專題25二次函數(shù)與最大角問題解題點撥【問題描述】1471年，德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾提出這樣一個問題：如圖，點A、B直線l的同一側(cè)，在直線l上取一點P，使得∠APB最大，求P點位置．【問題鋪墊】圓外角：如圖，像∠APB這樣頂點在圓外，兩邊和圓相交的角叫圓外角．相關(guān)結(jié)論：圓外角等于這個角所夾兩條弧的度數(shù)差（大減?。┑囊话耄鐖D，．換句話說，對同一個圓而言，圓周角>圓外角．【問題解決】結(jié)論：當(dāng)點P不與A、B共線時，作△PAB的外接圓，當(dāng)圓與直線l相切時，∠APB最大．證明：在直線l上任取一點M（不與點P重合），連接AM、BM，∠AMB即為圓O的圓外角，∴∠APB>∠AMB，∠APB最大．∴當(dāng)圓與直線l相切時，∠APB最大．特別地，若點A、B與P分別在一個角的兩邊，如下圖，則有．（切割線定理）證明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）∴△AOP∽△POB，∴，∴．即可通過OA、OB線段長確定OP長，便知P點位置．直擊中考1．（山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，頂點為的拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，過點作軸交拋物線于另一點，作軸，垂足為點.雙曲線經(jīng)過點，連接，.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點，分別是軸，軸上的兩點，當(dāng)以，，，為頂點的四邊形周長最小時，求出點，的坐標(biāo)；（3）動點P從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿0C方向運動,運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，∠BPD的度數(shù)最大?(請直接寫出結(jié)果)【答案】(1)；(2)；；(3)【分析】（1）先求D的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)解析式解析式求解；（2）分別作點，關(guān)于軸，軸的對稱點，，連接交軸，軸于點，.即，F(xiàn),N，在同同一直線上時，四邊形的周長最小，用待定系數(shù)法求直線的表達(dá)式，再求N,F的坐標(biāo)；（3）設(shè)P（0，t），作△PBD的外接圓N，當(dāng)⊙N與y軸相切時，∠BPD的度數(shù)最大；【詳解】解：(1)由題意，得點的坐標(biāo)，.∵，∴.∴點的坐標(biāo).將點，分別代人拋物線，得解得∴拋物線的表達(dá)式為.(2)分別作點，關(guān)于軸，軸的對稱點，，連接交軸，軸于點，.由拋物線的表達(dá)式可知，頂點的坐標(biāo)，∴點的坐標(biāo).設(shè)直線為，∵點的坐標(biāo)，∴解得∴直線的表達(dá)式為.令，則，解得，∴點的坐標(biāo).令，則，∴點的坐標(biāo).（3）設(shè)P（0，t），作△PBD的外接圓N，當(dāng)⊙N與y軸相切時此時圓心N到BD的距離最小，圓心角∠DNB最大，則，∠BPD的度數(shù)最大；則N（r，t），∴PN=ND，∴∴t2-6t-4r+13=0，易求BD的中點為直線BD的解析式為y=-3x+9，∴BD的中垂線解析式y(tǒng)=N在中垂線上，∴t2-18t+21=0，∴∴t的值為【點睛】考核知識點：二次函數(shù)的綜合運用.數(shù)形結(jié)合分析問題是關(guān)鍵.2．如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且頂點的縱坐標(biāo)為，點D是線段BC的中點，點E、F分別是線段OB，OC上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在點E，F(xiàn)，使得DEF為等邊三角形？若存在，請求出點E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)∠BFD的度數(shù)最大時，求tan∠OBF的值．【答案】（1）y＝x2+x+4；（2）存在，DEF為等邊三角形時，E（，0），F(xiàn)（0，﹣2）；（3）tan∠OBF＝【分析】（1）將一般式配方成為頂點式，根據(jù)頂點的縱坐標(biāo)為，列出方程，求出的值，即可求解；（2）延長至，使，連接，過點作軸交于點，過點作軸交于點，證明，得到，再由中點求出，，則，求出，又由，則，可求，；（3）過的外接圓，當(dāng)與軸相切時，切點為，此時最大，設(shè)的中點，則，，可證明，由，求出，則，，求出直線的解析式為，設(shè)，則，由，得到，再由，可求，則，即可求．