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文檔簡(jiǎn)介
4<20備熬除金氏枯敗
5年考情?探規(guī)律
考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢(shì)
2024?廣東:相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、一次函數(shù)的中考試卷中,代幾
性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、軸綜合題屬于必考
對(duì)稱的性質(zhì)、圓的性質(zhì)題目,這類試題常
2023?廣東:全等三角形、相似三角形、特殊四邊形的判定和性質(zhì)、以三大函數(shù)為背
四點(diǎn)共圓的性質(zhì)景,綜合考察一次
廣東卷
2021?廣東:二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、二次函數(shù)與不等式組、平行四邊函數(shù)的性質(zhì)、反比
形的存在性問(wèn)題、中點(diǎn)公式2020?廣東:反比例函數(shù)系數(shù)的性質(zhì)、相例函數(shù)的性質(zhì)、二
似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、平行線的性質(zhì)次函數(shù)的性質(zhì)、函
2020?廣東:二次函數(shù)、一次函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角數(shù)與方程和不等
三角函數(shù)式、全等三角形、
2024?廣東廣州:二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、坐標(biāo)與相似三角形、平行
圖形面積、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)形結(jié)合四邊形及特殊平
2023?廣東廣州:反比例函數(shù)和二次函數(shù)綜合運(yùn)用、一次函數(shù)基本知行四邊形、圓、三
識(shí)、解直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)、圓的基本知識(shí)角函數(shù)、動(dòng)點(diǎn)最值
2022?廣東廣州:二次函數(shù)的綜合問(wèn)題、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)問(wèn)題等,該題型綜
廣州卷系式、求二次函數(shù)的極值合性強(qiáng),難度系數(shù)
2021?廣東廣州:一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算、圓的相較大,既能考察基
關(guān)性質(zhì)礎(chǔ)知識(shí)和基本技
2020?廣東廣州:待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的能,又考查數(shù)學(xué)思
解析式、二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函想方法和數(shù)學(xué)能
數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系力,區(qū)分度較大,
同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí),
2024?廣東深圳:二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、拋物線的平移
要注重總結(jié)解題
2023?廣東深圳:二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合的思想
技巧,靈活運(yùn)用數(shù)
深圳卷2021?廣東深圳:一元二次方程的應(yīng)用、根的判別式
形結(jié)合及分類討
2020?廣東深圳:二次函數(shù)的解析式、解直角三角形、勾股定理、分
論思想,舉一反
類討論思想和存在性問(wèn)題
--O
5年真題?分點(diǎn)精準(zhǔn)練
廣東卷
1.(2024?廣東?中考真題)【問(wèn)題背景】
如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)瓦。是直線了="(。>0)上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)以線段
BD為對(duì)角線作矩形45CZ),/O〃x軸.反比例函數(shù)>=勺的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4
【構(gòu)建聯(lián)系】
(1)求證:函數(shù)>=&的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C
X
(2)如圖2,把矩形/BCD沿BD折疊,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為£.當(dāng)點(diǎn)E落在〉軸上,且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2)時(shí),
求后的值.
【深入探究】
(3)如圖3,把矩形/BCD沿BD折疊,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為£.當(dāng)點(diǎn)E,4重合時(shí),連接ZC交8。于點(diǎn)P.以
點(diǎn)。為圓心,ZC長(zhǎng)為半徑作OO.若O尸=3收,當(dāng)。。與V4BC的邊有交點(diǎn)時(shí),求左的取值范圍.
【分析】(1)設(shè)則用含見(jiàn)上的代數(shù)式表示出,再代入y=X驗(yàn)證即可得
Im)\am)x
解;
r)F
(2)先由點(diǎn)8的坐標(biāo)和人表示出左-2,再由折疊性質(zhì)得出2=^如圖,過(guò)點(diǎn)。作。軸,過(guò)
BE
點(diǎn)5作8尸,y軸,證出ADHESAEFB,由比值關(guān)系可求出行=2+公,最后由即可得解;
4
(3)當(dāng)。。過(guò)點(diǎn)2時(shí),如圖所示,過(guò)點(diǎn)D作。H||x軸交y軸于點(diǎn)X,求出發(fā)的值,當(dāng)O。過(guò)點(diǎn)/時(shí),根據(jù)
A,C關(guān)于直線。。對(duì)軸知,。。必過(guò)點(diǎn)C,如圖所示,連/。,CO,過(guò)點(diǎn)。作D〃l|x軸交y軸于點(diǎn)氏求
出發(fā)的值,進(jìn)而即可求出發(fā)的取值范圍.
