《隨機(jī)事件的獨(dú)立性》導(dǎo)學(xué)案僅基于上下文一、教材分析1、教材版本與章節(jié)我們使用的教材是人教B版（2019）必修第二冊(cè)，這一章節(jié)是第五章統(tǒng)計(jì)與概率中的5.3.5隨機(jī)事件的獨(dú)立性。2、教材內(nèi)容主旨在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對(duì)概率有了一定的認(rèn)識(shí)，比如古典概型等概念。而這一節(jié)重點(diǎn)在于探討隨機(jī)事件的獨(dú)立性。簡(jiǎn)單來說，就是一個(gè)事件的發(fā)生是否會(huì)影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率。這是概率學(xué)中非常重要的概念，它在很多實(shí)際情況中都有應(yīng)用，像在分析一些相互關(guān)聯(lián)又各自有一定概率發(fā)生的事件，例如保險(xiǎn)理賠、產(chǎn)品質(zhì)量抽檢等情況時(shí)就會(huì)用到。二、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、知識(shí)與技能目標(biāo)學(xué)生能夠理解隨機(jī)事件獨(dú)立性的定義。這就好比是要知道兩個(gè)人各自做自己的事情，互相不干擾一樣。對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，如果滿足“P(A|B)=P(A)”（這里的“P(A|B)”表示在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率，“P(A)”表示A發(fā)生的概率），那么我們就說A與B是相互獨(dú)立的事件。學(xué)生會(huì)運(yùn)用公式“P(AB)=P(A)P(B)”（當(dāng)A、B為相互獨(dú)立事件時(shí)）來計(jì)算兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率。例如，假設(shè)事件A發(fā)生的概率是0.3，事件B發(fā)生的概率是0.4，并且A和B是相互獨(dú)立的，那么A和B同時(shí)發(fā)生的概率就是0.3×0.4=0.12。2、過程與方法目標(biāo)通過具體的實(shí)例分析，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和歸納總結(jié)的能力。就像我們看一些生活中的現(xiàn)象，比如拋兩枚硬幣，第一枚硬幣正面朝上和第二枚硬幣正面朝上這兩個(gè)事件是否獨(dú)立呢？我們可以通過多次試驗(yàn)和分析來得出結(jié)論。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用概率的思維方式去解決實(shí)際問題。比如說在一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，每次抽獎(jiǎng)的結(jié)果是否相互獨(dú)立，我們可以用所學(xué)的知識(shí)去判斷。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)讓學(xué)生體會(huì)到概率知識(shí)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。像在體育比賽中預(yù)測(cè)勝負(fù)概率，或者在股票投資中分析漲跌概率等，概率無處不在。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，因?yàn)樵谂袛嚯S機(jī)事件的獨(dú)立性時(shí)，需要準(zhǔn)確地計(jì)算概率，不能馬虎。三、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)1、學(xué)習(xí)重點(diǎn)理解隨機(jī)事件獨(dú)立性的概念。這是基礎(chǔ)，如果這個(gè)概念都搞不清楚，后面的計(jì)算和應(yīng)用就無從談起。掌握計(jì)算兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率的公式“P(AB)=P(A)P(B)”。這就像是掌握了一把鑰匙，可以打開很多概率問題的大門。2、學(xué)習(xí)難點(diǎn)如何準(zhǔn)確判斷兩個(gè)隨機(jī)事件是否相互獨(dú)立。有時(shí)候事件之間的關(guān)系比較復(fù)雜，不是一眼就能看出來的。例如在一個(gè)有多個(gè)步驟的實(shí)驗(yàn)中，每一步的結(jié)果是否相互獨(dú)立，需要仔細(xì)分析條件和概率關(guān)系。