第07講復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【人教A版2019】模塊一模塊一復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義1．復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)，(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復(fù)數(shù)的加法滿足的運(yùn)算律

對(duì)任意∈C，有

①交換律：；

②結(jié)合律：.(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)，(a,b,c,d∈R)對(duì)應(yīng)的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對(duì)應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對(duì)角線OZ對(duì)應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對(duì)應(yīng)的向量.2．復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的減法法則類比實(shí)數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=ac，y=bd，所以x+yi=(ac)+(bd)i，即(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)，(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)的差對(duì)應(yīng)的向量是，即向量.如果作，那么點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是(如圖所示).

這說明兩個(gè)向量與的差就是與復(fù)數(shù)(ac)+(bd)i對(duì)應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.【題型1復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運(yùn)算】【例1.1】（2324高一下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）若z1=13?3i，z2=4+A．9?4i B．9?2i C．?9+4i【解題思路】直接利用復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算求解.【解答過程】若z1=13?3i，z故選：A.【例1.2】（2425高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）若z+2?3i=3?2i（i為虛數(shù)單位），則z=A．5?5i B．1+i C．1+5i【解題思路】移項(xiàng)化簡(jiǎn)可得z．【解答過程】∵z+2?3i=3?2i故選：B.【變式1.1】（2425高一上·上?！ふn堂例題）計(jì)算：(1)(3?5i(2)5i(3)(a+bi)?(2a?3bi【解題思路】（1）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解即可.（2）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解即可.（3）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解即可.【解答過程】（1）3?5=3?4?3（2）5=5i（3）a+b=a?2a【變式1.2】（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算(1)2+4(2)5?(3)?3?4(4)2?【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的加法與減法的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【解答過程】（1）解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得2+4i（2）解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得5?3+2（3）解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得?3?4i（4）解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得2?i【題型2復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的應(yīng)用】【例2.1】（2425高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）復(fù)數(shù)6+5i與?3+4i分別表示向量OA與OB，則表示向量BA的復(fù)數(shù)為（A．3+9i B．2+8i C．?9?i【解題思路】根據(jù)BA=【解答過程】復(fù)數(shù)6+5i與?3+4i分別表示向量OA與因?yàn)锽A=OA?OB，所以表示向量故選：D.【例2.2】（2021·貴州六盤水·一模）在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=?2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義及法則即可求解.【解答過程】因?yàn)镺為原點(diǎn)，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，又因?yàn)閦1所以由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可得，z2故選：C.【變式2.1】（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1=a2?3+(a+5)i,(1)若向量OZ1表示的點(diǎn)在第四象限，求(2)若向量Z1Z2【解題思路】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合第四象限的點(diǎn)的特征即可求解，（2）根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義，由純虛數(shù)的定義即可求解.【解答過程】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)z1=a所以a2?3>0a+5<0所以a的取值范圍是?∞（2）因?yàn)閆1Z2=所以向量Z1Z2根據(jù)向量Z1Z2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可得?(解得a=?1.【變式2.2】（2425高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i，向量BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i，向量BC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(1)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)平行四邊形ABCD的面積．【解題思路】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)與向量間的關(guān)系運(yùn)算得BD=4,1，OB=（2）cosB=BA?【解答過程】（1）∵向量BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,所以向量BABC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3?i,所以向量BCBD=OB=∴OD∴點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為5.（2）∵BA∴cos∵B∈0,π，∴S=|BA故平行四邊形ABCD面積為7.模塊二模塊二復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算1．復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)，(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(acbd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成1，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意∈C，有

①交換律：；

②結(jié)合律：；

③分配律：.

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律仍然成立.即對(duì)于任意復(fù)數(shù)z，z1，z2和正整數(shù)m,n，有，，.2．復(fù)數(shù)的除法(1)定義

我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(2)復(fù)數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).3．復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用技巧(1)復(fù)數(shù)常見運(yùn)算小結(jié)論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算的解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算；(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).5．復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)數(shù)系一元二次方程的根

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當(dāng)?>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，；