【詳解】(1)設(shè)3(%加。),則/卜,:
軸,
二。點(diǎn)的縱坐標(biāo)為勺,
m
...將y=&代入y=◎中得:N=ax得,
mm
.?.將x=2代入y=勺中得出了=。加,
amx
;?函數(shù)y=勺的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C;
X
(2):點(diǎn)3(1,2)在直線y="上,
??a=2,
y=2x,
?'?A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,
?.?函數(shù)>=上的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)/,C,
X
:.DC=k-2,
???把矩形沿折疊,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為
ABE=BC=--\,/BED=/BCD=9。。,
2
DCk-2cDE
BC—kiBE,
2
如圖,過(guò)點(diǎn)。作。軸,過(guò)點(diǎn)5作2y軸,
:.H,A,。三點(diǎn)共線,
工/HED+ZBEF=90°,/BEF+NEBF=90°,
JZHED=/EBF,
9:ZDHE=ZEFB=90°,
:.ADHES公EFB,
?DHHEDE、
..--------=--------=--------=2,
EFBFBE
?/BF=\,DH=-
2
k
:.HE=2,EF=一,
4
:.HF=2+~,
4
由圖知,HF=DC,
:.2+-=k-2,
4
,,16
,,K=-----;
3
(3)???把矩形/BC。沿AD折疊,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,當(dāng)點(diǎn)E,4重合,
JAC1BD,
???四邊形為矩形,
???四邊形為正方形,ZABP=/DBC=45。,
4PL1
AAB=BC=CD=DA=---------=J24尸,AP=PC=BP=-AC,BP1AC,
sin4502
???軸,
???直線y=以為一,三象限的夾角平分線,
???尸X
當(dāng)。。過(guò)點(diǎn)3時(shí),如圖所示,過(guò)點(diǎn)。作?!āo(wú)軸交y軸于點(diǎn)H,
,?AD//x軸,
:.H,A,。三點(diǎn)共線,
:以點(diǎn)。為圓心,/C長(zhǎng)為半徑作G>。,OP=3A/2?
OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=36,
-?AP=4^,
;.AB=AD=6AP=2,BD=2AP=2y[2>BO=AC=2AP=2亞,
;4B〃y軸,
...ADHOSADAB,
.HOPHDO
,?AB一AD一BD'
.HODH26+26
~2V2-,
:.HO=HD=4,
:.HA=HD-DA=4-2=2,
/(2,4),
.?"=2x4=8,
當(dāng)。。過(guò)點(diǎn)/時(shí),根據(jù)4C關(guān)于直線對(duì)軸知,。。必過(guò)點(diǎn)C,如圖所示,連NO,CO,過(guò)點(diǎn)。作ZV/〃x
軸交y軸于點(diǎn)X,
???AO=OC=ACf
zuoc為等邊三角形,
u:OPVAC,
:.Z^OP=-x60°=30°,
2
AAP=ian3Q°xOP=—x3y/2=sj6=PD,AC=BD=2AP=2^6,
3
:.AB=AD=4iAP=2。,OD=BP+PD=372+V6,
軸,
ADHOSADAB,
.HOPHDO
,,AB—AD—BD'
.HOPH3V2+V6
"273-2^-2yj6,
:.H0=HD=3+m,
AHA=HD-DA=3+A/3-2^=3-6,
/(3-6,3+6),
.?.左=(3-⑹x(3+£)=6,
當(dāng)(DO與VABC的邊有交點(diǎn)時(shí),k的取值范圍為6<^<8.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形,一次函數(shù)的性質(zhì),反比例函數(shù)的性質(zhì),
矩形的性質(zhì),正方形的判定和性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì),圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握其性質(zhì),合理作出輔助
線是解決此題的關(guān)鍵.
2.(2023?廣東?中考真題)綜合運(yùn)用
如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ON8C的頂點(diǎn)人在x軸的正半軸上,如圖2,將正方形O48C繞點(diǎn)。逆
圖1圖2圖3
(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角/C。尸為多少度時(shí),OE=OF-(直接寫(xiě)出結(jié)果,不要求寫(xiě)解答過(guò)程)
⑵若點(diǎn)44,3),求FC的長(zhǎng);
(3)如圖3,對(duì)角線/C交>軸于點(diǎn)交直線y=x于點(diǎn)N,連接FN,將△O/W與△OCF的面積分別記為
H與$2,設(shè)5=5「52,AN=n,求S關(guān)于〃的函數(shù)表達(dá)式.
