新高考數(shù)學(xué)：

考前20天終極沖刺攻略（二）

目錄

5月22日正余弦定理及在三角形中的應(yīng)用..............1

5月23日平面向量與復(fù)數(shù).............28

5月24日一元二次不等式及基本不等式..................53

5月25日立體幾何....................73

5月26日立體幾何與空間向量................103

5月27日直線與圓........................................140

5月28日橢圓..........................................155

時間：5月22日今日心碎◎圈要6

核心考點解讀——正余弦定理及在三角形中的應(yīng)用

高考對正弦定理和余弦定理的考查較為靈活，題型多變，往往以小題的形式獨立考查正弦

&4考第M

定理或余弦定理，以解答題的形式綜合考查定理的綜合應(yīng)用，多與三角形周長、面積有關(guān)；有

時也會與平面向量、三角恒等變換等結(jié)合考查，試題難度控制在中等或以下，主要考查靈活運

用公式求解計算能力、推理論證能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)形結(jié)合思想等.

//應(yīng)試技巧1.正、余弦定理

在△ABC中，若角4,B,C所對的邊分別是a,h,c,R為△4BC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2-^-c2—2bccosA；

-?__^_-￡_n

公式===9護=/+/—2cacos6；

sinAsinBsinC

c2=a2-^b1—2abcosC

(l)a=2/?sin4,b=2Rsin8,c=2RsinC；出+/-a2

cos4-2bc；

常見⑵sin4=/,sin8=梟sinC=言；

c2+a2-"

cosB—2ac；

變形(3)a:b:c=sinA：sinB：sinC：

?2+/>2—c2

cos—2ab

(4)asinB=bsinA,加inC=csinB,asinrC=csinA

2.S△Asc—2a加訪C—^bcs\nA-B--2（a+b+c>?r是二角形內(nèi)切圓的半徑），并可由

此計算R,r.

3.在AABC中，已知a,力和A時，解的情況如下：學(xué)#￥科網(wǎng)

A為銳角A為鈍角或直角

zL皂

圖形zA.,?A

AB….BAB

ABt

關(guān)系式a=bsinbsinAa,<a<ba>ba>ba<b

解的個數(shù)一解兩解一解一解無解

4.判定三角形形狀的兩種常用途徑

(1)化角為邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)

系進行判斷；

(2)化邊為角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)

系進行判斷；

一、利用正弦定理可解決兩類問題

基本類型一般解法

①由。，求出；

已知兩角及其中一角A+8+C=180C

②根據(jù)正弦定理，得辭rsi3及si￡—si：C求出邊”

的對邊，如4,B,a

①根據(jù)正弦定理，經(jīng)討論求&

②求出B后，由A+B+C=180。，求出G

已知兩邊及其中一邊③再根據(jù)正弦定理癮=卷，求出邊C.

所對的角，如。，

b,A［提醒］也可以根據(jù)余弦定理，列出以邊。為元的一元二次方程/

一(2/JCOS4)c+(〃一片)=0,根據(jù)一元二次方程的解法，求邊c,然

后應(yīng)用正弦定理或余弦定理，求出B,C

二、利用余弦定理可解決兩類問題

①根據(jù)余弦定理廿=。2+從-2"cos0求出邊C；

人2+d-/

②根據(jù)cosA=—求出A；

已知兩邊和它

們的夾角，如③根據(jù)8=180。一(4+。，求出及

a,b,C求出第三邊后，.也可用正弦定理求角，這樣往往可以使計算簡便，應(yīng)用正

弦定理求憑時，為了避開討論(因為正弦函數(shù)在區(qū)間(0,?上是不單調(diào)的)，

應(yīng)先求較小邊所對的角，它必是銳角一a

可以連續(xù)用余弦定理求出兩角，常常是分別求較小兩邊所對的角，再由A+

8+0=180。，求出第三個角；

已知三邊

由余弦定理求出一個角后，也可以根據(jù)正弦定理求出第二個角，但仍然是先

求較小邊所對的角

,真題回顧

2

.1、【2020年高考全國HI卷理數(shù)】在AABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,則cosB=

3

2

【答案】A

2

【解析】???在UABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,

3

根據(jù)余弦定理：AB2=AC2+BC2-2ACBCCOSC^

2

AB2=42+32-2X4X3X-,

3

可得AB?=9，即A8=3,

由3=空坐上=組*」

2ABBC2x3x39

故cos3=-.

