高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省名校2025屆高三上學期12月校際聯(lián)合檢測數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置，并在答題卡規(guī)定位置貼條形碼.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，用0.5mm黑色簽字筆將答案寫在答題卡對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分，在每小題給出的選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，由，可得，即，所以．故選：D．2.若復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】由，得，所以．故選：B．3.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，，若，則，解得或，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A．4.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，又，則，即，設數(shù)列的公差為，因為，所以，故．故選：C．5.設是空間中的一個平面，，，是兩兩不重合的三條直線，則下列命題中，真命題的是（）A.若，，，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】D【解析】對于A中，由，，，，只有直線與相交時，可得，所以A錯誤；對于B中，由，，知或，所以B錯誤；對于C中，由，，，則，所以C錯誤；對于D中，由，，可得，又因為，所以，所以D正確．故選：D．6.已知，，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，，，故，且，故，所以．故選：D.7.若正四棱錐的高為，且所有頂點都在半徑為的球面上，則該正四棱錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，設在底面的投影為，易知正四棱錐的外接球球心在上，由題意球的半徑為，，所以，，，故中，邊的高為，所以該正四棱錐的側(cè)面積為．故選：B．8.若是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，當時，，則，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，當時，，由題意知，在上恒成立，即在上恒成立，又，當且僅當，即時取等號，所以，又由，得到，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題中，真命題是（）A.若，則B.若，則C.若.則D.若，則【答案】BC【解析】A選項，時，，A選項錯誤；B選項，設，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知其在R上單調(diào)遞增，，B選項正確；C選項，若，則，則，而，根據(jù)不等式的性質(zhì)，，從而，C選項正確；D選項，滿足，但無意義，D選項錯誤.故選：BC10.函數(shù)的圖象，如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.函數(shù)是奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于點對稱D.若在上有且僅有三個零點，則【答案】BCD【解析】依題意，，觀察圖象可得時，函數(shù)fx取最大值，又0<ω<1，所以，，解得，，而，解得，，的最小正周期為，A錯誤；是奇函數(shù)，B正確；，，令，，可得，，因此的對稱中心為，當時，函數(shù)的對稱中心為，故C正確；，，當時，，依題意，，解得，D正確．故選：BCD．11.在正方體中，分別為棱的中點，則（）A.平面 B.C.直線與直線所成角為 D.平面經(jīng)過棱的三等分點【答案】ABD【解析】在正方體中，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，對于A，，設平面的一個法向量，因為平面，所以平面，A正確；對于B，因為，所以，B正確；對于C，設直線與直線所成角為，則，又，所以，C錯誤；對于D，在棱上取一點，如下圖所示：則，設平面的法向量，平面的法向量，則，解得平面的一個法向量，又，解得平面的一個法向量，因為平面平面，所以當時，共面，此時，即解得，所以平面經(jīng)過棱的三等分點，可得D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則__________．【答案】【解析】設等比數(shù)列的公比為，若，則，矛盾，故．由題意，得，即，，所以．故答案為：13.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為__________．【答案】【解析】由，得，所以，因為，，所以，所以，即，所以，當且僅當，且，即時，上式取“=”，所以的最小值為．故選：D.14.一條直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點和點，則的值為__________．【答案】-2【解析】因為，，所以，，則在點處的切線方程為，即；在點處的切線方程為：，即，由已知，由得，故，故，解得，所以，因此．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知在中，角的對邊分別為，且．（1）求角；（2）若為邊上一點，且，求的值．解：（1）依題意，，由正弦定理可得，因為，所以，所以，即，所以，即，因為，所以，所以，即．（2不妨設，則，因為，所以為等邊三角形，則，由余弦定理得，所以，解得或（舍去），所以．16.已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱：（2）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（1）證明：函數(shù)的定義域為，依題意，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱．（2）解：當時，，由已知，不等式恒成立，因為，所以，以上不等式可化為：，整理得，，設，由，知，上式可轉(zhuǎn)化為，，因為，由，知，所以，所以實數(shù)的取值范圍為．17.如圖，在四棱錐中，，且，底面是邊長為的菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，點為棱上的動點(不包括端點)，求二面角的正弦值的最小值.（1）證明：連接交于點，連接，因為是菱形，所以，為的中點，，所以．又，面，且，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：過做交于點，平面平面，，面面，面，所以面，則即為直線與平面所成角，，，，面，，面，面，則，為，的交點，為等邊三角形，所以為的重心，，則，中，解得，以為原點，，所在直線為，軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，，，，則，，，，，設平面的一個法向量為，則，令，故．設，，則，設平面的一個法向量為，則，令，故.設平面與平面夾角為，，令，，因為，所以，則，當時，即，時，，此時，二面角的正弦值的最小值為.18.已知函數(shù)．（其中是自然對數(shù)的底，，）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，若恒成立，求整數(shù)的最大值（）．解：（1）函數(shù)定義域為，．當時，，在上是增函數(shù)；當時，由，解得，由，解得．所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．綜上，當時，在上是增函數(shù)；當時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．（2）由題意當時，，整理得．令函數(shù)，則．令，則．當時，恒成立，所以在單調(diào)遞增．又，，所以，使得，即．故時，；時，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以．令函數(shù)．則，所以在單調(diào)遞增，因此．又，，∴．因此整數(shù)的最大值為1.19.已知無窮數(shù)列（，），構(gòu)造新數(shù)列滿足，滿足，…，滿足（，），若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列；同理令，，……，（，），若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)列．（1）已知為二階等差數(shù)列，且，，，求的通項公式；（2）若數(shù)列二階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列．證明：為三階等比數(shù)列；（3）已知，令的前項和為，，證明：．（1）解：因為，又，所以為公差為，首項為的等差數(shù)列，因此，即，所以．（2）證明：因為為二階等差數(shù)列，所以（為