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單選題1、設(shè)函數(shù),則f(x)(
)A.是偶函數(shù),且在單調(diào)遞增B.是奇函數(shù),且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù),且在單調(diào)遞增D.是奇函數(shù),且在單調(diào)遞減答案:D分析:根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù),排除AC;當(dāng)時(shí),利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增,排除B;當(dāng)時(shí),利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出單調(diào)遞減,從而得到結(jié)果.由得定義域?yàn)椋P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),又,為定義域上的奇函數(shù),可排除AC;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,排除B;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知:在上單調(diào)遞減,D正確.故選:D.小提示:本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷;判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的前提下,根據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論;判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡(jiǎn)函數(shù),根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.2、已知函數(shù)與圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),則的取值范圍是(
)A.B.C.D.答案:B分析:關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為:,函數(shù)與圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),即有解,通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可得解.關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為:,函數(shù)與圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),即有解,即,整理的:,和的圖像存在交點(diǎn),如圖:臨界值在處取到(虛?。?,此時(shí),故當(dāng)時(shí)和的圖像存在交點(diǎn),故選:B.3、函數(shù),若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)a,b,c,則的取值范圍是(
)A.B.C.D.答案:D分析:作出函數(shù)的圖象和直線(xiàn),它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的零點(diǎn),利用圖象得出的性質(zhì)、范圍,從而可求得結(jié)論.作出函數(shù)的圖象和直線(xiàn),它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的零點(diǎn),如圖,則,,,,所以.故選:D.小提示:關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,解題關(guān)鍵是把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線(xiàn)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),從而可通過(guò)作出函數(shù)圖象與直線(xiàn),得出零點(diǎn)的性質(zhì)與范圍.4、已知,則(
)A.B.C.D.答案:A分析:由對(duì)數(shù)函數(shù)得單調(diào)性即可得出結(jié)果.∵在定義域上單調(diào)遞增,∴,即.故選:A.5、若在內(nèi)為增函數(shù),且也為增函數(shù),則的取值范圍是(
)A.B.C.D.答案:D分析:根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,列出不等式組求解,即可得出結(jié)果.若在內(nèi)為增函數(shù),則,由為增函數(shù)得.解不等式組,得的取值范圍是.故選:D.小提示:本題主要考查由對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),涉及不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題型.6、已知,則(
)A.25B.5C.D.答案:C分析:根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化,冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出.因?yàn)椋?,即,所以.故選:C.7、若函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算,其參考數(shù)據(jù)如下:那么方程的一個(gè)近似根(精確度0.1)為(
).A.1.2B.1.4C.1.3D.1.5答案:B分析:根據(jù)二分法求零點(diǎn)的步驟以及精確度可求得結(jié)果.解:因?yàn)?,所以,所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn),因?yàn)?,所以不滿(mǎn)足精確度;因?yàn)?,所以,所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn),因?yàn)?,所以不滿(mǎn)足精確度;因?yàn)?,所以,所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn),因?yàn)?,所以不滿(mǎn)足精確度;因?yàn)椋裕院瘮?shù)在內(nèi)有零點(diǎn),因?yàn)?,所以滿(mǎn)足精確度;所以方程的一個(gè)近似根(精確度)是區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)值(包括端點(diǎn)值),根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)可知選B
.故選:B8、已知函數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有(
)A.B.C.D.答案:C分析:直接代入計(jì)算,注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤.,故A錯(cuò)誤,C正確;,不是常數(shù),故BD錯(cuò)誤;故選:C.9、若函數(shù)是奇函數(shù),則a的值為(
)A.1B.-1C.±1D.0答案:C分析:根據(jù)函數(shù)奇函數(shù)的概念可得,進(jìn)而結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求出結(jié)果.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以f(-x)+f(x)=0.即恒成立,所以,即
恒成立,所以,即.當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)椋?,故符合題意;當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?,且,故符合題意;故選:C.10、如圖所示,函數(shù)的圖像是(
)A.B.C.D.答案:B分析:將原函數(shù)變形為分段函數(shù),根據(jù)及時(shí)的函數(shù)值即可得解.,時(shí),時(shí),.故選:B.多選題11、在平面直角坐標(biāo)系中,我們把橫縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱(chēng)之為“完美點(diǎn)”,下列函數(shù)的圖象中存在完美點(diǎn)的是(
)A.y=﹣2xB.y=x﹣6C.y=D.y=x2﹣3x+4答案:ACD分析:橫縱坐標(biāo)相等的函數(shù)即,與有交點(diǎn)即存在完美點(diǎn),依次計(jì)算即可.橫縱坐標(biāo)相等的函數(shù)即,與有交點(diǎn)即存在完美點(diǎn),對(duì)于A,,解得,即存在完美點(diǎn),對(duì)于B,,無(wú)解,即不存在完美點(diǎn),對(duì)于C,,解得或,即存在完美點(diǎn),對(duì)于D,,,即,解得,即存在完美點(diǎn).故選:ACD.12、對(duì)于函數(shù)的定義域中任意的,有如下結(jié)論:當(dāng)時(shí),上述結(jié)論正確的是(
