期中復習（壓軸題42題）

一、單選題

1.若abWO,則擊+卷+品的值可能是（）

A.1和3B.-1和3C.1和一3D.-1和—3

2.如圖，在探究“幻方”、“幻圓”的活動課上，學生們感悟到我國傳統(tǒng)數學文化的魅力.一個小組嘗試將數

字-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6這12個數填入“六角幻星”圖中，使6條邊上四個數之和都相等.部分數字

已填入圓圈中，貝心的值為（）

A.-4B.-3C.3D.4

3.某公園將免費開放一天，早晨6時30分有2人進公園，第一個30min內有4人進去并出來1人，第二

個30min內進去8人并出來2人，第三個30min內進去16人并出來3人，第四個30min內進去32人并出

來4人，……按照這種規(guī)律進行下去，到上午11時30分公園內的人數是（）

A.2001B.4039C.8124D.16304

4.有依次排列的兩個不為零的整式a=X,B=2y,用后一個整式與前一個整式求和后得到新的整式的

=x+2y,用整式由=x+2y與前一個整式B=2y作差后得到新的整式a2=x,用整式=%與前一個整式

ai=；c+2y求和后得到新的整式a3=2x+2y，……，依次進行作差、求和的交替操作得到新的整式.下列說

（3）a+a026@?2024+?2022=?20i7+2

法：①當x=2,y=l時，a6=6；@a12=8%+10y；20232=0；

￡12019?其中，正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

5.南宋數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（?+/＞）n（"為非負整數）展開式的項數及各項

系數的有關規(guī)律如下，后人也將其稱為“楊輝三角”.

（。+6）°=1

（。+6）1=a-\-b

（〃+b）2=a2+2ab+b2

(〃+b)3=a3-\-3a2b+3ab2+b3

(。+6)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+6)5=a5+5a4b+10a3b2+\0a2b3+5ab4+b5

則（a+6）1。展開式中所有項的系數和是（)

1

11

121

1331

14641

15101051

A.2048B.1024C.512D.256

6.觀察下面的數：按著規(guī)律排下去，那么第16行從左邊數第2個數是（）

圖嚏噌

%聞1膻葡B施日海麴

awes@sa@s&

A.-225B.-226C.-224D.-227

7.發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問題是常見解題策略之一.已知數a=I5+25+35+45+55+???+295,則這個數a的個

位數為（）

A.3B.4C.5D.6

8.下圖是一組有規(guī)律的圖案，圖1中有4個小黑點，圖2中有7個小黑點.圖3中有12個小黑點，圖4中有19

個小黑點，…，按此規(guī)律圖9中的小黑點個數為（）

圖1圖2圖3圖4

A.64B.67C.84D.87

9.把所有偶數從小到大排列，并按如下規(guī)律分組:

第1組：2,4

第2組：6,8,10,12

第3組：14,16,18,20,22,24

第4組：26,28,30,32,34,36,38,40

現(xiàn)有等式Am=(i,j)表示正偶數m是第i組第j個數(從左往右數)，如Ai°=(2,3),則A2O2O=()

A.(31,63)B.(32,18)C.(32,19)D.(31,41)

10.漢諾塔問題是指有三根桿子和套在桿子上的若干大小不等的碟片，按下列規(guī)則，把碟片從一根桿子上

全部移到另一根桿子上；

(1)每次只能移動1個碟片.

(2)較大的碟片不能放在較小的碟片上面.

如圖所示，將1號桿子上所有碟片移到2號桿子上，3號桿可以作為過渡桿使用，稱將碟片從一根桿子移

動到另一根桿子為移動一次，記將1號桿子上的n個碟片移動到2號桿子上最少需要an次，則口6=()

11.如圖所示，甲、乙兩動點分別從正方形力BCD的頂點4、C同時沿正方形的邊開始移動，甲點依順時針

方向環(huán)行，乙點依逆時針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的4倍，則它們第2022次相遇在邊()上.

A.ABB.BCC.CDD.AD

二、填空題

12.如圖①是一個小正方體的側面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3

格、第4格、第5格，這時小正方體朝上面的字是.

13.定義一種新運算：對于任意實數a、b,滿足〈哂=仁得:包3，當同=1，網=2時，〈/與的最大

值為.

14.在數軸上剪下8個單位長度（從1到9）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分某

處剪一刀得到三條線段（如圖）.若這三條線段的長度之比為1:1:2,則折痕處對應的點所表示的數可能是

7X

Z---

:-

折

痕

斷

處

15.如圖所示，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖形中“?”的個數

為國，第2幅圖形中“?”的個數為。2,第3幅圖形中“?”的個數為（13，以此類推，則?+專+2+…+看的值

為.

