2024年高考數(shù)學基礎突破一一集合與函數(shù)

9.函數(shù)的圖象與性質的綜合應用（學生版，后附老師版）

【學問梳理】

1.利用描點法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點、連線.

首先：⑴確定函數(shù)的定義域，（2）化簡函數(shù)解析式，⑶探討函數(shù)的性質（奇偶性、單調性、周期性、對

稱性等）.

其次：列表（尤其留意特別點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等），描點，連線.

2.函數(shù)圖象間的變換

（1）平移變換

對于平移，往往簡單出錯，在實際推斷中可熟記口訣：左加右減，上加下減.

（2）對稱變換

⑶伸縮變換

縱坐標不變?、

---------------------------------=/（"）.

各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼摹?Q>o）倍”

a

橫坐標不變_=

各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁（A>0）柒>'/⑴.

【基礎考點突破】

考點1.作函數(shù)的圖像

【例1】作出下列函數(shù)的圖像：

2~x/1、,

⑴⑵尸（引a+1"1；(3)y=|log2%-l|.

【總結反思】為了正確作出函數(shù)的圖像，除了駕馭“列表、描點、連線”的方法外，還要做到以下兩點：

(1)嫻熟駕馭幾種基本函數(shù)的圖像，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)、正弦函

數(shù)、余弦函數(shù)以及形如y=x+q的函數(shù)；

(2)駕馭常用的圖像變換方法，如平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等.

變式訓練1.分別作出下列函數(shù)的圖像：(l)y=2，+2；(2)y=ln(l—x).

考點2.圖象識別

3工，立1,

【例2】⑴若函數(shù)段)=<則函數(shù)尸危+1)的大致圖像是(

(2)小明騎車上學，起先時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛,

與以上事務吻合得最好的圖像是()

t距學校的距離f距學校的距離1距學校的距離f距學校的距離

【歸納總結】識圖常用的方法如下.

(1)定性分析法：通過對問題進行定性分析，結合函數(shù)的單調性、對稱性等解決問題.

(2)定量計算法：通過定量(如特別點、特別值)的計算，來分析解決問題.

(3)函數(shù)模型法：由所供應的圖像特征，結合實際問題的含義以及相關函數(shù)模型分析解決問題.

變式訓練2.⑴函數(shù)尸尤sin尤在區(qū)間［一口，町上的大致圖像是()

ACD

(2)［2024?四川卷］函數(shù)y=亡7的圖像大致是(

【歸納總結】函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值

域，推斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調性，推斷圖象的改變趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對

稱性；(4)從函數(shù)的特征點，解除不合要求的圖象.利用上述方法解除、篩選選項.

考點3.函數(shù)圖像的應用

命題點1.確定方程根的個數(shù)

【例3】已知函數(shù)y=/(x)的周期為2,當xe［—1,1］時，/(x)=x2,那么函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)y=|lgx|

的圖象的交點共有()

A.10個B.9個C.8個D.7個

【歸納總結】當某些方程求解很困難時，可以考慮利用函數(shù)的圖象推斷解的個數(shù)，即將方程解的個數(shù)問題

轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，對應圖象有幾個交點，則方程有幾個解.

［|lgx\,x>0,

變式訓練3.已知人x)=Lz八則方程"(x)一寸(x)+1=0的解的個數(shù)是________.

［2四,把0,

命題點2.求參數(shù)的取值范圍

⑺《，則實數(shù)。的取值范圍是_______.

【例4】已知a>0,且分1,7(x)=f一爐，當無e(—1,1)時，恒有力

命題點3.求不等式的解集X

［例5］己知函數(shù)y=/(x)的圖像是圓f+產=2上的兩段弧，

如圖所示，則不等式/U)》(一尤)一2x的解集是____.-h*

【基礎練習】

1.(2024?廣州一調)把函數(shù)y=(x—2>+2的圖象向左平移1個單位,再向上平移1個單位，所得圖象對應的

函數(shù)解析式是()

A.y=(無-3)?+3B.y=(x—3)2+1Cj=(x—1)2+；5DJ=(X-1)2+1

2.函數(shù)y—1x_］的圖象是()