)A.B.C.D.答案:ACD解析:由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)判斷A,B,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C,由指數(shù)冪和根式的互化結(jié)合基本不等式判斷D.對(duì)于A,,,,正確;對(duì)于B,,,,錯(cuò)誤;對(duì)于C,在定義域中單調(diào)遞增,,正確;對(duì)于D,
,又,則,正確;故選:ACD小提示:關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查命題的真假判斷,考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查基本不等式的應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是將指數(shù)冪形式化為根式,即,利用指數(shù)冪的運(yùn)算結(jié)合基本不等式放縮得出答案,并驗(yàn)證取等條件,考查了學(xué)生邏輯思維能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.13、已知函數(shù),則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(
)A.的值域?yàn)锽.的圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)C.是單調(diào)函數(shù)D.是偶函數(shù)答案:ACD分析:利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出的圖象,由圖象逐一判斷即可.函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知的值域?yàn)椋Y(jié)論A錯(cuò)誤,結(jié)論C,D顯然錯(cuò)誤,的圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)論B正確.故選:ACD14、已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn),則下列結(jié)論正確的是(
)A.若,則在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)B.若,則在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)C.若在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),則必有D.若在內(nèi)有唯一零點(diǎn),,則在上是單調(diào)函數(shù)答案:AC分析:根據(jù)零點(diǎn)存在定理逐一判斷即可.因?yàn)樵冢线B續(xù),.(1),由零點(diǎn)存在定理可知,在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),故正確;.當(dāng)時(shí),滿(mǎn)足(1),但在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),故錯(cuò)誤;.在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),則必有(1)等價(jià)于(1),則在內(nèi)有零點(diǎn),由零點(diǎn)存在定理可知此命題是真命題,故正確;.在內(nèi)有唯一零點(diǎn),(1),但在上不一定是單調(diào)函數(shù),比如,故錯(cuò)誤.故選:.15、給定函數(shù).下列說(shuō)法正確的有(
)A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)C.當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不同的的解D.若方程只有一個(gè)解,則答案:AC分析:求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,作出函數(shù)的圖象與直線(xiàn)判斷各選項(xiàng).由可知,,時(shí),,遞減,時(shí),,遞增,故A正確;,,時(shí),,因此只在上有一個(gè)零點(diǎn),它與只有一個(gè)交點(diǎn),B不正確;由上面討論知時(shí),遞減,,時(shí),遞增,,作出圖象和直線(xiàn),如圖,知當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不同的的解,C正確;作函數(shù)的圖象與直線(xiàn)由圖可知若方程只有一個(gè)解,則或,D不正確.故選:AC.小提示:關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn),方程的個(gè)數(shù)問(wèn)題,方程根的問(wèn)題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的性質(zhì),作出函數(shù)的圖象,方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù).結(jié)合圖象易得結(jié)論.填空題16、已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t_________.答案:分析:由已知可得不等式的解集為,可知為方程的根,即可求得實(shí)數(shù)的值.由題意可知,不等式的解集為,則,解得,當(dāng)時(shí),由,可得,解得,合乎題意.所以答案是:.17、已知二次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè),則實(shí)數(shù)的取值范圍______.答案:分析:求出二次函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn),結(jié)合一元二次方程根的分布根據(jù)m取值不同分情況討論求解即可.由題意知,二次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)為,因?yàn)闉槎魏瘮?shù),所以,所以當(dāng)時(shí),二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在軸兩側(cè),符合題意.當(dāng)時(shí),設(shè)一元二次方程的兩根分別為,則需滿(mǎn)足,解得.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.所以答案是:.18、若,則___________;答案:6分析:首先利用換底公式表示,再代入求值.由條件得,所以.所以答案是:解答題19、對(duì)于定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)和,如果對(duì)任意的,均有成立,則稱(chēng)函數(shù)與在上是“友好”的,否則稱(chēng)為“不友好”的.已知函數(shù),.(1)若與在區(qū)間上都有意義,求a的取值范圍;(2)討論函數(shù)與在區(qū)間上是否“友好”.答案:(1)(2)答案見(jiàn)解析分析:(1)由題意解不等式組即可;(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使得與在區(qū)間上是“友好”的,即,即,只需求出函數(shù)在區(qū)間上的最值,解不等式組即可.(1)若與在區(qū)間上都有意義,則必須滿(mǎn)足,解得,又且,所以a的取值范圍為.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使得與在區(qū)間上是“友好”的,則,即,因?yàn)椋瑒t,,所以在的右側(cè),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上為減函數(shù),從而當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,即,解得,所以當(dāng)時(shí),與在區(qū)間上是“友好”的;當(dāng)時(shí),與在區(qū)間上是“不友好”的.20、已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng),且函數(shù)為偶函數(shù),函數(shù).(1)求函數(shù)的表達(dá)式;(2)求證:方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)根;(3)若存在實(shí)數(shù)m,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案:(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)分析:(1)
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