【答案】⑴22.5。
⑵“與
1,
⑶S=2〃
【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)及直角三角形全等的判定及性質(zhì)得出/49G=2/0E,再由題意得出
ZEOG=45°,即可求解;
(2)過(guò)點(diǎn)A作/尸,x軸,根據(jù)勾股定理及點(diǎn)的坐標(biāo)得出。4=5,再由相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可;
(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)及四點(diǎn)共圓條件得出O、C、F,N四點(diǎn)共圓,再由圓周角定理及等腰直角三角形的
判定和性質(zhì)得出W=ON,NFNO=90。,過(guò)點(diǎn)N作G0L8C于點(diǎn)G,交。4于點(diǎn)0,利用全等三角形及矩
形的判定和性質(zhì)得出CG=o0,co=QG,結(jié)合圖形分別表示出邑,得出s=E-S2=N02,再由等腰
直角三角形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】(1)解:?..正方形。4BC,
OA=OC,ZA=ZC=90°,
':OE=OF,
:.RMOC尸名RtACME(HL),
,NCOF=ZAOE,
ZCOF=ZAOG,
ZAOG=ZAOE,
?/43交直線V=x于點(diǎn)E,
NEOG=45°,
ZAOG=NAOE=22.5°,
如圖所示:
??,44,3),
/尸=3,。尸=4,
:.OA=5,
???正方形O45C,
AOC=OA=5f/C=90。,
???/C=/力尸0=90。,
ZAOP=ZCOF,
:."CFS^OPA,
,OCFC5FC
..而即丁了’
?.FC=—;
4
(3),?,正方形CM5C,
JNBCA=NOCA=45。,
???直線尸x,
J/FON=45。,
:.NBCA=NFON=45。,
???0、C、F、A/四點(diǎn)共圓,
???NOCN=ZFON=45°,
???NOFN=ZFON=45°,
???AFON為等腰直角三角形,
:,FN=ON,NFNO=900,
過(guò)點(diǎn)/V作GOJ_BC于點(diǎn)G,交。4于點(diǎn)Q,
???BC//OA,
:.GQLOA,
丁NFNO=900,
:./l+/2=90。,
/l+/3=90。,
???/2=/3,
GN%NQO(AAS)
.?.GN=OQ9FG=QN,
?:GQLBC,ZFCO=ZCOQ=90°,
???四邊形COQG為矩形,
.?.CG=OQ,CO=QG,
22222
4=SAOFN=^ON=^(OQ+NQ)=^(GN+NQ2)=;GN?+;NQ,
邑=SACOF=|CF-CO=1(GC-FG)(GN+NQ)=|(G7V2-NQ2)=,
2
:.S=S1-S2=NQ,
':^OAC=45°,
:.△/QN為等腰直角三角形,
:.NQ=^AN=^n,
.VATCl1f[12
、2J2
【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四邊形的判定和性質(zhì),四點(diǎn)共圓的性質(zhì),理解題意,
作出輔助線,綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
3.(2021?廣東?中考真題)已知二次函數(shù)^=。尤2+人+。的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有
4x-12<ax2+bx+c<lx1-8x+6.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)若(1)中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為/,與y軸交點(diǎn)為C;點(diǎn)M是(1)中二次函數(shù)圖象上
的動(dòng)點(diǎn).問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)N,使得以/、C、M.N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在,求出所
有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】⑴尸?_1一3;(2)存在,(1,0)或(5,0)或(0-2,0)或卜2-亞0)
【分析】(1)令4尤-12=2Y_8X+6,解得%=%=3,可得函數(shù)y=a/+fcc+c必過(guò)(3,0),再結(jié)合
y=ax2+bx+c必過(guò)(一1,0)得出6=-2〃,c=-3a,即可得到歹=Q/一之病一?〃,再根據(jù)
Ax-i2<ax2-2ax-3a,可看成二次函數(shù)歹="2_/一34與一次函數(shù)>=4x-12僅有一個(gè)交點(diǎn),且整體位
于y=4x—12的上方,可得。>0,4%-12=ax?一2"一3〃有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,再根據(jù)A=0,可解得。的
值,即可求出二次函數(shù)解析式.
(2)結(jié)合(1)求出點(diǎn)C的坐標(biāo),設(shè)河(也加、2加-3),N(%0),①當(dāng)/C為對(duì)角線時(shí),②當(dāng)為對(duì)角線
時(shí),③當(dāng)/N為對(duì)角線時(shí),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別列出方程組,解方程組即可得到答案.