9

故選：A.

2、【2018年高考全國H理數(shù)】在八48。中，cos—=—，BC=1,AC=5,則AB=

25

A.45/2B.V30

C.5/29D.25/5

【答案】A

【解析】因為COSC=2COS2>|—1=2x［咚］-1=-|,

所以A8?=8C2+4C2—2BC-ACcosC=l+25—2xlx5x(—|=32,則A8=4夜，故選

A.

3、［2018年高考全國HI理數(shù)】AA5C的內(nèi)角A，B,C的對邊分別為。，b,c,若八43。的面積為

『吟

71n

A.B.

23

7171

C.D.

46

【答案】C

3

]2i_22

【解析】由題可知S△.8c加inC="~十；一°，所以〃+〃—c2=2"sinC，

由余弦定理a?+從一《2=2次osC，得sinC=8sC,因為?！辏?,兀），所以C=；,故選C.

4、【2020年高考全國I卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=\,AB=AD=6AB

1AC,AB±AD,ZCAF=30°,則cosNFCB=.

【答案】」

4

【解析】?.?AB_LAC,AB=6AC=\,

由勾股定理得BC=VAB2+AC2=2，

同理得=;.BF=BD=6

在△ACE中，4C=1,AE=AD=6，NG4E=30°，

由余弦定理得C￡2=4c2+AE2—2aC.A￡cos300=l+3—2xlx6x3=l，

2

:.CF=CE=1,

在口5。/中，BC=2?BF=娓,CF—1,

CF1+BC2-BF1l+4-6_1

由余弦定理得cosN尸CB=

2CFBC2x1x2~-4

故答案為：—.

4

4

7T

5、【2019年高考全國II卷理數(shù)】的內(nèi)角A民C的對邊分別為。涉,。.若Z?=6,a=2c,8=一，則

3

/\ABC的面積為.

【答案】

【解析】由余弦定理得〃=a2+c2-2accosB，所以（2c）?+/_2x2cxcx[=62,即《2=12，

2

解得c=2百,c=-26（舍去），

所以a=2c=4百，S?BC=g〃csin8=-^x4-73x2A/3X=6>/3.

6、【2020年高考全國H卷理數(shù)】A4JJC中，si/A-si/B-sidCusinBsinC.

（1）求A；

（2）若BC=3,求AABC周長的最大值.

【解析】（1）由正弦定理和已知條件得3。2一4。2一432=4。.43,①

由余弦定理得5c2=AC2+A32—2AC-43COSA，②

由①，②得cosA=—1.

2

因為0cA＜兀，所以A=J2兀.

3

（2）由正弦定理及（1）得/￡=冬=變1=26，

從而AC=26sin3，A8=2Gsin（兀一A-8）=3cos8—百sinB.

故5C+AC+AB=3+百sinB+3cos8=3+2氐皿3+）

又。＜3＜E，所以當S=F時，ZsABC周長取得最大值3+2技

36

7、【2020年高考江蘇】在AABC中，角A,B,。的對邊分別為mb,c,已知a=3,c=&,8=45。.

（1）求sinC的值；

4

：2）在邊3c上取一點。，使得cos乙4DC=-g,求tanNZMC的值.

5

A

【解析】(1)在AABC中，因為。=3,。=夜,8=45。,

由余弦定理從=a2+C1-2accosB，得/=94-2-2x3x\/2cos45o=5,

所以b=右.

在△ABC中，由正弦定理‘一二—J，

sinBsinC

得

sin45°sinC

所以sinC=好.