?X邛…：<

/I

ABCD

3.使log2(-x)<x+l成立的X的取值范圍是()

A.(-l,0)B.［-l,0)C.(—2,0)D,［-2,0)

4.函數(shù)尸式sinx在［—兀，兀］上的圖象是()

h

5.(2024?安徽卷涵數(shù)於)=(x+c)2的圖象如圖所示，則下列結論成立的是()

A.A>0,b>0,c<0B.o<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.〃<0,b<0,c<0

6.點尸從點。動身，按逆時針方向沿周長為/的圖形運動一周，O,P兩點連線的距離y與點P走過的路

程x的函數(shù)關系如圖，那么點尸所走的圖形是(

D

7.(2024?新課標全國I卷)如圖，圓0的半徑為1,A是圓上的定點,產是圓上的動點，角龍的始邊為射線

OA9終邊為射線OP,過點P作直線OA的垂線，垂足為將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)1工),

則y=/(x)在［0,兀］上的圖象大致為()

8.設函數(shù)y=/(x)的圖象與y=2#"的圖象關于直線>=一x對稱，且八-2)+7(—4)=1,則4=()

A.-lB.lC.2D,4

9.已知函數(shù),則對隨意xi，X2^R,若0<|知<|無2I，下列不等式成立的是()

ix2x~-1,尤<0,

A.>1)+>2)<0B>I)+>2)>0C>l)->2)>00.>1)->2)<0

10.(2024?全國II卷)如圖，長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,。是A2的中點.點P沿著邊BC,CD與DA

運動，記將動點尸到A,8兩點距離之和表示為x的函數(shù)/(x),則y=/(x)的圖象大致為()

11.設奇函數(shù)八x)的定義域為［—5,5］.若當xd［0,5］時,犬尤)的圖象如圖，則不等式人力<0的解集是.

12.在平面直角坐標系xOy中,若直線y=2a與函數(shù)y=|x—a|—1的圖象只有一個交點，則a的值為.

13.設函數(shù)/(x)=|x+a|,g(x)=x—1,對于隨意的xGR,不等式/(x)》g(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

flogjx(x>0),

14.已知函數(shù)兀c)=L/lc、且關于尤的方程1尤)一a=0有兩個實根，則實數(shù)。的取值范圍是

12'(尤W0)，

15.已知函數(shù)x|(尤eR),且式4)=0.

(1)求實數(shù)機的值；(2)作出函數(shù)式尤)的圖象；

(3)依據圖象指出大犬)的單調遞減區(qū)間；(4)若方程式x)=a只有一個實數(shù)根，求a的取值范圍.

16.當xd(l,2)時,不等式(x—l)2<loga尤恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

17.(1)已知函數(shù)y=/(x)的定義域為R,且當尤GR時，/(〃z+x)=/(初一x)恒成立，求證>=/(尤)的圖象關于直

線x=m對稱；

(2)若函數(shù)y=log2|初一1|的圖象的對稱軸是x=2,求非零實數(shù)a的值.

2024年高考數(shù)學基礎突破一一集合與函數(shù)

9.函數(shù)的圖象與性質的綜合應用（老師版）

【學問梳理】

1.利用描點法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點、連線.

首先：⑴確定函數(shù)的定義域，（2）化簡函數(shù)解析式，⑶探討函數(shù)的性質（奇偶性、單調性、周期性、對

稱性等）.

其次：列表（尤其留意特別點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等），描點，連線.

2.函數(shù)圖象間的變換

（1）平移變換

對于平移，往往簡單出錯，在實際推斷中可熟記口訣：左加右減，上加下減.

（2）對稱變換

⑶伸縮變換

縱坐標不變?、

-------------------------------------=/（"）.

各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼摹?Q>o）倍”

a

橫坐標不變_=

各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁（A>0）柒>'/⑴.

【基礎考點突破】

考點1.作函數(shù)的圖像

【例1】作出下列函數(shù)的圖像：

Q）y=|qzf；Q）y=k+11；（3）y=|iogu-i|.