【詳解】解:(1)令4x—12=2/_8X+6,解得玉=%=3,
當(dāng)x=3時(shí),4x—12=2——8X+6=0,
y=ax2+bx+c必過(guò)(3,0),
又「y=ax2+bx+c必過(guò)(一1,0),
\a-b+c=0[Z)=-2Q
\9a+3b+c=0
y=ax2-2ax-3a,
BP4x-12<ax2-2ax-3a,
即可看成二次函數(shù)3;=仆2_如—3Q與一次函數(shù)歹=4x-12僅有一個(gè)交點(diǎn),且整體位于y=4x-12的上方
;?Q〉0,
4x-12=ax?-2qx-3a有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
A=0
(2?+4)2-40(12-3a)=0,
.?.("I)』,
??tz-1,
b=-2,c=-3,
/.y=x2-2x-3.
(2)由(1)可知:4(3,0),C(0,-3),設(shè)M(見(jiàn)加2_2H—3),N(〃,0),
①當(dāng)/C為對(duì)角線時(shí),卜+"N
3+0=m+n
,解得加=0(舍),加2=2,
0+(—3)=冽2_2冽一3+012
??.〃=1,即乂(1,0).
XX
②當(dāng)/w為對(duì)角線時(shí),A+M=%+0
+
M+加=ycyN
3+加=0+〃
,解得m,=0(舍)加2=2,
0+m2-2m-3=-3+01
??.〃=5,即乂(5,0).
無(wú)WCM
③當(dāng)/N為對(duì)角線時(shí),4+X=X+_T
yA+yN=必+加
+〃=0+m
10+0=—3+加2—2m-3’解得嗎=1+V7,m2=\—>/7,
**?n=y/l-2或〃=—2—V7,
N3(^7-2,0),JV4(-2-V7,0).
綜上所述:N點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(5,0)或-2,0)(-2-77,0).
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到二次函數(shù)與不等式組,考查了平行四邊形的存在性
問(wèn)題,利用中點(diǎn)公式,分類討論是解題關(guān)鍵.
Q
4.(2020?廣東?中考真題)如圖,點(diǎn)8是反比例函數(shù)y=—(x>0)圖象上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)8分別向坐標(biāo)軸作垂
x
線,垂足為A,C,反比例函數(shù)y=&(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)02的中點(diǎn)與4B,5c分別相交于點(diǎn)。,£.連
X
接DE并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)尸,點(diǎn)G與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱,連接BF,BG.
(1)填空:k=;
(2)求A&D尸的面積;
(3)求證:四邊形為平行四邊形.
【答案】(1)2(2)3(3)見(jiàn)解析
QY4”
【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,—),得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為(:,之),代入反比例函數(shù)y=—(x>0),
x2xx
即可得出k;
(2)連接OD,根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的性質(zhì)可得%”=手=1,5./=忖=4,可得%8=4-1=3,
根據(jù)。尸〃/5,可得點(diǎn)b到45的距離等于點(diǎn)。到45距離,由此可得出答案;
(3)設(shè)8(乙,力),。(芍,為),可得/?為=8,xD-yD=2,根據(jù)為=%,可得出=4%,同理力=4%,
BD
BEI,證明AEBDSMCF,可得空=在=:,根據(jù)堡=出■=:,得出生=3,根
拓1~AB4BDBE3BDBD3CF1
據(jù)。,G關(guān)于C對(duì)稱,可得OC=CG,CG=4CF,FG=3CF,可得50=尸G,再根據(jù)加〃戶G,即可證
明5Q向G是平行四邊形.
Q
【詳解】解:(1)?.?點(diǎn)B在y=)上,
X
Q
???設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,-),
x
Y4
JOB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(彳,-),
2x
???點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=±(x>0),
x
.,x4
..k=---=2,
2x
故答案為:2;
(2)連接0。,則%”=與=1,
%.=;=4,
?*-S^BOD=4-1=3,
,?0F//AB,
.?.點(diǎn)F到AB的距離等于點(diǎn)0到AB距離,
??^\BDF=S空DO=3;
(3)設(shè)3(尤8,%),。(尤°,
xB-yB-8,xD-yD=1,
又:尢=為,
.*.xB=4XD,
同理力=4%,
.BE_3BD_3
?,正一丁U-4"
AB//BC,
AEBD^AECF,
.CFCE
…BD~~BE-3
0C—AB—4
.BDBD3
.OC=_一4,
「CF1
:.O,G關(guān)于C對(duì)稱,
/.OC=CG,
:.CG=4CF,
FG=CG-CF=4OF-CF=3CF,
又:BD=3CF,
:.BD=FG,
又:BD//FG,
9G是平行四邊形.
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定,平行線的性
質(zhì),靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
5.(2020?廣東?中考真題)如圖,拋物線y=2±Ylx2+6x+c與X軸交于A,8兩點(diǎn),點(diǎn)A,3分別位于原點(diǎn)
6
的左、右兩側(cè),80=320=3,過(guò)點(diǎn)8的直線與》軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為C,D,BC=V3CD.