5

A

(2)在△AQC中，因為cosNADC=-=,所以NAOC為鈍角，

5

用NAPC+NC+NCU)=180。,所以/C為銳角.

故cosC=71-sin2C=則tanC=—n>=-.

5cosC2

因為8SZA￡)C=-±，所以sinNADC=Jl-8s?NADC=>，tanZADC=SmZADC=---

55cosZADC4

從而

__3+一1

tan/ADC=tan(l80°-NADC-ZC)=-tan(ZADC+ZC)=——tan(ZAZ)C+/C)=--------42=2_.

I-tanZADCxtanZC.,3、I11

I-(-4)X2

8、【2020年高考天津】在AABC中，角4,8,C所對的邊分別為a,4c.已知。=2后,b=5,c=舊.

(I)求角。的大??；

(II)求sinA的值；

(III)求sin(2A+5)的值.

【解析】(I)在八45。中，由余弦定理及〃=2也/=5,門=JR,有cosC="+"一'?=也又

2ab2

因為。￡(0,兀)，所以C=2.

4

6

U【）在△A6C中，由正弦定理及C=Z,a=2&,c=Ji5,可得sinA=%C=2丑

4c13

<TIT..-n.A2y/\3組r.2A3>/13

Uli）由avc及sinA=-----,可得cosA=41-sinA=-----，

1313

125

進而sin2A-2sinAcosA=—,cos2A=2cos2A-l=—.

1313

的、［兀、兀兀12a5&17>/2

所以，sin（2AH?一）=sin2Acos—+cos2Asin—=—x---1--x---=------.

44413213226

9、【2020年高考浙江】在銳角△48C中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,C.已知3sinA-島=0.

（I）求角8的大?。?/p>

（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

【解析】（I）由正弦定理得2sinAxinA=,故sin8="^,

2

由題意得5=］.

（II）由4+8+。=兀得。=----A

3

由A4BC是銳角三角形得4e（$,《）.

62

由cosC=cos（-—A）=-—cosA+—sinA得

322

4n6指?41A1?,4兀、1/6+13.

cosA4-cosB+cosC=——smA+—cosA+—=sin（A+—）+—e（-----1.

2226222

故cosA+cos8+cosC的取值范圍是虎J，豈.

10、［2019年高考全國I卷理數(shù)】AA3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)

（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC.

（1）求4；

（2）若近a+b=2c，求sinC.

【答案】（i）A=60°；（2）smc="+6

4

【解析】（1）由已知得sin?B+sin?C-sin?A=sinBsinC，

故由正弦定理得從+c2-a2=bc.

7

>222?

由余弦定理得cosA=—————=—

2bc2

因為0°<Avl80°，所以A=601

⑵由(1)知5=120°-C，

由題設(shè)及正弦定理得0sinA+sin(12O°-C)=2sinC,

512^.4--cosC+—sinC=2sinC，可得cos(C+60)=.

222v72

由于0°<C<120°，所以sin(C+60°)=等，故

sinC=sin(C+60-60)

=sin(c+60)cos60-cos(C+60卜in60

V6+V2

=-----------.

4

A+C

II、【2019年高考全國in卷理數(shù)】AABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知asin-------=/>sin4.

2

⑴求8；

：2)若aABC為銳角三角形，且c=l,求AABC面積的取值范圍.

【答案】（1）8=60。；（2）

【解析】（1）由題設(shè)及正弦定理得sinAsin--------=sinBsinA.

2

4+C

因為siMwO,所以sin--------=sinB.

2

3,故8s0=2sidc".

由A+8+C=180°，可得sin(—

2222

nn1

因為cos—。0,故sin—=一,

222

8

因此8=60。.

：2）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積S&8C二曰4.

由正弦定理得°=￡g二業(yè)吐9=旦+」

sinCsinC2tanC2

由于AABC為銳角三角形，故0。<4<90。，0°<C<90°,

由（1）知4+C=120。，所以30。<。<9（兒故

2

從而正＜S^BCv且.