【解析】（1）易知函數(shù)的定義域為“eR|#一1}.

2—xaa

y=4=—l+gp因此由y=W的圖像向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度即可得到

函數(shù)>=缶的圖像，如圖①所示?

(2)先作出y=g)x，xe［。，+oo)的圖像，然后作其關于y軸的對稱圖像，再將整個圖像向左平移1個

單位長度，即得到y(tǒng)=g)Wu的圖像，如圖②所示.

(3)先作出y=log加的圖像，再將圖像向下平移1個單位長度，保留x軸上方的部分，將x軸下方的圖

像翻折到x軸上方來，即得至lb=|log2X—1|的圖像，如圖③所示.

【總結反思】為了正確作出函數(shù)的圖像，除了駕馭“列表、描點、連線”的方法外，還要做到以下兩點：

(1)嫻熟駕馭幾種基本函數(shù)的圖像，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、正弦函

數(shù)、余弦函數(shù)以及形如的函數(shù)；

(2)駕馭常用的圖像變換方法，如平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等.

變式訓練1.分別作出下列函數(shù)的圖像：(l)y=2"2；(2)y=ln(l—x).

【解析】(1)將y=2,的圖像向左平移2個單位長度，即得到函數(shù)y=2/2的圖像，如圖①所示.

(2)作出函數(shù)y=lnx的圖像，將y=ln龍的圖像以y軸為對稱軸翻折，得到函數(shù)y=ln(—x)的圖像，再

將y=ln(—尤)的圖像向右平移1個單位長度，得到函數(shù)y=ln(l—x)的圖像，如圖②所示.

考點2.圖象識別

ABCD

(2)［2024.湖北卷］小明騎車上學，起先時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間

加快速度行駛，與以上事務吻合得最好的圖像是()

【答案】⑴B（2）C

’3一M

【解析】（1）作出兀1的圖像如圖所示，再把40的圖像向左平移一個單位長度，可得到函數(shù)

log^x,x>]

>=式尤+1）的圖像.故選B.

（2）由題意可知函數(shù)圖像最起先為“斜率為負的線段”，接著為“與無軸平行的線段”，最終為“斜率為負值,

且小于之前斜率的線段”.視察選項中圖像可知，C項符合.

【歸納總結】識圖常用的方法如下.

（1）定性分析法：通過對問題進行定性分析，結合函數(shù)的單調性、對稱性等解決問題.

（2）定量計算法：通過定量（如特別點、特別值）的計算，來分析解決問題.

（3）函數(shù)模型法：由所供應的圖像特征，結合實際問題的含義以及相關函數(shù)模型分析解決問題.

變式訓練2.（1）函數(shù)產xsinx在區(qū)間[一”,刈上的大致圖像是（）

JI

【解析】（1）簡單推斷函數(shù)尸鄧缶了為偶函數(shù)，可解除D.當0Vxe爹時，y=_rsinx>0,當時，y=0,

可解除B,C.故選A.

（2）函數(shù)的定義域是{xGRI/0},解除選項A；當無<0時，x3<0,3*—1<0,故y>0,解除選項B；

當尤t+s時，y>0且y-0,故為選項C中的圖像.

【歸納總結】函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值

域，推斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調性，推斷圖象的改變趨勢；（3）從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對

稱性；(4)從函數(shù)的特征點，解除不合要求的圖象.利用上述方法解除、篩選選項.

考點3.函數(shù)圖像的應用

命題點1.確定方程根的個數(shù)

【例3】已知函數(shù)y=/(x)的周期為2,當xG[―1,f(x)=x2,那么函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)y=|lgx|

的圖象的交點共有()

A.10個B.9個C.8個D.7個

【答案】A

【解析】依據/(x)的性質及/(x)在[—1,1]上的解析式可作圖如下：可驗證當x=10時，y=|lg10|=1；當x

>10時，因此結合圖象及數(shù)據特點知y=/(x)與y=|lgx|的圖象交點共有10個.

