第二章方程（組）與不等式1組）

第4講一次不等式（組）

N。考向解讀

?考點(diǎn)精析

?真題精講

?題型突破

?專題精練

第4講一次不等式（組）

一?考點(diǎn)精折一

一?真題精講一

考向一不等式的定義及性質(zhì)

考向二一元一次不等式的解集及數(shù)軸表帚

考向三一元一次不等式組的解集及數(shù)軸表示

考向皿一元一次不等式as.）的整數(shù)解問題

考向五型參數(shù)的值盔取值范圍

考向六一元一次不等式r組）的應(yīng)用

第4講一次不等式（組）

本考點(diǎn)內(nèi)容以考查依據(jù)題意列不等式并解決問題、不等式組表示取值范圍為主，，體現(xiàn)了不

等式的工具性，年年考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為6-10分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中

考還將繼續(xù)考查這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，重要題型有解不等式（組）、不等式含參、不等式相關(guān)的應(yīng)

用題以及不等式的性質(zhì)，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。

一?考點(diǎn)精折一

一、不等式的概念、性質(zhì)及解集表示

1.不等式：一般地，用符號(hào)（或"W”）、“〉”（或“2”）連接的式子叫做不等式.能

使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.

2.不等式的基本性質(zhì)

理論依據(jù)式子表示

不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同

性質(zhì)1一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不若a>b,貝

變

不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一若a〉b,c>0,則ac>be或

性質(zhì)2ab

個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變—>—

cc

不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一若a>b,c<0,則acvbc或

性質(zhì)3ab

個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變—<—

cc

注意：不等式的性質(zhì)是解不等式的重要依據(jù)，在解不等式時(shí)，應(yīng)注意：在不等式的兩邊同時(shí)

乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向一定要改變.

3.不等式的解集及表示方法

（1）不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個(gè)解，其解是一個(gè)范圍，這

個(gè)范圍就是不等式的解集.

（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)

軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式有無限個(gè)解.

二、一元一次不等式及其解法

1.一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高

次數(shù)是1,這樣的不等式叫一元一次不等式.

2.解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)

化為1（注意不等號(hào)方向是否改變）.

三、一元一次不等式組及其解法

1.一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，組成一

元一次不等式組.

2.一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這

個(gè)一元一次不等式組的解集，求不等式組解集的過程，叫做解不等式組.

3.一元一次不等式組的解法：先分別求出每個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些一元一

次不等式的的解集的公共部分即可，如果沒有公共部分，則該不等式組無解.

4.幾種常見的不等式組的解集：設(shè)a〈b,a,6是常數(shù)，關(guān)于x的不等式組的解集的四種

情況如下表所示（等號(hào)取不到時(shí)在數(shù)軸上用空心圓點(diǎn)表示）：

不等式組

數(shù)軸表示解集口訣

（其中a〈b）

[x>a

\x>bJjx>b同大取大

a￡

[x<a

1Lx<a同小取小

[x<bab

[x>a

__a<x<b大小、小大中間找

ih

[x<a

無解大大、小小取不了

\x>bih

考情總結(jié)：一元一次不等式（組）的解法及其解集表示的考查形式如下:

（1）一元一次不等式（組）的解法及其解集在數(shù)軸上的表示；

（2）利用一次函數(shù)圖象解一元一次不等式；

（3）求一元一次不等式組的最小整數(shù)解；

（4）求一元一次不等式組的所有整數(shù)解的和.

四、列不等式（組）解決實(shí)際問題

列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟如下:

①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列不等式（組）；④解不等式（組）；⑤檢驗(yàn)并寫出答案.

考情總結(jié)：列不等式（組）解決實(shí)際問題常與一元一次方程、一次函數(shù)等綜合考查，涉及的

題型常與方案設(shè)計(jì)型問題相聯(lián)系，如最大利潤(rùn)、最優(yōu)方案等.列不等式時(shí)，要抓住關(guān)鍵詞,

如不大于、不超過、至多用“W”連接，不少于、不低于、至少用連接.

一?真題精講一

考向一不等式的定義及性質(zhì)

（1）含有不等號(hào)的式子叫做不等式.

（2）不等式兩邊同乘以或除以一個(gè)相同的負(fù)數(shù)，不等號(hào)要改變方向，在運(yùn)用中，往往會(huì)因

為忘記改變不等號(hào)方向而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

1.（2020?河北中考）語(yǔ)句“x的1與x的和不超過5”可以表示為（）

8

x「8x

A.—B.—Fx25C.-----V5D.—l~x=5

88x+58

2.（2020?浙江杭州-中考真題）若a>b,則（）

A.a-12bB.b+12aC.a+l>b-1D.a-l>b+l

考向二一元一次不等式:的解集及數(shù)軸表示

（1）一元一次不等式的求解步驟：去分母好去括號(hào)少移項(xiàng)玲合并同類項(xiàng)玲系數(shù)化為1.