(1)求b,c的值;
(2)求直線的函數(shù)解析式;
(3)點(diǎn)尸在拋物線的對(duì)稱軸上且在x軸下方,點(diǎn)0在射線切上,當(dāng)A48D與ASP。相似時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出所
有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).
【答案】(1)-1--3-(2)y=-心~x+0(3)1—-^-,0,(1-2A/3,0),£TO,(5-25/3,0)
3223I3JL3)
【分析】(1)根據(jù)m=320=3,得出/(一1,0),8(3,0),將/,g代入>=耳1/+笈+。得出關(guān)于4。
的二元一次方程組求解即可;
(2)根據(jù)二次函數(shù)是>=與亙爐-BCfCD,5(3,0),得出。的橫坐標(biāo)為一如,
6I3J22
代入拋物線解析式求出。(-6,6+1),設(shè)加得解析式為:y=kx+b,將瓦。代入求解即可;
(3)由題意得加〃//3。=立,tan/ADB=\,由題意得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)
3
為M,P(1,”)且〃<0,Q(x,0)且x<3,分①當(dāng)△PBQS/X/B。時(shí),②當(dāng)△PQBs/X/BD時(shí),③當(dāng)
△PQBs^DAB時(shí),④當(dāng)△尸。5s△4B。時(shí)四種情況討論即可.
【詳解】解:(1)?..30=3/0=3,
.?./(一1,0),2(3,0),
3+百,八
-------6+c=0
5代入y=",+6%+。得,6
**?將A9
27+9百一八
[6
22
(2)?.?二次函數(shù)是>=片包―-[1+本]BC=^CD,2(3,0),
6I3J22
二。的橫坐標(biāo)為-G,
代入拋物線解析式得"二8x3+(l+g]xG——g
O322
源+百+i-3
222
=V3+1
???。(-6,鳳1),
設(shè)8。得解析式為:y=kx+b
6+1=-辰+6
將8,。代入得
0=3左+6
,k-------
解得<3,
b=^3
直線BD的解析式為尸一?x+6
(3)由題意得tanN/5Z)=^^,tanZADB=l,
3
由題意得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,設(shè)對(duì)稱軸與1軸交點(diǎn)為M,P(1,n)且標(biāo)0,Q(%,0)且x<3,
①當(dāng)△PBQs44BD時(shí),tanZPBQ=tar\ZABD即二=立
23
解得片一逑
3
tanZPQB=tanZADB即---=1,
1-x
解得x=l一型,
3
此時(shí)0的坐標(biāo)為(1-孚,0);
②當(dāng)△尸。8s時(shí),tan/P3Q=tanN/D8BPy=1,
解得n=-2,
tanZQPB=tanZABDBP^-=—,
x3
解得x=l-2百,
此時(shí)0的坐標(biāo)為(1-26,0);
③當(dāng)△尸。8s△ON?時(shí),tan/P8Q=tan/N3D即二^=也,
23
解得〃二至,
3
/C…/C,c口口一〃6+1
tanNPQB:tanND4B即-----,
解得了=迪一1,
3
此時(shí)0的坐標(biāo)為(手:,0);
④當(dāng)△尸03s時(shí),tan/P8Q=tan/AB。即]=1,
解得n--2,
/C,c口門(mén)一〃6+1
tanZPQB=tar\ZDAB即=——~^=,
解得x=5-2A/3,
。的坐標(biāo)為(5-28,0);
(2h、(4_
綜上:0的坐標(biāo)可能為1-一—,0,(1-26,0),---1,0,(5-273,0).
I3JI3,
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù),一次函數(shù),相似三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù),掌握知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)
用是解題關(guān)鍵.
廣州卷
6.(2024廣東廣州?中考真題)已知拋物線G:y=or2_6ax-a3+2a2+i(a>0)過(guò)點(diǎn)4(%,2)和點(diǎn)8口2,2),直
線/x+〃過(guò)點(diǎn)C(3,l),交線段于點(diǎn)。,記ACZM的周長(zhǎng)為。,△CD2的周長(zhǎng)為G,且。]=6+2.
⑴求拋物線G的對(duì)稱軸;
(2)求他的值;
⑶直線/繞點(diǎn)C以每秒3。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒后(04/<45)得到直線7,當(dāng)「〃時(shí),直線I'交拋物線G于
E,尸兩點(diǎn).
①求t的值;
②設(shè)△/所的面積為S,若對(duì)于任意的。>0,均有S2人成立,求上的最大值及此時(shí)拋物線G的解析式.