【歸納總結】當某些方程求解很困難時，可以考慮利用函數(shù)的圖象推斷解的個數(shù)，即將方程解的個數(shù)問題

轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，對應圖象有幾個交點，則方程有幾個解.

[|lgx\,x>0,

變式訓練3.已知心)=6八則方程2n尤)一3Kx)+l=0的解的個數(shù)是________.

12囚，把0,

【解析】方程2f(x)~3f(x)+l=0的解為或於)=1.作出>=啟)的圖像，由圖像知其龍)=；有2個解,

犬x)=l有3個解，所以原方程解的個數(shù)為5.

命題點2.求參數(shù)的取值范圍

【例4】已知。>0,且在1危尸%2一/，當xd(—1,1)時，恒有加)?，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】/2]

【解析】由題知，當XG(—1,1)時，犬無)=/一即X2—在同一坐標系中分別作出二次函數(shù)yn/

一；,指數(shù)函數(shù)的圖像(圖略).當xG(—1,1)時，要使指數(shù)函數(shù)的圖像恒在二次函數(shù)圖像的上方，則

<儲幺所以吳仄2且分1.故實數(shù)a的取值范圍是吳0<1或l<a<2.

、中1,

命題點3.求不等式的解集

【例5】已知函數(shù)y=/(x)的圖像是圓/+9=2上的兩段弧，如圖所示，則不等式式x)次一x)—2x的解集是

【答案】｛x|-1<%<0或1<%工也｝

【解析】由題設中的圖像可知，7U)是奇函數(shù)，所以八尤)次一尤)一2x可轉化為紈X)>—2尤，即/U)>—X.在圖

中作出直線y=—x,由圖可得原不等式的解集為｛x[—l<x<0或1<XW小).

【歸納總結】對于形如_Ax)>g(x)或可化為式尤)>g(x)的不等式，可以分別作出函數(shù)兀0,g(x)的圖像，找到近0

的圖像位于g(x)的圖像上方部分所對應的x的取值范圍，即為不等式/)>g(x)的解集.

【基礎練習】

1.(2024?廣州一調)把函數(shù)y=(x—2>+2的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，所得圖象對應的

函數(shù)解析式是()

A.y=(無一3>+3B.y=(x—3)2+1C.y=(x—1>+3D.y=(x—1)2+1

答案C

解析把函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移1個單位，即把其中尤換成x+1,于是得y=[(x+l)—2f+2=(x-

+2,再向上平移1個單位，即得到y(tǒng)=(x—1>+2+1=(》-1)2+3.

2.函數(shù)y=l一占的圖象是()

解析將>=—：的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位，即可得到函數(shù)y=l一七的圖象.

%X1

答案B

3.使log2(—x)<x+l成立的尤的取值范圍是()

A.(-l,0)B.[-l,0)C.(-2,0)D.[-2,0)

解析在同一坐標系內作出y=log2(—尤)，y=x+l的圖象，知滿意條件的xe(—l,0),故選A.

答案A

4.函數(shù)y=xsin尤在[一","]上的圖象是()

JI

解析簡單推斷函數(shù)y=xsinx為偶函數(shù)，可解除D.當OV%V5時，y=xsin%>0,當％=兀時，y=O,可

解除B,C,故選A.

nx~\i）

5.（2024?安徽卷涵數(shù)/尤）=（r+c）2的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（）

A.〃>0,/?>0,c<0b>3c>0C.QVO,/?>0,C<0D.〃<0,Z?<0,C<0

解析函數(shù)以%）的定義域為{RxW-c},由題中圖象可知一c=xp>0,即c<0.

令#x）=0,可得X=一7，則孫=一；；,又％N>0,貝匕VO,所以。，5異號，解除A,D.

