5.3.2函數(shù)的極值與最大（?。┲狄?、內(nèi)容與內(nèi)容解析1.內(nèi)容:函數(shù)的極值與最大（?。┲怠?.內(nèi)容解析：函數(shù)的極值是學(xué)生在本小節(jié)第一次接觸到的新概念教科書通過具體案例，結(jié)合函數(shù)圖象，直觀地給出了極值的概念，并通過具體函數(shù)在極值點(diǎn)及兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的變化情況，通過探究歸納出用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般方法，對于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)的最大(小)值問題，則側(cè)重于借助實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)如何利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最大(小)值.教科書以高臺跳水實(shí)例引人函數(shù)極值的討論。函數(shù)的極值本質(zhì)反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)。教學(xué)時(shí)可以用高臺跳水實(shí)例引入函數(shù)極值的討論，先讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，通過觀察圖形直觀形象的得到“局部最值"的初步想法，通過對比函數(shù)的最值，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,使學(xué)生認(rèn)識到“局部最值”不同于函數(shù)最值，是一個(gè)全新的概念，從而生成函數(shù)極值的概念。需要注意的是，“在x=a附近”的含義實(shí)際上指的是一個(gè)非常小的區(qū)間，這個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn)比a小，右端點(diǎn)比a大。這個(gè)區(qū)間要多小就可以有多小，這里我們用的是自然語言來進(jìn)行表述。在高等數(shù)學(xué)里我們還會(huì)用符號語言精確刻畫“在x=a附近”的含義。函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：學(xué)生對函數(shù)的極值有了初步的了解后，學(xué)生就會(huì)面臨難題，如何利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值呢？這一部分主要是探究求極值的算法，雖然沒有新知識和新概念的生成，但教師在教學(xué)中依然要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，要讓學(xué)生認(rèn)識到利用導(dǎo)數(shù)來求極值是通過探究自然而然形成的。先讓學(xué)生觀察函數(shù)極值附近兩側(cè)的圖像變化，認(rèn)識到函數(shù)極值點(diǎn)左右兩側(cè)圖像變化趨勢是相反的。學(xué)生知道圖象的上升與下降是用單調(diào)性來刻畫的，而函數(shù)單調(diào)性又可以用導(dǎo)數(shù)來刻畫的。因此，學(xué)生自然而然地就明白函數(shù)的極值可以借助導(dǎo)數(shù)來求解。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)極值：學(xué)生通過觀察圖象可以自己總結(jié)求函數(shù)極值的一般步驟，但是還是會(huì)忽略定義域，因此要強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意這一點(diǎn)，通過例題的變式可以達(dá)到這一目標(biāo)。為了能夠更加簡捷地求極值，教師要示范利用表格完整的書寫求極值的過程。需要強(qiáng)調(diào)的是，在高中研究的函數(shù)都是處處可導(dǎo)的函數(shù)。再啟發(fā)學(xué)生得出函數(shù)y=f(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)y=最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系：極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，最值是函數(shù)的整體性質(zhì)；函數(shù)的極大(小)值可以有多個(gè)，而最大(小)值是唯一的；函數(shù)的極大值不一定大于極小值，極小值不一定小于極大值，而最大值一定大于最小值(常值函數(shù)除外).函數(shù)的極值不能在區(qū)間(定義域)端點(diǎn)取到，而函數(shù)最值可以在端點(diǎn)取到.但最值有時(shí)是函數(shù)的極值。3.教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值。目標(biāo)與目標(biāo)解析1.目標(biāo)：結(jié)合函數(shù)圖像，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；理解函數(shù)極值的概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值與極小值。（2）理解函數(shù)最值的概念，了解函數(shù)極值與最值的區(qū)別，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值。（3）通過學(xué)習(xí)，學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的工具性和優(yōu)越性，掌握極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，最值是函數(shù)的整體性質(zhì)。增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識；通過規(guī)范地表達(dá)求函數(shù)極值、最值的過程，養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣。2.目標(biāo)解析：達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志分別是：（1）能夠通過函數(shù)圖象判斷函數(shù)的極值點(diǎn)和極值。（2）能夠利用導(dǎo)數(shù)求解一元三次函數(shù)的極值和給定區(qū)間函數(shù)的最值。（3）通過求導(dǎo)與最值的探求，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等。教學(xué)問題診斷解析問題診斷在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問題是對極值的理解和求極值的方法，產(chǎn)生這一問題的原因是極值概念比較抽象，會(huì)跟最值有混淆。要解決這一問題，就要采用數(shù)形結(jié)合的方法重點(diǎn)研究出極值的概念和求極值的方法，需要認(rèn)真細(xì)致的分析出概念，從而總結(jié)出求極值的方法，其中關(guān)鍵是對極值概念的理解.要解決這一問題，結(jié)合學(xué)生的知識，理解從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想和歸納的數(shù)學(xué)方法，通過教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)觀察、善于思考、勇于創(chuàng)新的科學(xué)素養(yǎng).教學(xué)難點(diǎn)對函數(shù)極值的理解，函數(shù)極值和最值的應(yīng)用。