當(dāng)?=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；

當(dāng)?<0時(shí)，方程有兩個(gè)虛根，，且兩個(gè)虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù).【題型3復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算】【例3.1】（2324高一下·河南洛陽(yáng)·期中）已知i為虛數(shù)單位，4?2i1+iA．1?3i B．1?2i C．【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算求解即可.【解答過程】由題，4?2i故選：B.【例3.2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1=3?4i,z2=4?2i,A．?i B．i C．35i【解題思路】由題意得，z1=5，【解答過程】因?yàn)閺?fù)數(shù)z1所以z1=3所以z1故選：B.【變式3.1】（2324高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)2?(2)1+2(3)i【解題思路】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算計(jì)算即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算計(jì)算即可；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算即可.【解答過程】（1）2?i（2）1+2i（3）i1?2【變式3.2】（2324高一·上?！ふn堂例題）計(jì)算：(1)(4+i(2)(2(3)?3+29i(4)(1+i(5)(3【解題思路】（1）（2）（3）（4）（5）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算即可.【解答過程】（1）(4+i（2）(2（3）?3+29i（4）(1+i（5）[(=4+23【題型4根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)】【例4.1】（2425高二下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=a?i2?i的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)A．－3 B．－1 C．1 D．3【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求得z=a?【解答過程】由題意可得z=a?故2a+15=a?2故選：A.【例4.2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)z=1?2ia+ia∈A．?3 B．?13 C．2【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，根據(jù)實(shí)部與虛部互為相反數(shù)列式計(jì)算，即得答案.【解答過程】z=1?2由已知得a+2+1?2a=0，解得a=3，故選：D.【變式4.1】（2324高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）復(fù)數(shù)z1=a+3i，z2=?4+bi，a,b為實(shí)數(shù)，若z1A．?7 B．7 C．?1 D．1【解題思路】由z1+z2為實(shí)數(shù)，z1【解答過程】因?yàn)閦1+z2=a?4+又z1?z2=a+4+3?bi綜上可知a=?4b=?3，所以a+b=?7故選：A.【變式4.2】（2324高二下·河南商丘·期中）若復(fù)數(shù)z=3+mii2023（m∈R，iA．?3+3i B．C．3+3i D．【解題思路】根據(jù)i的周期性及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部相等即可求解.【解答過程】由題意可知，z=3+m因?yàn)閺?fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部相等，所以?m=3，解得m=?3，所以z=3+3i故選：C．【題型5根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果求復(fù)數(shù)特征】【例5.1】（2324高一下·湖南邵陽(yáng)·期末）實(shí)數(shù)m>1時(shí)，復(fù)數(shù)m3+i?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】先將復(fù)數(shù)化為一般形式，結(jié)合m的范圍判斷出實(shí)部和虛部的符號(hào)，從而得到答案.【解答過程】∵m又m>1，故3m?2>1>0,m?1>0,故該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A【例5.2】（2324高二下·陜西咸陽(yáng)·期中）設(shè)i是虛數(shù)單位，z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若z=2?i，則z+izA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.S【解答過程】由條件可知z+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是1,1，位于第一象限.故選：A.【變式5.1】（2324高一下·福建龍巖·期中）已知復(fù)數(shù)z=1+ai（a∈R，(1)若1?2i?z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)(2)若ω=z1+i，且復(fù)數(shù)ω【解題思路】（1）由復(fù)數(shù)1?2i?z為純虛數(shù)，列出方程組求解即可得（2）由在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限列出不等式組求解即可得a的取值范圍．【解答過程】（1）1?2i因?yàn)??2i?z為純虛數(shù)，∴1+2a=0a?2≠0所以a=?1（2）由ω=z由復(fù)數(shù)ω在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，得a+12>0a?1∴a的取值范圍為(?1,1)．【變式5.2】（2425高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知復(fù)數(shù)z=1+mi（i是虛數(shù)單位，m∈R），且z?(3+i)為純虛數(shù)（(1)設(shè)復(fù)數(shù)z1=m+2(2)設(shè)復(fù)數(shù)z2=a?i2021【解題思路】（1）化簡(jiǎn)z?(3+i)，由其為純虛數(shù)求出m的值，將m（2）將z=1?3i代入z2=a?i【解答過程】（1）∵z=1+mi∴z又∵z∴3+m=01?3m≠0，解得所以z1∴z（2）由（1）知z=1?3i∴z又∵復(fù)數(shù)z2∴a+3>03a?1>0，解得即實(shí)數(shù)a的取值范圍是13【題型6復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】【例6.1】（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x4(2)2x【解題思路】（1）根據(jù)i2（2）將原式配成完全平方式，再根據(jù)i2【解答過程】（1）x=(=[=(=(x+2（2）2=2(=2=2=2[=2(x?3【例6.2】（2324高一·上海·課堂例題）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)a2(2)x2(3)2x【解題思路】（1）直接根據(jù)復(fù)數(shù)范圍的要求分解因式即可.