82

因此，△人3C面積的取值范圍是

12、【2019年高考北京卷理數(shù)】在AA8C中，斫3,b-c=2,cosB二一一.

2

⑴求b,c的值;

：2)求sin(B-C)的值.

【答案】(1)b=7,c=5；(2)-V3.

7

【解析】(1)由余弦定理從="+02一2accosb,得

Z?2=32+c2-2x3xcx

因為力=c+2,

所以(c+2f=3?+/-2x3xex—

、2

解得c=5.

所以力二7.

(2)由cosB二一二得sin8=——.

22

由正弦定理得sinC=￡sin3=2叵.

b14

9

在八旬。中，N8是鈍角,

所以/。為銳角.

所以cosC=Jl-siYCuU.

14

所以sin（8-C）=sinBcosC-cos^sinC=

13、【2019年高考天津卷理數(shù)】在△ABC中，內(nèi)角AB,C所對的邊分別為〃力,c.已知b+c=2a,

3csinB=4tzsinC.

Cl）求cos8的值;

：2）求sin（23+不）的值.

【答案】（1）--；（2）J后，

416

bc

【解析】（1）在△A8C中，由正弦定理-----=-----,得bsinC=csin8，

sinBsinC

又由3csin5=4asinC，得勸sinC=4osinC,B[J3b=4a.

42

又因為b+c=2〃，得到b=-〃，c=-a.

33

24,16）

2.2?24+1a~——ai

由余弦定理可得COSB=---------=-------------=--.

2砒2aL4

3

C2）由（1）可得sinB二>/l-cos2B=45,

4

°7

從而sin28=2sin8cos8=-----，cos1B=cos-B-sin~9B=――,故

88

?hR,哈.op。OR?兀V15V371充+7

sin2B+—=sm2Bcos—+cos2csin—=-----x------x—=--------.

I6）66828216

14、【2020年高考北京】在口人8c中，a+b=\\,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知,

求：

（I）〃的值：

（IDsinC和□A6c的面積.

10

條件①：c=7,cosA=--；

7

19

條件②：cosA=-,cosB=—.

816

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【解析】選擇條件①(I)???c=7,cosA=-La+b=ll

7

?：a2=b2+c2-2Z?ccosAa2=(11-a)2+72-2(1l-a)-7-(--)

7

二.a=8

(II)?/cosA=,AG(0,TT)sinA=Vl-cos2A=

77

ac87.「石

由正弦定理得：sinAsinC4石sinC2

~7~

S=^basinC=^(11-8)x8x^y-=6>/3

19

選擇條件②(I)?「cosA=-,cos3=—,A,8e(0,萬)

816

/.sinA=Vl-cos2A=^—^-,sinB=Vl-cos2B=

816

aba\\-a/

由正弦定理得：shM-sh?B*377-5^**~

~T~~16~

.z4(■4L>,DA3g95V715/7

11)sinC=sm(A+Box)=sinAcosB+sinBcosA=-----x——i-------x—=——

8161684

《心?「'a「出15"

S=—basinC=—(1l-6)x6x——=------

2244

15、【2020年新高考全國I卷】在①的=6,②csinA=3,③c=J拓這三個條件中任選一個，補充在下

面問題中，若問題中的三角形存在，求。的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角A8,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=GsinB，C=￡，_______?

6

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【解析】方案一：選條件①.

11

由c=￡和余弦定理得心折一，=2

62ab2

由5而4=65皿8及正弦定理得4=瘋?.

3b2+b2-c2叢iu-rzn,

于n是由此可得一.

由①ac=>/5'解得a=百力=c=1.

因此，選條件①時問題中的三角形存在，此時。=1.

方案二：選條件②.

由c二丁和余弦定理得.十-一』=且.

62ab2

由$1114=>/55由3及正弦定理得4=6人.

3b2+b2-c2G?u-r3,nC兀427t

于是B----『—=—>由此可得。=c,B=C=—,A1=—

26b2263

由②csin4=3,所以c=b=2x/5,a=6.

因此，選條件②時問題中的三角形存在，此時°=26.

