第十二節(jié)：圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量（二）立體圖形

知識(shí)全景圖?

特征、展產(chǎn)圖

校長(zhǎng)總和

§長(zhǎng)方體、正方體

表茴積

，體積

切割增加特征

組合減少118（圓柱、圓卷，一圓柱表面積

一推導(dǎo)過(guò)程轉(zhuǎn)化思想

J，體積,-------------

園惟、圓柱體積間關(guān)系

-圖形觀察觀察的角度、方向不同，常常結(jié)果不司

核心考向集

考向01

,立體圖形的特征

[例1]

“母親節(jié)”到了，李老師在商場(chǎng)給媽媽買了一個(gè)禮物，請(qǐng)售貨員用一個(gè)精美的長(zhǎng)方體禮盒包裝。已知禮盒長(zhǎng)

4分米，寬2.5分米，高3分米，售貨員很貼心的用彩帶把禮盒扎起來(lái)（如下圖），打結(jié)處彩帶長(zhǎng)2分米，請(qǐng)

你算一算售貨員一共用了多長(zhǎng)的彩帶扎禮盒？

3dm

4dm

思路引導(dǎo)

根據(jù)題意和示意圖可知，禮盒是長(zhǎng)方體的，長(zhǎng)4分米，寬2.5分米，高3分米，根據(jù)長(zhǎng)方體的特征：12條棱

分為互相平行的3組，每組4條棱的長(zhǎng)度相等，則所需彩帶的長(zhǎng)度=4條高的長(zhǎng)度+2條長(zhǎng)的長(zhǎng)度和+2條

寬的長(zhǎng)度和+打結(jié)處彩帶長(zhǎng)。

正確解答：

4X3+2X4+2X2.5+2

=12+8+5+2

=20+5+2

=27（分米）

答：售貨員一共用了27分米的彩帶扎禮盒。

囹?技法提煉

解決此類捆扎長(zhǎng)方體盒子需要繩子長(zhǎng)度的問(wèn)題，就是把求繩子的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為求幾條長(zhǎng)、幾條寬、幾條高和打

結(jié)部分的長(zhǎng)度。如果捆扎的是圓柱體，就轉(zhuǎn)化為求幾條直徑、幾條高和打結(jié)部分一共的長(zhǎng)度。

【變式1】

（2021六下?江蘇揚(yáng)州）

1.奶奶過(guò)生日，媽媽買了一個(gè)大蛋糕。蛋糕盒是圓柱形的，媽媽準(zhǔn)備配上十字形的絲帶再打上蝴蝶結(jié)，需

要買多長(zhǎng)的絲帶？（蝴蝶結(jié)需要25cm）

【例2】

用一塊長(zhǎng)25.12cm、寬18.84cm的長(zhǎng)方形鐵皮，配上下面（）的圓形鐵片正好可以做成圓柱形容器。（單

位：cm）

A.r=2B.r=3C.r=6D.r=8

思路引導(dǎo)

長(zhǎng)方形鐵皮做圓柱的側(cè)面，圍成圓柱時(shí)，有兩種圍法：

第一種圍法：用25.12cm做底面的周長(zhǎng)，可以求出底面圓形的半徑是25.12+3.14+2=4（cm）；

第二種圍法：用18.84cm做底面的周長(zhǎng)，可以求出底面圓形的半徑是18.84+3.14+2=3（cm）。

正確解答：B

小囹?技法提煉

把一個(gè)長(zhǎng)方形圍成圓柱有種圍法，分別是用長(zhǎng)或?qū)捵鰣A柱的底面周長(zhǎng)；把一個(gè)正方形圍成圓柱，只有一種圍

法。

【變式2】

（2022六下?山西運(yùn)城）

2.數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又用于生活，請(qǐng)你制作一個(gè)無(wú)蓋圓柱形水桶，有以下幾種型號(hào)的鐵皮供搭配選擇。

12.56dm

9.42din3din

4din一

①④

你選擇的材料是（

立體圖形的展開(kāi)圖

【例3】

用“☆”分別標(biāo)出下列立體圖形的展開(kāi)圖中相對(duì)的面。

圖1屬于正方體展開(kāi)圖的“1-4-1”型，折疊成正方體后，相對(duì)符號(hào)的面相對(duì)；同理，圖2是長(zhǎng)方體展開(kāi)

圖，也屬于型，折疊成長(zhǎng)方體后也是相同符號(hào)的面相對(duì)。

正確解答：

用分別標(biāo)出下列立體圖形的展開(kāi)圖中相對(duì)的面如下：

小?技法提煉

解決展開(kāi)圖相關(guān)的問(wèn)題可以想象將展開(kāi)圖復(fù)原成正方體或長(zhǎng)方體，根據(jù)各個(gè)面在展開(kāi)圖中分布的位置找到

相對(duì)的面。

【變式3】

3.下列圖形中，（）不是圓柱體展開(kāi)圖.

A.1.5m*-3,14m—4

|

L

5

7

c

0.5cmCrm①0.5cm

B.|

1.57cm

6dm

?

