hào)，解得0<a<2,

a+1之一2

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-8,2].

【變式4-1]5.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知集合2={x\-3<x<4],B={x|2-k<x<2k-l},

且AU8=4,試求k的取值范圍.

【答案】fc<|

【分析】根據(jù)題意可知BUA,對(duì)集合B是否為空集進(jìn)行分類討論即可求得k的取值范圍.

【詳解】由AUB=A可得BcA,

若B=0時(shí)，2—k>2k—1,解得k<1；

2—kW2k—1

若BK0時(shí)，貝q2-k>一3,解得1<fc<|；

.2fc-1<4

綜上所述，kw|

題型5新定義題型背景理解有誤

【例題5]（2023秋?江蘇南通?高一校考階段練習(xí)）已知0MUZ,對(duì)于k"，若k-1《力且k+162,

則稱k為A的“孤立元”.給定集合A={123,4,5},則A的所有子集中，只有一個(gè)“孤立元”的集合的個(gè)

數(shù)為（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】D

【分析】根據(jù)“孤立元"概念，分類討論求解即可.

【詳解】“孤立元"為1的集合為{1},[1,3,4},{1,4,5},{1,3,4,5),

"孤立元"為2的集合為{2},{2,4,5},

"孤立元"為3的集合為{3},

"孤立元"為4的集合為{4},{1,2,4},

"孤立元"為5的集合為{5},{1,2,5},{2,3,5},{1,2,3,5）,

綜上：滿足題意的集合有13個(gè).

故選：D

【變式5-1】1.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立.奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的

"康托三分集.（Cantor）"是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具體典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)

間［0,1］均分為三段，去掉中間的開(kāi)區(qū)間段6,|）,記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間［0,當(dāng)，］|,1］分別均

分為三段，并各自去掉中間的開(kāi)區(qū)間段，記為第二次操作；….如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將

剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的開(kāi)區(qū)間段.操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去.以至無(wú)窮，乘嚇

的區(qū)間集合即"康托三分集".第三次操作后，從左到右第四個(gè)區(qū)間為（）

A1|1］B.層山c?像,4D?［!，!!］

【答案】C

【分析】根據(jù)題意依次寫(xiě)出即可.

【詳解】第一次操作剩下：［。山,［|,1］;

第二次操作剩下：同［|,羽|,優(yōu),1］;

第三次操作剩下：［喝欄，擾官糕圖,［|,券聯(lián)］,■糕,1］;

即從左到右第四個(gè)區(qū)間為瑞,3

故選：C.

【變式5-D2.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)在整數(shù)集Z中被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)"類"，

記為岡，即[k]={5n+fc|n6Z},/c=0,1,2,3,4,給出如下四個(gè)結(jié)論：

①2025￡[3]；②—2￡[2]；③Z=[0]U[1]U[2]U[3]U[4]U[5]；

④整數(shù)a、6屬于同一"類"的充要條件是"a-be⑼".

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】》各整數(shù)按照除以5的余數(shù)分成5類，每一類組成一個(gè)集合，每一組內(nèi)的數(shù)除以5余數(shù)都相同，在

此基礎(chǔ)上，可以對(duì)下面四個(gè)命題依次判斷.

【詳解】①2。25-405x5+06[0],錯(cuò)誤；

②-2=—1X5+3G[3],錯(cuò)誤；

③Z=[0]U[l]U[2]U[3]U[4]U[5],對(duì)；

每個(gè)整數(shù)除以5后的余數(shù)只有0,1,2,3,4,沒(méi)有其他余數(shù)，故原命題成立.

④整數(shù)a、6屬于同一"類"的充要條件是"a-be血"，對(duì)；

證明④:（充分性）a,b€[m],m=0,1,2,3,4,

不妨a=5nl+m,nreZ,b=5n2+m,n26Z,

a—b=5（nt-n2）G[0]

（必要性）a—bG[0],a—b-5p,peZ

即a,6除以5后余數(shù)相同，二a,6屬于同一"類"

故選：B

【變式5-1]3.（多選）（2021秋?廣東東莞?高一東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在整數(shù)集Z中，被4除所

得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)"類"，記為[燈={4n+k\nGZ）,fc=0,1,2,3，則下列結(jié)論正確的為（）

A.2021e[3]B.-2e[2]

C.Z=[0]U[1]U[2]U[3]D.整數(shù)a/屬于同一"類"的充要條件是"a-bE[0]"

【答案】BCD

【分析】理解"類”的定義，容易判斷AB選項(xiàng)的正誤；而C,則由被4除所得的余數(shù)只有0,1,2,3四種情況

理解辨析即可；而D,則需要互為條件結(jié)果各證一次，進(jìn)而得以判斷.

【詳解】對(duì)于A,由2021=4x505+1得2021e[1],故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由—2=4x(-1)+2得—2G[2],故B正確；

對(duì)于C,所有整數(shù)被4除所得的余數(shù)只有0,123四種情況，即剛好分成[0],[1],[2],⑶共4類，故Z=[0]u

[1]U[2]U[3],故C正確.

對(duì)于D,若整數(shù)a,b屬于同一"類"，則a=4nt+fc,nx6Z,b=4n2+k,n2eZ,

故a-b=4(^-n2)+0,所以a-6e[0]；

反之,不妨設(shè)a=4rli+反nteZ,ft=4n2+k2,n2eZ,則a-b=4(%-n2)+(kt-k2),

^a-be[0],則自一七=0,即自=k2,所以整數(shù)a力屬于同一"類"；

故整數(shù)a力屬于同一"類"的充要條件是“a—be⑼"，即D正確.

故選：BCD.

【變式5-1】4.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知4是非空數(shù)集，如果對(duì)任意久,yeA都有x+y”,孫"，

則稱力是封閉集.

⑴判斷集合B={0},C={-1,0,1}是否為封閉集，并說(shuō)明理由；

⑵判斷以下兩個(gè)命題的真假，并說(shuō)明理由；

命題P:若非空集合&,4是封閉集，則&Ua也是封閉集；

命題q:若非空集合為,々是封閉集，且&ClX20,則4C4也是封閉集；

(3)若非空集合A是封閉集合，目4豐R,R為全體實(shí)數(shù)集，求證：CR4不是封閉集.

【答案】Q)集合B={0},C={-1,0,1}都是封閉集，理由見(jiàn)解析；

(2)命題p為假命題,命題q為真命題,理由見(jiàn)解析；

(3)見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)封閉集的定義判斷即可；

(2)對(duì)命題p舉反例&={x\x=2k,kEZ),A2={x\x=3k,kEZ}說(shuō)明即可；

對(duì)于命題q:設(shè)a,b€nX2),由AiH是封閉集，可得a+be(A1n&),abe(&nA2),從而判斷為正

確；

⑶根據(jù)題意，令力=Q,只需證明CRQ不是封閉集即可，取CRQ中的士企即可證阻

【詳解】(1)解：對(duì)于集合B={0},因?yàn)?+o=oes,oxo=oes,

所以B={0}是封閉集；

對(duì)于集合c=