教學(xué)支持條件分析學(xué)生必需具備畫出函數(shù)大致圖象的能力，所以教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生如何抓住特殊點(diǎn)和增長趨勢畫出簡圖。過程分析和畫圖完畢后最好借助信息技術(shù)（例如幾何畫板）給予學(xué)生更為規(guī)范的圖象展示，并且有意識地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用信息技術(shù)驗(yàn)證自己圖象正確與否的能力。教學(xué)過程設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)引入在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以判斷函數(shù)的增減.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系：（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟；如果函數(shù)在某些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，那么在這些點(diǎn)處函數(shù)有什么性質(zhì)呢？[設(shè)計(jì)意圖]回顧前面內(nèi)容，為接下來研究做好知識上的鋪墊。探究新知問題1在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以判斷函數(shù)的增減.如果函數(shù)在某些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，那么在這些點(diǎn)處函數(shù)有什么性質(zhì)呢？觀察圖，我們發(fā)現(xiàn)，時(shí)，高臺跳水運(yùn)動(dòng)員距水面高度最大．那么，函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點(diǎn)附近的圖像有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？放大附近函數(shù)的圖像，如圖，可以看出；在附近，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，；這就說明，在附近，函數(shù)值先增（，）后減（，）．這樣，當(dāng)在的附近從小到大經(jīng)過時(shí)，先正后負(fù)，且連續(xù)變化，于是有．[設(shè)計(jì)意圖]創(chuàng)設(shè)問題情景，為引出函數(shù)的極值做鋪墊．問題2對于一般的函數(shù)y=f(x)，是否具有同樣的性質(zhì)？如圖，函數(shù)在等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么規(guī)律？以兩點(diǎn)為例，可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，；而且在點(diǎn)附近的左側(cè)<0,右側(cè)>0.類似地，函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，；而且在點(diǎn)附近的左側(cè)>0，右側(cè)<0.我們把叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值；叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫了函數(shù)的局部性質(zhì).[設(shè)計(jì)意圖]進(jìn)一步理解函數(shù)的極值.對極大、極小值概念的理解，可以結(jié)合圖象進(jìn)行說明.并且要說明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的.從圖象觀察得出，判別極大、極小值的方法.判斷極值點(diǎn)的關(guān)鍵是這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號.教師再強(qiáng)調(diào)：（1）極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極小值、極大值統(tǒng)稱為極值；（2）極值點(diǎn)是橫坐標(biāo),極值是縱坐標(biāo)。（3）“在附近”的含義實(shí)際上指的是一個(gè)非常小的區(qū)間，這個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn)比小，右端點(diǎn)比大。這個(gè)區(qū)間要多小就可以有多小，這里我們用的是自然語言來進(jìn)行表述。在高等數(shù)學(xué)里我們還會(huì)用符號語言精確刻畫“在附近”的含義。[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生將觀察分析得到的結(jié)論用科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)出來，有利于學(xué)生思維從感性層面提升到理性層面，培養(yǎng)歸納概括能力。問題3觀察圖3，找出圖中的極值點(diǎn)，并說明哪些為極大值點(diǎn)，哪些為極小值點(diǎn)？圖3追問1函數(shù)在其定義域內(nèi)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)唯一嗎？追問2區(qū)間的端點(diǎn)能成為極值點(diǎn)嗎？追問3極大值一定大于極小值嗎？師生活動(dòng)：小組討論交流并展示后，教師再加以點(diǎn)評，極值刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì)，而最值刻畫的是函數(shù)的整體性質(zhì)，是兩個(gè)不同的概念。[設(shè)計(jì)意圖]對問題進(jìn)行遞進(jìn)式分解，有利于學(xué)生思維的有序展開。追問的設(shè)置有利于學(xué)生對概念的辨析和理解。追問4如何區(qū)分極大值與極小值呢？師生活動(dòng)：放大附近函數(shù)的圖像，請學(xué)生觀察幾何畫板展示的動(dòng)態(tài)過程，得到當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，。這樣，當(dāng)在的附近從小到大經(jīng)過時(shí)，先正后負(fù)，且連續(xù)變化，于是有。再由學(xué)生總結(jié)求函數(shù)極值的步驟：（1）先求f'(x)的零點(diǎn)；（2）再利用口訣：先正后負(fù)是極大值；先負(fù)后正是極小值。[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生經(jīng)歷可以利用導(dǎo)數(shù)求極值這一知識的自主建構(gòu)過程，借助圖象直觀，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象形成極值口訣，乘勢而上，讓學(xué)生自己總結(jié)求極值的基本步驟，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。例題5求函數(shù)f(x師生活動(dòng)：教師啟發(fā)學(xué)生思考，并示范解答問題。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)極值的步驟：第1步，求出函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將函數(shù)f(x)的定義域劃分成若干個(gè)開區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值。問題4：導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？