【答案】⑴對(duì)稱軸為直線:、=3;
(2)m=+l
⑶①:15,②后的最大值為2行,拋物線G為y=--6x+2;
【分析】(1)直接利用對(duì)稱軸公式可得答案;
(2)如圖,由G=CZ+2,可得A在B的左邊,AD+AC+CD=CD+BC+BD+2,證明CN=C8,可得
/、[X,+x=2x3/、
AD=BD+2,設(shè)。(“2),建立9可得:p=4,D(4,2),再利用待定系數(shù)法求解即可;
\p—=x?—p+Z
(3)①如圖,當(dāng)/'〃/B時(shí),與拋物線交于瓦廠,由直線>=x+〃,可得(7=45。,可得3/=45,從而
可得答案;②計(jì)算邑,防=;£F?(無(wú)—%)=;瓦"當(dāng)>=1時(shí),可得f一6工一/+2。=0,則須+工2=6,
王超=-/+2。,可得跖=上-引=[(須+尤2)2_4再/=^4(?-1)2+32,可得當(dāng)a=1時(shí),EF的最小值為40,
再進(jìn)一步求解可得答案.
【詳解】(1)解::?拋物線G:歹="2一6"一〃3+2Q2+1(Q>0),
???拋物線對(duì)稱軸為直線:X=-乎=3;
2a
(2)解:??,直線/號(hào)=川%+〃過(guò)點(diǎn)。(3,1),
3m2+〃=1,
?直線/=加2%+〃過(guò)點(diǎn)。(3,1),交線段45于點(diǎn)。,記△3)/的周長(zhǎng)為G,△CD5的周長(zhǎng)為G,且
q=C2+2,
二?A在3的左邊,AD+AC+CD=CD+BC+BD+2f
???c在拋物線的對(duì)稱軸上,
:.CA=CB,
???AD=BD+2,
設(shè)。(p,2),
伍+x2=2x3
[2一石=x2-p+29
解得:P=4,
.]3m2+n=l
[4m2+〃=2'
?e?m2=1
解得:m=±l;
(3)解:①如圖,當(dāng)時(shí),與拋物線交于£,尸,
???直線尸x+〃,
:.ZDCF=45°,
/:
???3/=45,
解得:,=15,
當(dāng)V=1時(shí),ax2-Gax-a3+2a2+1=1,
??—6x—a2+2。=0,
2
M+馬=6,x1x2=-a+2a,
,?4>0,
???當(dāng)Q=1時(shí),跖的最小值為4后,
此時(shí)S/F=g*4A/2=2V2,
?..對(duì)于任意的。>0,均有S2左成立,
左的最大值為20,
?*.拋物線G為y=x~—6x+2;
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),一次函數(shù)的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形面積,一元二次方程根與系
數(shù)的關(guān)系,理解題意,利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.
2/\
p(\y=——(x<o)
7.(2023?廣東廣州?中考真題)已知點(diǎn)1m%n叼在函數(shù)》的圖象上.
(1)若機(jī)=一2,求"的值;
(2)拋物線y=(x-加與X軸交于兩點(diǎn)N(M在N的左邊),與y軸交于點(diǎn)G,記拋物線的頂
點(diǎn)為£.
①力為何值時(shí),點(diǎn)E到達(dá)最高處;
②設(shè)AGMN的外接圓圓心為C,0c與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為尸,當(dāng)加+〃WO時(shí),是否存在四邊形尸GEC為
平行四邊形?若存在,求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)〃的值為1;
(2)①m=-桓;②假設(shè)存在,頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為一,或—
【解析】
22
【分析】(1)把團(tuán)=-2代入y=——(x<0)得〃=——=1,即可求解;
x-2
(2)①%=-------,得y=(x-加)(、-〃)=——(m—研二-2(m+w)2<-2,即可求解;
244
?]r加+〃1、
②求出直線令的表達(dá)式為:y=得到點(diǎn)。的坐標(biāo)為(一,-,;由垂徑定理知,
點(diǎn)。在尸G的中垂線上,則/G=2(〉c—>^)=2x(—(+2)=3;由四邊形廠GEC為平行四邊形,則
17
CE=FG=3=yc-yE=---yE,求出外二-屋進(jìn)而求解.