第1幅圖第2幅圖第3幅圖第18幅圖

16.比一^大而不大于3的所有整數為,它們的和為.

17.若一個三位正整數小=雁（各個數位上的數字均不為0）,若滿足a+b+c=9,則稱這個三位正整

數為“合九數”.對于一個“合九數”加，將它的十位數字和個位數字交換以后得到新數"；記F（機）=等，則

F（234）=，對于一個“合九數”相，若F（m）能被8整除，則滿足條件的“合九數”機的最大值是.

18.如圖，把五個長為6、寬為a（b>a）的小長方形，按圖1和圖2兩種方式放在一個寬為根的大長方形

上（相鄰的小長方形既無重疊，又不留空隙）.設圖1中兩塊陰影部分的周長和為Ci，圖2中陰影部分的

周長為。2,若大長方形的長比寬大（6-a），則。2-的的值為.

19.a是不為1的有理數，我們把1白稱為a的差倒數.如：2的差倒數是1a=-1,-1的差倒數是1丁?石=

-

1—CLi—ZJ-V,-I）

已知=-,。2是（11的差倒數，是口2的差倒數，（14是的差倒數，…，依此類推，貝!1。2020

20.一動點/從原點出發(fā)，規(guī)定向右為正方向，連續(xù)不斷地一右一左來回動（第一次先向右移動），移動的

距離依次為2,1；4,2；6,3；8,4；10,5；12,6；14,7；.....則動點/第一次經過表示55的點時，

經過了次移動

21.已知a2+2ab=-2,=-4,貝U2a2+7+51b2的值為.

22.正方形4BCZ)在數軸上的位置如圖，點/、。對應的數分別為0和-1,若正方形繞著頂點順

時針方向在數軸上連續(xù)翻轉，翻轉1次后，點8所對應的數為1,則連續(xù)翻轉2022次后，數軸上數2022

所對應的點是.

CB

|||nICAI[|I-

-4-3-2-101234

23.卡塔爾世界杯吸引了很多球迷的觀看.某觀看大廳觀眾區(qū)分為三部分，中間部分為固定座位數，每排

13座，兩邊成扇形，第一排兩邊都為5座，第二排兩邊都為7座，第三排兩邊都為9座，往后按照此規(guī)律

依次類推……，若此演出大廳共有15排座位，則能同時容納—人觀看.

24.將正整數按如圖所示的規(guī)律排列，有序數對(幾即)表示第九排，從左到右第爪個數.如有序數對(4,3)表

示8,則有序數對(16,14)表示的數為.

1……第一排

32??????第二排

456……第三排

10987……第四排

三、解答題

25.結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：

-5-4-3-2-1012345

(1)數軸上表示3和2的兩點之間的距離是；表示-2和1兩點之間的距離是；一般地，數軸上

表示數m和數n的兩點之間的距離等于|血-用.

(2)如果+1|=2,那么久=；

(3)若-3|=4,仍+2|=3,且數°、6在數軸上表示的數分別是點N、點8,則/、8兩點間的最大距離

是，最小距離是.

(4)若數軸上表示數。的點位于-3與5之間，則|a+3|+|a-5|=.

(5)當。=時，|口一1|+m+5|+|￡1—4|的值最小，最小值是.

26.已知|x|=3,M=2.

(1)若x>0,y<0,求x+y的值;

(2)若x<y,求x-y的值.

27.如圖，在數軸上點4表示數a,點B表示數b,且a力滿足m-7|+(6-28)2=0.

(l)a=,b=；

(2)如圖，一根木棒放在數軸上，木棒的左端與數軸上的點C重合，右端與點。重合.若將木棒沿數軸向右

水平移動，則當它的左端移動到。點時，它的右端與點B重合：若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右

端移動到C點時，則它的左端與點2重合.若數軸上一個單位長度表示1cm.則

①由此可得到木棒長為cm；

②圖中C點表示的數是,。點表示的數是；

(3)由題(1)(2)的啟發(fā)，請你能借助“數軸”這個工具幫助小紅解決下列問題：一天，小紅去問曾當過數

學老師現(xiàn)在退休在家的爺爺的年齡，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要39年才出生，你若是我現(xiàn)在

這么大，我已經117歲，是老壽星了，哈哈！”請求出爺爺現(xiàn)在多少歲.

28.若點4在數軸上對應的數為a,點8在數軸上對應的數為6,我們把4、B兩點之間的距離表示為AB,記

AB-\a-b\<且a，b滿足|a-1|+(6+2/=0.