（2）直接根據(jù)復(fù)數(shù)范圍的要求分解因式即可.（3）先應(yīng)用求根公式再寫成兩個(gè)因式相乘；【解答過程】（1）a2+2ab+b（2）x2（3）令2x2?6x+5=0解方程可得：x1=3+所以2x【變式6.1】（2425高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x2(2)a2【解題思路】（1）由x2（2）由a2【解答過程】（1）x2（2）a2【變式6.2】（2425高一·湖南·課后作業(yè)）利用公式a2(1)x2(2)a4(3)a2(4)x2【解題思路】（1）根據(jù)所給等式a2（2）利用平方差公式結(jié)合所給等式，可得答案；（3）先用完全平公式化簡(jiǎn)，再利用已知等式，可得答案；（4）先配方變?yōu)槠椒胶托问?再利用已知等式分解可得答案.【解答過程】（1）x2（2）a4（3）a2（4）x2【題型7復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根的問題】【例7.1】（2324高一下·河南焦作·期末）已知1+mi(m>0)是關(guān)于x的方程x2+px+2=0(p∈RA．?1 B．?1或?3 C．?3 D．2【解題思路】根據(jù)一元二次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)的兩個(gè)虛根互為共軛復(fù)數(shù)及韋達(dá)定理即可求解.【解答過程】因?yàn)?+mi(m>0)是關(guān)于x的方程所以關(guān)于x的方程x2+px+2=0的另一個(gè)根為由韋達(dá)定理，得{1?mi+1+mi=?p(1?mi所以p+m=?2+1=?1.故選：A.【例7.2】（2324高一下·廣東珠?！て谥校┮阎獜?fù)數(shù)z1，z2是關(guān)于x的方程x2+bx+1=0A．z1=zC．z1=z2=1【解題思路】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程得z1，z【解答過程】對(duì)于關(guān)于x的方程x2+bx+1=0，則∴x=?b±4?b2iz1z1z1z2=1，∴z1當(dāng)b=1時(shí)，z1=?12+z22=z1故選：B．【變式7.1】（2324高一下·湖南·期中）已知關(guān)于x的方程3x2?2ax+a=0(1)當(dāng)a=1時(shí)，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求方程的解；(2)已知復(fù)數(shù)z=2a+i，若方程3x2【解題思路】（1）代入a=1，配方得到x?1（2）由已知可得Δ<0，求解得出a的取值范圍，進(jìn)而得出1<【解答過程】（1）當(dāng)a=1時(shí)，方程為3x配方可得，x?1兩邊開方可得，x?1所以，方程的解為x=1（2）要使方程3x2?2ax+a=0所以0<a<3，所以0<a又z2=4a所以，1<z【變式7.2】（2324高一下·上?！て谀┰O(shè)i是虛數(shù)單位，m?k∈R.α?β是關(guān)于x的方程(1)若α=2+5i，求m與(2)若m=0，求k的值.【解題思路】（1）由α=22+5（2）當(dāng)m=0時(shí)，則α，β是關(guān)于x的方程x2【解答過程】（1）解：由α=2+5i，得而α+β=3因?yàn)棣?，β是關(guān)于x的方程所以2+5得β=m?5i，由β得β=0，則k=0；（2）當(dāng)m=0時(shí)，則α，β是關(guān)于x的方程則△=4?4k，當(dāng)k=1時(shí)，則α=β=1，不滿足α+當(dāng)k<1時(shí)，得△=4?4k>0得α+由α+β=3得α2得α+β2得?2k+2k當(dāng)0≤k?<1時(shí)，不成立，當(dāng)k<0時(shí)，得當(dāng)k>1時(shí)，得△=4?4k<0，不妨記α=1?k?1由α+β=3得k=9故k的值為：?54或【題型8復(fù)數(shù)中的新定義問題】【例8.1】（2324高一下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若3+aii為“等部復(fù)數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的值為（A．?1 B．0 C．3 D．?3【解題思路】先運(yùn)用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則化簡(jiǎn)3+ai【解答過程】因3+aii=故選：D.【例8.2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）定義運(yùn)算abcd=ad?bc，則滿足z?i1?A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】由已知得?2i【解答過程】由題意，z?i1?所以z=1+所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為12所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．故選：D．【變式8.1】（2324高一下·江蘇南京·期末）若定義一種運(yùn)算：a,bcd=ac+bd.已知z(1)求復(fù)數(shù)z；(2)設(shè)t,x為實(shí)數(shù)，若t+cosx,i【解題思路】（1）設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，可求z=a?bi，由條件可得6a?2bi（2）由題意可求t+cosx?sinx+i為純虛數(shù)，根據(jù)實(shí)部為0【解答過程】（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R，i因?yàn)?,z解得a=1，b=2，可得z=1+2i（2）t+cos由題意可得t+cos當(dāng)sinx?π4=1時(shí)，【變式8.2】（2324高一下·上海靜安·期末）設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di，其中(1)已知2?i?x+(2)現(xiàn)給出如下有關(guān)復(fù)數(shù)新運(yùn)算?性質(zhì)的兩個(gè)命題：①z1②若z1?z2=0請(qǐng)判定以上兩個(gè)命題是真命題還是假命題，并說明理由.【解題思路】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)新定義的運(yùn)算及模長(zhǎng)運(yùn)算即可得結(jié)論；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)新定義設(shè)z1=a+bi【解答過程】（1）由定義，有2?i?即2x?12+2?x∴x=1或x=3（2）①設(shè)z1=a+bi，zz1?∴①是真命題.②設(shè)z1=a+bi，z所以ac+bd=0,ad+bc=0，則a=1,b=?1,c=1,d=1是其一組解，故得不到z1=0或∴②是假命題.一、單選題1．（2324高一下·廣東茂名·階段練習(xí)）若z+2=3?2i（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（