【小問(wèn)1詳解】
22
解:把7"=—2代入y=—(x<0)得"=----=1;
x-2
故〃的值為1;
【小問(wèn)2詳解】
解:①在y=(x—加)(x—")中,令>=0,則(X-加)(x-〃)=0,
解得X=〃7或1=〃,
/.M(m,0),N(n,O),
2
?.?點(diǎn)尸(加,〃)在函數(shù)y=-一(x<0)的圖象上,
x
/.mn=-2,
vyt%|1
令x=---,得y=(x—m){x-n)=-—(m-n)2=-2-—(m+?)2<-2,
即當(dāng)加+〃=0,且mn=-2,
則加2=2,解得:m=-V2(正值已舍去),
即掰=-亞時(shí),點(diǎn)E到達(dá)最高處;
②假設(shè)存在,理由:
對(duì)于y=(x-/")(x-〃),當(dāng)x=0時(shí),y=mn=-2,即點(diǎn)G(0,-2),
vyjH1m+n
由①得M(冽,0),N(%0),G(0,-2),E(-----,——(m-n)2),對(duì)稱軸為直線x
242
由點(diǎn)"(加,0)、G(0,-2)的坐標(biāo)知,tanZ0MG=^-=—,
OM—m
作MG的中垂線交MG于點(diǎn)T,交了軸于點(diǎn)S,交x軸于點(diǎn)K,則點(diǎn)加,-1
則tanZMKT=——m,
2
則直線寬的表達(dá)式為:j=
當(dāng)x=加+〃時(shí),y=--m(x-—m)-l=-—,
2-222
m+721)
[2,—5)?
由垂徑定理知,點(diǎn)。在尸G的中垂線上,則/G=23c—J;G)=2X(—;+2)=3.
四邊形/GEC為平行四邊形,
則。£=/6=3=夕。_>^=_;一夕£,
7
解得:%=一萬(wàn),
17
即一4(加一〃)7=,且mn=-2,
則加+〃=±A/6,
【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)和二次函數(shù)綜合運(yùn)用題,涉及到一次函數(shù)基本知識(shí)、解直角三角形、平行四邊
形的性質(zhì)、圓的基本知識(shí),其中(3),數(shù)據(jù)處理是解題的難點(diǎn).
8.(2022?廣東廣州?中考真題)已知直線/:V=Ax+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,7)和點(diǎn)(1,6).
(1)求直線/的解析式;
⑵若點(diǎn)尸(加,〃)在直線/上,以尸為頂點(diǎn)的拋物線G過(guò)點(diǎn)(0,-3),且開(kāi)口向下
①求加的取值范圍;
②設(shè)拋物線G與直線/的另一個(gè)交點(diǎn)為0,當(dāng)點(diǎn)。向左平移1個(gè)單長(zhǎng)度后得到的點(diǎn)2也在G上時(shí),求G
在g**+1的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】⑴直線/解析式為:y=-x+7;
(2)①加<10,且"W0;②最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,9)或(2,5)
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式即可;
(2)①設(shè)G的頂點(diǎn)式,根據(jù)點(diǎn)尸在直線/上得出G的關(guān)系式,根據(jù)題意得出點(diǎn)(0,-3)不能成為拋物線
G的頂點(diǎn),進(jìn)而得出點(diǎn)P必須位于直線>=-3的上方,可求m的取值范圍,然后結(jié)合點(diǎn)P不能在>軸上得
出答案;
②先根據(jù)點(diǎn)0,點(diǎn)。'的對(duì)稱,得。0'=1,可表示點(diǎn)0和。'的坐標(biāo),再將點(diǎn)。'的坐標(biāo)的代入關(guān)系式,求出
a,再將點(diǎn)(0,-3)代入可求出機(jī)的值,然后分兩種情況結(jié)合取值范圍,求出函數(shù)最大值時(shí),最高點(diǎn)的坐
標(biāo)即可.
【詳解】(1)解:???直線了=履+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,7)和點(diǎn)(1,6),
k+b=6
b=y
k=-l
解得
6=7
???直線/解析式為:V=f+7;
(2)解:①設(shè)G:y=a(x-m)2+n(a<0),
?.,點(diǎn)尸(機(jī),?)在直線/上,
/.n=—m+7;
/.G:y—a(x-rnf—m+1(a<0)
V(0,-3)不在直線/上,
(0,-3)不能成為拋物線G的頂點(diǎn),
而以P為頂點(diǎn)的拋物線G開(kāi)口向下,且經(jīng)過(guò)(0,-3),
.?.點(diǎn)P必須位于直線y=-3的上方,
貝(Jn=-m+7>—3,m<10,
另一方面,點(diǎn)尸不能在>軸上,
,所求加取值范圍為:機(jī)<10,且機(jī)w0;
②如圖,關(guān)于直線》=加對(duì)稱,且
???點(diǎn)。橫坐標(biāo)為加+;,
113113
而點(diǎn)。在/上,Q(w+—>—Tn+—),QQm——,—m+—);
113
VQ(m~~?~^+—)在G:y=a{x-nif-m+7_b,
?Q-13c
??加+7=—Tn-\,ci=—2,
42
G:y=-2(x-m)2-m+7,^y=-2x2+4mx-2m2-m+7.