8dm

1

為觀察物體

【例4】

一個(gè)立體圖形，從左面看到的形狀是,從上面看到的形狀是??[J,這個(gè)立體圖形可能是下面的

()圖。

BcD

4fflS,宙

思路引導(dǎo)

根據(jù)從上面看到的圖形，可以確定下層是4個(gè)正方體，后排3個(gè)，前排靠右1個(gè)；根據(jù)從左面看到的圖形,

確定總共上下兩層，上層的1個(gè)正方體在后排上，對(duì)照給出的4個(gè)圖形，這個(gè)圖形應(yīng)該是。

從以上分析得出：一個(gè)立體圖形，從左面看到的形狀是日二從上面看到的形狀是匚用，這個(gè)立體圖

形可能是困。

正確解答：D

小?技法提煉

解決此類問(wèn)題時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)拼成的立體圖形的特點(diǎn)，主要看從某一角度觀察，每行有幾個(gè)，每層擺了幾行,

有幾層，找出突破口。

【變式4】

（2022六下?廣東揭陽(yáng)）

4.一個(gè)立體圖形，從正面看到的形狀是,從左面看到的形狀是,搭這樣的

立體圖形，最少需要（）個(gè)小正方體。

A.4B.5C.6D.7

妙立體圖形的表面積和體積

【例5】

一個(gè)長(zhǎng)方體鐵皮油箱長(zhǎng)80厘米、寬50厘米，高40厘米。

（1）做這個(gè)油箱至少要用鐵皮多少平方分米？

（2）這個(gè)油箱的容積是多少升？（鐵皮的厚度忽略不計(jì)）

思路引導(dǎo)

此題主要考查的是長(zhǎng)方體的表面積和容積的計(jì)算。

（1）要求做這個(gè)油箱至少要用鐵皮多少平方分米，就是求這個(gè)長(zhǎng)方體鐵皮油箱的表面積，可直接利用長(zhǎng)方

體表面積的公式計(jì)算，計(jì)算時(shí)注意單位換算。

（2）鐵皮的厚度忽略不計(jì)，所以求這個(gè)油箱的容積就相當(dāng)于求這個(gè)油箱的體積。

正確解答：

（1）（80X50+80X40+50X40）X2

=9200X2

=18400（平方厘米）

=184（平方分米）

答：做這個(gè)油箱至少要用鐵皮184平方分米。

（2）80X50X40=160000（立方厘米）

160000立方厘米=160立方分米=160升

答：這個(gè)油箱的容積是160升。

小結(jié)技法提煉

求表面積和求容積（體積）是不同的，要注意區(qū)分。

【變式5】

5.一張長(zhǎng)方形紙板長(zhǎng)30厘米、寬18厘米，從它的四個(gè)角上各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)是2厘米的小正方形，然后用

剩下的部分折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒（接頭處忽略不計(jì)），這個(gè)紙盒的容積是多少毫升？（紙板的厚度忽

略不計(jì)）

【例6】

如圖所示，在容器中放入1個(gè)圓柱形鐵塊和2個(gè)與它等底等高的圓錐形零件，溢出了部分水，則每個(gè)圓錐形

零件的體積是（）立方厘米。

600ml

思路引導(dǎo)

根據(jù)題意和示意圖知，溢出水的體積是容器內(nèi)1個(gè)圓柱和2個(gè)圓錐的體積和。由于容器內(nèi)圓柱和圓錐等底

等高，那么圓柱體積=3X圓錐體積，那么相當(dāng)于容器內(nèi)有5個(gè)相同的圓錐。用600毫升除以5,求出每個(gè)

圓錐的體積。

正確解答：

6004-（3+2）

6004-5

120（毫升）

120毫升=120立方厘米

所以：每個(gè)圓錐形零件的體積是120立方厘米。

小結(jié)技法提煉

解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)在于理解圓柱和圓錐的體積關(guān)系：等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

【變式6】

6.一塊圓柱形橡皮泥,底面積是24平方厘米，高是5厘米,如果捏成與圓柱等底的圓錐形，高是（）

厘米；如果捏成與圓柱等高的圓錐形，底面積是（）平方厘米。

|曰不規(guī)則物體的體積

【例7】

一個(gè)圓柱形水槽，底面半徑是10厘米，里面盛有15厘米高的水，現(xiàn)將一個(gè)底面直徑是12厘米的圓錐形鐵

塊，完全浸入水中，水面高度比原來(lái)上升了1.5厘米，圓錐形鐵塊的高是多少厘米？

思路引導(dǎo)

放人鐵塊后，水面上升了，鐵塊的體積就等于上升的那部分水的體積，即水槽的底面積乘水上升了的高度。

而求鐵塊的高，可根據(jù)公式“圓錐的高=體積義3+底面積”列式計(jì)算。

正確解答：

314X102X1.5=471（立方厘米）

3.14X（12+2）2=113.04（平方厘米）

4714--4-113.04=12.5（厘米）

3

答：圓錐形鐵塊的高是12.5厘米。

小結(jié)技法提煉

解答排水法求物體的體積的問(wèn)題，關(guān)鍵是把浸沒(méi)在水中的物體體積轉(zhuǎn)化為求上升（或下降）部分的水的體

積。而已知圓錐的體積，要求它的底面積（或高），注意用體積乘3（即除以工），再除以高（或底面積）。

3

【變式7】

（2022六下?貴州黔西）

7.一瓶果汁，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），瓶子的容積為32立方厘米，當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶?jī)?nèi)果汁液

面高度為8厘米，當(dāng)瓶子倒放時(shí)，空余部分為2厘米，請(qǐng)你算一算，瓶?jī)?nèi)果汁的體積是多少立方厘米？

就立體圖形的切割與拼組

【例8】

一根長(zhǎng)6米的長(zhǎng)方體木料，把它從中間截成兩段，表面積增加了12平方分米，那么原來(lái)長(zhǎng)方體木料的體積

是多少立方米？

思路引導(dǎo)

求原來(lái)長(zhǎng)方體木料的體積可以用“橫截面面積X長(zhǎng)”?？梢援嫵鍪疽鈭D幫助我們分析：

Dr。

把木料從中間截成兩段，表面積增加了兩個(gè)橫截面的面積，用12+2=6（平方分米）求出橫截面的面積,

再根據(jù)公式就能求出原來(lái)長(zhǎng)方體木料的體積了。

正確解答:

124-2=6（平方分米）

6平方分米=0.06平方米

0.06X6=0.36（立方米）

答：原來(lái)長(zhǎng)方體木料的體積是0.36立方米。

小國(guó)?技法提煉

長(zhǎng)方體（或正方體）的體積公式是長(zhǎng)方體（或正方體）的體積=底面積X高，也可以變形為長(zhǎng)方體（或正方

體）的體積=橫截面的面積義長(zhǎng)。解決問(wèn)題時(shí)，我們要靈活選用合適的公式進(jìn)行計(jì)算。

變式8】

（2022六下?北京昌平）

8.把一根長(zhǎng)4米的長(zhǎng)方體木料，截成3段，表面積增加了0.24平方米（如圖所示）這根木料原來(lái)的體積是

（）立方米。

例9】

如圖：這只工具箱的下半部是棱長(zhǎng)為20厘米的正方體，上半部是圓柱體的一半。算出它的表面積和體積。

思路引導(dǎo)

根據(jù)圓柱和正方體的表面積的計(jì)算方法，它的表面積是上面圓柱的表面積的一半加上下面正方體的5個(gè)面

的面積；再根據(jù)圓柱和正方體的體積公式，計(jì)算上面圓柱體積的一半加上下面正方體的體積即可。

正確解答：

表面積：

3.14X20X204-2+3.14X102+20X20X5

=12564-2+3.14X100+400X5

=628+314+2000

=2942（平方厘米）

體積：

3.14X102X204-2+20X20X20

=3.14X100X204-2+8000

=3140+8000

=11140（立方厘米）

答：它的表面積是2942平方厘米，體積是11140立方厘米。

囹?技法提煉

解答求組合圖形的表面積和體積，關(guān)鍵是分析圖形是由哪幾部分組成，然后根據(jù)它們的表面積公式和體積

公式進(jìn)行解答。

【變式9】

（2022六上?江蘇徐州）

9.一個(gè)棱長(zhǎng)4厘米的正方體，在正中從上到下挖出一個(gè)長(zhǎng)方體孔洞，孔洞的底面為邊長(zhǎng)2厘米的正方形，

這個(gè)空心圖形的表面積是多少平方厘米？體積是多少立方厘米？

,?建議用時(shí)：45min

一、填空。

（2022六下?山西運(yùn)城）

10.一個(gè)長(zhǎng)方體的高截去2厘米，表面積減少了24平方厘米，剩下的部分正好是正方體，正方體的表面積

是（）平方厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是（）平方厘米。

（2022六下?陜西榆林）

11.以下圖中這個(gè)三角形4cm的邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)（）（填“圓柱”或“圓

錐”），這個(gè)圖形的體積是（）cm3。

3cm

（2022六下?寧夏）

12.工人叔叔在地面上用64個(gè)同樣大小的小正方體拼成了一個(gè)大正方體，并把它的五個(gè)面涂上了顏色（貼

地的那個(gè)面不涂色），其中3個(gè)面涂色的小正方體木塊有（）個(gè)，2個(gè)面涂色的有（）

（2022六下?陜西榆林）

13.看一看，畫一畫。

2022年5月10日在人民大會(huì)堂舉行了“慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年大會(huì)”，中共中央總書記、

國(guó)家主席、中央軍委主席習(xí)近平在會(huì)上發(fā)表重要講話強(qiáng)調(diào)，青春孕育無(wú)限希望，青年創(chuàng)造美好明天。下圖是

一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，將它折疊成正方體后，與“望”字相對(duì)面上的字是什么字？在正確答案下面畫“

()()()()()

（2022六下?河南鄭州）

14.下圖是正方體，各個(gè)面展開(kāi)后如圖所示，對(duì)應(yīng)的六個(gè)面分別用字母A、B、C、D、E、F表示，則正方體

前、后兩個(gè)面，分別是展開(kāi)后圖中的（）。

A.A和DB.B和DC.B和ED.C和D

（2022六下?陜西榆林）

15.一個(gè)立體圖形，從左面看到的形狀是,從正面看到的形狀是,這個(gè)立體圖

形可能是（)o

A.

C.

（2020六下?江蘇）

16.將一個(gè)大長(zhǎng)方體切分成兩個(gè)完全一樣的小長(zhǎng)方體，按下圖所示的三種切法，表面積分別增加50平方厘

90平方厘米。原來(lái)大長(zhǎng)方體的表面積是（）平方厘米。

A.360B.90C.180D.390

（2020六下?浙江紹興）

17.如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙分別卷成兩個(gè)不同的圓柱形紙筒。如果再給它們分別都做上底面，則圓柱A

的表面積（）圓柱B的表面積。

18.圓柱的體積公式推導(dǎo)過(guò)程，將圓柱切拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體后，（）。

A.表面積不變，體積不變B.表面積變大，體積不變

C.表面積變大，體積變大D,表面積變小，體積變小

（2022六下?遼寧沈陽(yáng)）

19.如圖是甲乙兩名同學(xué)對(duì)同一個(gè)圓柱的不同切法。甲切開(kāi)后表面積增加了（），乙切開(kāi)后表面積增加

（2021六下?浙江金華）

（2022六下?遼寧沈陽(yáng)）

21.將一個(gè)底面直徑是2dm,高是3dm的圓柱形容器注滿水，垂直輕輕插入一根底面積是0.6dn?,高

是4dm的方鋼，溢出的水的體積是（）L。

A.2.4B.1.8C.2400D.180

三、判斷。

（2022六下-湖北襄陽(yáng)）

22.把一個(gè)圓柱削成一個(gè)最大的圓錐，圓錐的體積是削去部分的兩倍。（）

（2022六下?安徽蕪湖）

23.正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，它的表面積就擴(kuò)大為原來(lái)的30倍。（）

（2022六上?河北石家莊）

24.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)總和是72厘米，它的體積和表面積相等。（）

（2022六下?陜西榆林）

25.一個(gè)圓柱形橡皮泥的高是7厘米,把它捏成底面半徑相同的圓錐，這個(gè)圓錐的高是21厘米。（）

四、計(jì)算。

（2022六下?貴州黔西）

26.下圖是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐，請(qǐng)計(jì)算挖去這個(gè)圓錐所剩下的體積。（單位：厘米）