Ct-v€

答案c

6.點尸從點。動身，按逆時針方向沿周長為/的圖形運動一周，O,尸兩點連線的距離y與點尸走過的路

程x的函數(shù)關系如圖，那么點尸所走的圖形是（）

0IIx

ABCD

答案C

7.（2024?新課標全國I卷）如圖，圓0的半徑為1,A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線

OA,終邊為射線0P,過點P作直線0A的垂線,垂足為將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)/U）,

則尸治）在［0,可上的圖象大致為（）

解析由題圖可知：當x=?■時，OP_LOA,此時黃尤)=0,解除A,D；當xG(O,—JS'f,OM=cosx,

設點Af到直線OP的距離為d,則徐^=sinx,即d=OAfsinx=sinxcosx,.\/(x)=sinxcosjc=]in2xW,

解除B.

答案C

8.（2024?全國I卷）設函數(shù)y=/（x）的圖象與>=2戶"的圖象關于直線>=一尤對稱，且五一2）+八-4）=1,則a

=（）

A.-lB.lC.2D.4

解析設（x,y）是函數(shù)y=/（x）圖象上隨意一點，它關于直線y=-x的對稱點為（一y,—x）,由y=?x）的

圖象與的圖象關于直線＞=—x對稱，可知（一y,—x）在的圖象上，即一x=2、+。，解得y

=-log2（~x）+a,所以八一2）+/（—4）=—log22+a—log24+〃=l,解得〃=2,選C.

答案C

9.已知函數(shù)段）=?c'二’則對隨意X2《R,若0＜|刈＜阿，下列不等式成立的是（）

LJT—2x—1,x＜0,

A＞I）+XX2）＜0B＞I）+XX2）＞0

C＞!）-XX2）＞OD＞1）-AX2）＜O

解析函數(shù)式無）的圖象如圖所示：

且八一x）=/（x）,從而函數(shù)y（x）是偶函數(shù)且在［0,+8）上是增函數(shù).

又0＜|尤1|＜問，.7/（無2）次X1）,即1尤1）一/（X2）＜O.

答案D

10.（2024?全國H卷）如圖，長方形A8CD的邊AB=2,BC=1,。是AB的中點.點尸沿著邊BC,CD與DA

運動，記/BOP=尤，將動點尸至IJA,B兩點距離之和表示為x的函數(shù)黃x）,則y=?x）的圖象大致為（）

n、BP

解析法一當點P位于邊BC上時，ZBOP=x,OWxW3T，則77^=tanx,.\BP=tmx,.\AP=

4UD

^/4+tan2x,

/./（A：）=tanx+\l4+tan2x（0,可見y=/（x）圖象的改變不行能是一條直線或線段，解除A,C.

當點P位于邊CD上時，ABOP,則BP+AP=yjBC2+CP2+y)AD2+DP2

1+1+1+

\AP

當點尸位于邊A。上時，ZBOPJII,貝|市=tan(n-x)=—tanx,

.\AP=—tanx,BP=*\/4+tan2x,.\f(x)=—tanx+小+tan2^-1]%W兀

依據函數(shù)的解析式可解除D,故選B.

JI/—

法二當點P位于點。時，此時AP+BP=AC+8C=1+^,當點尸位于C。的中點時，x

it3兀

=可，此時AP+BP=26<1+小，故可解除C,D,當點尸位于點D時尤=丁，此時AP+2P=A。

+80=1+小，而在改變過程中不行能以直線的形式改變，故選B.

答案B

11.設奇函數(shù)左：）的定義域為[—5,5].若當xd[0,5]時,/）的圖象如圖，則不等式;（x）<0的解集是.

答案（一2,0）U（2,5]

12.在平面直角坐標系尤。y中，若直線y=2a與函數(shù)y=|尤一川一1的圖象只有一個交點，則a的值為.

解析函數(shù)y=|無一a|—1的圖象如圖所示，因為直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|-1的圖象只有一個交點，

故2a=-1,解得a=-5.

答案—；

13.設函數(shù)加）=|%+a|,g（x）=x—l,對于隨意的不等式y(tǒng)（x）2g（x）恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是

解析如圖，要使於）2g（x）恒成立,則一，心一1.

答案[—1，+°°）

[log2%（X>O）,

14.（2024.青島模擬）已知函數(shù)八%）=』,1八、且關于％的方程危）一〃=0有兩個實根，則實數(shù)〃的

12X（xWO）,

取值范圍是