方案三：選條件③.

由c=J和余弦定理得4+"一丁=走.

62ab2

由5足4=>/55皿3及正弦定理得〃=后??

To3b2+b2-C25/3,u-r^t，,

于是~-=F由此可得。=c.

由③c=>/初，與〃=c矛盾.

因此，選條件③時問題中的三角形不存在.

名校預(yù)測

1、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知AABC的內(nèi)角4仇C的對邊分別為名4c,若

2bco^B=acosC+ccosA?b=2,則△ABC面積的最大值是

12

A.1B.73C.2D.4

2、（湖北省重點中學(xué)2020-2021學(xué)年高三質(zhì)檢測）在□A8c中，滿足sin?2A+sid28=2C，則下

列說法中錯誤的是（）

A.C可能為工B.。可能為工C.C可能為二D.口A3c可能為等腰R/Q

424

3、（2021?山東德州市?高三期末）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共

八十一個問題，分為九類，每類九個問題《數(shù)書九章》中記錄了秦九解的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三

斜求積”中提出了已知三角形三邊。，b,。求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以

小斜塞并大斜帚減中斜暴，余半之，自乘于上，以小斜塞乘大斜冢減上，余四約之，為實，一為從隅，開

平方得積”若把以上這段文字寫成公式，即Sc2a2-（C~+a~~b2}S為三角形的面積，a,b,c

n12打

為三角形的三邊長，現(xiàn)有UA6c滿足sinA:sin8:sinC=3:2應(yīng):君且S58c=12,則口46。的外接

圓的半徑為.

4、（2020.山東省招遠第一中學(xué)高三月考）在口入〃（？中，已知NACB=900,NC4B=15。，。為48上

一點，且NAQC=105。，。為邊AB的中點，且。。=2,則該三角形外接圓的半徑為.

5、（2020?山東日照?高三月考）在口筋。中，B=-fAB=五，BC=3,則sinA=______.

4

6、（2020?山東濟南外國語學(xué)校高三月考）在AA5C中，AB=2fAC=3,。為3C邊上的中點.

⑴求臺

的值;

（2）若N3AZ）=2NZMC,求AD.

7、（2021?鹽城、南京?一模）18.（本小題滿分12分）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,h,

c,A=B+3C.

⑴求sinC的取值范圍：

（2）若c=6b,求sinC的值.

8、（2021?山東青島市?高三期末）在如圖所示的平面圖形中，AB=2,BC=6，ZABC=ZAEC=^t

6

AE與8C交于點尸，若NCAE=，，.

13

B

（1）用。表示AE,AF；

Ap

（2）求——取最大值時e的值.

AF

9、（2021?山東威海市?高三期末）在①54改=苧，②bsinC—辰sin8—GccosB=c；③sin8=2sinC

這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并做答.

問題:已知口人/。的內(nèi)角A&C的對邊分別為a,"c,A=?,c=l,,角B的平分線交AC于點

D，求3。的長.

（注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）

10、12021?江蘇常州市?高三期末）在UABC中，分別為角A3,C所對的邊.在①

（2a-c）cosB=bcosC；②石原./=25&版；@sinfi+sin8+?）二百這三個條件中任選一個,

作出解答.

（1）求角8的值；

（2）若UA6c為銳角三角形，且方=1,求UA區(qū)C的面積的取值范圍.

14

小芝家抻題一

1、（2020屆山東實驗中學(xué)高三上期中）在ZVIBC中，若A8=Ji4,BC=3,NC=120°,則AC二

（）

A.1B.2C.3D.4

2、（2020?山東新泰市第一中學(xué)高三月考）（多選題）a,b,c分別為DABC內(nèi)角A，B,C的對邊.

已知加inA=（3b-c）sin8,且cosA='，則（）

A.a+c=3bB.tanA=25/2

C.UABC的周長為4cD.C]ABC的面積為2也c?

9

3、（2021?江蘇常州市?高三期末）在「KBC中，已知AC=1,NA的平分線交5c于D,且4力=1,

8力=及，則□A6c的面積為.