?12―

國(guó)。

207—工

-----------/

五、解決問(wèn)題。

（2022六下?湖北武漢）

27.為了防止魚缸破碎，李明自己動(dòng)手給魚缸的每條棱上裝上防撞條，共計(jì)用掉480厘米防撞條，已知魚

缸的長(zhǎng)、寬、高的比是3：2：1,那么魚缸的容積是多少升（防撞條與玻璃的厚度忽略不計(jì)）？

（2022六下?北京昌平）

28.學(xué)?？萍夹〗M制做了一個(gè)長(zhǎng)方體水漏，這個(gè)水漏長(zhǎng)2.5分米，寬1.5分米，高2分米。經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，這個(gè)

水漏裝滿水全部漏完要6小時(shí)。這個(gè)水漏平均每小時(shí)漏多少升水?

（2022六上?江蘇揚(yáng)州）

29.用一張長(zhǎng)60厘米、寬40厘米的長(zhǎng)方形鐵皮制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容器。（鐵皮厚度忽略）

(1)(2)

（1）通常如圖（1）所示，在四角剪去四個(gè)一樣的正方形，再通過(guò)翻折、焊接，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容

器。如果剪去的正方形的邊長(zhǎng)是8厘米，那么做成的長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)是（）厘米，寬是（）厘

米，高是（）厘米，容積是（）立方分米。

（2）圖（1）制作容器的方法會(huì)浪費(fèi)掉一些鐵皮，為了不浪費(fèi)，我們還可以如圖（2）,在長(zhǎng)方形鐵皮左邊

兩個(gè)角剪去邊長(zhǎng)為10厘米的正方形再將兩個(gè)正方形移到右邊中間，并焊接起來(lái)，再通過(guò)翻折、焊接，做

成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容器。做成的長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)是（）厘米，寬是（）厘米，高是（）厘

米，容積是（）立方分米。

（3）如果給你一張長(zhǎng)70厘米、寬60厘米的長(zhǎng)方形鐵皮用圖（2）的方法制作一個(gè)長(zhǎng)、寬、高都是整厘米

數(shù)的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器，你會(huì)怎樣設(shè)計(jì)？（請(qǐng)畫出草圖，標(biāo)出數(shù)據(jù)，并計(jì)算出這個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的容積）

（2021六下?浙江金華）

30.小明在解決“已知圓柱的底面直徑為6cm,高為8cm,求這個(gè)圓柱的體積”這一問(wèn)題的時(shí)候，沒(méi)有直

接用體積公式進(jìn)行計(jì)算，而是根據(jù)圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，想出了一種別出心裁的方法，分步計(jì)算

圓柱的體積。你能看懂他的方法嗎？請(qǐng)你補(bǔ)上小明的最后一步（第三步）算式，計(jì)算出圓柱的體積。

第一步：3.14X64-2=9.42（cm）

第二步：6+2=3（cm）

第三步：________________

請(qǐng)你根據(jù)下圖說(shuō)說(shuō)小明這樣做的理由。

（2022六下?湖北武漢）

31.為測(cè)量一個(gè)不規(guī)則鐵塊的體積，一個(gè)學(xué)習(xí)小組做了以下實(shí)驗(yàn):

①用天平稱出這個(gè)鐵塊的重量是0.4千克；

②從內(nèi)部量出圓柱形容器的底面半徑是5厘米；

③從內(nèi)部量出圓柱形容器的高是10厘米；

④在容器里注入一定量的水，量出水面高度為6厘米：

⑤將鐵塊完全浸沒(méi)水中（水沒(méi)溢出），量出水面高度為8厘米。

請(qǐng)根據(jù)以上信息求出這個(gè)鐵塊體積。

（2020六下?浙江紹興）

32.在本學(xué)期的數(shù)學(xué)課上，我們通過(guò)操作，知道長(zhǎng)方形沿長(zhǎng)或?qū)挒檩S旋轉(zhuǎn)一周，可以形成圓柱；把線直角

三角形沿直角邊旋轉(zhuǎn)一周，可以形成圓錐。那么，請(qǐng)你思考:

（1）下列兩個(gè)梯形（圖1）,沿圖中的軸旋轉(zhuǎn)一周，形成了什么立體圖形，請(qǐng)你試著畫一畫所形成的立體

圖形的示意圖。

（2）如下圖（圖2）,有這樣一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD,BC=6cm,AB=10cm,已知對(duì)角線AC、BD相交點(diǎn)

。。如果圖中的陰影部分以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃出的立體圖形的體積是多少立方厘米?

圖1圖2

第十二節(jié)：圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量（二）立體圖形

知識(shí)全景圖?

特征、展產(chǎn)圖

校長(zhǎng)總和

§長(zhǎng)方體、正方體

表茴積

，體積

切割增加特征

組合減少118（圓柱、圓卷，一圓柱表面積

一推導(dǎo)過(guò)程轉(zhuǎn)化思想

J，體積,-------------

園惟、圓柱體積間關(guān)系

-圖形觀察觀察的角度、方向不同，常常結(jié)果不司

核心考向集

考向01

,立體圖形的特征

[例1]

“母親節(jié)”到了，李老師在商場(chǎng)給媽媽買了一個(gè)禮物，請(qǐng)售貨員用一個(gè)精美的長(zhǎng)方體禮盒包裝。已知禮盒長(zhǎng)

4分米，寬2.5分米，高3分米，售貨員很貼心的用彩帶把禮盒扎起來(lái)（如下圖），打結(jié)處彩帶長(zhǎng)2分米，請(qǐng)

你算一算售貨員一共用了多長(zhǎng)的彩帶扎禮盒？

3dm

4dm

思路引導(dǎo)