【詳解】解：（1）將拋物線化為頂點式：y＝ax2﹣2ax﹣3a，＝a（x﹣1）2﹣4a，∴﹣4a＝，∴a＝，∴拋物線的解析式：；（2）存在，理由如下：設(shè)E（a，0），F(xiàn)（0，b），令x＝0，則y＝4，∴C點坐標(biāo)（0，4），令y＝0，則，∴x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵D為BC的中點，∴D點坐標(biāo)（，2），如圖1，延長DE至G，使DE＝EG，連接FG，過點D作DM⊥y軸交于點M，過G點作GN⊥y軸交于點N，∵DEF是等邊三角形，∴EF＝EG＝DF＝DE，∠DEF＝∠DFE＝60°，∴∠FEG＝120°，∴∠EFG＝30°，∴∠DFG＝90°，∵∠MFD+∠MDF＝90°，∠MFD+∠NFG＝90°，∴∠MDF＝∠NFG，∴FMD∽GNF，，，，∴，，，，，∵E點是DG的中點，∴G（2a﹣，﹣2），∴ON＝2，，，，，，，，，，為等邊三角形時，，，；（3）如圖2，過BDF的外接圓M，當(dāng)⊙M與y軸相切時，切點為F，此時∠BFD最大，設(shè)的中點，則，，，∵OC＝4，BO＝3，∴CB＝5，∵∠COB＝∠BHG＝90°，∠CBO＝∠HBG，∴BOC∽BHG，，即，，，，設(shè)直線GH的解析式為y＝kx+b，則，，，設(shè)M（r，t），則F（0，t），∵FM＝MB＝r，∴r2＝t2+（3﹣r）2，∴t2＝6r﹣9，，，，，，，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形等相關(guān)知識以及（2）中倍長線段、構(gòu)造字型相似，（3）中構(gòu)造的外接圓與軸相切時最大是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東日照·日照市新營中學(xué)校考一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過點和點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若P是直線BC下方的拋物線上一個動點，（不點B，C重合），過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，①求線段PD長度的最大值．②若為直角三角形，求出P點坐標(biāo)(3)點E為y軸上一動點，連接AE，BE，形成，當(dāng)?shù)亩葦?shù)最大時，求點E的坐標(biāo)．【答案】(1)y=x2-4x+3(2)①；②（1，0）；(3)或【分析】（1）用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）①根據(jù)拋物線解析式設(shè)出P點坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，確定D點的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出PD的最大值即可；②分情況討論求出P點的坐標(biāo)即可；（3）作△ABE的外接圓，根據(jù)圓心在拋物線的對稱軸上，且當(dāng)半徑最小時∠AEB有最大值，即外接圓與y軸相切時，求出此時的E點坐標(biāo)即可．(1)解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（3，0），∴解得∴拋物線的解析式為：y=x2-4x+3；(2)①設(shè)P（m，m2-4m+3），由拋物線解析式知，C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y=sx+t，將點B、C坐標(biāo)代入得解得∴直線BC的解析式為y=-x+3，∴D（m，-m+3），∴PD=（-m+3）-（m2-4m+3）=-m2+3m=∴當(dāng)時，PD有最大值為(3)②若△PBD為直角三角形，則存在以下兩種情況：（Ⅰ）如下圖，當(dāng)P點與A點重合時△PBD為直角三角形，即P（1，0），（Ⅱ）如下圖，當(dāng)∠DBP=90°時，∵OB=OC=3，∴∠DBO=45°，∴此時△BPD為等腰直角三角形，由（Ⅰ）知PD=-m2+3m，且BD=BP，∴-m2+3m=2（3-m），且|-m2-4m+3|=-m+3此時無解，∴P點坐標(biāo)為（1，0）；（3）如下圖，作△ABE的外接圓M，則圓心M在AB的垂直平分線上，即拋物線的對稱軸上，AB長度不變，要使∠AEB最大則當(dāng)⊙M半徑最小時，即⊙M與y軸相切時，設(shè)E（0，e），則M（2，e），且AM=EM=2，∴E點的坐標(biāo)為或【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，頂點為M的拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B兩點，與y軸交于點C，過點C作CD⊥y軸交拋物線于另一點D，作DE⊥x軸，垂足為點E，雙曲線y=(x＞0)經(jīng)過點D，連接MD，BD．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點N，F(xiàn)分別是x軸，y軸上的兩點，當(dāng)以M，D，N，F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小時，求出點N，F(xiàn)的坐標(biāo)；（3）動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OC方向運動，運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，∠BPD的度數(shù)最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(，0)，F(xiàn)(0，)；（3）t=9﹣2．