4、（2020?山東新泰市第一中學(xué)高三月考）某環(huán)保監(jiān)督組織為了監(jiān)控和保護洞庭湖候鳥繁殖區(qū)域，需測量繁

殖區(qū)域內(nèi)某濕地A、8兩地間的距離（如圖），環(huán)保監(jiān)督組織測繪員在（同一平面內(nèi)）同一直線上的三個

測量點。、C、E，從O點測得ZAZ）C=675,從點C測得乙48=45°，NBCE=75。,從點E測得

NBEC=6O,并測得0c=26，CE=42（單位：千米），測得A、8兩點的距離為千米.

A

5、（2021?江蘇南通市?高三期末）從①口.4〃。的面積S=2;②AD_L8這兩個條件中任選一個，補充在

3

下面的問題中進行求解.如圖，在平面四邊形A8CD中，AB=CD=2,8=一左，對角線AC平分㈤。，

4

且，求線段AO的長.

注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.

15

D

A

6、（2021?湖北高三期末）在LJABC中，AvBvC且taM,tanB,tanC均為整數(shù).

（1）求A的大?。?/p>

BC

（2）設(shè)AC的中點為O,求——的值.

BD

7、（2021.江蘇徐州市?高三期末）在口45。中，角4仇。的對邊分別為。eC,且b=c（cos4-sin4）.

（1）求角C;

（2）若c=26，。為邊BC的中點，在下列條件中任選一個，求AO的長度.條件①；口48。的面積S=2,

且5>A：條件②：cosB=—（注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答記分）

5

夕經(jīng)專答案

名校預(yù)測］

16

1、【答案】B

【解析】

由題意知5=60。，由余弦定理，2x--=-,故℃=々2+/—4之2ac—4,有acK4,故

62

SMBC=—acsinB<y/3.

故選：B

2、【答案】B

【解析】

yzyzTV

若C二HXA=-,B=-,

424

此時三個內(nèi)角滿足sin22A+sin228=0+1=1=sin22C?故A正確且D正確.

若。=￡，則sin22A+sin228=0,故sin2A=sin23=0，

2

故2A28￡(0,21)，故2A=23=笈，所以A=B=]與內(nèi)角和為乃矛盾，故B錯誤.

若C=—,取A=8=K，則2A+25=工，

482

此時三個內(nèi)角滿足sin22A+sin22B=-+-=1=sin22C,故C正確.

22

故選：B.

3、【答案】y/10.

【解析】

由已知和正弦定理得：a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:2>/2:逐，

設(shè)a=3/,b=2A/2z,c=非t(t>0),

屋2十八叫2

,2,

解得，=2,所以。=6力=4尤工=26，設(shè)DABC的外接圓的半徑為R，

4夜x2石sinA=12,解得sinA=^^，

由SyiABC=-x/?csinA=-x

2210

17

a_6=2R

由正弦定理得sinA一③叵一，所以R=Jii.

10

故答案為：M

4、【答案】V3+1

【解析】

如圖所示:

連接。C，則NCOD=2NA=30。，Z.OCD=180°-30°-105°=45°，

在口。。。中，由正弦定理得-℃=一^-

sinl05°sin45°

解得0c=6+1，

所以該三角形外接圓的半徑為百十l.

3710

5、【答案】

"HF

【解析】

由題意得AC?=AB2+BC2—2A88CcosB=2+9—6近?史

=5，

2

36

AC

即AC=6，則一rsinA近,

sinAsin8

~T

得sinA=￡@

10

35

6、【答案】(1)—；(2)—.

24

【解析】

（1）因為在AABC中,AB=ZAC=3,。為5。邊上的中點,

18

所以S“BD=SMDC，即一A8?AO?sinABAD=-ADAC-sinZDAC,

.sinZBAD_AC_3

**sinZDAC-AB"2：

(2)ih/BAD=2ZDAC得sin/BAD=2sinZZMCcosZDAC，

3o1

所以cosZDAC=