根據(jù)題意和示意圖可知，禮盒是長(zhǎng)方體的，長(zhǎng)4分米，寬2.5分米，高3分米，根據(jù)長(zhǎng)方體的特征：12條棱

分為互相平行的3組，每組4條棱的長(zhǎng)度相等，則所需彩帶的長(zhǎng)度=4條高的長(zhǎng)度+2條長(zhǎng)的長(zhǎng)度和+2條

寬的長(zhǎng)度和+打結(jié)處彩帶長(zhǎng)。

正確解答：

4X3+2X4+2X2.5+2

=12+8+5+2

=20+5+2

=27（分米）

答：售貨員一共用了27分米的彩帶扎禮盒。

小

解決此類捆扎長(zhǎng)方體盒子需要繩子長(zhǎng)度的問(wèn)題，就是把求繩子的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為求幾條長(zhǎng)、幾條寬、幾條高和打

結(jié)部分的長(zhǎng)度。如果捆扎的是圓柱體，就轉(zhuǎn)化為求幾條直徑、幾條高和打結(jié)部分一共的長(zhǎng)度。

【變式1】

（2021六下?江蘇揚(yáng)州）

1.奶奶過(guò)生日，媽媽買了一個(gè)大蛋糕。蛋糕盒是圓柱形的，媽媽準(zhǔn)備配上十字形的絲帶再打上蝴蝶結(jié)，需

要買多長(zhǎng)的絲帶？（蝴蝶結(jié)需要25cm）

【解析】

【分析】通過(guò)觀察，捆扎這個(gè)盒子至少用去絲帶4個(gè)蛋糕盒底面直徑和4個(gè)蛋糕盒高，再加上打結(jié)用去絲

帶長(zhǎng)25厘米，由此得解。

【詳解】45X4+25X4+25

=180+100+25

=305（厘米）

答：需要買305厘米長(zhǎng)的絲帶。

【點(diǎn)評(píng)】此題要求學(xué)生要有空間想象力，能夠想到底面和背面也有和我們現(xiàn)在看到的一樣多的絲帶。

【例2】

用一塊長(zhǎng)25.12cm、寬18.84cm的長(zhǎng)方形鐵皮，配上下面（）的圓形鐵片正好可以做成圓柱形容器。（單

位：cm）

A.r=2B.r=3C.r=6D.r=8

思路引導(dǎo)

長(zhǎng)方形鐵皮做圓柱的側(cè)面，圍成圓柱時(shí)，有兩種圍法:

第一種圍法：用25.12cm做底面的周長(zhǎng)，可以求出底面圓形的半徑是25.12+3.14+2=4(cm)；

第二種圍法：用18.84cm做底面的周長(zhǎng)，可以求出底面圓形的半徑是18.84+3.14+2=3(cm)。

正確解答：B

小?技法提煉

把一個(gè)長(zhǎng)方形圍成圓柱有種圍法，分別是用長(zhǎng)或?qū)捵鰣A柱底面周長(zhǎng)；把一個(gè)正方形圍成圓柱，只有一種圍

法。

【變式2】

(2022六下?山西運(yùn)城)

2.數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又用于生活，請(qǐng)你制作一個(gè)無(wú)蓋圓柱形水桶,有以下幾種型號(hào)的鐵皮供搭配選擇。

12.56dm

9.42dm4dm3dm

4dm5din

①②③④

你選擇的材料是()號(hào)和()號(hào)

【答案】①.②②.③

【解析】

【分析】根據(jù)圓柱的特點(diǎn)，圓柱的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，據(jù)此進(jìn)行選擇即可。

【詳解】3.14X4=12.56(dm)

則應(yīng)選擇的材料是②號(hào)和③號(hào)

【點(diǎn)睛】本題考查圓柱，明確圓柱的特征是解題的關(guān)鍵。

考向02立體圖形的展開(kāi)圖

【例3】

用☆”分別標(biāo)出下列立體圖形的展開(kāi)圖中相對(duì)的面。

思路引導(dǎo)

圖1屬于正方體展開(kāi)圖的“1-4-1”型，折疊成正方體后，相對(duì)符號(hào)的面相對(duì)；同理，圖2是長(zhǎng)方體展開(kāi)

圖，也屬于“1-4-1”型，折疊成長(zhǎng)方體后也是相同符號(hào)的面相對(duì)。

正確解答：

用☆”分別標(biāo)出下列立體圖形的展開(kāi)圖中相對(duì)的面如下:

解決展開(kāi)圖相關(guān)的問(wèn)題可以想象將展開(kāi)圖復(fù)原成正方體或長(zhǎng)方體，根據(jù)各個(gè)面在展開(kāi)圖中分布的位置找到

相對(duì)的面。

變式3】

3.下列圖形中，()不是圓柱體的展開(kāi)圖.

A.1.5m

L

5

7

c

0.5cm3m[[)0.5cm

i

1.57cm

6dm

【答案】C

【解析】

【分析】

圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)圓，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)，據(jù)此計(jì)算判斷.

【詳解】選項(xiàng)A,圓柱的底面周長(zhǎng)是：3.14x1=3.14(m),圓柱的底面周長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，圖A是圓柱體

的展開(kāi)圖；

選項(xiàng)B,圓柱的底面周長(zhǎng)是：3.14x0.5=1.57(cm),圓柱的底面周長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，圖B是圓柱體的展

開(kāi)圖;

選項(xiàng)C,圓柱的底面周長(zhǎng)是：3.14x2x2=12.56(dm),12.56dm#dm,所以圖C不是圓柱體的展開(kāi)圖.

故答案為：C.

西觀察物體

【例4】

一個(gè)立體圖形，從左面看到的形狀是日口,

從上面看到的形狀是,這個(gè)立體圖形可能是下面的

()圖。

A.