在實(shí)際問題中，正確識(shí)別隨機(jī)事件，并運(yùn)用獨(dú)立性概念和公式解決問題。因?yàn)閷?shí)際問題往往會(huì)有很多干擾因素，需要把問題簡(jiǎn)化成我們所學(xué)的概率模型。四、學(xué)習(xí)過程1、導(dǎo)入（5分鐘）同學(xué)們，咱們先來看一個(gè)有趣的小例子?，F(xiàn)在有兩個(gè)盒子，第一個(gè)盒子里有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，第二個(gè)盒子里有4個(gè)紅球和3個(gè)白球。從第一個(gè)盒子里隨機(jī)取一個(gè)球，記為事件A，從第二個(gè)盒子里隨機(jī)取一個(gè)球，記為事件B。大家想一想，事件A的發(fā)生會(huì)不會(huì)影響事件B的發(fā)生呢？（讓學(xué)生討論一會(huì)兒）其實(shí)啊，這就涉及到我們今天要學(xué)的隨機(jī)事件的獨(dú)立性。在這個(gè)例子中，從兩個(gè)不同盒子里取球，一個(gè)盒子里取球的結(jié)果是不會(huì)影響另一個(gè)盒子里取球的結(jié)果的，這就是一種獨(dú)立性的體現(xiàn)。就像你和你的同桌各自做自己的作業(yè)，互不干擾一樣。2、知識(shí)講解（15分鐘）那到底什么是隨機(jī)事件的獨(dú)立性呢？我們來看正式的定義。對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，如果滿足“P(A|B)=P(A)”（這里的“P(A|B)”表示在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率，“P(A)”表示A發(fā)生的概率），那么我們就說A與B是相互獨(dú)立的事件。這就好比說，不管B發(fā)生不發(fā)生，A發(fā)生的概率都不變，那A和B就是相互獨(dú)立的。還有一個(gè)重要的公式，當(dāng)A、B為相互獨(dú)立事件時(shí)，“P(AB)=P(A)P(B)”。咱們來舉個(gè)例子，假設(shè)扔一枚硬幣，正面朝上的概率是0.5，扔另一枚硬幣，正面朝上的概率也是0.5，這兩個(gè)扔硬幣的事件是相互獨(dú)立的。那么兩枚硬幣都正面朝上的概率就是0.5×0.5=0.25。大家要記住這個(gè)公式，這可是解決很多問題的關(guān)鍵呢。這里呢，老師要給大家強(qiáng)調(diào)一下。判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，不能只憑感覺，一定要根據(jù)定義和概率關(guān)系來判斷。比如說，在一個(gè)班級(jí)里，選一個(gè)男生當(dāng)班長的概率和選一個(gè)成績好的學(xué)生當(dāng)班長的概率，這兩個(gè)事件可能就不是獨(dú)立的，因?yàn)槟猩锟赡艹煽兒玫谋壤团锍煽兒玫谋壤灰粯?，?huì)影響到選成績好的學(xué)生當(dāng)班長這個(gè)事件的概率。3、實(shí)例分析（20分鐘）我們來看一些實(shí)際的例子。比如說，現(xiàn)在有一個(gè)工廠生產(chǎn)兩種零件，A零件的合格率是0.9，B零件的合格率是0.8。生產(chǎn)A零件和生產(chǎn)B零件這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的。那么A零件和B零件都合格的概率是多少呢？根據(jù)我們剛才學(xué)的公式“P(AB)=P(A)P(B)”，這里P(A)=0.9，P(B)=0.8，所以P(AB)=0.9×0.8=0.72。再看一個(gè)例子，有兩個(gè)射手，甲射手射中目標(biāo)的概率是0.6，乙射手射中目標(biāo)的概率是0.7。假設(shè)他們射擊是相互獨(dú)立的事件?，F(xiàn)在問，甲、乙兩人都射中目標(biāo)的概率是多少？還是用公式“P(AB)=P(A)P(B)”，這里A表示甲射中目標(biāo)，B表示乙射中目標(biāo)，所以P(AB)=0.6×0.7=0.42。那如果問只有甲射中目標(biāo)的概率是多少呢？我們可以這樣想，只有甲射中目標(biāo)，就是甲射中并且乙沒射中。乙沒射中目標(biāo)的概率是10.7=0.3。因?yàn)榧缀鸵疑鋼羰窍嗷オ?dú)立的，所以只有甲射中目標(biāo)的概率就是0.6×0.3=0.18。4、小組討論（15分鐘）現(xiàn)在老師給大家出幾個(gè)問題，大家分成小組來討論一下。問題一：有三個(gè)人參加一場(chǎng)考試，甲通過考試的概率是0.8，乙通過考試的概率是0.7，丙通過考試的概率是0.6。假設(shè)他們考試的結(jié)果是相互獨(dú)立的。那么三個(gè)人都通過考試的概率是多少？問題二：在上面的例子中，只有乙通過考試的概率是多少？