【分析】（1）由已知求出D點坐標(biāo)，將點A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M關(guān)于y軸的對稱點M'，作D關(guān)于x軸的對稱點D'，連接M'D'與x軸、y軸分別交于點N、F，則以M，D，N，F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小即為M'D'+MD的長；（3）設(shè)P（0，t），作△PBD的外接圓N，當(dāng)⊙N與y軸相切時，∠BPD的度數(shù)最大；【詳解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D點縱坐標(biāo)是3．∵D在y=上，∴D(2，3)，將點A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M關(guān)于y軸的對稱點M'，作D關(guān)于x軸的對稱點D'，連接M'D'與x軸、y軸分別交于點N、F，則以M，D，N，F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小即為M'D'+MD的長；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直線的解析式為y=﹣x+，∴N(，0)，F(xiàn)(0，)；（3）設(shè)P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=，tan∠PBO=，令y=tan∠BPD=，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y2+30y+1=0時，y=(舍)或y=，∴t=﹣×，∴t=9﹣2，∴P(0，9﹣2)．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離，學(xué)會利用輔助圓解決問題，屬于中考壓軸題．5．（2020·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，如圖1，O是坐標(biāo)原點，拋物線（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點，AB⊥y軸于點A，AB=2，AO=4，OC=5，點D是線段AO上一動點，連接CD、BD．（1）求出拋物線的解析式；（2）如圖2，拋物線的對稱軸分別交BD、CD于點E、F，當(dāng)△DEF為等腰三角形時，求出點D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)∠BDC的度數(shù)最大時，請直接寫出OD的長．【答案】（1）；（2）當(dāng)△DEF為等腰三角形時，點D的坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，12﹣2）；（3）【分析】（1）先確定出點A，B，C的坐標(biāo)，進而用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論．（2）先判斷出要△DEF是等腰三角形，即：△BDH是等腰三角形，設(shè)出點D坐標(biāo)，進而表示出BD，DH，BH，分三種情況建立方程求解即可得出結(jié)論．（3）先判斷出當(dāng)△BDC的外接圓與AO相切時，∠BDC最大，后利用三角形，勾股定理計算即可．【詳解】（1）∵AB⊥y軸于點A，AB=2，AO=4，OC=5，∴A（0，4），B（2，4），C（5，0），∵拋物線a≠0）經(jīng)過A、B、C三點，∴解得,∴拋物線解析式為．（2）如圖，過點B作BG⊥OC于G，交CD于H，∴點H，G的橫坐標(biāo)為2，∵EF⊥OC，∴EF∥BH，∵△DEF是等腰三角形，∴△BDH是等腰三角形，設(shè)D（0，5m）（0≤m≤），∵C（5，0），∴直線CD的解析式為y=﹣mx+5m，∴H（2，3m），∴BH=4﹣3m，∴，，，當(dāng)BD=DH時，=，∴m=（舍）或m=，∴5m=，∴D（0，），當(dāng)BD=BH時，=，∴m=，∴D（0，），當(dāng)BH=DH時，=，∴m=或m=（舍去），∴D（0，12﹣2），即：當(dāng)△DEF為等腰三角形時，點D的坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，12﹣2）；（3）如圖，當(dāng)△BDC的外接圓與AO相切時，∠BDC最大，設(shè)外接圓的圓心為E，Q是異于點D的一點，連接QB，QC，交圓于點M，則∠BDC=∠BMC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得∠BMC＞∠BQC，故∠BDC＞∠BQC，∴∠BDC最大，設(shè)OC與圓交于點H，連接DH，DE，根據(jù)切線性質(zhì)，∴∠EDO=∠DOC=90°，作直徑HN，連接DN，∴∠HDN=90°，∠DNH=∠DCH，∵ED=EH，∴∠EDH=∠EHD，∴90°-∠EDH=90°-∠EHD，∴∠ODH=∠OCD，∴△ODH∽△OCD，∴OD：OC=OH：OD，∴OD：OC=OH：OD，∴，設(shè)DO=y，OH