(l)a=_；b=_；線段4B的長=_；

(2)點C在數軸上對應的數是c,且c與b互為相反數，在數軸上是否存在點P,使得P4+PB=PC?若存在，求

出點P對應的數；若不存在，請說明理由；

(3)在(1)、(2)的條件下，點力、B、C開始在數軸上運動，若點B以每秒1個單位長度的速度向左運動，同

時點4和點C分別以每秒4個單位長度和9個單位長度的速度向右運動，t秒鐘后，若點4和點C之間的距離表

示為4C,點力和點B之間的距離表示為力B,那么4B-4C的值是否隨著時間t的變化而變化?若變化，請說明

理由；若不變，請求出4B-4C的值.

29.已知在紙面上有一數軸(如圖)，折疊紙面，若數軸上數1表示的點與數-1表示的點重合，則數軸上

數-2表示的點與數2表示的點重合，根據你對上述內容的理解，解答下列問題：

若數軸上數-4表示的點與數0表示的點重合.

(1)則數軸上數3表示的點與數表示的點重合；

(2)若點N到原點的距離是5個單位長度，并且4B兩點經折疊后重合，求8點表示的數；

(3)若數軸上M,N兩點之間的距離為2022,并且M,N兩點經折疊后重合，如果M點表示的數比N點表示的

數大，直接寫出M點，N點表示的數.

30.如圖，己知：a、b分別是數軸上兩點力、B所表示的有理數，滿足|a+20|+(6+8)2=0.

AB

---------111——A

a---------b--------0

(1)求力、B兩點相距多少個單位長度？

(2)若C點在數軸上，C點到B點的距離是C點到4點距離的，求C點表示的數；

(3)點P從4點出發(fā)，先向左移動一個單位長度，再向右移動2個單位長度，再向左移動3個單位長度，再向

右移動4個單位長度，如此下去，依次操作2023次后，求P點表示的數.

31.平移和翻折是初中數學兩種重要的圖形變換

___________________________I>J_______I1>

CBCBA

(1)平移運動

①把筆尖放在數軸的原點處，先向負方向移動4個單位長度，再向正方向移動1個單位長度，這時筆尖的

位置表示什么數？用算式表示以上過程及結果是.

A、(+4)+(+1)=+5B、(+4)+(-1)=+3

C、(_4)—(+1)=_5D、(_4)+(+1)=-3

②一機器人從原點。開始，第1次向左跳1個單位，緊接著第2次向右跳2個單位，第3次向左跳3個單

位，第4次向右跳4個單位，…，依此規(guī)律跳，當它跳2023次時，落在數軸上的點表示的數是.

(2)翻折變換

①若折疊紙條，表示-1的點與表示3的點重合，則表示2023的點與表示的點重合；

②若數軸上4B兩點之間的距離為2024(4在B的左側，且折痕與①折痕相同)，且48兩點經折疊后重

合，則4點表示，B點表示.

(4)一條數軸上有點2、B、C,其中點4、B表示的數分別是一17、8,現(xiàn)以點C為折點，將數軸向右對折，

若點4對應的點4落在數軸上，并且4B=2,求點C表示的數.

1111

32.數學問題：計算藐+菽+正+…方(其中血，幾都是正整數，且租之2,n>1).

探究問題：為解決上面的數學問題，我們運用數形結合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方

形，把數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究.

探究一：計算T+/+/+???+￡?

第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為1

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為:+5.

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，….

第九次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和扛去+擊+???+￡,

最后空白部分的面積是泉

第n次分割圖可得等式：：+京+/+…+1一卷.

探究二:計算：+專+++…+焉.

第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為|.

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為：+總

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，….

第九次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為號7+[7+[?+???+

7一、____1

袤，取后空白部分的面積是袤.

根據第n次分割圖可得等式：|+最+號+???+!；=1-皮,

探究三：計鼾+」+田+??,+??

（仿照上述方法，只畫出第九次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程）

解決問題：根據前面探究結果：

11111

---1------1------1-,,?+=1-------

222232n2n

111111

—-4--4--I—??,-4-—-----------

332333n22x3n

illi

442434n----------------------

1.111

----1------1------1-,??H------=（只填空，其中血，幾都是正整數，且加之2,H>1）

mm2rri2mn

拓廣應用：計算?+袈+爭+…+某.

5525”

33.求1+2+22+23+...+22。16的值,

令S=l+2+22+23+...+22016,貝！|2s=2+22+23+…+22016+22017,

因此2S-5=22017-1,5=22017-1.

參照以上推理，計算5+52+53+...+52。16的值.

34.將兩個數軸平行放置，并使二者的刻度數上下對齊，再將兩個數軸的原點連接起來，就構成一個“雙

軸系”.定義“雙軸系”中兩個點/、8的距離.如果，、8兩點在同一個數軸上，則二者之間的距離定義和

通常的距離一致，AB^\a-b\，如果48兩點分別位于兩個數軸上，定義AB=|a-b|+l.