思路引導(dǎo)

根據(jù)從上面看到的圖形，可以確定下層是4個(gè)正方體，后排3個(gè)，前排靠右1個(gè)；根據(jù)從左面看到的圖形,

確定總共上下兩層，上層的1個(gè)正方體在后排上，對(duì)照給出的4個(gè)圖形，這個(gè)圖形應(yīng)該是

從以上分析得出：一個(gè)立體圖形，從左面看到的形狀是,從上面看到的形狀是,這個(gè)立體圖

形可能是

正確解答：D

小囹?技法提煉

解決此類問(wèn)題時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)拼成的立體圖形的特點(diǎn)，主要看從某一角度觀察，每行有幾個(gè)，每層擺了幾行,

有幾層，找出突破口。

【變式4】

(2022六下?廣東揭陽(yáng))

4.一個(gè)立體圖形，從正面看到的形狀是,從左面看到的形狀是,搭這樣的

立體圖形，最少需要()個(gè)小正方體。

A4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】

【分析】從正面看只有1層，有4個(gè)小正方體；從左面看，也是1層，有2個(gè)小正方體。由此可知，這個(gè)立

體圖形只有1層，有2排，則至少有4個(gè)小正方體分成2排排列即可，據(jù)此解答。

【詳解】通過(guò)觀察、分析，一個(gè)立體圖形，從正面看到的形狀是，從左面看到的形

狀是，搭這樣的立體圖形，最少需要4個(gè)小正方體。

故答案為：A

【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是學(xué)生需要具有一定的空間想象能力，從前視圖和左視圖分析圖形數(shù)量。

為立體圖形的表面積和體積

【例5】

一個(gè)長(zhǎng)方體鐵皮油箱長(zhǎng)80厘米、寬50厘米，高40厘米。

（1）做這個(gè)油箱至少要用鐵皮多少平方分米？

（2）這個(gè)油箱的容積是多少升？（鐵皮的厚度忽略不計(jì)）

思路引導(dǎo)

此題主要考查的是長(zhǎng)方體的表面積和容積的計(jì)算。

（1）要求做這個(gè)油箱至少要用鐵皮多少平方分米，就是求這個(gè)長(zhǎng)方體鐵皮油箱的表面積，可直接利用長(zhǎng)方

體表面積的公式計(jì)算，計(jì)算時(shí)注意單位換算。

（2）鐵皮的厚度忽略不計(jì)，所以求這個(gè)油箱的容積就相當(dāng)于求這個(gè)油箱的體積。

正確解答：

（1）（80X50+80X40+50X40）X2

=9200X2

=18400（平方厘米）

=184（平方分米）

答：做這個(gè)油箱至少要用鐵皮184平方分米。

（2）80X50X40=160000（立方厘米）

160000立方厘米=160立方分米=160升

答：這個(gè)油箱的容積是160升。

小?技法提煉

求表面積和求容積（體積）是不同的，要注意區(qū)分。

【變式5】

5.一張長(zhǎng)方形紙板長(zhǎng)30厘米、寬18厘米，從它的四個(gè)角上各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)是2厘米的小正方形，然后用

剩下的部分折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒（接頭處忽略不計(jì)），這個(gè)紙盒的容積是多少毫升？（紙板的厚度忽

略不計(jì)）

【答案】728毫升

【解析】

【分析】從長(zhǎng)方形紙板的四個(gè)角上各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)是2厘米的小正方形，折成的長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)是（30—2

-2）厘米，寬是（18—2—2）厘米，高是2厘米，利用長(zhǎng)方體體積公式直接求體積，再換算成容積即可。

【詳解】（30—2—2）X（18-2-2）X2

=26X14X2

=728（立方厘米）

=728（毫升）

答：這個(gè)紙盒的容積是728毫升。

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體體積（容積）公式，確定長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬是解答本題的關(guān)鍵。

【例6】

如圖所示，在容器中放入1個(gè)圓柱形鐵塊和2個(gè)與它等底等高的圓錐形零件，溢出了部分水，則每個(gè)圓錐形

零件的體積是（）立方厘米。

思路引導(dǎo)

根據(jù)題意和示意圖知，溢出水的體積是容器內(nèi)1個(gè)圓柱和2個(gè)圓錐的體積和。由于容器內(nèi)圓柱和圓錐等底

等高，那么圓柱體積=3義圓錐體積，那么相當(dāng)于容器內(nèi)有5個(gè)相同的圓錐。用600毫升除以5,求出每個(gè)

圓錐的體積。

正確解答：

6004-（3+2）

=600+5

120（毫升）

120毫升=120立方厘米

所以：每個(gè)圓錐形零件的體積是120立方厘米。

小綺

解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)在于理解圓柱和圓錐的體積關(guān)系：等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

【變式6】

6.一塊圓柱形橡皮泥,底面積是24平方厘米，高是5厘米,如果捏成與圓柱等底的圓錐形，高是（）

厘米；如果捏成與圓柱等高的圓錐形，底面積是（）平方厘米。

【答案】①.15②.72

【解析】

【分析】根據(jù)圓柱的體積公式：V=Sh,據(jù)此求出橡皮泥的體積，橡皮泥的體積不變，根據(jù)圓錐的體積公式:

V=-Sh,據(jù)此解答即可；

3

【詳解】24X5X3+24

=120X34-24

=360+24

=15（厘米）

24X5X34-5

=120X3+5

=360+5

=72（平方厘米）

如果捏成與圓柱等底的圓錐形，高是15厘米；如果捏成與圓柱等高的圓錐形，底面積是72平方厘米。

【點(diǎn)睛】本題考查圓柱和圓錐的體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。

考陽(yáng)不規(guī)則物體的體積

【例7】

一個(gè)圓柱形水槽，底面半徑是10厘米，里面盛有15厘米高的水，現(xiàn)將一個(gè)底面直徑是12厘米的圓錐形鐵

塊，完全浸入水中，水面高度比原來(lái)上升了L5厘米，圓錐形鐵塊的高是多少厘米？

思路引導(dǎo)