（各小組討論，老師巡視并參與一些小組的討論，給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)）好啦，咱們來看看大家討論的結(jié)果。對(duì)于問題一，根據(jù)公式“P(ABC)=P(A)P(B)P(C)”（因?yàn)锳、B、C是相互獨(dú)立的事件），這里P(A)=0.8，P(B)=0.7，P(C)=0.6，所以P(ABC)=0.8×0.7×0.6=0.336。對(duì)于問題二，只有乙通過考試，就是乙通過并且甲和丙都沒通過。甲沒通過考試的概率是10.8=0.2，丙沒通過考試的概率是10.6=0.4。因?yàn)樗麄兛荚嚱Y(jié)果是相互獨(dú)立的，所以只有乙通過考試的概率就是0.7×0.2×0.4=0.056。5、課堂練習(xí)（20分鐘）下面大家自己做幾個(gè)練習(xí)題。練習(xí)一：有一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，第一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率是0.1，第二次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率是0.2。假設(shè)兩次抽獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的。那么兩次都中獎(jiǎng)的概率是多少？練習(xí)二：有兩個(gè)電子元件，A元件正常工作的概率是0.95，B元件正常工作的概率是0.9。如果這兩個(gè)元件的工作是相互獨(dú)立的，那么這兩個(gè)元件都正常工作的概率是多少？（學(xué)生練習(xí)，老師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題并及時(shí)糾正）好啦，咱們來對(duì)一下答案。對(duì)于練習(xí)一，根據(jù)公式“P(AB)=P(A)P(B)”，這里P(A)=0.1，P(B)=0.2，所以兩次都中獎(jiǎng)的概率是0.1×0.2=0.02。對(duì)于練習(xí)二，同樣根據(jù)公式“P(AB)=P(A)P(B)”，這里P(A)=0.95，P(B)=0.9，所以兩個(gè)元件都正常工作的概率是0.95×0.9=0.855。6、課堂總結(jié)（10分鐘）好啦，今天這節(jié)課就要接近尾聲了。咱們來總結(jié)一下今天學(xué)的內(nèi)容。首先，我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件獨(dú)立性的定義，就是如果“P(A|B)=P(A)”，那么A和B是相互獨(dú)立的事件。其次，我們掌握了計(jì)算兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率的公式“P(AB)=P(A)P(B)”，并且通過很多例子和練習(xí)學(xué)會(huì)了如何運(yùn)用這個(gè)公式。在實(shí)際應(yīng)用中，我們要學(xué)會(huì)判斷事件是否相互獨(dú)立，然后才能正確運(yùn)用公式去解決問題。大家回去之后，可以找一些身邊的例子，看看能不能用我們今天學(xué)的知識(shí)去解決。五、課后作業(yè)1、基礎(chǔ)作業(yè)（必做，30分鐘）作業(yè)一：有四個(gè)燈泡，每個(gè)燈泡正常工作的概率都是0.8。假設(shè)它們的工作狀態(tài)是相互獨(dú)立的。求四個(gè)燈泡都正常工作的概率。作業(yè)二：有一個(gè)游戲，第一次闖關(guān)成功的概率是0.3，第二次闖關(guān)成功的概率是0.4。如果兩次闖關(guān)是相互獨(dú)立的，求兩次闖關(guān)都成功的概率以及只有第一次闖關(guān)成功的概率。（答案：對(duì)于作業(yè)一，根據(jù)公式“P(ABCD)=P(A)P(B)P(C)P(D)”，這里P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=0.8，所以P(ABCD)=0.8×0.8×0.8×0.8=0.4096。對(duì)于作業(yè)二，兩次闖關(guān)都成功的概率：根據(jù)公式“P(AB)=P(A)P(B)”，這里P(A)=0.3，P(B)=0.4，所以P(AB)=0.3×0.4=0.12；只有第一次闖關(guān)成功的概率：第二次闖關(guān)不成功的概率是10.4=0.6，所以只有第一次闖關(guān)成功的概率是0.3×0.6=0.18）2、拓展作業(yè)（選做，30分鐘）作業(yè)三：有一個(gè)系統(tǒng)由三個(gè)子系統(tǒng)組成，子系統(tǒng)A正常工作的概率是0.9，子系統(tǒng)B正常工作的概率是0.8，子系統(tǒng)C正常工作的概率是0.7。如果只要有一個(gè)子系統(tǒng)正常工作，整個(gè)系統(tǒng)就能正常工作，并且三個(gè)子