-7-6-5-4-3-2-101234567

IIIII1II1IIIIII

IIIIIIIIIIIIIII

-7-6-5-4-3-2-101234567

利用“雙軸系”定義一種“有向數”，記號是在通常數的右邊加上“T”或“1”，例如，“2T”表示上層數軸中表示數

“2”的點，“-31”表示下層數軸中表示數“-3”的點，分別表示上下兩個數軸的原點.

(1)在雙軸系中3T與5T的距離為：,2T與-31的距離為；

(2)在(1)的假設下，現(xiàn)有只電子螞蟻甲從所表示的點出發(fā)不斷跳躍，依次跳至勺、?、|人甘、

彳、%、白、|「…，另有一只電子螞蟻乙從“01”所表示的點出發(fā)，然后跳躍到11,接著又跳回01其后再

次跳到11,下一步又跳回01,按此規(guī)律在0J和11之間來回跳動.假設兩只螞蟻同時跳躍同時落下，步調一

致.

①當螞蟻甲第3次跳到與所表示的點時，請問此時螞蟻甲共跳躍了多少次？

②當甲乙兩只螞蟻的距離為時，請直接寫出3個符合條件的跳躍次數.

35.如圖，已知點4B,C從左到右依次在數軸上，所表示的數分別為x,-10,200,現(xiàn)將一把最小刻度

為1cm的刻度尺放到數軸上，測得點A與點B的距離為5cm.

(1)若數軸的1個單位長度為1cm.

①x的值為；點/與點C的距離為個單位長度；

②求點),B,C所表示的數的和；

(2)若數軸的1個單位長度不是1cm,且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分別對應數軸上的-14,-10.

①求X的值；

②若點。在數軸上，且點/與點C的距離是點/與點。的距離的2倍，求點。所表示的數；

③若刻度尺的最大刻度為30cm,將數軸的單位長度變?yōu)樵瓉?的后，用刻度尺能測量出數軸上點2與點C

的距離，直接寫出人的最小整數值.

36.如圖，數軸上兩點/、8對應的數分別是人b,a、b滿足(￡1+1)2+|3匕一9|=。.點9為數軸上的一

動點，其對應的數為x.

O

I1II11A

-2_401~~2~~3-4

(1)。=，b—,并在數軸上面標出/、3兩點；

(2)若P4=2PB,求x的值；

(3)若點P以每秒2個單位長度的速度從原點。向右運動，同時點A以每秒1個單位長度的速度向左運

動，點3以每秒3個單位長度的速度向右運動，設運動時間為，秒.請問在運動過程中，3P8-PA的值是

否隨著時間f的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值.

37.已知多項式2=2/+niy-12,B=nx2—3y+6.

(1)若(m+2)2+|n—3|=0,化簡4—B；

(2)若A+B的結果中不含有久2項以及y項，求m+n+nm的值.

38.已知N兩點在數軸上所表示的數分別為相，"，且加，〃滿足：|小一7|+(n+2)2=0.

N.\M,N]IM-

n0ABmn0ABm

圖1備圖

(1)求m、n的值；

(2)①情境：有一個玩具火車4B如圖1所示，放置在數軸上，將火車沿數軸左右水平移動，當點/移動到

點8時，點3所對應的數為優(yōu),當點8移動到點/時，點/所對應的數為〃.則玩具火車的長為

個單位長度；

②應用：如圖1所示，當火車2B勻速向右運動時，若火車完全經過點M需要2秒，則火車的速度為

個單位長度/秒.

(3)在(2)的條件下，當火車48勻速向右運動，同時點尸和點。從N、M出發(fā)，分別以每秒1個單位長

度和2個單位長度的速度向左和向右運動，記火車力B運動后對應的位置為4/1.是否存在常數先使得

kPQ-B遇的值與它們的運動時間無關？若存在，請求出后和這個定值：若不存在，請說明理由.

39.A,8為數軸上的兩個點，點/對應的數記為0,點2對應的數記為6,且是84？T。+(a+8/〉一1關

于x、y的三次二項式.解答下列問題：

AOBAOB

ii1Aiii?

XX

備用圖

⑴a=，b—；

(2)若數軸上有一點C,且34C=BC,求點C對應的數；

(3)若點M、N分別從。、8出發(fā)，同時向左勻速運動，點M的速度為加個單位長度每秒，點N的速度是

3個單位長度每秒，點尸、。分別為線段4M、線段BN的中點.設運動時間為f秒，在點M,N的運動過程

中，若PQ+