放入鐵塊后，水面上升了，鐵塊的體積就等于上升的那部分水的體積，即水槽的底面積乘水上升了的高度。

而求鐵塊的高，可根據(jù)公式“圓錐的高=體積義3+底面積”列式計(jì)算。

正確解答：

3.14X102X1.5=471（立方厘米）

3.14X（124-2）2=113.04（平方厘米）

471^-4-113.04=12.5（厘米）

3

答：圓錐形鐵塊的高是12.5厘米。

小結(jié)技法提煉

解答排水法求物體的體積的問(wèn)題，關(guān)鍵是把浸沒(méi)在水中的物體體積轉(zhuǎn)化為求上升（或下降）部分的水的體

積。而已知圓錐的體積，要求它的底面積（或高），注意用體積乘3（即除以；），再除以高（或底面積）。

【變式7】

（2022六下?貴州黔西）

7.一瓶果汁，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），瓶子的容積為32立方厘米，當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶?jī)?nèi)果汁液

面高度為8厘米，當(dāng)瓶子倒放時(shí)，空余部分為2厘米，請(qǐng)你算一算，瓶?jī)?nèi)果汁的體積是多少立方厘米？

【答案】25.6立方厘米

【解析】

【分析】分析題意，可知果汁的體積是不變的，瓶?jī)?nèi)空余部分的體積也是不變的，假設(shè)瓶身全部呈圓柱

形，圓柱的高為（8+2）厘米，進(jìn)而根據(jù)瓶子的容積，求得瓶子的底面積；接下來(lái)用底面積乘瓶?jī)?nèi)的果汁

的高度即可得果汁的體積。

【詳解】324-（8+2）

=32+10

=3.2（平方厘米）

3.2X8=25.6（立方厘米）

答：瓶?jī)?nèi)果汁的體積是25.6立方厘米。

【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)瓶子的容積和高度求出瓶子的底面積。

?立體圖形的切割與拼組

【例8】

一根長(zhǎng)6米的長(zhǎng)方體木料，把它從中間截成兩段，表面積增加了12平方分米，那么原來(lái)長(zhǎng)方體木料的體積

是多少立方米？

思路引導(dǎo)

求原來(lái)長(zhǎng)方體木料的體積可以用“橫截面面積X長(zhǎng)”?？梢援嫵鍪疽鈭D幫助我們分析：

r。r0

把木料從中間截成兩段，表面積增加了兩個(gè)橫截面面積，用12+2=6（平方分米）求出橫截面的面積，

再根據(jù)公式就能求出原來(lái)長(zhǎng)方體木料的體積了。

正確解答：

12+2=6（平方分米）

6平方分米=0.06平方米

0.06X6=0.36（立方米）

答：原來(lái)長(zhǎng)方體木料的體積是0.36立方米。

小囹?技法提煉

長(zhǎng)方體（或正方體）的體積公式是長(zhǎng)方體（或正方體）的體積=底面積X高，也可以變形為長(zhǎng)方體（或正方

體）的體積=橫截面的面積X長(zhǎng)。解決問(wèn)題時(shí)，我們要靈活選用合適的公式進(jìn)行計(jì)算。

【變式8】

（2022六下?北京昌平）

8.把一根長(zhǎng)4米的長(zhǎng)方體木料，截成3段，表面積增加了0.24平方米（如圖所示）這根木料原來(lái)的體積是

（）立方米。

r—QI=>I^^I

【答案】0.24

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知，把這根木料平均鋸成3段，表面積增加0.24平方米，表面積增加的是4個(gè)截面的

面積，由此可以求出木料的底面積，然后根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V=Sh,把數(shù)據(jù)代入公式解答即可。

【詳解】底面積：

0.244-4=0.06（平方米）

體積：

0.06X4=0.24（立方米）

【點(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體的體積公式的靈活運(yùn)用，抓住長(zhǎng)方體的切割特點(diǎn)和增加的表面積，先求出長(zhǎng)方

體的底面積是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵。

【例9】

如圖：這只工具箱的下半部是棱長(zhǎng)為20厘米的正方體，上半部是圓柱體的一半。算出它的表面積和體積。

思路引導(dǎo)

根據(jù)圓柱和正方體的表面積的計(jì)算方法，它的表面積是上面圓柱的表面積的一半加上下面正方體的5個(gè)面

的面積；再根據(jù)圓柱和正方體的體積公式，計(jì)算上面圓柱體積的一半加上下面正方體的體積即可。

正確解答：

表面積：

3.14X20X204-2+3.14X102+20X20X5

=12564-2+3.14X100+400X5

=628+314+2000

=2942（平方厘米）

體積：

3.14X102X204-2+20X20X20

=3.14X100X204-2+8000

=3140+8000

=11140（立方厘米）

答：它的表面積是2942平方厘米，體積是H140立方厘米。

小囹?技法提煉

解答求組合圖形的表面積和體積，關(guān)鍵是分析圖形是由哪幾部分組成，然后根據(jù)它們的表面積公式和體積

公式進(jìn)行解答。

【變式9】

（2022六上?江蘇徐州）

9.一個(gè)棱長(zhǎng)4厘米的正方體，在正中從上到下挖出一個(gè)長(zhǎng)方體孔洞，孔洞的底面為邊長(zhǎng)2厘米的正方形，

這個(gè)空心圖形的表面積是多少平方厘米？體積是多少立方厘米？

【答案】120平方厘米；48立方厘米

【解析】

【分析】這個(gè)空心圖形的表面積=棱長(zhǎng)4厘米的正方體的表面積一邊長(zhǎng)2厘米的正方形面積X2+長(zhǎng)4厘米

寬2厘米的長(zhǎng)方形面積X4；

體積=棱長(zhǎng)4厘米的正方體體積一長(zhǎng)2厘米寬2厘米高4厘米的長(zhǎng)方體體積；依此列式計(jì)算即可求解。

【詳解】4X4X6-2X2X2+4X2X4

=96-8+32

=120（平方厘米）

4X4X4—2X2X4

=64—16

=48（立方厘米）

答：這個(gè)空心圖形的表面積是120平方厘米，體積是48立方厘米。

【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是弄清楚：現(xiàn)在的表面積由哪些面組成，問(wèn)題即可得解。