A．?2 B．2 C．?2i D．【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)定義進(jìn)行計(jì)算，求解虛部.【解答過程】z=3?2i?2=1?2i故選：B.2．（2324高一下·安徽安慶·期末）若復(fù)數(shù)z=(2?a)+(2a?1)i(a∈R)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z?a在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置在（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】借助純虛數(shù)的定義可計(jì)算出復(fù)數(shù)z?a，結(jié)合其幾何意義即可得其在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置.【解答過程】∵復(fù)數(shù)z=(2?a)+(2a?1)i(a∈R)為純虛數(shù)，∴2?a=0復(fù)數(shù)z?a=3i?2=?2+3i故選：B.3．（2324高一下·山東青島·期末）若1+2iz=4+3i，則A．1?i B．2+i C．1+i【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)除法以及共軛復(fù)數(shù)的概念直接求解.【解答過程】由題意知z=所以z=2+i故選：B.4．（2324高一下·北京東城·期末）已知復(fù)數(shù)z1=3?i，z2=?1+2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】計(jì)算出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，即可求出在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)的位置.【解答過程】由z1=3?i，z由復(fù)數(shù)的幾何意義，可知z=z故選：A.5．（2324高一下·云南曲靖·期末）若復(fù)數(shù)z=m2?2m?3+imA．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)純虛數(shù)的定義，求出z，結(jié)合復(fù)數(shù)四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)虛部定義求解即可【解答過程】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=m所以m2?2m?3=0m2?3m?4≠0所以z+3+5i故選：B.6．（2324高一下·四川雅安·期末）在復(fù)平面內(nèi)，滿足z?5?i1?i=1的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，復(fù)數(shù)?1?i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)5?i1?i，設(shè)z=x+yix,y∈R，則Zx,y，根據(jù)z?5?i1?i=1得到x?32【解答過程】因?yàn)??i設(shè)z=x+yix,y∈R，則Zx,y，又所以x?32+y?22=1，即x?32+又復(fù)數(shù)?1?i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z0，所以Z0所以Z0Z=又Z0所以Z0C?r≤