（2）進(jìn)行“去分母”和“系數(shù)化為1”時(shí)，要根據(jù)不等號(hào)兩邊同乘以（或除以）的數(shù)的正

負(fù)，決定是否改變不等號(hào)的方向，若不能確定該數(shù)的正負(fù)，則要分正、負(fù)兩種情況討論.

]+4Y

3.（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題）解不等式>x-l,下列在數(shù)軸上表示的解集正確的

是(

A.B.

C.D.

4.（2020?遼寧盤錦?中考真題）不等式4x+l>x+7的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

CD

-_J______0I______1I_____1z___3I______4I____--------------1---------0n----1J----2-----3---4--4----?

考向三一元一次不等式組的解集及數(shù)軸表示

不等式解集的確定有兩種方法：

（1）數(shù)軸法：在數(shù)軸上把各個(gè)不等式解集表示出來，尋找公共部分并用不等式表示出來；

（2）口訣法：“大大取大小小取小，大小小大中間找，大大小小取不了.”

f3x—1x+1

5.（2023?湖北?統(tǒng)考中考真題）不等式組，”.的解集是（）

[x+4>4x-2

A.1<<2B.x<lC.x>2D.1<x<2

[71440①

6.（2023?湖南.統(tǒng)考中考真題）解不等式組：12（*+3）>工+4②，并把它的解集在數(shù)軸上表

示出來.

-3-2-10123

考向皿一元一次不等式（紐J的整數(shù)解問題

此類問題的實(shí)質(zhì)是解不等式（組），通過不等式（組）的解集，然后寫出符合題意的整數(shù)解

即可.

（x>m+3

7.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的不等式組,仆,的整數(shù)解僅有4個(gè)，則

[5x-2<4x+l

m的取值范圍是（）

A.—5<m<—4-B.—5<m<-4C.-4<m<-3D.-4<m<-3

fx+5>0

8.（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的不等式組八有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)加的取

值范圍是.

x+3,

-----<44

9.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組2",至少有2個(gè)整數(shù)

2x—a>2

（2—14

解，且關(guān)于y的分式方程--+--=2有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和

y-22-y

是?

5x+2>3（x-l）

10.（2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）不等式組13的所有整數(shù)解的和是

-x-l<7——x

5x—2<3（x+l）,

11（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）解不等式組：一0+二.

考向五求參數(shù)的值或取值箔圖

求解此類題目的難點(diǎn)是根據(jù)不等式（組）的解的情況得到關(guān)于參數(shù)的等式或不等式，然后求

解即可.

12.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元一次不等式的解集在數(shù)軸上的表示

如圖所示，則機(jī)的值為（）

-101234

A.3B.2C.1D.0

%一1）>3x—1

13.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于尤的不等式組J0的解集為彳>3,

[5x>3x+2a

則。的取值范圍是（）

A.a>3B.a<3C.a>3D.a<3

x~l〉x-2

14.（2023?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）若不等式組〒一亍的解集為“2m，則機(jī)的取值

2x-m>x

范圍是.

2x+1>X+Q①

15.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組％i5八e所有整數(shù)解的和

[22

為14,則整數(shù)。的值為.

考向六一元一次不等式（組）的應(yīng)用

求解此類題目的難點(diǎn)是建立“不等式（組）模型”，通過求解不等式（組）的解集并與實(shí)際

相結(jié)合即可.

16.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）某集團(tuán)有限公司生產(chǎn)甲乙兩種電子產(chǎn)品共8萬件，準(zhǔn)

備銷往東南亞國(guó)家和地區(qū).已知2件甲種電子產(chǎn)品與3件乙種電子產(chǎn)品的銷售額相同：3件

甲種電子產(chǎn)品比2件乙種電子產(chǎn)品的銷售多1500元.

⑴求甲種電子產(chǎn)品與乙種電子產(chǎn)品銷售單價(jià)各多少元？

（2）若使甲乙兩種電子產(chǎn)品的銷售總收入不低于5400萬元，則至少銷售甲種電子產(chǎn)品多少

件？

17.（2023?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）某搬運(yùn)公司計(jì)劃購(gòu)買48兩種型號(hào)的機(jī)器搬運(yùn)貨物，

每臺(tái)A型機(jī)器比每臺(tái)B型機(jī)器每天少搬運(yùn)10噸貨物，且每臺(tái)A型機(jī)器搬運(yùn)450噸貨物與每

臺(tái)B型機(jī)器搬運(yùn)500噸貨物所需天數(shù)相同.

（1）求每臺(tái)A型機(jī)器，8型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？

（2）每臺(tái)A型機(jī)器售價(jià)1.5萬元，每臺(tái)B型機(jī)器售價(jià)2萬元，該公司計(jì)劃采購(gòu)兩種型號(hào)機(jī)器

共30臺(tái)，滿足每天搬運(yùn)貨物不低于2880噸，購(gòu)買金額不超過55萬元，請(qǐng)幫助公司求出最

省錢的采購(gòu)方案.

18.