建議用時(shí):建min

一、填空。

（2022六下?山西運(yùn)城）

10.一個(gè)長(zhǎng)方體的高截去2厘米，表面積減少了24平方厘米，剩下的部分正好是正方體，正方體的表面積

是（）平方厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是（）平方厘米。

【答案】①.54②.78

【解析】

【分析】根據(jù)題意，高減少2厘米，表面積比原來(lái)減少24平方厘米，表面積減少的只是4個(gè)側(cè)面的面積，

減少的4個(gè)側(cè)面是完全相同的長(zhǎng)方形，用減少的面積除以4求出減少的一個(gè)面的面積，用面積除以寬（2厘

米），即可求出正方體的棱長(zhǎng)，再根據(jù)正方體的表面積公式：S=6a2,長(zhǎng)方體的表面積公式：S=（ab+ah+

bh）X2,把數(shù)據(jù)代入解答即可。

【詳解】2494+2

=64-2

=3（厘米）

3+2=5（厘米）

3X3X6

=9X6

=54（平方厘米）

（3X3+3X5+3X5）X2

=（9+15+15）X2

=39X2

=78（平方厘米）

則正方體的表面積是54平方厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是78平方厘米。

【點(diǎn)睛】本題考查正方體和長(zhǎng)方體的表面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。

（2022六下?陜西榆林）

11.以下圖中這個(gè)三角形4cm的邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)（）（填“圓柱”或“圓

錐”），這個(gè)圖形的體積是（）err?。

【答案】①.圓錐②.37.68

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知，以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)底面半徑是3cm,高是4cm的

圓錐；根據(jù)圓錐的體積公式：體積=底面積X高義工，代入數(shù)據(jù)，進(jìn)行解答。

3

【詳解】3.14X32X4X-

3

1

=3.14X9X4X-

3

1

=28.26X4義-

3

1

=113.04X—

3

=37.68（cm3）

以下圖中這個(gè)三角形4cm的邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)圓錐，這個(gè)圖形的體積是

37.68cm3o

3cm

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的特征以及圓錐體積公式的應(yīng)用。

（2022六下?寧夏）

12.工人叔叔在地面上用64個(gè)同樣大小的小正方體拼成了一個(gè)大正方體，并把它的五個(gè)面涂上了顏色（貼

地的那個(gè)面不涂色），其中3個(gè)面涂色的小正方體木塊有（）個(gè)，2個(gè)面涂色的有（）

個(gè)。

【答案】①.420

【解析】

【分析】觀察這個(gè)大正方體，如圖,只有四個(gè)頂點(diǎn)上小正方體3個(gè)面

會(huì)被涂色，所以3個(gè)面涂色的小正方體木塊有4個(gè)；如圖,藍(lán)

色箭頭所指的小正方體2個(gè)面會(huì)被涂色，共有（2X4）個(gè)，紅色箭頭所指的小正方體2個(gè)面也會(huì)被涂色,

共有（3X4）個(gè)，加起來(lái)即可計(jì)算得出2個(gè)面涂色的小正方體共有20個(gè)。

【詳解】根據(jù)分析得，1義4=4（個(gè)）

2X4+3X4

=8+12

=20(個(gè))

所以3個(gè)面涂色的小正方體木塊有4個(gè)，2個(gè)面涂色的有20個(gè)。

【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是抓住表面涂色的正方體切割小正方體的特點(diǎn)。

二、選擇。

(2022六下?陜西榆林)

13.看一看，1S|—|EB|?

2022年5月10日在人民大會(huì)堂舉行了“慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年大會(huì)”，中共中央總書記、

國(guó)家主席、中央軍委主席習(xí)近平在會(huì)上發(fā)表重要講話強(qiáng)調(diào)，青春孕育無(wú)限希望，青年創(chuàng)造美好明天。下圖是

一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，將它折疊成正方體后，與“望”字相對(duì)面上的字是什么字？在正確答案下面畫“

()()()()()

【答案】見(jiàn)詳解

【解析】

【分析】此圖屬于正方體展開(kāi)圖的“1-4-1”結(jié)構(gòu)，折成正方體后，“望”與“青”相對(duì)，“春”與“育”

相對(duì)，“孕”與“?！毕鄬?duì)。

【詳解】與“望”字相對(duì)面上的字是“青”字。

青春孕育希

(J)()()()()

【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開(kāi)圖，正方體展開(kāi)圖分四種類型，11種情況，每種情況折成正方體后哪些

面相對(duì)是有規(guī)律的，可自己動(dòng)手操作一下并記住規(guī)律，能快速解答此類題。

(2022六下?河南鄭州)

14.下圖是正方體，各個(gè)面展開(kāi)后如圖所示，對(duì)應(yīng)的六個(gè)面分別用字母A、B、C、D、E、F表示，則正方體

前、后兩個(gè)面，分別是展開(kāi)后圖中的()o

A.A和DB.B和DC.B和ED.C和D

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的特征可知，相對(duì)的面中間有1個(gè)正方形，所以A的相對(duì)面是F,B的相對(duì)面是D,C

的相對(duì)面是E,據(jù)此選擇即可。

【詳解】由分析可知：

正方體前、后兩個(gè)面，分別是展開(kāi)后圖中的B和D。

故答案為：B

【點(diǎn)睛】本題考查正方體的特征，明確其特征是解題的關(guān)鍵。

（2022六