故選：A.7．（2024·甘肅蘭州·二模）定義運(yùn)算abcd=ad?bc，則滿足zi1?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】由已知運(yùn)算和復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【解答過程】由題意可得?2i即z=i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為?1故選：B.8．（2024·上海寶山·一模）已知z是復(fù)數(shù)，z是其共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．z2=z2 B．若zC．若z=1?2i2，則復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限 D．若1?3i是關(guān)于x【解題思路】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式計(jì)算判斷A；利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B；求出復(fù)數(shù)z判斷C；利用復(fù)數(shù)相等求出q判斷D.【解答過程】對(duì)于A，設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則對(duì)于B，由z=1知，在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)zz?1?i可看作該單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)1,1的距離，因?yàn)閳A心到1,1的距離為2則該單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)1,1的距離最大值為2+1對(duì)于C，z=1?2i2對(duì)于D，依題意，(1?3i)2而p,q∈R，因此p+q?8=0?3p?6=0，解得故選：B.二、多選題9．（2324高一下·重慶九龍坡·期中）已知復(fù)數(shù)z=?12+A．1z=z B．復(fù)數(shù)C．z2=z2 D．復(fù)數(shù)w滿足【解題思路】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、乘方運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念可判斷A正確，B錯(cuò)誤，C正確，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可求得D正確.【解答過程】對(duì)于A，由z=?12+而z=?12對(duì)于B，z4+1=?對(duì)于C，z2對(duì)于D，設(shè)w=x+yi,x,y∈R，則由w?z所以復(fù)數(shù)w對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以?1因此w=x2故選：ACD.10．（2425高三上·云南德宏·階段練習(xí)）設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的有（A．若z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈RB．若m2?3m+2+m2C．若關(guān)于x的方程x2+px+q=0，p，q∈R的一個(gè)虛根為2D．若z1=?1+2i，z【解題思路】對(duì)于A：根據(jù)復(fù)數(shù)不能比較大小即可判斷；對(duì)于B：根據(jù)純虛數(shù)的概念列式求解；對(duì)于C：可知另一個(gè)虛根為?2i?1，利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解；對(duì)于D：可得【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閎>d，可知z1，z對(duì)于選項(xiàng)B：若m2?3m+2+m則m2?3m+2=0m對(duì)于選項(xiàng)C：若關(guān)于x的方程x2+px+q=0，p，q∈R的一個(gè)虛根為則另一個(gè)虛根為?2i可得?p=2i?1對(duì)于選項(xiàng)D：若z1=?1+2i，z復(fù)數(shù)z1?z故選：BD.11．（2324高一下·遼寧遼陽(yáng)·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1，z2是關(guān)于z的方程3z2?az+b=0（a，b∈R，a>0）的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，且A．z1與z2互為共輒復(fù)數(shù) C．a(chǎn)2+b【解題思路】根據(jù)韋達(dá)定理與題目所給條件建立方程組，可得a=2,b=1，進(jìn)而可得z1【解答過程】因?yàn)閦1,z2是關(guān)于所以z1所以z1又因?yàn)閦1所以b3解得b=1,a=±2，因?yàn)閍>0，所以a=2.對(duì)于A，由3z2?2z+1=0所以z1與z對(duì)于B，a?b=2?1=1，故B正確；對(duì)于C，a2對(duì)于D，由A選項(xiàng)知，z1所以|z故選：AB.三、填空題12．（2324高一下·天津·階段練習(xí)）已知z1=1，z2=1，z【解題思路】設(shè)出復(fù)數(shù)z1【解答過程】設(shè)z1由z1=z2=1由z1+z2=有a2+c而z1所以z1故答案為：1.13．（2324高一下·上?！て谀┮阎獜?fù)數(shù)z1和復(fù)數(shù)z2滿足：z1+z2【解題思路】設(shè)z1=a+bi,z2=c+d【解答過程】設(shè)z1=a+bi因?yàn)閦1+z且z1?z由a+c=3a?c=22由b+d=?2d?b=3則z1z2可得z1z2所以z1故答案為：3614．（2324高一下·廣東東莞·期中）復(fù)平面上兩個(gè)點(diǎn)Z1,Z2分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2，它們滿足下列兩個(gè)條件：①z2=z1?2【解題思路】設(shè)z1=a+bi(a,b∈R)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及集合意義可得點(diǎn)Z1,Z【解答過程】設(shè)z1則z2所以點(diǎn)Z1,又兩點(diǎn)Z1,Z∴a?2b2∴O又O∴∴△Z1O故答案為：20.四、解答題15．（2324高一·上?！ふn堂例題）計(jì)算：(1)1?i(2)?2+23(3)(1+i【解題思路】（1）（2）（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法、乘方運(yùn)算即可得到答案.【解答過程】（1）∵1?∴1?（2）?2+2=?1+（3）(1+=(216．（2324高一下·山西·期中）已知m∈R，復(fù)數(shù)z1=(m(1)若z1?z(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B（不與O重合），若OA?【解題思路】（1）求出z1（2）利用復(fù)數(shù)的向量表示，結(jié)合給定數(shù)量積求出m，進(jìn)而求出z1，z【解