三角形的重心與應(yīng)用一．基本原理1.重心：三角形三條中線的交點(diǎn).2.重心是三角形中線上靠近底邊的三等分點(diǎn).3.重心的向量形式（1）重心為證明：是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，=0點(diǎn)G是△ABC的重心.證明:作圖如右，圖中，連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線.將代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（證略））（2）是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是△ABC的重心.證明：∵G是△ABC的重心∴=0=0，即，由此可得.（反之亦然（證略））4.重心的坐標(biāo)形式假設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，那么該三角形的重心坐標(biāo)為：證明：設(shè)重心，由，可得，故，所以重心5.重心的一個(gè)重要特征如圖，已知點(diǎn)G是的重心，過(guò)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且，，則.證明：點(diǎn)G是的重心，知O，得O，有.又M，N，G三點(diǎn)共線（A不在直線MN上），于是存在，使得，有=，得，于是得6.重心的距離最值：在中，設(shè)點(diǎn)，到的3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)為的重心.證明：設(shè)點(diǎn)，其中，則當(dāng)且時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)為重心.二．典例分析例1．已知的頂點(diǎn)都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點(diǎn)F，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12解析：由題意得,，設(shè)，，，點(diǎn)是的重心，，，根據(jù)拋物線的定義可得.故選：B.例2．如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線分別交，兩邊于兩點(diǎn)，且，，則的最小值為_(kāi)________解析；根據(jù)條件：，因?yàn)镚是的重心，，，又三點(diǎn)共線，.，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)成立.的最小值為，故答案為：．例3．在中，記為的重心，過(guò)的直線分別交邊于兩點(diǎn)，設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．解析：設(shè)為的中點(diǎn)，則，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以；A錯(cuò)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；B對(duì)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；C對(duì)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；D對(duì)，故選：BCD例4．如圖，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，直線交的圖象于點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心三條邊中線的交點(diǎn)，其中，則（

）

A． B． C． D．解析：根據(jù)題意可知，點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心，又直線交的圖象于點(diǎn)，利用對(duì)稱性可知兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；不妨設(shè)，由重心坐標(biāo)公式可得，又，即可得；由最小正周期公式可得，解得，即；將代入可得，又，所以；即，所以.故選：C例5．已知拋物線：，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為平面上一點(diǎn)，為的重心，則的面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．解析：由：，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，設(shè)，Ax1,y1、聯(lián)立，得，，則，，由為的重心，則有，點(diǎn)到直線的距離為，則，故.故選：C.例6．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)的直線垂直x軸于Q，為等腰直角三角形.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且F恰為的重心，求直線l的方程.解析：（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線垂直x軸于Q，為等腰直角三角形，所以，即，所以拋物線C的方程為；（2）由題可設(shè)直線，由，可得，則，即，設(shè)，，又，，F(xiàn)恰為的重心，∴，即，所以，解得，滿足，所以直線l的方程為，即.例7．在△中，角的對(duì)邊分別為，已知(1)求;(2)若分別為邊上的中點(diǎn)，為的重心，求的余弦值.解析：（1）因?yàn)?，所以，即由正弦定理得，由余弦定理得，因?yàn)椋?）設(shè)，依題意可得，所以所以.例8．已知過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，的面積為.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)曲線上一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交曲線于（異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；(3)若為的重心，直線分別交軸于點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，由題意可知，，所以，所以拋物線的方程為（2）根據(jù)題意,設(shè)直線方程為,聯(lián)立，得到，所以，由于兩條直線垂直，則.即化簡(jiǎn)整理得到所以，代入得，故直線恒過(guò)定點(diǎn).（3）如圖，設(shè)，因?yàn)闉榈闹匦?，所以；因?yàn)?，?.；所以；設(shè)，與聯(lián)立得：，所以，所以，則；所以；所以的取值范圍為.三．習(xí)題演練1．直線與x軸的交點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，l與C交于A、B兩點(diǎn)．則（

）A．B．C．以線段為直徑的圓被y軸截得的弦長(zhǎng)為定值D．重心橫坐標(biāo)的最小值為2．斜率為1的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，滿足的重心分別為的外心為.記直線，的斜率為.若，則雙曲線的離心率為.3．已知是的重心，的面積是，則的最小值是_______.4．已知在中，角的對(duì)邊分別為.若為的重心，則的最小值為_(kāi)__________.參考答案1.解析：A：易知直線與軸交于點(diǎn)，即，所以，解得，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A知拋物線，設(shè)，，由，得，所以，得，所以，故B正確；C：設(shè)的中點(diǎn)為，則，，所以以為直徑的圓的方程為，即，設(shè)該圓與y軸交，，令，得，所以，，所以，所以以為直徑的圓被y軸所截的弦長(zhǎng)為，不是定值，故C錯(cuò)誤．D：由選項(xiàng)B知的重心的橫坐標(biāo)為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：BD2.解析：不妨取的中點(diǎn).因?yàn)榈闹匦臑?，且在中線上，所以.由中點(diǎn)弦結(jié)論知，，，，因?yàn)椋?，，又由，可得的外心為的中點(diǎn)，于是由中點(diǎn)弦結(jié)論知，又，所以，即.由得，，解得，所以雙曲線的離心率.

3.解析：如圖，取的中點(diǎn)，連接.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.因?yàn)槭堑闹匦?，所以在線段上，且.因?yàn)榈拿娣e是，所以，解得.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則.因?yàn)槭?/p>