追問：x=0是否為函數(shù)f(x)=x3師生活動(dòng)：學(xué)生在前面例題的基礎(chǔ)上，容易想到如果導(dǎo)數(shù)值在這個(gè)根左右兩側(cè)同號，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn)。如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點(diǎn)．所以，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)，要判斷x＝x0是否為f(x)的極值點(diǎn)，還要看f′(x)在x0兩側(cè)的符號是否相反。一般地，函數(shù)y=f(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)取極值的必要條件，而非充分條件.[設(shè)計(jì)意圖]此問題是教科書第93頁思考，教師通過例題解答向?qū)W生示范如何利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。讓學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范表達(dá)的良好習(xí)慣，學(xué)會(huì)探索利用列表法簡潔明了的表達(dá)方式的方法。并讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)y=f(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)取極值的必要條件，而非充分條件。歸納方法：一般地，可按如下方法求函數(shù)y=f(x)的極值：解方程f′(x)=0，當(dāng)f′(x0)(1)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f(2)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f3.函數(shù)的最大（?。┲禈O值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì).也就是說，如果是函數(shù)的極大（?。┲迭c(diǎn)，那么在附近找不到比更大（小）的值.但是，在解決實(shí)際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我們往往更關(guān)心函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上，哪個(gè)值最大，哪個(gè)值最小.如果是某個(gè)區(qū)間上函數(shù)的最大（小）值點(diǎn)，那么不?。ù螅┯诤瘮?shù)在此區(qū)間上的所有函數(shù)值.下圖是函數(shù)，的圖象.由圖象可知，是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值.問題5找出函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.由上圖可以看出，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，最大值是.問題6在下圖中，觀察上的函數(shù)和的圖象，它們在上有最大值、最小值嗎？如果有，最大值和最小值分別是什么？一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.結(jié)合上圖，以及函數(shù)極值中的例子，不難看出，只要把函數(shù)的所有極值連同端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以求出函數(shù)的最大值與最小值.例6求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.解：由例5可知，在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，并且極小值為.又由于，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是4，最小值是.歸納方法：一般地，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)在區(qū)間上的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.4.利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)相關(guān)的問題例7給定函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；（2）畫出函數(shù)的大致圖象；（3）求出方程的解的個(gè)數(shù).解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?.令，解得.，的變化情況如表所示.x－0＋單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，有極小值.（2）令，解得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的圖象經(jīng)過特殊點(diǎn)，，.當(dāng)時(shí)，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)呈爆炸性增長，從而；當(dāng)時(shí)，，.根據(jù)以上信息，畫出的大致圖象如圖所示.（3）方程的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).由（1）及上圖可得，當(dāng)時(shí)，有最小值.所以關(guān)于方程的解的個(gè)數(shù)有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，解為0個(gè)；當(dāng)或時(shí)，解為1個(gè)；當(dāng)時(shí)，解為2個(gè).方法歸納：畫函數(shù)的大致圖象的步驟：（1）求出函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點(diǎn)；（3）用的零點(diǎn)將的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出在各區(qū)間上的正負(fù)，并得出的單調(diào)性與極值；（4）確定的圖象所經(jīng)過的一些特殊點(diǎn)，以及圖象的變化趨勢；（5）畫出的大致圖象.5.課堂小結(jié)請學(xué)生總結(jié)一下本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法。函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義函數(shù)極值點(diǎn)存在條件函數(shù)的極值求函數(shù)極值函數(shù)的最值函數(shù)大致圖像像函數(shù)大致圖像像師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生自行總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生總結(jié)的情況及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充完善。[設(shè)計(jì)意圖]回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，總結(jié)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值中的作用，感受算法思想。目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)檢測1函數(shù)