??,拋物線G過(guò)點(diǎn)(0,-3),
—2m2—加+7=—3,
即(2加+5)(加-2)=0,
59
mx=~-,加2=2;
當(dāng)機(jī)=-g時(shí),拋物線G為了=-2--10x-3,對(duì)稱軸為直線x=-g,
對(duì)應(yīng)區(qū)間為-24XW-1,整個(gè)區(qū)間在對(duì)稱軸x=-二的右側(cè),
2
此時(shí),函數(shù)值y隨著光的增大而減小,如圖,
...當(dāng)X取區(qū)間左端點(diǎn)x=-2時(shí),y達(dá)最大值9,最高點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,9);
Q]3
當(dāng)機(jī)=2時(shí),對(duì)應(yīng)區(qū)間為[sxs],最高點(diǎn)為頂點(diǎn)尸(2,5),如圖,
;.G在指定區(qū)間圖象最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,9)或(2,5).
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題,考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式,求二次函數(shù)的極值等.解
題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)機(jī)=0時(shí),頂點(diǎn)在直線/與了軸的交點(diǎn)(0,7),此時(shí)拋物線不可能過(guò)點(diǎn)(0,-3),因此,m^O
可能會(huì)被忽視.
9.(2021?廣東廣州?中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線/:y=gx+4分別與x軸,y軸相交于
/、8兩點(diǎn),點(diǎn)尸(尤/)為直線/在第二象限的點(diǎn)
(1)求N、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)AR4O的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式:并寫(xiě)出x的取值范圍;
(3)作△尸20的外接圓。C,延長(zhǎng)尸C交。C于點(diǎn)°,當(dāng)△尸。。的面積最小時(shí),求0c的半徑.
【答案】(1)A(-8,0),B(0,4);(2)S=2x+16,-8<x<0;(3)4.
【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求出/、2兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)利用三角形面積公式及點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可求出結(jié)果;
(3)根據(jù)圓周角性質(zhì)可得=ZPOQ=90°.由等角的三角函數(shù)關(guān)系可推出
十On”。。啜,再根據(jù)三角形面積公式得=由止匕得
tanZPAO=—
OA
結(jié)論當(dāng)加最小時(shí),△尸。。的面積最小,最后利用圓的性質(zhì)可得加有最小值,且O/為。。的直徑,進(jìn)而求
得結(jié)果.
【詳解】解:(1)當(dāng)y=0時(shí),0=gx+4,解得》=一8,
:.A(-8,0).
當(dāng)x=0時(shí),y=;x0+4=4,
:.B(0,4).
(2)':A(-8,0),
OA=8.
點(diǎn)尸在直線/:y=;x+4上,
yP=—x+4,
?*.SAPAO——OA,yp——x8x(—x+4)—2x+16.
??,點(diǎn)尸在第二象限,
—x+4>0,且%V0.
2
解得-8<x<0;
(3),:B(0,4),
OB=4.
,/oc為APZO的外接圓,
/.PAO=APQO,APOQ=90°.
tanZPAO=—=▲=tanZPQO=—
OA2OQ
設(shè)。尸=m,則。。=2機(jī).
2
SAPOQ=—OP-OQ=--m-2.m=m.
二當(dāng)加最小時(shí),△尸。。的面積最小.
...當(dāng)OPL48時(shí),〃?有最小值,且。/為OC的直徑.
r=—OA=4.
2
即0c的半徑為4.
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算及圓的相關(guān)性質(zhì)等知識(shí),熟練掌握一次函數(shù)
的圖像與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算及圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
10.(2020?廣東廣州?中考真題)平面直角坐標(biāo)系無(wú)。中,拋物線G:y=(zx2+6x+c(o<a<i2)過(guò)點(diǎn)/0,c_5a),
3(占,3),C(尤2,3),頂點(diǎn)。不在第一象限,線段8c上有一點(diǎn)E,設(shè)△O5E的面積為工,△OCE的面積為邑,
3
岳=邑+于
(1)用含。的式子表示6;
(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)若直線DE與拋物線G的另一個(gè)交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為9+3,求y=a/+6x+c在l<x<6時(shí)的取值范圍(用
a
含。的式子表示).
【答案】(1)b=-6a-,(2)或£展,3];(3)當(dāng)l<x<6時(shí),有04><9么
【分析】(1)把/(l,c-5a)代入:G
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